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7/23/2019 Amiiu10 Pres

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1

Unidad 10

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales



2

10.1 Introducción

( ), ,..., , , ,..., , ... 0x y xx xy F x y u u u u u =

Donde: x , y ,… variables independientes, u función de las variables

independientes, u x , u y ,…, u xx , u xy , derivadas parciales de la función.

La ecuación de onda (tipo hiperbólico)

2 22

2 2

u u a

t x

∂ ∂=

∂ ∂ (5)



3

La ecuación de conducción del calor (tipo parabólico)

22

2

u u a

t x

∂ ∂=

∂ ∂ (6)

La ecuación de Laplace (tipo elíptico)

2 2

2 2 0

u u

x y

∂ ∂+ =∂ ∂ (7)

En las ecuaciones (5), (6) y (7) la función desconocida u depende de dos

variables independientes. Las mismas pueden contener tres variables

independientes. La ecuación de la onda,

2 2 22

2 2 2

u u u a

t x y

∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ (8)



4

La ecuación del calor,

2 22

2 2

u u u a

t x y

∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ (9)

La ecuación de Laplace,

2 2 2

2 2 2 0u u u

x y z

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (10)



5

10.2 Ecuación de onda. Ecuación de las oscilaciones de una cuerda

x l =

x x x x ∆+

M

1M

( )u x,t

u

0x =

2t

1t

x l =

x x x x ∆+

M

1M

( )u x,t

u

0x =

2t

1t

Figura 10.1: Esquema general de la cuerda



6

Si se analiza en elemento de cuerda MM 1 de la Figura 10.1, en los extremos

actúan las fuerzas T dirigidas según las tangentes a la cuerda (Figura 10.2).

( )T x x,t ∆+

1M

ϕ ∆ϕ+

ϕ

M ( )T x,t

u ∆

x ∆

( )T x x,t ∆+

1M

ϕ ∆ϕ+

ϕ

M ( )T x,t

u ∆

x ∆ Figura 10.2: Elemento de cuerda



7

La obtención de la ecuación de movimiento se realiza mediante plateo de

equilibrio de fuerzas. La proyección sobre el eje u de las fuerzas que actúan

sobre el elemento MM 1 es,

( ) ( )= + ∆ −∑ e F T T ϕ ϕ ϕsin sin (11)

Luego,

( ) ( )≈ϕ ϕsin tan (12)

( ) ( ) ( ) ( )+ ∆ − ≈ + ∆ −T T T T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsin sin tan tan (13)

( ) ( )( )= + ∆ −∑ e F T ϕ ϕ ϕtan tan (14)

Por aplicación de la definición de derivada,



8

( ) ( ) ∂ + ∆ ∂ = −

∂ ∂ ∑ e

u x x t u x t F T

x x

, , (15)

En este caso, se puede aplicar el teorema de Lagrange (Figura 10.3),

( ) ( ) ( ) ∂ + ∆∂ + ∆ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂=

∆ ∂

u x x t u x x t u x t x x x

x x

θ ,, ,

(16)

( ) ( ) ( )∂ + ∆ ∂ + ∆∂− = ∆

∂ ∂ ∂u x x t u x x t u x t

x x x x

θ2

2

, ,, (17)



9

∂

∂

u

x ( )∂ +

∂u x x,t

x

∆

( )∂ +

∂u x x,t

x

θ∆

( )∂∂

u x,t

x

x ∆

∂∂

u

x ∆

x +x x θ∆ +x x ∆

x

≤ ≤θ

0 1

∂

∂

u

x ( )∂ +

∂u x x,t

x

∆

( )∂ +

∂u x x,t

x

θ∆

( )∂∂

u x,t

x

x ∆

∂∂

u

x ∆

x +x x θ∆ +x x ∆

x

≤ ≤θ

0 1 Figura 10.3: Teorema de Lagrange



10

Luego,

( )∂= ∆

∂∑ e

u x t F T x

x

2

2

, (18)

Por otro lado, las fuerzas de inercia correspondiente a la componente vertical

de la ley de Newton (F =ma ),

( )∂= ∆

∂∑ i

u x t F x

t ρ

2

2

, (19)

Donde: ρ es la densidad lineal de la cuerda, u tt aceleración del elemento.

Luego igualando fuerzas externas e internas,

( ) ( )∂ ∂∆ = ∆

∂ ∂u x t u x t

T x x x t

ρ2 2

2 2

, , (20)



11

Si,

=T a ρ

2 (21)

La ecuación de la onda resulta,

( ) ( )∂ ∂=

∂ ∂

u x t u x t a

t x

2 22

2 2

, ,

(22)

Para la determinación del movimiento de la cuerda, la ecuación (22) debe

completarse con las condiciones de contorno. La función u (x ,t ) debe cumplir

las condiciones límites en los extremos de la cuerda, y las condiciones iniciales

que describen el estado de al cuerda en el momento inicial (t =0).

Si los extremos de la cuerda están fijos en todo instante,



12

( )

( )

=

=

u t

u l t

0, 0

, 0

(23)

En el momento inicial cada punto de la cuerda tendrá su posición y velocidad

determinada por funciones,

( ) ( )

( ) ( )

=

=t

u x f x

u x g x

, 0

, 0 (24)

La ecuación (23) son las condiciones de contorno, y la ecuación (24) son las

condiciones iniciales.



13

10.3 Método de separación de variables (método de Fourier)

Se plantea la solución de la ecuación de onda (22) con las condiciones de

contorno (23) e iniciales (24) correspondientes,

( ) ( )∂ ∂=

∂ ∂

u x t u x t a

t x

2 22

2 2

, ,

( )

( )

=

=

u t

u l t

0, 0

, 0

( ) ( )

( ) ( )

=

=t

u x f x

u x g x

, 0

, 0



14

Se propone la solución en la forma de un producto de dos funciones con las

variables separadas,

( ) ( ) ( )=u x t X x T t , (25)

Luego,

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

∂ =∂

∂=

∂

xx

tt

u x t X x T t x

u x t X x T t

t

2

2

2

2

,

, (26)

Reemplazando (26) en (22),

( ) ( ) ( ) ( )=tt xx X x T t a X x T t 2 (27)

Dividiendo por a 2XT ,



15

( )

( )

( )

( )=

tt xx T t X x

a T t X x 2 (28)

La igualdad de la ecuación (28) sólo se verifica en el caso de que el primer y

segundo miembro no dependan ni de x ni de t , es decir, son iguales a un

número constante, −λ ,

( )( )

( )

( )= = −tt xx T t X x

a T t X x λ

2 (29)

De esta forma es posible obtener dos ecuaciones,

( ) ( )

( ) ( )

+ =

+ =

xx

tt

X x X x

T t a T t

λ

λ 2

0

0 (30)



16

Las soluciones generales de las ecuaciones (30), se obtienen como ecuaciones

diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientesconstantes,

( )

( )

( )

=

=

=

kx

kx

x

kx xx

X x e

X x ke

X x k e 2

(31)

( )

( )

( )

=

=

=

kt

kt

t

kt

tt

T t e

T t ke

T t k e 2

(32)

Reemplazando (31) y (32) en (30),



17

+ =

+ =

kx kx

kt kt

k e e

k e a e

λ

λ

2

2 2

0

0

(33)

La ecuación característica resulta,

+ =

+ =

k

k a

λ

λ

2

2 2

0

0 (34)

Así, las soluciones resultan,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

X x A x B x

T t C a t D a t

λ λ

λ λ

cos sin

cos sin (35)

Reemplazando (35) en (25),

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )= + +u x t A x B x C a t D a t λ λ λ λ, cos sin cos sin (36)



18

Aplicando a (36) las condiciones de contorno e iniciales (23) y (24),

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

= + =

⋅ + ⋅ =

=

= + =

+ =

=

X A B

A B

A

X l A l B l

l B l

B l

λ λ

λ λ

λ λ

λ

0 cos 0 sin 0 0

1 0 0

0

cos sin 0

0cos sin 0

sin 0

(37)

Pero B≠0, debido a que si así fuera X =0, y u =0. De esta forma,



19

( ) =

= =

=

l

l n n

n

l

λ

λ π

πλ

sin 0

1,2,3... (38)

De esta forma,

( ) = n X x B x

l πsin (39)

Luego, conociendo λ es posible reemplazar en (36),

( ) = +

n n n

n n n u x t x C a t D a t

l l l

π π π, sin cos sin (40)



20

Donde para cada valor de n es posible determinar las constantes C y D , por

eso C n y D n . La constante B está incluida en C n y D n . La suma de lassoluciones es también una solución, y se representa mediante la serie,

( ) ( )∞

=

= ∑ n

n

u x t u x t 1

, , (41)

( )∞

=

= + ∑ n n

n

n n n u x t x C a t D a t l l l π π π

1

, sin cos sin (42)

La ecuación (42) también debe cumplir con las condiciones iniciales (24),



21

( ) ( )

( )

( )

( )

∞

=

∞

=

∞

=

=

= +

=

=

∑

∑

∑

n n

n

n

n

n

n

u x f x

n n n u x x C a D a l l l

n u x C x

l

n f x C x

l

π π π

π

π

1

1

1

, 0

,0 sin cos 0 sin 0

,0 sin

sin

(43)

Si la función ( ) f x es tal que podemos desarrollarla por series de Fourier en el

intervalo ( )l 0, ,

( )

( )

∞

=

=

=

∑∫

n n

l

n

n

f x C x l

n C f x x dx

l l

π

π

1

0

sin

2sin

(44)



22

Además,

( ) ( )

( )

( )

( )

∞

=

∞

=

=

= − +

= − +

=

∑

∑

t

t n n

n

t n n

n

t

u x g x

n n n n n u x t x C a a t D a a t

l l l l l

n n n n n u x x C a a D a a

l l l l l

n u x x

l

π π π π π

π π π π π

π

1

1

, 0

, sin sin cos

,0 sin sin 0 cos 0

,0 sin ( )

( )

∞

=

∞

=

=

=

∑

∑

n

n

n

n

n D a g x

l

n n g x x D a

l l

π

π π

1

1

sin

(45)

Si se determinan los coeficientes de Fourier de esta serie,



23

( )

( )

∞

=

=

=

∑

∫

n

n

l

n

n n g x D a x

l l

n D g x x dx

n a l

π π

π

π

1

0

sin

2sin

(46)

10.4 Ecuación de conducción del calor

El problema corresponde al estudio de conducción de calor e una dimensión a

través de una barra. Por lo tanto, se asume que la superficie lateral de la

barra no disipa calor y que en todos los puntos de una sección transversal dela barra se tiene la misma temperatura. La barra se dispone sobre el eje x ,

inicia en =x 0 y finaliza en =x l . La distribución de temperatura a lo largo



24

de la barra para un tiempo t corresponde a ( )u x t , . La cantidad de calor que

fluye a través de una sección de abscisa x por unidad de tiempo es,

∂= −

∂u

q k S x

(47)

Donde: S es el área de la sección de la barra, k es el coeficiente de

conductibilidad térmica.Si se analiza una porción de la barra comprendida entre x 1 y x 2

(∆ = −x x x 2 1 ). La cantidad de calor que pasa por la sección x 1 y x 2 durante

un tiempo ∆t es,

∆ →∆=∆t

Q q t 0

lim (48)



25

=

=

∂∆ = − ∆

∂

∂∆ = ∆

∂

x x

x x

u Q k S t

x

u Q k S t

x

1

2

1

2

(49)

Luego,

= =

= =

∂ ∂∆ − ∆ = ∆ − ∆∂ ∂

∂ ∂ ∆ − ∆ = − ∆ ∂ ∂

x x x x

x x x x

u u Q Q k S t k S t x x

u u Q Q kS t

x x

2 1

2 1

2 1

2 1

(50)

Si se aplica el teorema de Lagrange,



26

= =

∂ ∂ ∂ − ∆ ≈ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ x x x x

u u u kS t k xS t

x x x 2 1

2

2 (51)

Este calor eleva la temperatura del elemento de barra en una magnitud ∆u

durante un tiempo ∆t ,

∆ − ∆ = ∆ ∆

∂∆ − ∆ = ∆ ∆∂

Q Q c xS u

u Q Q c xS t

t

ρ

ρ

2 1

2 1

(52)

Donde, c es la capacidad calorífica del material de la barra, ρ densidad del

material de la barra, ∆xS ρ masa de elemento de barra.

Igualando las ecuaciones se obtiene,



27

∂ ∂

∆ ∆ = ∆ ∆∂ ∂

u u c xS t k xS t

t x ρ

2

2 (53)

∂ ∂=

∂ ∂u u

c k t x

ρ2

2 (54)

∂ ∂=

∂ ∂u k u

t c x ρ

2

2 (55)

Si,

=k

a c ρ

2 (56)

Se obtiene la ecuación del calor,

∂ ∂=

∂ ∂u u

a t x

22

2 (57)



28

Para que la solución de la ecuación del calor este determinada la solución, la

función ( )u x t , debe cumplir condiciones iniciales (58) y de contorno (59),

( ) ( )=u x g x , 0 (58)

( ) ( )

( ) ( )

=

=

u t t

u l t t

ψ

ψ

1

2

0,

, (59)

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