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Apuntes de electrónica básica Corriente alterna Ing. Aldo Lugli Tancredi

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1. Introducción. Hasta ahora hemos estudiado circuitos eléctricos cuyos generadores entregan tensiones que se mantienen constantes con el tiempo, a los que se denominan de corriente continua (CC) o corriente directa (DC). En la figura 1.1 podemos ver dos gráficas, una corresponde a una tensión continua y la otra a una tensión alterna (AC) la que se caracteriza por ser variable con el tiempo.

Figura 1.1

V

t

DC

AC

Las tensiones y corrientes alternas varían con el tiempo, tanto en amplitud como en sentido. Los circuitos en los que los generadores entregan tensiones alternas se denominan de corriente alterna (AC). Un ejemplo típico de este tipo de generadores lo constituyen los micrófonos, que sometidos a las variaciones de presión producidas por una onda sonora, entregan tensiones cuya variación es análoga a la variación de presión. Las tensiones alternas y las corrientes que ellas producen pueden ser de cualquier forma, sin embargo para facilitar el análisis de estos circuitos utilizaremos fundamentalmente variaciones senoidales, lo que se fundamenta en la serie de Fourrier (ver suma de tonos puros, PTA). Si un sistema es lineal, es decir si la salida es siempre proporcional a la entrada, entonces su comportamiento frente a una forma de onda compleja puede obtenerse sumando los resultados para cada componente de esa onda compleja. Como ya se ha visto al estudiar el movimiento armónico simple una variación senoidal puede expresarse de tres formas diferentes, una expresión matemática que permite calcular el valor instantáneo en función del tiempo.

( )v Vp sen t= × ω× + α 1.1

en la que v es el valor instantáneo, Vp el de pico o máximo, ω la velocidad angular y α el ángulo de fase. Por otra parte

T.2f2 π

=⋅π⋅=ω 1.2

Otra manera es la gráfica, como lo muestra la figura 2.1 en la que Vp es el valor de pico, v el valor instantáneo, vo el valor instantáneo a tiempo cero y que corresponde al ángulo de fase y finalmente T, el período, que se relaciona con la frecuencia como sigue:

Apuntes de electrónica básica Corriente alterna

Ing. Aldo Lugli Tancredi 2 de 33

f1T = 1.3

0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

v

t

Vp

T

vo

Figura 1.2

La tercera forma es la fasorial, es decir mediante un vector que gira en sentido antihorario alrededor de su cola a una velocidad angular ω y cuyo módulo es el valor de pico. Dicho vector giratorio presentará con respecto al origen y en el instante cero, un ángulo α (el de fase) y demorará T (el período) en recorrer una vuelta completa, figura 1.3.

α|Vp| t=0

ω

Figura 1.3

La figura 1.4 nos muestra el símbolo generalmente utilizado para representar un generador de tensión alterna, cargado con una resistencia.



Vg R

I

Figura 1.4

En estas condiciones se producirá una corriente cuya intensidad ha de cumplir con la ley de Ohm es todo instante. El valor instantáneo de la intensidad será entonces:

)t(senRVp

R)t(senVp

Rvi α+⋅ω⋅=

α+⋅ω⋅== 1.4

Resulta una expresión senoidal cuyo valor de pico es Vp/R, con una frecuencia y un ángulo de fase idénticos a los de la tensión. De ello se desprende que la corriente será también senoidal y estará en fase con la tensión. Si se aplicara una forma de onda de tensión compleja, cada una de sus componentes senoidales darían lugar a corrientes senoidales en fase con las tensiones y proporcionales a aquellas. La corriente tendría la misma forma de onda que la tensión. Sobre una resistencia, la corriente tiene la misma forma que la tensión y ambas están en fase. Esto se puede representar en forma fasorial o gráfica, figuras 1.5 y 1.6

α

|Vp| t=0

ω

|Ip|

Figura 1.5



Es importante aclarar que cuando se dibujan vectores o formas de onda que representan distintas magnitudes, lo único que es válido comparar es las formas y la diferencia de fase. Comparar las amplitudes carece de sentido pues se trata, como ya lo aclaré, de magnitudes diferentes.

v

ti

T

0 0,2 0, ,4 0,5 0,6 0,70 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ,7 0,8 0,9

Figura 1.6

En cuanto a los fasores, que en la figura 1.5 están mostrados en el instante cero, mantendrán siempre la misma diferencia de fase (en este caso cero) pues ambos giran a la misma velocidad. 2. Valor eficaz. Una cuestión interesante es determinar el trabajo que es capaz de realizar una corriente alterna. Si suponemos que una corriente que varíe en forma senoidal recorre una resistencia, parece claro que generará calor en cualquier sentido que circule. La cuestión es determinar a que valor de la corriente será proporcional el calor generado. Parecería que deberá ser proporcional al promedio de dicha corriente. Sin embargo si tomamos un ciclo completo el promedio es cero, lo que conduciría a pensar que la corriente alterna no generará calor al circular por una resistencia o que esta suposición es incorrecta. Y como genera calor, la suposición es incorrecta. El calor generado no dependerá del valor de pico tampoco. Dos formas de onda distintas, pero de igual valor de pico generarán diferente cantidad de calor. El calor generado y en general el trabajo realizado por una corriente alterna dependerá del valor eficaz de la misma. El valor eficaz de una corriente (tensión) alterna será aquel valor de corriente (tensión) continua que disipe en una resistencia la misma potencia que disipará la alterna. Si ambas, la alterna y la continua disipan la misma potencia sobre la misma resistencia, entonces realizan el mismo trabajo en iguales períodos de tiempo. Como el valor eficaz se define a partir de una corriente o tensión continua, comencemos por analizar una cuestión gráfica referida a la tensión continua. Recordemos que:

tRVtPW

2

∆⋅=∆⋅= 2.1

∆t es el intervalo durante el cual se calcula en trabajo. Y si graficamos la potencia en función del tiempo resultará una constante como en la figura 2.1



Figura 2.10 t1

t

V2/R

P

W

La potencia disipada, V2/R es constante a lo lago del tiempo. El trabajo realizado en el tiempo transcurrido desde 0 hasta t1 se obtiene mediante la ecuación 2.1. Claramente el trabajo será el área encerrada por los ejes, la recta P=V2/R y la recta para t=t1, en otras palabras el cálculo del trabajo en la ecuación 2.1 es el producto de la base por la altura del rectángulo rayado de la figura 2.1. Generalizando podríamos decir que el trabajo será el área encerrada por la curva de potencia en función del tiempo, el eje de las abscisas, y las rectas para t constante correspondientes al principio y el final del período de tiempo en el cual deseamos calcular el trabajo, ∆t (en este caso ∆t=t1-0).

0 t1

t

P

t2

W

Figura 2.2

Así, por ejemplo, si la potencia estuviera variando como lo muestra la figura 2.2, el trabajo realizado en el intervalo de tiempo comprendido entre t1 y t2 será igual al área rayada (W). Un problema importante es calcular esa área, lo que es posible o bien conociendo la función que describe a la curva y aplicando el cálculo integral o bien aproximándose a la forma de la curva mediante formas geométricas más sencillas de calcular. Forma de onda senoidal Tomemos ahora una tensión que varíe en forma senoidal. En cada instante la potencia disipada será:

( )[ ] ( ) ( )α+⋅ω⋅=α+⋅ω⋅

=α+⋅ω⋅

== tsenR

VpR

tsenVpR

tsenVpRvp 2

22222

2.2



La potencia resulta el producto de dos factores. Una constante, Vp2/R, y el seno al cuadrado del ángulo del fasor. Este factor, que es el que varía con el tiempo, presenta la siguiente solución:

( ) ( )α+⋅ω⋅⋅−=α+⋅ω t2cos21

21tsen2 2.3

expresión cuyos valores instantáneos son todos positivos y su frecuencia es el doble de la de la función seno original. La figura 2.3 nos muestra ambas funciones en un mismo gráfico a efectos de compararlas (seno en línea cortada). A propósito, ¿que valor aproximado tendrá α?

Figura 2.3

La potencia en función del tiempo tendrá la siguiente gráfica, en la que se establece un intervalo de tiempo igual a un período, figura 2.4.

Vp2/R

t0

Vp2/2.R

t1 t2

Figura 2.4

La energía convertida en calor en el intervalo de tiempo comprendido entre t1 y t2 será numéricamente igual a la superficie rayada. Obsérvese que la forma de la gráfica de potencia es igual a la de la gráfica de tensión instantánea elevada al cuadrado debido a que, según la ecuación 2.2, la potencia se obtiene multiplicando a la función seno al cuadrado por una constante. Esto lo único que



hace, desde el punto de vista gráfico, es desplazar en sentido vertical y con la misma proporción a todos los puntos de la gráfica. La forma es la de una cosenoide cuyos valores son todos positivos. Esto se debe a que a la cosenoide se le sumó una constante igual a su valor de pico. La cosenoide, al igual que todas las funciones circulares, tiene un eje de simetría paralelo al eje de las abscisas y que coincide con este. En la curva de la figura 2.4 dicho eje de simetría está desplazado hasta el valor Vp2/2.R.

Vp2/R

t0

Vp2/2.R

t1 t2

A B

Figura 2.4 a

Las figuras 2.4a y 2.4b muestran como el área encerrada por encima del eje de simetría puede utilizarse para rellenar por debajo de dicho eje formando un rectángulo. Por lo tanto el área encerrada por la curva y el eje de las abscisas entre t1 y t2 será igual a la del rectángulo t1, t2, A, B, cuya área será (y por lo tanto la energía suministrada):

( )12

2

ttR2

VpW −⋅⋅

= 2.4

Vp2/R

t0

Vp2/2.R

t1 t2

A B

Figura 2.4 b

Las siguientes dos figuras muestran como se completa el llenado del rectángulo.



Vp2/R

t0

Vp2/2.R

t1 t2

A B

Figura 2.4 c

Vp2/R

t0

Vp2/2.R

t1 t2

A B

Figura 2.4 d

Retomemos ahora la definición de valor eficaz (pág.4). El valor eficaz de esta tensión senoidal será el de una tensión continua que elevada al cuadrado y dividida por el mismo valor de resistencia, encierre en el mismo tiempo la misma superficie.

t0

Vef2/R

t1 t2

Figura 2.5



La figura 2.5 muestra el rectángulo formado por la gráfica de la potencia continua en función del tiempo, los rectas correspondientes a t1 y t2 constantes y el eje de las abscisas. Si el área rayada es igual a la del rectángulo A, B, t1, t2 entonces la tensión continua elevada al cuadrado es:

2VpVef

22 = 2.5

Y el valor eficaz finalmente será:

2VpVefVef 2 == 2.6

La relación entre el valor de pico y el valor eficaz dependerá de la forma de onda. En el caso de una onda cuadrada teórica el valor eficaz es igual al de pico. Es así que si comparamos una tensión de forma cuadrada con una senoidal, ambas con el mismo valor de pico, la cuadrada desarrollará en una resistencia el doble de potencia que la senoidal. ¿Puede un amplificador capaz de entregar una potencia máxima de 100 W sobre 8Ω, quemar un parlante de 8 Ω capaz de soportar 100 W? Si, la potencia máxima que es capaz de entregar un amplificador de audio se especifica para una determinada resistencia de carga y con señal senoidal, lo que implica una determinada tensión de pico máxima. Pero si dejamos que la señal de entrada sature al amplificador, la tensión de salida comenzará a parecerse a una cuadrada y resultará que el amplificador estará entregando más potencia que la especificada. ¿Pueden dos señales diferentes pero con el mismo valor de pico producir diferentes sensaciones de “volumen”? Si, basta que tengan diferente valor eficaz. Para aumentar la sensación de volumen sin aumentar el pico se utiliza el compresor que, básicamente, modifica la forma de onda, aumentando el área encerrada por la misma. El valor que generalmente miden los voltímetros de corriente alterna (AC) es el eficaz solo para una onda senoidal. Algunos voltímetros de mayor costo miden el valor eficaz de cualquier forma de onda y reciben el nombre de “voltímetros de verdadero valor eficaz” (true RMS voltmeter). RMS es una sigla que indica valor eficaz y significa Root Mean Square (raíz cuadrada del promedio de los cuadrados). Recuérdese que para calcular el valor eficaz el proceso que se siguió fue el de: 1º elevar al cuadrado los valores instantáneos, 2º encontrar el promedio de dichos valores y 3º extraer la raíz cuadrada de ese promedio. Un instrumento diseñado para medir tensión CA (AC en inglés) dará una indicación del valor eficaz tomando para ello un tiempo mayor que el que usamos nosotros. Hemos usado el tiempo mínimo que se necesita, es decir un período. Imaginemos que deseamos medir la tensión que entrega la compañía de distribución de energía eléctrica. Dicha tensión es alterna, de forma senoidal, de 50 Hz y 311 Vp. Resultará de 220 V (eficaces). Recuérdese que el valor eficaz de una variable se representa con mayúscula y sin subíndice, mientras que el de pico se representa con mayúscula y con el subíndice p y el instantáneo con minúscula sin subíndice.

Dado que las mediciones durarán mucho más que un período y a efectos de disimular variaciones rápidas no normales que pudieran presentarse en la tensión a medir los



tiempos usados son normalmente mayores que el período correspondiente a la mínima frecuencia que se pueda medir. En ese caso se estarán midiendo tensiones que casi no variarán ni de amplitud ni de forma ni de frecuencia en un tiempo relativamente grande. Pero, ¿qué sucederá si quisiéramos medir el valor eficaz de la tensión aplicada al parlante al reproducir un tema musical? Tomemos por ejemplo el tango Madame Ivonne ejecutado por A. Troilo y R. Grela que dura aproximadamente 2’46’’. La forma de onda variará permanentemente, variando también la frecuencia y el valor de pico. Para conocer el valor eficaz de esa tensión deberíamos tomar un tiempo para calcular el área encerrada por la tensión elevada al cuadrado de 2’46’’ y de esa manera podríamos calcular la energía entregada al parlante durante el desarrollo del tema. Pero esa medición no tiene ninguna aplicación práctica en las técnicas vinculadas con la producción de sonido. Más bien nos interesa conocer cuales son los valores máximos y mínimos de volumen percibido por el oyente. Para esa medición se utiliza un vúmetro o medidor de volumen. En este caso el tiempo que se utiliza para medir el área encerrada por la curva de tensión elevada al cuadrado tiene estrecha relación con el comportamiento del oído. Aclaremos ahora que a ese tiempo utilizado para medir el área encerrada por la curva de tensión elevada al cuadrado se le denomina, y no por casualidad, tiempo de integración. El oído demora un cierto tiempo en reaccionar. Si reproducimos un ciclo de una señal senoidal de 1 kHz no percibiremos más que un chasquido. Deberemos reproducir al menos 10 ó 12 ciclos para que lo percibido comience a parecerse a un tono de 1 kHz. Ese tiempo que requiere el sistema auditivo para que el oyente perciba correctamente es el elegido como tiempo de integración para los vúmetros. Aplicándosele un tono de amplitud constante, la aguja del vúmetro tardará 300 ms en llegar al punto de la escala que indique el 90% del valor eficaz de dicho tono. 3. Potencia disipada en una resistencia. Dado que el valor eficaz está definido a partir de la potencia disipada entonces, en una resistencia, la potencia disipada se calculará a partir del valor eficaz de tensión y corriente.

2Ip.Vp

2Ip.

2VpI.VP === 3.1

y aplicando las igualdades obtenidas por la ley de Ohm resultará:

R.2Vp

R2

Vp

RVP

2

2

2

=

== 3.2

2R.IpR.

2IpR.IP

222 =

== 3.3

Los cálculos de potencia en función de los valores de pico de tensión y corriente son válidos solo para forma de onda senoidal.



4. Elementos reactivos He dicho en numerosas oportunidades que la resistencia eléctrica es el análogo eléctrico del rozamiento [1]. Sería razonable preguntarnos si no habrá análogos eléctricos para la masa y la elasticidad. Estos últimas propiedades de la materia permiten que un objeto pueda almacenar energía potencial o energía cinética. Recuerden que la deformación de un objeto elástico permite almacenar energía potencial elástica, mientras que un objeto en movimiento posee energía cinética. Bien, existen dispositivos eléctricos que permiten almacenar energía potencial eléctrica o energía cinética. Los primeros lo hacen mediante un campo eléctrico y los segundos mediante un campo magnético. 4.1 Capacitores. Llamamos capacitores a los dispositivos construidos de modo de utilizar la llamada capacidad eléctrica (párrafo 2.4 de los apuntes de corriente continua). Imaginemos un capacitor descargado, conectado en serie con un interruptor (SW) y un generador de CC (Vgoc y Rg) como lo muestra la figura 4.1.1. Al cerrarse el interruptor los electrones libres de la placa conectada al terminal positivo del generador comenzarán a ser atraídos hacia este, figura 4.1.2.

Vgoc C

Rg

SW

Figura 4.1.1

Vgoc C

Rg

SW

Figura 4.1.2



De esta manera la placa conectada al terminal positivo comenzará a cargarse positivamente por la pérdida de electrones. Simultáneamente con cada electrón que el generador retire de la placa conectada al positivo se creará la fuerza necesaria para que otro electrón se desplace del negativo de la fuente y pase a la placa del capacitor conectada a ese terminal. Esta placa entonces irá adquiriendo carga eléctrica negativa. A medida que transcurra el tiempo se irá generando un campo eléctrico entre las placas que hará que la diferencia de potencial entre estas aumente.

Vgoc C

Rg

SW

Figura 4.1.3

Es muy interesante observar que, dado que el capacitor está formado por dos conductores aislados entre si, no es posible que circule una corriente eléctrica como la hemos estudiado hasta ahora. El desplazamiento de electrones que permiten que el capacitor se cargue no configura una corriente eléctrica como la que hemos estudiado hasta ahora. No se cumple la ley de Kirchhoff y esto se debe a que en las placas del capacitor se acumulan cargas. Pero desde el punto de vista externo al capacitor el desplazamiento de cargas tiene un comportamiento idéntico al de una corriente eléctrica y se la denomina corriente de carga del capacitor. La intensidad de corriente es la misma en ambos terminales del generador. La cantidad de carga acumulada es igual en ambas placas del capacitor. A medida que trascurra el tiempo la cantidad de carga acumulada aumentará y con ello la tensión entre las placas del capacitor (tensión del capacitor) aumentará. En la resistencia en serie se cumplirá la ley de Ohm y por ello resultará:

Rg.IcVr = 4.1

La tensión del capacitor será en todo momento:

Rg.IcVgocVrVgocVc −=−= 4.2

y la corriente de carga resultará:

RgVcVgocIc −

= 4.3

Si al transcurrir el tiempo la tensión del capacitor crece, entonces la corriente de carga decrece.



El máximo valor para la tensión del capacitor será el de la del generador en circuito abierto. La máxima corriente de carga se producirá cuando el capacitor se halle descargado y resultará:

RgVgocIcmáx = 4.4

La figura 4.1.4 muestra el circuito antes de que se cierre el interruptor (Sw) y si suponemos que el capacitor se halla descargado, entonces la tensión Vc será cero.

Vgoc

Rg

Vc

Sw

C

Figura 4.1.4

En el instante en que se cierra el interruptor, figura 4.1.5, comenzará el desplazamiento de electrones que cargarán al capacitor.

Vgoc

Rg

Vc

Sw

C

Ic

Figura 4.1.5

Obsérvese que la corriente de carga se representó con el sentido convencional. La corriente de carga y la tensión del capacitor variarán según las curvas mostradas en las figuras 4.1.6 y 4.1.7. En la figura 4.1.6 vemos como con el transcurso del tiempo la tensión del capacitor (Vc) aumenta hasta llegar al máximo. En este caso el valor será Vgoc multiplicado por la escala de las ordenadas.



00

0.25

0.50

0.75

1

Vc

Tiempo Figura 4.1.6

La tensión comienza creciendo rápidamente y a medida que aumenta disminuye la velocidad de crecimiento. En la figura 4.1.7 vemos como evoluciona la corriente de carga con el tiempo.

00

0.25

0.50

0.75

1

Tiempo

Ic

Figura 4.1.7

A un pico inicial (valor máximo) le sigue un decrecimiento que comienza siendo rápido para ir haciéndose más lento. En este gráfico el valor de la corriente se obtiene multiplicando la escala de las ordenadas por la corriente máxima, cuyo valor se obtiene según la ecuación 4.4 El tiempo de carga del capacitor dependerá tanto de la capacidad como de la resistencia en serie que puede ser la del generador o alguna agregada a propósito en serie con el generador. Si la resistencia aumenta disminuirá la máxima corriente de carga y el tiempo de carga aumentará. Por otra parte si aumenta la capacidad se requerirá mayor cantidad de carga eléctrica para obtener la misma tensión, con lo que también aumentará el tiempo de carga. Se define la constante de tiempo como :

CR ⋅=τ 4.5

Donde τ (letra griega “tau” minúscula) es la constante de tiempo. El producto de ohmios por faradios resulta segundos.



ss

CC

AC

VC

AVF ===⋅=⋅Ω 4.6

El concepto de constante de tiempo resulta muy útil. Téngase en cuenta que incluso se lo utiliza para definir el comportamiento de un filtro, como veremos más adelante.

0

Vc

Vgoc

Tiempo

τFigura 4.1.8

Puede demostrarse que si la velocidad de carga del capacitor se mantuviera constante e igual que al inicio, en un tiempo igual a la constante de tiempo la tensión del capacitor sería la máxima, figura 4.1.8. Para todos los fines prácticos el capacitor puede considerarse cargado después de cuatro veces la constante de tiempo. Una vez cargado el capacitor, no volverá a circular corriente hasta que se produzca una nueva variación de tensión. El capacitor se comporta de tal manera que su tensión no puede variar instantáneamente.

Es como un resorte. Presentará una fuerza igual a la aplicada pero recién después que se halla estirado (o comprimido), para lo que tarda un cierto tiempo. Las siguientes ecuaciones determinan el valor de la energía potencial acumulada en un capacitor y en un resorte:

2VC21Epe ⋅⋅= 4.7

2xk21Epm ⋅⋅= 4.8

Donde Epe es la energía potencial eléctrica y Epm es la mecánica. Véase que mientras la cantidad de energía eléctrica acumulada en un capacitor depende da la capacidad y del cuadrado de la tensión de carga, en el resorte depende de la constante de rigidez del mismo y del cuadrado de la distancia a lo largo de la cual se comprimió o estiró. Una vez que el capacitor se cargó no circulará más corriente hasta que se produzca una nueva variación de tensión.



Circula corriente en un capacitor cuando varía la tensión aplicada. La intensidad de corriente es proporcional a la rapidez de variación de de la tensión.

Si a un capacitor le aplicamos ahora una tensión que varía de cero a un volt para luego volver a caer a cero, (figura 4.1.9) se producirá una corriente de carga y luego una de descarga como lo muestra la figura 4.1.10.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.25

0.5

0.75

1

Tens

ión

T(ms)

Vgoc

Vc

Figura 4.1.9

En este caso la resistencia total en serie es de 500 Ω y el capacitor es de 0.2 µF. La constante de tiempo resulta entonces de 0.1 ms. El período de la onda cuadrada aplicada (Vgoc) es de 1.2 ms

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

T (ms)

Ic (m

A)

Figura 4.1.10

Obsérvese la notable diferencia de forma entre la corriente y la tensión del capacitor. Esto nos permite suponer que si se intercala un capacitor en el camino de una señal de audio se producirán modificaciones del timbre. Veamos ahora que sucede si el período de la onda cuadrada, aplicada al capacitor en serie con la resistencia, se hace menor que la constante de tiempo. El capacitor ya no se cargará al máximo valor de Vgoc pues antes que se cargue la tensión caerá a cero. El resultado será que al aumentar la frecuencia la tensión en el capacitor será menor. La figura 4.1.11 nos muestra este fenómeno, obsérvese la escala de tiempos de esta gráfica y compáresela con la de la figura 4.1.9.



0 0.1 0.20

0.25

0.5

0.75

1

T (ms)

VcVgoc

Figura 4.1.11

Un capacitor en el camino de la señal modificará la respuesta de frecuencia del sistema. Esto es coincidente con lo que veíamos respecto del cambio de timbre de la señal dado que toda modificación en la respuesta de frecuencia traerá como resultado un cambio de timbre de la señal. Supongamos ahora que conectamos un generador de tensión senoidal al capacitor en serie con una resistencia. La intensidad de corriente será, como ya fuera dicho, proporcional a la rapidez de variación de la tensión. Véase el apéndice B. Notas: [1]- Me refiero al rozamiento llamado lineal, es decir al que produce una fuerza opuesta al movimiento, y que es proporcional a la velocidad de dicho movimiento.

f B u= ×

en la que f es la fuerza, B es el coeficiente de rozamiento lineal o amortiguamiento y u es la velocidad. Esta expresión es en todo análoga a la ley de Ohm si tomamos a la tensión como análoga de la fuerza, a la amortiguación análoga de la resistencia y a la velocidad como análoga de la intensidad de corriente. A este rozamiento también se le llama dinámico. Hay otras formas de rozamiento como por ejemplo el estático que es aquel que produce una fuerza que impide poner en movimiento a un cuerpo. Recuerden la experiencia de arrastrar un cuerpo por el piso. Demanda un mayor esfuerzo ponerlo en movimiento que mantenerlo en movimiento una vez que comenzó a moverse.



El capacitor en un circuito de CA. Veamos ahora como se comporta el capacitor frente a tensiones y corrientes senoidales.

Figura 4.1.12

C

R

Vg

VR

Vc

Ic

Supongamos que a un generador de tensión alterna senoidal lo cargamos con un circuito serie formado por un capacitor de capacidad C y una resistencia de valor R y para simplificar supondremos que la resistencia interna del generador es despreciable, figura 4.1.12. Circulará una corriente (I) y se producirán caídas de potencial en la resistencia (VR) y en la capacidad (Vc). La intensidad de corriente en la capacidad es proporcional a la velocidad de variación de la tensión Vc. Recordemos que en la capacidad circulará una corriente (de carga o descarga) mientras la tensión varíe. Podríamos decir que la capacidad se opone a las variaciones de tensión. Su tensión variará con cierto retado respecto de la aplicada y necesariamente deberemos suministrarle una corriente para modificar la carga. Véase la figura 4.1.9 El términos generales la intensidad de corriente en el capacitor puede calcularse con la siguiente fórmula:

dvci Cdt

= × 4.9

en la que el cociente dVc/dt se conoce como la derivada de Vc respecto del tiempo y significa la velocidad de variación de Vc (véase el apéndice B en los apuntes). Se usa d en lugar de ∆ para indicar que el incremento considerado es infinitamente pequeño. En el caso de una tensión que varía en forma senoidal, de la forma:

( )vc Vcp seno t= × ω× + α 4.10

la derivada resultará:

( )dvc Vcp cos tdt

= ω× × ω× + α 4.11

y sustituyendo en 4.9 resultará:



( )i C Vcp cos t= ω× × × ω× + α 4.12

Admitiendo que la expresión 4.11 es correcta concluiremos que mientras la tensión es senoidal la corriente resulta cosenoidal [2]. Y, como ya se vio en PTA, la onda cosenoidal está adelantada π/2 radianes (90º) respecto de la senoidal es decir que: En un capacitor la corriente senoidal adelanta en π/2 radianes a la tensión. Si ahora aplicamos la ley de Ohm resultará:

( )( )

( )1

2

Vcp seno t Vcp seno tvcic C Vcp cos t C Vcp seno t

× ω× + α × ω× + α= = ×

πω× × × ω× + α ω× × ω× + α +

4.13

y

( )Vcp seno t Vcp t× ω× + α = ω× +α 4.14

( )2 2Vcp seno t Vcp tπ π× ω× + α + = ω× + α + 4.15

que, como podemos ver, son dos vectores de igual módulo y cuyos argumentos difieren en π/2 radianes (90º). Su cociente será por lo tanto:

1 22

Vcp tVcp t

ω× + α −π=πω× + α + 4.16

Por lo tanto:

1 12

vc jic C C

−π= = −ω× ω×

4.17

(véase el power point en la sección biblioteca, de la página de la EMBA sobre cálculo con vectores) Este cociente, que a la ligera podría tomarse como una resistencia no es tal. Como hemos visto en una resistencia la tensión y la corriente están en fase, la energía se disipa en forma de calor y en este caso la tensión y la corriente están fuera de fase y la energía no se disipa, se acumula en un semiciclo para ser devuelta al circuito en el siguiente. Este cociente recibe el nombre de reactancia capacitiva y se la representa con Xc. Es un número imaginario. Por relacionar voltios y amperes la unidad es ohmios.

1Xc jC

= −ω×



Nota [2]: Sería saludable no admitir esa afirmación sin mayor demostración, mi consejo es que consulten a algún conocido de confianza que estudie ingeniería o que intenten estudiar matemáticas. Así, porque si no más. El valor de la reactancia capacitiva depende de la frecuencia, es inversamente proporcional a esta. Si graficamos el valor absoluto de la reactancia capacitiva en función de la frecuencia resultará la figura 4.1.13.

Figura 4.1.13

0 ω

|Xc|

Volvamos ahora al circuito de la figura 4.1.12. Las tensiones presentes han de cumplir con la ley de Kirchhoff, solo que la suma será de cantidades vectoriales, entonces:

1Vg VR Vc Ic R Ic jC

= + = × + × − ω× 4.18

y como el circuito es serie, la corriente es la misma en todos sus componentes y podremos ponerla como factor común:

1Vg Ic R jC

= × − ω× 4.19

Si ahora dividimos por la intensidad de corriente Ic resultará la impedancia que también se mide en ohms.

1Vg R j ZCIc

= − = ω× 4.20

Obsérvese que la impedancia es, desde el punto de vista matemático. un número complejo formado por la suma de la resistencia (un número real) y la reactancia (un número imaginario). Desde el punto de vista físico los elementos de circuito, que están en serie se suman y resulta un binomio que no se puede simplificar pues mientras uno de los términos corresponde a un dispositivo que disipa la energía el otro la almacena y la devuelve al circuito. La impedancia puede expresarse en forma binómica o polar como se muestra en el power point ya mencionado. Podemos representar gráficamente a la impedancia en el plano complejo resultando la figura 4.1.14



Figura 4.1.14

R

Xc

|Z|

φ

Dado que la reactancia depende de la frecuencia, la impedancia variará también en función de la frecuencia. A medida que la frecuencia aumente, la reactancia disminuirá. Como la resistencia no varía con la frecuencia el módulo de la impedancia (|Z|) tenderá al valor de la resistencia y el argumento (φ) se acercará a cero. Al disminuir la frecuencia, con el aumento de la reactancia el modulo de la impedancia crecerá junto con el argumento que se acercará como límite a –π/2. Véase la figura 4.1.15.

Figura 4.1.15

R

Xc

|Z1|

|Z3|

|Z2|Frec.

aumenta

Frec. disminuye

Claramente, habiendo reactancias capacitivas en un circuito, este presentará variación de su comportamiento con la frecuencia. Este elemento es fundamental a la hora de construir filtros y ecualizadores. La presencia indeseada de capacidades provocarán a su vez variaciones indeseadas en la respuesta de frecuencia de un sistema. Analicemos por ejemplo un caso típico y sufrido por los guitarristas con buen oído. El cable utilizado para conectar la guitarra el amplificador es del tipo coaxil. Este consta de dos conductores coaxiales (es decir concéntricos) aislados entre si.



De hecho estamos en presencia de un capacitor (dos conductores aislados entre si). Esa capacidad indeseada e inevitable, conectada a la salida de la guitarra provocará alteraciones en el timbre del instrumento, que se verifican al cambiar un cable por otro. El de menor calidad (mayor capacidad) provocará pérdida de componentes de alta frecuencia (pérdida de brillo). Un cable de buena calidad presenta una capacidad del orden de 60 pF/m. Los cables para esta aplicación deberían ser lo más corto posible. Filtros Un circuito como el de la figura 4.1.12 configura un filtro de primer orden. Supongamos que la tensión entregada por el generador es la entrada al mismo y la tensión sobre la capacidad es la salida, figura 4.1.16.

Figura 4.1.16

C

R

Vi Vo

Ic

La tensión de salida será:

1 11

ViVo Ic j jC CR j

C

= × − = × − ω× ω× −ω×

4.20

y la ganancia

11 1 1

1 1 1 1

j jVo CGVi C R j j C R jR j

C

− −ω×= = = = =ω× × − + × ω× × + × ω× τ−

ω×

4.21

No olvidemos que la variable independiente es ω. Dado que la reactancia capacitiva varía con ω podremos elegir un valor de ω tal que resulte un valor particular de Xc. Elegimos ω0 de manera que la reactancia tome el valor de la resistencia y resultará:

00

1 1 1RC R C

= ∴ω = =ω × × τ

4.22

y sustituyendo en la ecuación 4.21 resulta:



0

1

1G

j= ω

+ω

4.23

Para resolver este cociente necesitamos convertir a forma polar numerador y denominador con lo que obtenemos:

4.24

Analicemos el módulo de la ganancia.

2

0

1

1

G = ω

+ ω

4.25

Si ω es mucho mayor que ω0 el denominador toma valores enormes y el módulo de la ganancia se reduce, acercándose a cero. Si, por otra parte, ω se hace igual a ω0 el denominador toma el valor dos y el módulo de la ganancia toma el valor aproximado de 0,707 lo que es equivalente a -3 dB. Si finalmente, ω se acerca a cero, el módulo de la ganancia de acerca a 1 (0 dB). Este es el comportamiento de un filtro pasa bajos cuya frecuencia de corte es, precisa-mente, ω0. Véase la estrecha relación que hay entre la constante de tiempo y la frecuencia de corte, a tal extremo que hay casos en que la frecuencia de corte de un filtro está dada en segundos. Veamos ahora el argumento de la ganancia.

1

0tg− ω

ϕ = −ω

4.26

Si ω es mucho mayor que ω0 el cociente crece, creciendo el ángulo pues el cociente es la tangente de dicho ángulo. Si, por otra parte, ω se hace igual a ω0 el cociente tome el valor uno, y la tangente -1, que corresponde a –π/2 ó -90º. Si finalmente, ω se acerca a cero, el cociente se hace cero, correspondiendo a un ángulo de valor nulo. Las siguientes figuras muestran las curvas del módulo de la ganancia en función de la frecuencia (4.1.17) y el argumento de la ganancia en función de la frecuencia (4.1.18) para un filtro pasa bajos. El módulo se encuentra en dB, el argumento en grados y la frecuencia, en ambas gráficas, está en tercios de octava respecto de la de corte (ω = ω0)

12 2 01

0 0 0

1 0 1

1 1

G tg

tg

−

−

ωϕ = = −

ω ω ω ω+ + ω ω ω



Figura 4.1.17

-20-18-16-14-12-10-8-6-4-20

-9 -6 -3 0 3 6 9

Figura 4.1.18

-30

-90-80

-70-60

-50-40

-20

-100

-9 -6 -3 0 3 6 9

Si en lugar de tomar la salida entre los terminales de la capacidad la tomamos entre los terminales de la resistencia entonces tendremos un filtro pasa altos. La frecuencia de corte la calcularemos del mismo modo y la ecuación de la ganancia resultará:

1 02

0

1

1

G tg− ω=

ωω + ω

4.27

El alumno deberá repetir el razonamiento hecho arriba para valores de ω mayores, igual y menores que ω0 y confirmar que se trata de un pasa altos. Debería también trazar las gráficas



4.2 Inductores Hemos visto que un capacitor es capaz de almacenar energía eléctrica en forma de energía potencial y que de esta manera resulta análogo a un resorte. Otra forma de almacenar energía en un sistema eléctrico es mediante un campo magnético, y el dispositivo que lo permite resultará análogo a la masa, que en movimiento almacena energía en forma de energía cinética. A este fenómeno se lo denomina inductancia y al dispositivo que lo aprovecha se lo denomina inductor, inductancia o bobina. Así como la capacidad almacena energía, por lo que puede realizar un trabajo, y para ello utiliza la fuerza que produce el campo eléctrico, la inductancia basará su funcionamiento en el campo magnético. Cuando una corriente circula por un conductor se produce un campo magnético como vimos en el punto 6.2 de la parte de corriente continua. Ese campo será proporcional a la intensidad de corriente y si esta varía con el tiempo el campo magnético también lo hará, tanto en cantidad de flujo magnético como en sentido. Inducción magnética. Otro fenómeno de indudable importancia es el de inducción magnética. Cuando un conductor es abrazado por un campo magnético, y, entre ellos hay movimiento relativo (se mueven uno respecto del otro), en el conductor aparecen fuerzas electromotrices o diferencias de potencial llamadas inducidas. Estas fuerzas electromotrices inducidas producirán, si el circuito lo permite, corrientes eléctricas. Una forma práctica de lograrlo es moviendo un imán en las proximidades de un conductor. Si arrollamos el conductor, el efecto será más evidente. Si la velocidad de movimiento del imán aumenta, aumentará la tensión inducida. La tensión inducida depende de la densidad de flujo magnético, del número de espiras y de la velocidad de movimiento del campo respecto del conductor. Ley de Lenz. El sentido de la fuerza electro motriz inducida es tal, que la corriente generada por ella y su campo magnético se oponen a la causa que genera a dicha fuerza electro motriz.

Figura 4.2.1

0

+-

S

N

La figura 4.2.1 muestra un imán próximo a una bobina. La bobina se halla conectada a un instrumento de medida de corriente, que con el cero al centro, nos indicará la intensidad así como el sentido de la corriente. Si el imán se encuentra quieto no se producirá inducción en la bobina.



Pero si el imán se mueve se producirá una corriente inducida como lo muestra la figura 4.2.2.

Figura 4.2.2

0

+-

S

N0

+-

S

N

Esa corriente inducida producirá a su vez un campo magnético que se opondrá al movimiento del imán. norte arriba en la figura de la izquierda y sur arriba en la de la derecha. En ambos casos se tenderá a frenar el movimiento del imán. La intensidad de la corriente inducida será proporcional a la velocidad de variación del campo magnético, es decir a la velocidad con que se mueve el imán en este caso. Otro tanto sucede si aproximamos una bobina a otra. Si a una de ellas le conectamos un generador de tensión alterna, circulará una corriente alterna y se producirá un campo magnético alterno. Si la segunda bobina resulta abrazada por este campo, en ella se producirá una tensión inducida, figura 4.2.3.

Figura 4.2.3

V

i

Vg

Φ

A la bobina que genera el campo magnético (la que está conectada al generador) se le denomina primaria, a la otra se le denomina secundaria. Cuando el campo magnético generado por la corriente que circula por un conductor alcanza a otro se dice que ambos están acoplados magnéticamente. En la figura 4.2.3 se supone que el voltímetro es capaz de medir tensiones alternas. El grado de acoplamiento lo determina la relación entre el flujo magnético que corta a la bobina secundaria y el flujo magnético total generado en la primaria. El valor máximo será 1 (uno) cuando todo el flujo generado corte a la bobina secundaria.



Es común que las compañías de sonido utilicen una misma manguera de micrófonos para recibir la señal de los micrófonos desde el escenario y para mandar señal a los amplificadores de monitores. En una oportunidad fui consultado por un acoplamiento aparentemente inexplicable en una instalación de este tipo. Resultó ser que, en lugar de enviar al escenario la señal de entrada para los amplificadores de monitores, habían enviado la salida de dichos amplificadores a los parlantes. La intensidad de corriente resultaba muy alta en las líneas correspondientes y por consiguiente el flujo magnético generado por esos conductores alcanzó a inducir tensiones, suficientemente importantes, en las restantes líneas de micrófono como para que el sistema se acoplara produciéndose los típicos pitos y flautas. En general los casos de cross talk se deben a inducciones magnéticas o eléctricas. Estas últimas aparecen por efecto de la capacidad entre líneas correspondientes a diferentes señales, para reducir este último efecto es muy importante la malla que rodea a cada cable de señal. Las precauciones más importantes para reducir los efectos del acoplamiento inductivo entre cables diferentes es mantenerlos alejados y evitar largos recorridos en que los cables viajen paralelos. En el caso mostrado en la figura 4.2.3 no hemos tenido en cuenta un hecho muy importante y es que el flujo magnético generado por la corriente que circula en la bobina primaria también induce una tensión en la propia bobina primaria. A esta tensión se le denomina autoinducida. La tensión autoinducida (VL) pone en evidencia el trabajo realizado por la corriente eléctrica alterna al circular por una bobina.

Figura 4.2.4

Vgoc

Rg

L VL

Il

La tensión autoinducida será proporcional a la velocidad de variación de la corriente.

diVL Ldt

= × 4.9

L es el coeficiente de autoinducción, cuyo valor caracteriza a una bobina y depende del área encerrada por la espira, la longitud del solenoide y del cuadrado del número de espiras. El cociente di/dt es la rapidez de variación de la intensidad de corriente, véase el apéndice B de los apuntes de EB (nuevamente tomamos d en lugar de ∆ a efectos de poner en evidencia el carácter de infinitamente pequeño del incremento).



Esta ecuación nos indica que para una bobina dada (definida por el valor del coeficiente de autoinducción) a mayor velocidad de variación de intensidad de corriente, mayor tensión autoinducida. La unidad de medida del coeficiente de autoinducción es el henry o henrio, que se representa con la letra H (con mayúscula pues se toma de un apellido). Una bobina tendrá un coeficiente de autoinducción de 1 H si una variación de intensidad de 1 A/s produce una tensión autoinducida de 1 V. Veamos ahora que sucede si conectamos una fuente de tensión continua a una bobina, como muestra la figura 4.2.5. Mientras el interruptor se encuentra abierto no circulará corriente y si no hay campos magnéticos variables en la proximidad de la bobina la tensión entre terminales de esta será cero.

Figura 4.2.5

Vgoc

Rg

L

En el instante en que se cierra el interruptor se establecerá una corriente que comenzará a crecer desde cero. Obsérvese que las únicas resistencias del circuito son las del generador y la del alambre de la bobina, que pueden ser consideradas en Rg. Esta variación de corriente inicial hará que entre terminales de la bobina aparezca una tensión VL por efecto de autoinducción.

Figura 4.2.6

L

Vgoc

Rg iL

VL

En cada instante la tensión autoinducida será:

VL Vgoc IL Rg= − × 4.10



Vgoc VLILRg−

= 4.11

El fenómeno es en todo inverso al del capacitor. Habrá tensión entre los terminales de la bobina siempre y cuando haya variación de corriente. El término recién utilizado, inverso, si bien es descriptivo del caso en cuestión, no es el más adecuado. Quienes tratan el tema del análisis de redes eléctricas denominan a estos fenómenos duales. Podemos decir con más precisión que la auto inducción es dual de la capacidad. Refiriéndonos a la figura 4.2.6 resulta claro, creo, que al cerrarse el interruptor la corriente tiende a crecer muy rápidamente con lo que la tensión autoinducida es muy grande. De esta manera, si bien la corriente tiende a crecer muy rápidamente su valor será pequeño de acuerdo a la ecuación 4.11. A medida que transcurra el tiempo, y por efecto de la tensión en la bobina, el crecimiento de la intensidad de corriente disminuirá su velocidad, con lo que disminuirá la tensión autoinducida y con ello aumentará el valor de la intensidad de corriente. Véase que si bien aumenta la intensidad de corriente, su velocidad de crecimiento disminuye. Totalmente similar a lo que sucede con la tensión en el capacitor que a medida que aumenta lo hace cada vez más lentamente.

Figura 4.2.70 100 200 300 400

IL (mA)

0

20

40

60

80

100

T (µs)

Figura 4.2.80 100 200 300 400

T (µs)/

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

VL (V)



Las figuras 4.2.7 y 4.2.8 muestran la evolución de la corriente y la tensión en la bobina. El interruptor de la figura se cerró a tiempo cero, la resistencia es de 10 Ω y la bobina de 1 mH. La tensión del generador es de un volt. Nuevamente puede definirse una constante de tiempo τ con el mismo significado que en el caso capacitivo, es decir τ será el tiempo que tardaría en establecerse la corriente en la bobina si la velocidad de variación de la misma se mantuviera como al inicio.

LR

τ = 4.12

Puede demostrarse fácilmente que el cociente henrio sobre ohmio resulta segundos. Si:

VA

Ω = y V V sH A As

×= = entonces

H V s A sA V×

= × =Ω

4.13

en las gráficas mostradas la constante de tiempo vale:

3410 10 100

10H s s

−−τ = = = µ

Ω

Podremos calcular el valor instantáneo de la corriente de la siguiente manera:

1t

iL ILmáx e−

τ = × −

4.14

donde e es la base de los logaritmos neperianos o naturales (e≈2,718) y ILmax=Vgoc/Rg. Recuérdese que en Rg se incluyen la resistencia del generador y la del alambre de la bobina. Similarmente en el capacitor (figura 4.1.4) la tensión puede calcularse como

1t

Vc Vgoc e−

τ = × −

4.15

Si a la bobina le aplicamos una tensión alterna senoidal (figura 4.2.9) la reactancia inductiva resultará:

2vLXL j L LiL

π= = ×ω× = ω× 4.16



Figura 4.2.9

Vgoc

Rg

VL

ILVR

L

El módulo de la reactancia inductiva crecerá linealmente con la frecuencia como lo podemos ver en la figura 4.2.10.

Figura 4.2.10

|XL|

ω

Volvamos ahora al circuito de la figura 4.2.9. Las tensiones presentes han de cumplir con la ley de Kirchhoff, solo que, nuevamente, la suma será de cantidades vectoriales, entonces:

Vgoc VR VL IL R IL j L= + = × + × × ω× 4.17

y como el circuito es serie, la corriente es la misma en todos sus componentes y podremos ponerla como factor común:

( )Vg Ic R j L= × + × ω× 4.18

Calcularemos la impedancia dividiendo por la intensidad de corriente IL.



Vg R j L ZIL

= + ×ω× = 4.19

Podemos representar a la impedancia en el plano complejo resultando la figura 4.2.11

Figura 4.2.11

XL

R

|Z|

φ

Nuevamente deberemos estudiar como varía la impedancia con la frecuencia. A medida que la frecuencia aumente, la reactancia aumentará. Como la resistencia no varía con la frecuencia el módulo de la impedancia (|Z|) aumentará acercándose al valor de la reactancia y el argumento (φ) se acercará como límite a π/2. Al disminuir la frecuencia, con la disminución de la reactancia el modulo de la impedancia disminuirá, acercándose al valor de la resistencia y el argumento se acercará a cero. Véase la figura 4.2.12.

Figura 4.2.12

R

XL

|Z1|

|Z3|

|Z2|

Frec. aumenta

Frec. disminuye

Se agrega así otro elemento que producirá variaciones del comportamiento de un circuito con la frecuencia. Las inductancias pueden componer filtros al igual que los capacitores. La inductancia indeseada que presentan los cables y otras conexiones en los circuitos de audio resultan generalmente despreciables ya que por su pequeño valor, a las frecuencias de audio, no presentan reactancias importantes. Los filtros con inductancias suelen tener poca aplicación en circuitos de audio debido a los valores necesarios, que suelen ser grandes, dando lugar a bobinas voluminosas y pesadas.



Una manera de aumentar el coeficiente da autoinducción es arrollar las bobinas sobre núcleos de hierro laminado. El inconveniente que presenta esta solución es que esos núcleos presentan severas no linealidades introduciendo distorsión armónica. Se los suele evitar, dentro de lo posible. Un área de aplicación de bobinas es en redes de cruce en cajas de parlantes. Estudiemos ahora el filtro pasa bajos con inductor y resistencia.

Figura 4.2.13

Vi

R Vo

L

Para analizarlo utilizaremos una herramienta vista en corriente continua, el divisor de tensión, recordando que los cálculos han de hacerse con vectores dado que ahora se trata de corriente alterna.

Vi RVoR j L

×=

+ × ω× 4.20

y la ganancia será:

1 111

Vo RG j LR j L jViR

= = = =× ω×+ ×ω× + ×ω× τ+

4.21

Expresión idéntica a la obtenida para el filtro pasa bajos con capacitor por lo que todo lo referente a variación de módulo y argumento de la ganancia con la frecuencia ya fue estudiado y no hemos de repetirlo. Tomando la salida de señal entre los terminales de la bobina resultará un filtro pasa altos con ganancia idéntica a la ya vista en la ecuación 4.2.7. En este caso

01 R

Lω = =

τ 2.22

Por lo que, en ω0

0 L Rω × = 2.23

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