ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. … · DBH3 MATEMATIKA 2009-2010 ikasturtea...

Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA2009-2010 ikasturteaErrepaso. Soluzioak 1

ALJEBRA

EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena:

( ) ( ) ( ) ( )21

3 1 1 1 62

xx x x x

+− − = + − +

2

2 22 13 3 1 62

x xx x x+ +− − = − +

6x2 − 6x − x2 − 2x − 1 = 2x2 − 2 + 12 6x2 − x2 − 2x2 − 6x − 2x − 1 + 2 − 12 = 0 3x2 − 8x − 11 = 0

11 38 64 132 8 196 8 14

6 6 61

xx

x

=± + ± ±

= = == −

Soluzioak: 1xeta311

x 21 −==

2. Ebazpena:

52

64x

12

64x

264

2364

220164

x

05x4x

05x4x

04x81x2xx2x2

4x81x2xx2x2

2x42

1x2xxx

)21

x(42

)1x()1x(x

2

2

22

22

22

2

−=−−

=

=+−

=

=±−

=±−

=+±−

=

=−+

=+−−

=+−++++−

−=++++−

−=++

++−

−=+

+−−

Soluzioak: x1=1 eta x2=5 3.

a. Ebazpen aljebraikoa: 3 5 34 2 4

x yx y

− + = ⎫→⎬

+ = − ⎭

3 5 32 2x yx y

− + = ⎫⎬

+ = − ⎭

( )3 5 2 2 3 3 10 10 32 2

x x x xy x

→ − + − − = → − − − = →

→ = − −

13 13 1x x→ − = → = − y = −2 − 2x = −2 − 2 · (−1) = −2 + 2 = 0 Soluzioa: x = −1 ; y = 0



a. Ebazpen grafikoa:

4. Ebatzi grafikoen bitartez honako ekuazio-sistema hauek:

⎧⎨⎩

a) 5 3 92 6 2

x yx y

− =− + = −

Ebazpen analitikoa: 5 3 9

3 1x yx y

− = ⎫⎬− = ⎭

( )5 1 3 3 9 5 15 3 9 12 41 3

y y y y yx y

→ + − = → + − = → = →→ = +

4 112 3

y→ = = 11 3 1 3 1 1 23

x y= + = + ⋅ = + =

Soluzioa: x=2 ; 31

y =

Ebazpen grafikoa:

Soluzioa: x=2 ; 31

y =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛31

,2P puntuan gurutzatzen dira bi

zuzenak.



Ebazpen analitikoa:

180:batuza.2a.1

8y2x410y2x4

8y2x45yx2 2x

=+

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+−=−

⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯

⎭⎬⎫

=+−=−

Sistemak ez du soluziorik.

Ebazpen grafikoa: Bi zuzen paraleloak dira. Sistemak ez du soluziorik.

5. Ebazpena:

( )

3 2 2 6 6 126 4 5 10 125 2 5

3 1 3 3 1717 55 3 3 2 10 172 22 2

x y x y x yx y x y

x x yy x y

+ + ⎫ ⎫ − = ⎫− = + − − =⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪→ → →⎬ ⎬ ⎬− −− ⎪ ⎪ ⎪+ − = −+ − = − + − = − ⎭⎪⎪ ⎭⎭ 6 12

3 2 4x yx y

− = ⎫→ ⎬+ = − ⎭

( )12 6

3 12 6 2 4 36 18 2 4 20 40 2x y

y y y y y y→ = +

→ + + = − → + + = − → = − → = − x = 12 + 6y = 12 + 6 · (−2) = 12 − 12 = 0

Soluzioa: x = 0 ; y = −2 6. Ebazpena:

( )

( )

2 3 2 103 4 3

5 213 22 2

x y x y

x yx y

⎫+ +− = ⎪⎪ →⎬

+ ⎪+ − = ⎪⎭

2 6 2 103 4 3

5 213 62 2

x y x y

x yx y

+ + ⎫− = ⎪⎪ →⎬+ ⎪+ − =

⎪⎭

8 24 6 3 40

6 12 5 21

x y x y

x y x y

+ − − = ⎫⎪ →⎬⎪+ − − = ⎭

( )2 21 40 2 21 11 21 40 42 22 21 40 211 21 21 11

x y y y y y yx y x y

+ = → − + = → − + = → =⎫→ ⎬+ = → = −⎭ x = 21 − 11y = 21 − 11 · (2) = 21 − 22 = 1 Soluzioa: x = −1 ; y = 2

7. a. Ebazpen aljebraikoa:

3 4 10

2 3 1

x y

x y

− + = − ⎫⎪⎬⎪+ = ⎭

10 34

1 23

xy

xy

− + ⎫→ = ⎪⎪⎬− ⎪→ =⎪⎭

10 3 1 2 30 9 4 84 3

x x x x− + −→ = → − + = − →

3417 34 217

x x→ = → = =

1 2 1 2 2 1 4 3 13 3 3 3

xy − − ⋅ −= = = = − = −

Soluzioa: x = 2 ; y = -1

⎧⎨⎩

b) 2 54 2 8

x yx y

− =− + =



b. Ebazpen grafikoa:

A (2, -1) puntuan ebakitzen dira zuzenak.

8. Ebazpena:

( )

3 2 1343 3

2 2 3 133 2 6

x y y

y x x

− ⎫+ = ⎪⎪ →⎬− + ⎪− = − ⎪⎭

3 2 12 13 3 10 134 2 3 13 8 4 9 13

3 2 6

x y y x yy x x y x x

− + = ⎫ + = ⎫⎪ → →− + ⎬ ⎬− + − = −− = − ⎭⎪⎭

3 10 135 8 13x y

x y+ = ⎫

→ ⎬− − = − ⎭

5

3

15 50 6515 24 39

x yx y

×

×

+ =⎯⎯→− − = −⎯⎯→

1y26y26:batuzekuazioak =→= 3 10 13 3 10 13 3 3 1x y x x x+ = → + = → = → = Soluzioa: x = 1 ; y = 1


3y32

612y:ordezkatuzan.2

4x16x4:batuza2a.16y2x3

10y2x

26x3

y

010y2x

−=⇒−=+−

=

−=⇒−=+⇒⎩⎨⎧

−=−−=+

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=++

Soluzioa: x=-4 eta y=-3 Beraz, P(-4,-3) puntuan ebakitzen diren bi zuzen dira.




943034

yx

26x3

y

745034

yx

210x

y−−

⇒+

=

−−−−

⇒−−

=

P(-4,-3) puntuan ebakitzen dira bi zuzenak.


6x12x2153x2:ordezkatuza.1

3y12y4:batuza2a.13y3x2

15yx2

33x2

y

15yx2

=⇒=⇒=+

=⇒=+⇒⎩⎨⎧

−=+−=+

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=+

Soluzioa: x=6 eta y=3 Beraz, P(6,3) puntuan ebakitzen diren bi zuzen dira.




36131033

yx

33x2

y

3693150yx

15x2y −−−

⇒−

=⇒+−=

P(6,3) puntuan ebakitzen dira bi zuzenak.

11. Ebazpena: Altuera: x cm Oinarria: 2x+3 cm Azalera = oinarria · altuera

(2x + 3) · x = 14 cm2 → 2x2 + 3x − 14 = 0 2

3 9 112 3 121 3 114 4 4

7 2

xx

x

=− ± + − ± − ±

= = =

= − Beraz, laukizuzenaren aldeak 7 cm eta 2 cm dira.

12. Ebazpena: Kantitatea (kg) Prezio / kg Prezio osoa 1. mota 4 13,8 4 · 13,8 2. mota x 9,6 9,6 x nahastea 4+x 12 12 (4+x)

( ) 7,212 4 55,2 9,6 48 12 55,2 9,6 2,4 7,2 3 32,4

x x x x x x x+ = + → + = + → = → = = → =

Beraz, 3kg kafe erabili dira bigarren motakoak.

13. Ebazpena: Oinarria: x Altuera: y 2 2 22 11 5 11 2 6 3

5 5x y x y y y y y

x y x y+ = + = → + + = → = → =⎫ ⎫

→⎬ ⎬= + = +⎭ ⎭ x = y + 5 = 3 + 5 = 8 Beraz, oinarria 8 cm-koa da eta altuera 3 cm-koa.



14. Ebazpena: motak Kopurua (litro) Prezio / litro Prezio osoa 1. mota x 0,94 0,94 x 2. mota y 0,86 0,86 y nahastea 40 0,89 40 · 0,89

( )4040

0,94 0,86 40 35,60,94 0,86 35,6y xx y

x xx y→ = −+ = ⎫

⎬ → + − = →+ = ⎭ 1,20,94 34,4 0,86 35,6 0,08 1,2 15

0,08x x x x→ + − = → = → = =

y = 40 -x = 40 - 15 = 25 Beraz, 1. motako 15 litro eta 2. motako 25 litro erabili ditugu.

15. Ebazpena: Angelu txikia: x Angelu ertaina: 2x Angelu handia: 2x+5 Triangelu baten angeluen batura 180º direnez: x + 2x + (2x + 5) = 180

= → = =1755 175 35

5x x

Beraz, 35°, 70° eta 75° dira angeluen neurriak.

16. Ebazpena:

A-tik ateratako autoak egingo duen bidea B-tik ateratako autoak egingo duen bidea

450450 180 2,5180

t t→ = → = = ordu

x = 110t = 110 · 2,5 = 275 km

Beraz, goizeko 11:30etan aurkituko dira, A-tik 275 km-tara.

110450 70 450 110 70x t

x t t t→ = ⎫

⎬→ − = → − = →⎭



FUNTZIOAK. EBAZPENAK 1.

a. Malda: m = 2 zuzena gorakorra da, unitateko hazkundea 2 baita. Ordenatua jatorrian: n = -3 (0,-3) puntutik pasatzen baita. Ekuazioa: y = 2x - 3

b. Malda: m =43

− zuzena beherakorra da, unitateko hazkundea 43

− baita.

Ordenatua jatorrian: n = 2 (0,2) puntutik pasatzen baita.

Ekuazioa: y = 43

− x + 2

2. a. m=-2 n= 4 y=-2x+4

b. m=32

n= 0 y=32

x

3.

a. 2

1x3y

+−=

21

x23

y +−

=

m=23−

n=21

b. -4x + 5y =-5

1x54

y −=

m=54

n=-1 4. Kalkulatu honako zuzen hauen maldak eta ordenatuak jatorrian eta azaldu

kontzeptu horien esanahi geometrikoa:

a. 3x2y2

6x4y +−=⇒

+−=

Malda: m=-2 zuzena beherakorra eta unitateko txikitzea 2 da. Ordenatua jatorrian: n = 3 (0,3) puntutik pasatzen da

b. -2x + 3y =-4 34

x32

y3

4x2y −=⇒

−=⇒

Malda: m=32

zuzena gorakorra eta unitateko handitzea 32

da.

Ordenatua jatorrian: n = 34

− (0, 34

− ) puntutik pasatzen da



Adierazpen grafikoa:

5.

a. Malda 32

− da, eta ordenatua jatorrian 5

y = m x + n

y = 32

− x + 5

3y = -2x + 15 2x + 3y = 15

b. P(3,2) puntutik pasatzen da, eta malda 4 y = y0+ m (x - x0) y = 2+ 4 (x - 3) y = 2+ 4 x – 12 y = 4 x – 10 Adierazpen grafikoa:


DBH3 MATEMATIKA2009-2010 ikasturtea

Errepaso. Soluzioak 10

6. Ebazpena: Adierazpen analitikoa:

x = “denbora” (ordutan) y = “B hirirainoko distantzia” (km-tan) Trena: y = 420 - 110x Merkantzia-trena: y = 58x


2324116200yx

x58y

420024200yx

x110420y ⇒=

−

⇒−=

2 ordu eta erdi pasa ondoren gurutzatuko dira, B hiritik 145 km-tara. Egiaztatzeko ebatziko dugu honako ekuazio-sistema hau:

ordu5,2xx168420x58x110420berdinduzbiakx58y

x110420y=⇒=⇒=−⇒

⎭⎬⎫

=−=

x = 2,5; y = 58t = 58 · 2,5 = 145 → y = 145 km 7.

a. 10 hilabete direnez, ordaindu behar da matrikula eta 10 hilabeteko kostua. Kostu osoa = 10 + 15 · 10 = 160 euro

b. 10 matrikularako, 70 : 15 = 4,66. Hau da, 4 hilabete eta 20 egun. c. Adierazpen analitikoa:

Hilabete kopurua → kostu guztira x = “denbora” (hilabetetan) y = “kostua” (eurotan) y = 10 + 15 x




d. Adierazpen grafikoa:

8. Depositu batek 240 litro ur ditu eta minutuko 9 litro ematen dituen txorrota baten emaria hartzen du. Beste depositu batek 300 litro ditu eta minutuko 4 litro ematen dituen txorrota baten emaria hartzen du. Zenbat denbora igaroko da depositu biek ur kopuru bera izan arte? Adierazi bi funtzioak eta idatzi soluzioa. Ebazpena: Adierazpen analitikoa:

x = “denbora” (min-tan) y = “deposituaren edukiera” (litro-tan) Lehen depositua: y = 240 + 9x Bigarren depositua: y = 300 + 4x


3401032053000yx

300x4y

3301028552400yx

240x9y ⇒+=⇒+=

Bi zuzenak ebakitzen direnean ur kantitate bera izango dute bi deposituek.




Grafikoan ematen da 12 minutuetan suertatuko dela.

Egiaztatzeko ebatziko dugu ekuazio-sistema:

240 9240 9 300 4 5 60 12

300 4y x

x x x xy x

= + ⎫→ + = + → = → =⎬= + ⎭

y = 240 + 9x = 240 + 9 · 12 = 240 + 108 = 348 → y = 348 Beraz, 12 min igaroko da depositu biek ur kopuru bera izan arte, eta une horretan 348 litro izango da depositu bien edukiera.




PROGRESIO ARITMETIKO ETA GEOMETRIKOAK. EBAZPENAK 1. Progresio aritmetiko batean, bosgarren gaia 7 da, eta diferentzia 3. Kalkulatu

lehenengo gaia, eta lehenengo 20 gaien arteko batura. a5 = a1 + 4d → 7 = a1 + 4 · 3 → a1 = 7 - 12 → a1 = -5

a20 = a1 + 19d = -5 + 57 = 52

47020·2

52520·

2aa

S 20120 =

+−=

+=

2. Progresio geometriko bateko hirugarren gaia 0,8 da, eta arrazoia 4. Kalkulatu lehenengo hamar gaien arteko batura.

a3 = a1 · r 2 → 0,8 = a1 · 42 → a1 =

168,0

= 0,05

a10 = a1 · r 9 = 0,05 · 49 = 13107,2

=−

=−

−=

305,04·2,13107

1rara

S 11010 17476,25

3. Progresio geometriko baten arrazoia 43

da, eta bigarren gaia 2. Kalkulatu

segida horretako infinitu gaien arteko batura.

a2 = a1 · r → 2 = a1 · 43

→ a1 = 38

r=43

<1 denez, infinitu gaien arteko batura kalkulatu dezakegu:

332

4·38

4138

43

1

38

r1a

S 1 ===−

=−

=∞

4. Etxe-multzo batean, 1999 urtean etorri ziren gas-instalazioa egitera. Urte horretan bertan, lehenengo ikuskapena egin zuten. Hurrengo ikuskapenak 3 urterik behin egin behar direla kontuan izanda, erantzun: a. Zer urtetan egingo dute hamargarren ikuskapena?

Progresio aritmetikoa da, a1=1999 eta d = 3 izanik. a10 = a1 + 9 d = 1999 + 9 · 3 = 2026 Hamargarren ikuskapena 2026 urtean egingo dute.

b. Zenbatgarren ikuskapena egingo dute 2035 urtean? an = a1 + (n-1) d → 2035 = 1999 + (n-1) · 3 → 2035 - 1999 = (n-1) · 3 → 36 = (n-1) · 3 → n-1 = 12 → n = 13 2035 urtean, 13. ikuskapena egingo dute.

5. Makina batek hasieran 10.480 € balio zuen. Handik urte batzuetara, jabeak prezio erdian saldu zuen. Urte batzuk geroago, bigarren jabe horrek ere saldu egin zuen, berriro ere prezio erdian, eta horrela jarraitu dute hurrengoek. a. Zenbat kostatu zitzaion makina bosgarren jabeari?

Lehenengo jabeak 10480 euro ordaindu zuen. Bigarrenak erdia ordaindu zuen: 10480:2 = 5240 euro

Progresio geometrikoa da, a1 = 10480 eta r =21

izanda.

a5 = a1 · r4 = 10480 · 0,54 = 655

Beraz, bosgarren jabeari 655 € kostatu zitzaion.




b. Guztira 7 jabe egon badira, zenbat ordaindu dute guztira makina erosten? a7 = a1 · r6 = 10480 · 0,56 = 163,75

=−

−=

−−

=15,0104805,0·75,163

1rara

S 177 20796,25

Beraz, guztira 20796,25 € ordaindu dute 7 jabe horiek. 6. Kalkulatu progresio aritmetiko bateko lehenengo 25 gaien arteko batura, a3 = 1

eta a7 = 7 direla jakinda. a7 = a3 + 4d → 7 = 1 + 4d → 6 = 4d → d = 1,5

a3 = a1 + 2d → a1 = a3 − 2d = 1 - 3 = -2 → a1 = -2

a25 = a1 + 24d = -2 + 36 = 34

40025·2

34225·

2aa

S 25125 =

+−=

+=

7. Progresio geometriko batean, a1 = 3 eta a4 = 24 dira. Kalkulatu arrazoia eta lehenengo hamalau gaien arteko batura.

3 3 3 34 1 24 3 8 8 2 2a a r r r r r= ⋅ → = ⋅ → = → = = → =

a14 = a1 · r 13 = 3 · 213 = 3 · 8192 = 24576

=−

−=

−−

=12

32·245761r

araS 114

14 49149

8. Kalkulatu hurrengo segida honetako gai guztien arteko batura: 15; 3; 0,6; 0,12; 0,024; …

Progresio geometrikoa da, a1 = 15 eta = =3 0,2

15r

arrazoia izanda.

r = 0,2 <1 denez, infinitu gaien arteko batura kalkulatu dezakegu:

1 15 15 18,751 1 0,2 0,8aS

r∞ = = = =− −

9. DBHko 3. mailako ikasle batek irailaren 1ean erabaki hau hartu du: hamabost egunez matematika ariketak errepasatuko ditu, egun bakoitzean aurreko egunean baino 2 ariketa gehiago eginez. Badakigu lehenengo egunean ariketa bat bakarrik egin zuela: a. Zenbat ariketa egin beharko ditu irailaren 15ean?

Progresio aritmetikoa da, a1 = 1 eta d = 2 izanik. a15 = a1 + 14d = 1 + 28 = 29 Beraz, irailaren 15ean 29 ariketa egin beharko ditu.

b. Zenbat ariketa egingo ditu guztira? ( ) ( )+ ⋅ + ⋅

= = =1 1515

15 1 29 15225

2 2a a

S

Beraz, guztira 225 ariketa egingo ditu. 10. Euli populazio bateko hasierako kopurua 50 da, eta hiru egunik behin euli

kopurua bikoizten da. a. Zenbat euli izango dira 30 egun barru?

Progresio geometrikoa da, a1=50 eta r=2 izanik. Hiru egunik behin euli kopurua bikoizten denez, a11 kalkulatu behar da: a11 = a1 · r10 = 50 · 210 = 50 · 1024 = 51200 Hau da, 51200 euli izango dira 30 egun barru.

b. Eta 3 hilabete barru? 50 · 230 = 53687091200 euli. Hau da, 53687 milioi baino gehiago izango dira 3 hilabete barru.




11. Progresio aritmetiko batean, badakigu a2 = 1 eta a5 = 7 direla. a. Aurkitu gai orokorra

a5 = a2 + 3d → 7 = 1 + 3d → 6 = 3d → d = 2 a1 = a2 − d = 1 − 2 = −1 an = a1 + (n − 1) · d = −1 + (n − 1) · 2 = −1 + 2n − 2 = 2n − 3 → an = 2n − 3

b. Kalkulatu lehenengo 15 gaien arteko batura a15 = 2 · 15 − 3 = 30 − 3 = 27

( ) ( )1 1515

15 1 27 15195

2 2a a

S+ ⋅ − + ⋅

= = =

12. Progresio geometriko baten arrazoia 3 da, eta hirugarren gaia, 45. Kalkulatu lehenengo zortzi gaien arteko batura.

23 1 1 145 9 5a a r a a= ⋅ → = ⋅ → =

a8 = a1 · r 7 = 5 · 37 = 5 · 2 187 = 10 935

8 18

10935 3 5 32800 164001 3 1 2

a r aSr⋅ − ⋅ −

= = = =− −

13. Kalkulatu hurrengo segida honetako gai guztien arteko batura: 20; 2; 0,2; 0,02; 0,002; ...

Progresio geometrikoa da, a1 = 20 eta arrazoia izanda. Beraz:

1 20 20 22,21 1 0,1 0,9aS

r∞ = = = =− −

14. Eraikin batean, lehenengo solairua lurretik 7,40 metrora dago, eta hortik gora, solairu batetik hurrengora 3,80 metro daude. Progresio aritmetikoa da, a1 = 7,40 eta d = 3,80 diferentzia izanda. a. Zenbateko altueran dago 9. solairua?

a9 = a1 + 8d = 7,40 + 30,40 = 37,80 m. b. Aurkitu n solairua zenbateko altueran dagoen jakiteko balio digun formula

bat. an = a1 + (n − 1) · d = 7,40 + (n − 1) · 3,80 = 7,40 + 3,80n − 3,80 = = 3,80n + 3,60 → an = 3,80n + 3,60

15. Herrialde bateko biztanleria %1 hazten da urtean, batez beste. Gaur egun 3 milioi biztanle dituela jakinda: a. Zenbat biztanle izango ditu 10 urte barru?

3 000 000 · 1,0110 = 3 313 866,376 Beraz, 3 313 866 biztanle izango ditu 10 urte barru.

b. Eta 20 urte barru? 3 000 000 · 1,0120 = 3 660 570,12 Beraz, 3 660 570 biztanle izango ditu 20 urte barru.

2 0,120

r = =




GEOMETRIA. EBAZPENAK 1.

Eskatutako azalera hiru aldiz triangeluarena da. Beraz:

2altueraxoinarria

·3A =

2cm5,13227

23·3

3A ===

2. Azalera:

Aurpegiaren altuera:

cm42,13180h

36144hh126 2222

==

⇒+=⇒=+

Piramidearen azalera:

22 cm08,46214408,322122

42,13·12·4oinarriaazaleraalbokoA =+=+=+=

Bolumena: Oinarria: 12 cm-ko karratua Piramidearen altuera = 12 cm

Piramidearen bolumena: 32 cm57612·1231

H·A31

B ===

3. B = BZILINDROA + BESFERAERDIA Oinarriaren azalera:

222 cm1,1136rA =π=π= BZILINDROA = A · h = 113,1 · 7 = 791.68 cm3

BESFERAERDIA = 3

33

cm39,4522

78,9042

634

2

r34

==π

=π

B = BZILINDROA + BESFERAERDIA = 791.68 +452,39 =1244,07 cm3




4.

4 m-ko altuera duen prisma bat da, oinarria trapezio bat izanik. Trapezioaren altuera:

cm20cm89975,19396h

4400dd220 2222

≈==

⇒−=⇒=+

Oinarriaren azalera:

A = 20·2 + =220·2

40 + 20 = 60 cm2

Edo, formularen bidez: 2m6020

242

A =+

=

Igerilekuaren bolumena: B = A·h = 60·4 = 240 m3

5. Kalkulatu ilunduta dagoen zatiaren azalera:

Eskatutako azalera eta triangeluarena berdinak dira. Beraz:

2altueraxoinarria

A =

2cm25,62

5,122

5,2·5A ===




6. Kalkulatu oinarri karratuak dituen beheko piramide-enbor honen bolumena eta azalera:

Azalera:

Aurpegiaren altuera:

cm58,421h425h5h2 2222 ==⇒−=⇒=+ Trapezioaren azalera:

2cm48,2732,1816,958,4·4258,4·2

2A =+=+=

Edo, formularen bidez: 2cm48,2758,4·

284

A =+

=

Piramide-enborraren azalera: A = alboko azalera + oinarrien azalerak

222 cm42,189641692,1098448,27·4A =++=++= Bolumena:

Piramide-enborraren altuera, x:

cm12,417x421x58,4x2 2222 ==⇒−=⇒=+ Piramidearen altuera, H: Triangeluen antzekotasuna erabiliz:

cm24,8H24

12,4H

=⇒=

Piramide-enborraren bolumena:

=−=−= 12,4·431

24,8·831

x·A31

H·A31

B 22 153,6 cm2

7. Kalkulatu irudi honen bolumena:

Bolumena:

B = BPRISMA + BPIRAMIDEA




Oinarriaren azalera:

Apotema: cm46,312x416x4x2 2222 ==⇒−=⇒=+

2cm57,416·246,3·4

A ==

BPRISMA = A · h = 41,57 · 5 = 205,85 cm3

BPIRAMIDEA = 31

A · h’ =31

· 41,57 · 6 = 83,14 cm3

B = BPRISMA + BPIRAMIDEA = 205,85 + 83,14 = 288,99 = 289 cm3

8. Zilindro itxura duen sukaldeko ontzi batek 21 cm-ko altuera du eta oinarriaren

diametroa 12 cm-koa da. Ontzi horren hiru zazpirenak zopaz beterik daude. Horrelako batean, barrura, 16 cm-ko koilara erori zaigu. Arrazoitu zopak goraino estali duen ala ez. Irudikatu eta arrazoitu.

zoparen altuera:

cm921·73

=

cm58,10112x144256x16h12 2222 ==⇒−=⇒=+ 10,58 > 9 denez, zopak ez du estaliko.

ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. … · DBH3 MATEMATIKA 2009-2010 ikasturtea...

Documents

Transcript of ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. … · DBH3 MATEMATIKA 2009-2010 ikasturtea...