Alicia Dickenstein
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Alicia DickensteinAlicia Dickenstein
Probable menteSemana de la Semana de la Matemática 2005Matemática 2005
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Por qué los casinos ganan siempre?
(sin hacer trampa)
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Cómo tomar decisiones (favorables) sobre hechos que
suceden azarosamente?
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Por qué los casinos ganan siempre? (sin hacer trampa)
Cómo tomar decisiones (favorables) sobre hechos que suceden azarosamente?
Teoría de probabilidades
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Si tiramos una moneda no cargada
p(cara) = p(ceca) = 1/2
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Si tiramos una moneda cargada:
p(cara) = 1 - p(ceca)
p(cara) p(ceca) % caras
1/2 1/2 50
1/4 3/4 25
1 0 100
p 1-p 100 p
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Si tiramos dos monedas no cargadas:
p(2 caras) = p(2 cecas) = 1/4
p(1 cara y 1 ceca) =
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Si tiramos dos monedas no cargadas:
p(2 caras) = p(2 cecas) = 1/4
p(1 cara y 1 ceca) = 1/2
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…
Si hay 3 monedas no cargadas
…
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…
p(3 caras) = 1/8
p(2 caras y 1 ceca)=
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Si hay 3 monedas:
…
p(3 caras) = 1/8
p(2 caras y 1 ceca)= 3/8
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Problema:
• Se tiene una moneda cargada,
con probabilidad p de salir cara y q = 1-
p de salir ceca
• p (y q) son desconocidas
• Cómo usar esta moneda cargada para hacer una apuesta justa
(pareja) entre dos personas?
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(Una) respuesta:
• Se tira 2 veces la moneda sucesivamente, esto es considerado 1 tiro..
• Uno de los jugadores elige: primero cara y luego ceca, el otro elige primero ceca y luego cara.
• Se tira la moneda hasta que salgan 2 facetas distintas en un tiro (doble)
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Por que es una apuesta justa?
p(cara-cara) = p. p = p2
p(ceca-ceca)= q. q = q2
p(cara-ceca)= p. q
P(ceca-cara)=q. p
• Ambos jugadores tienen probabilidad p.q = q.p de ganar
Notar que: p2 + q2 + 2 pq = (p+q)2 = 12 = 1
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Pero…
• Cuál es el número esperado de tiros hasta que salgan dos facetas distintas??
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Respuesta:
• En general, el número esperado E de tiradas para que se produzca un suceso con probabilidad u de suceder,
hasta que suceda es igual a 1/u• Porque:
• E = 1. u + (E+1)(1-u),
• y se despeja • E= 1/u.
• Ya que: o sucede en una tirada, o estamos en el punto de partida nuevamente, salvo que ya “pagamos una tirada”
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En nuestro caso
• La probabilidad de que salgan dos facetas distintas en un tiro (doble) es:
• u = 2 p (1-p)
• Por lo tanto, el valor esperado del número de tiros hasta que salga cara-ceca o ceca-cara es:
• E = 1/ 2 p (1-p)
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Por ejemplo:
p(cara) nro. esperado de tiros
1/2 2
¼ o 3/4 3
1/10 o 9/10 6
1/100 o 99/1000 51
1/1000 o 999/1000 501
1 o 0 (nunca sale ceca o nunca sale cara)
?
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Los favoritos en los deportes
• Supongamos que el equipo argentino es tan bueno que tiene probabilidad de ganarle 7 de cada 10 veces a cualquier otro equipo del mundo, o sea la probabilidad p de que gane cualquier partido es
• p = 7/10
• Cuál es la probabilidad de ganar 4 partidos (octavos de final, cuartos de final, semifinal y
final)?
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Respuesta:
(7/10)4 = 0, 2401
• O sea, la probabilidad de ganar cualquier partido individual es del 70% , pero la probabilidad de ganar los 4 es de menos del 25% (24,01%)
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p1 es la probabilidad de ganar un partidop4 es la corresp. probabilidad de ganar los 4
p1 en % p4 en %
0,5 =1/2 50 0,0625 6,25
0,6 60 0,1296 ~ 13
0,7 70 0,2401 ~ 24
0,8 80 0,40 40
0,9 90 0,6561 ~ 65
~ 0,84 ~ 84 0,5 = 1/2 50
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Para favorecer al favorito:
• Como en la NBA por ejemplo…
• Gana el equipo que gane el mayor numero de partidos entre 3, 5 o 7 partidos disputados entre los dos
equipos !
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En porcentajes (aproximados):
Prob. de ganar 1 partidoX 100
Prob. de ganar al menos 2 de 3 x
100
Prob. de ganar al menos 3 de 5 x
100
Prob. de ganar al menos 4 de 7 x
100
60 65 68 71
70 78 84 87
50 50 50 50
40 35 32 29
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La pregunta indiscreta
• Supongamos que se quiere conocer, por ejemplo, el porcentaje de adolescentes de
menos de 16 años que han probado alguna droga….
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La pregunta indiscreta
• Supongamos que se quiere conocer, por ejemplo, el porcentaje de adolescentes de
menos de 16 años que han probado alguna droga….
• Puede estimarse este valor sin violar la privacidad de nadie?
• O sea, puede obtenerse informacion veraz de la población en general sin tener informacion
veraz de ningun individuo en particular?
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Se entrega al entrevistado una moneda (no cargada) y el entrevistado se compromete a lanzar la moneda en privado
y de acuerdo al resultado:
• Si al tirar la moneda sale cara, responde
• SI,
• cualquiera sea la respuesta verdadera
• Si al tirar la moneda sale ceca, responde
• SI o NO,
• de acuerdo a la verdad.
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Entonces, sin tener ninguna información sobre si un individuo que respondió SI, probó la droga o no, se puede
estimar
% de respuestas SI % de adolescentes que probaron la droga
60 20
65 30
50 0
80 60
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La fórmula es:
• p(SI) = p(SI/ salio ceca) . ½ + p(SI/ salio cara). ½ = = p(SI/ salio ceca) ½ + 1. ½
• p(SI) se estima como
• p (SI) = nro. de respuestas SI/ nro total de entrevistados
• De donde:
• p(SI/ salio ceca) = 2. (p(SI) -1/2)• O bien:
• % de verdaderas respuestas SI = 2 (% de respuestas SI obtenidas – 50%).
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Imaginemos un dado tetraedral...con caras A,T, C, G
TAGAGACGGGGGTTTCACAATGTTGGCCA
Al lanzarlo, se generan secuencias de ADN
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>hg17_dna range=chr17:38464686-38473085 5'pad=0 3'pad=0 revComp=FALSE strand=? repeatMasking=noneATCCAGAAGTCTAGTATACATCTCAAAATTCATGCATCTGGCCGGGCACAGTGGCTCACACCTGCAATCCCAGCACTTTGGGAGGCCGAGGTGGGTGGATTACCTGAGGTCAGGAGTTTAAGACCAGCCTGGCCAACATGGTAAAACCCCATCTCTACTAAAAATACAAGTATTAGCCAGGCATTGTGGCAGGTGCCTGTAATCCCAGCTACTCGGGAGGCTGAGGCAGGAAAATCACTTGAACCGGGAGGCGGAGGTTGGAGTGAGCTGAGATCGTGCTACCGCACTCCATGCACTCTAGCCTGGGCAACAGAACGAGATGCTGTCACAACAACAACAACAACAACAACAACAACAACAACAACAACAACAAATTCTCACATCTAAAACAGAGTTCCTGGTTCCATTCCTGCTTCCTGCCTTTCCCACTCCCCCATATTCCCTACCATGCCTTCTTCATCTAATTTAATATTACTAACAAGATCTATTGTTCAAGCCAAAACCCAAGTGTCACTCCTTCAATTTCTCTTTACCTTATCCTCCAAATTTAATCCATTAGCAAGTCCTCTCTTCAAACCCATCCCAAACCAACCTTGTTTTTAACCATCTCCACACCACCAATTACCACAAGGATAAAATCTGAATTCCTTACCACCAAATACTATGTGATCTGGCCCTCATCTATGACCTTCTCCCATTCCTTGTGTAATCTCTGCCTCCACACATAATTTGCAAATTACTCCAGCTACACTGGCCTATTATTATTATTATTATTATTTTTGAGACGGAGTCTTGCTCTTTCGCCCAGCCTGGAGTGCAGTGGCGCAATCTCAGCTCACTGCAATCTCCGCCTCCTGGGTTCAAGCGATTCTCCTGCCCCAGCCTCCCAAGTAGCTGTGATTACAGGCACATGCCACCATTCCCAGCTAATTTTTTTTTGTTTTTGAGATGGAGTTTCACTCTTGTTGCCCAGGCTGGAGTGCAATGGTGCGATCTCAGCTCACCACAACCTCCACCTCCCGGGTTGATGAAGTGATTCTCTTGTCTCAGCCTCCCGTGTAGCTGGGATTAGAGGCACGCGCCACCACGCTGGGCAAATTTTTGTATTTTTAGTAGAGACAGGGTTTCTACCTCAGTGATCTGTCCGCCTTGACCTCCCAAAGTGCTGGGATTACAGGAATGAGCCACCACACCCAGCCGTGCCCAGCTAATTTTTGCATTTTTTAGTAGAGATGGGGTTTTGCCACGTTGGCCAGGCTGGTCTCAAACTCCTGACCTCAGGGGATCTGCCTGCCTCGGCCTCCTAGAGTGCTGGAATTACAGGTGTGAGCCACTGTGCCCGAACCTTTTATCATTATTATTTCTTGAGACAGGAGTCTTGCTCTGTCGTTCAGGCTGGAGTGCAGTGATGCGATCTTGGCTCACTGTAACTCCTACCTTTCGGTTCAAGTGATTCTCCTGCCTCAGCCTCTGGAGTAGCTGGGATTACAGGCACTGGGATTACAGGCACACACCACCACACCATGCTAGTTTTTTGTATTTTTAGTAGAGATGGGGTTTCACCATGTTGGCCAGGCTGGTCTCGAACTCCTGACCTCAAGTGATTTGCCTGCCTTGGCTTCCCAAAGTGCTGGGATTATAGGCACGAGCCACCACACACGACCAACATTGGCCTATCTTTTAAAAAATAAACCAAGCTCTGGCCGGGCACAGTGGCTCACACCTGTGATCCCAGCACTTTGGGAGGTTGAGGTGGTTGGATCACTTGAGTTCAGGAGTTTGAGACCAGCCTGACCAACGTGGTAAAACCCCATCTCTACTAAAAATAAAAACTAGTCGGGTGTGGTAGCACGCGTGCCTGTAATACCAGCTACTCAGGAGGCCAAGGCAGGAGAATTGCTTGAACCCAGGAGACAGAGTTTGCAGTGAGCCAAGATTGTGCCACTGCACTCCAGCCTGGGGGATAGAGGGAGACACCATCTCAAAAAAACCAAAATACAGAAATCAAAAAACCACACTCATTATTACCTCAAGACCTTTATGTTTGCTATTCCTCTGCCTATAAGATGCATTCCCTTCATTTTTCAAGGACAATTATTTCTTGTTATTTAGGTCTCAGCTCAATTTTTTCAGAAAGGCTTTCCCTGGCCTCCTTAAACGAAAGTAATCAACAACCTTTGACAGCTAATACTATTCCACTGTTCTGTATATTTCTCCATAGCATTTATTGTTATCTTAAATTCATCTTTATTGTGTATCTCCCCTCGACAGAACCTGAATCCTACCAGGGACTTAGTTAGTCTTATTTACTGTTGCATTCCTAGTGCCCAGAACACAGTAGGCTCCCAATAAATAGCCACTGAATAAAAGTTAAAACCAACAAAAATAATCATTTAATTAATTATGAATACATCGAATTGTGCACAATAGTTTATAAAATTACTTTTTTTTTTTTTTTAAGACAGGGTCTCATTCTGTCTCACAGGCTGGAGTGCAGTGGTGCAATCTAGGCTCACTGCAACCTCCGCCTCCCGGGTTCAAGTGATTCTCCTGCCTCAGCCTCCCCAGCAGCTAGGATTACAGGCACATGCCACCACGCTCGACTAATTTTTTTGTGTTTTTAGTAGAGACAAGGTTTCACCATGTTGACCAGGCTGGTCTCGAACTCCTGACCTCAAGTGATCCACCTGCCTTGGCCACTCAAAGTGCTGGGATTATAGGCATGAGCCACCACGCCTGGCCTATAAAATTACTTTCACATTTCATTTTGCCTGATCTGTTGTCACAGAAGTTCTCAGATGGCTGTTCTGAAATTATTCCTCCTCCTACACTCTATCTTATTTACTTCTCACTGTTCTCAGTATCATAAAGTGCAACATCTTTTTGAAGCAATCTGAATTATAAACAGATACATTTGCATGTATATATATGTATATATGCATATGCACACACACACTTTTTTTTTTTTAAGAGACAGGGTCTTGCTCTGTGCAAGTGCAAGAGTGCAATGGTATGATCATAGCTCACTGCAGCCTTGAACTCCTGGGCTCAAGTGATTCTTCTGGCTTAGCTTCCTCAGTAGCTAAGACTACAGAAGCACACTGCCATGCCCGGCTAATTAAAAAAAAATTTTGTGGAGACAGAGTCTCACTATGTTGCCCAGGCTGGTTTCAAACTCCTGGCCTCAAGTAATCTTCCTGTCTCAGCCTCCCAAAGGGCTGAGATTATAAGTGTGAGCCACTGCATCTGGACTGCATATTAATATGAAGAGCTTTTCTTCAACAACAGTGAACAGTTTTCTACAAAGGTATATGCAAGTGGGCCCACTTCTTGTTCTTATGAATCTTTTCTTTCCTTTTATAAAACTCCTTTTCCTTTCTCTTTTCCCCAAAGAAAGGACTGTTTCTTTTGAAATCTAGAACAAATGAGAACAGAGGATATCCTGGTTTGCGCTGCAAAATTTTTTTTTTTTTTAAGACGGAGTCTCGCTCTGTTGCCAGGTTGGAGTGCAGTGGCACGATCTTGGCTCATTGCAACCTCCACCTCCCGGGTTCAAGAGATTCTCCTGCCTCAGCCTCCTGAGTAGCTGGAACTAAAGGCGCATGCCACCACGCTGAGTAATTTTTTGTATTTTAGTAGAGACAGGGTTTCACCATGTTGCCCAGGCTGATCTCGAACTCCTGAGCTCAGGCAATCTGCCTGTCTTGGCCTCCCACAGTGTTAGGATTACAGGCATGAGCCACTGCACCCGATTTTTTTTTTCTTTTGATGGAGTTTTGCTCTTGTTGCCCAGGTTAGAGTGCAATGATGCGATCTCAGCTCACTGCAACCCCCGCCTCCCAGGTTCAAGTGATTCTCCTGCCTCAGCCTCCCGAGTAGCTGGAATTACAGGCAAGTGCCACCAAGCCCGGCTAATTTTGTATTTTTAGTAGAAACGGGGTTTCTCCATGTTGGTCAGGCTGGTCTTGAACTCCCGACATCAGGTGATCCAAGCGCCTCAGCCTCCCAAAGCGCTGGGATTATAGGTATGAGCCACAGTGCAGGCCTGCATAATTCTTGATGATCCTCATTATCATGGAAAATTTGTGCATTGTTAAGGAAAGTGGTGCATTGATGGAAGGAAGCAAATACATTTTTAACTATATGACTGAATGAATATCTCTGGTTAGTTTGTAACATCAAGTACTTACCTCATTCAGCATTTTTCTTTCTTTAATAGACTGGGTCACCCCTAAAGAGATCATAGAAAAGACAGGTTACATACAGCAGAAGAACGTGCTCTTTTCACGGAGATAGAGAGGTCAGCGATTCACAAAAGAGCACAGGAAGAATGACAGAGGAGAGGTCCTTCCCTCTAAAGCCACAGCCCTTTAATAAGGCTTGTAGCAGCAGTTTCCTTCTGGAGACAGAGTTGATGTTTAATTTAAACATTATAAGTTTGCCTGCTGCACATGGATTCCTGCCGACTATTAAATAAATCCCTAGCTCATATGCTAACATTGCTAGGAGCAGATTAGGTCCTATTAGTTATAAAAGAGACCCATTTTCCCAGCATCACCAGCTTATCTGAACAAAGTGATATTAAAGATAAAAGTAGTTTAGTATTACAATTAAAGACCTTTTGGTAACTCAGACTCAGCATCAGCAAAAACCTTAGGTGTTAAACGTTAGGTGTAAAAATGCAATTCTGAGGTGTTAAAGGGAGGAGGGGAGAAATAGTATTATACTTACAGAAATAGCTAACTACCCATTTTCCTCCCGCAATTCCTAGAAAATATTTCAGTGTCCGTTCACACACAAACTCAGCATCTGCAGAATGAAAAACACTCAAAGGATTAGAAGTTGAAAACAAAATCAGGAAGTGCTGTCCTAAGAAGCTAAAGAGCCTCAGTTTTTTACACTCCCAAGATCAATCTGGATTTATGATTCTAAAACCCCTGGTGACAGAATCAGAGGCTGAAAACACCACTAATTATAACCAGCAGGTATGGATATTTGGAAGTCTAGGGGAGGCTGATATGAAGTTAAGACCAGAGGAAATATCTGTCCACTCCCTCTTCTCAACACCCATCTTCTAGACGCCAAGGCTAGCTATAGATCTCCATTATAGTGTTCAAGGAATTAGGAATTATCCATGTCAATAGTTTTGATTAATGTGGACGGAGAACATCTATATTACTAGATGGCAATATGTGAAAGAAGAAAACAGTATTGTTGAAAACCTAAATCTGAAATGTCAATGTAATGACAAATTTTCACCCCTAGAATGTCTACCTGGGGAGTCCTAACCCTCTAATATTCCCCTGAGAGGGATGGGAGAATACAGTGCAGAGCTTTTATATAAGTATTTCAGAAAGCAGTAGCTAAAGAATCACTTGTTTATTTCCCAGTGTTTCAAAGGCCCTTCTGAAGAACTAAGCAAACTAAGGAAAGACCATTTAGTTTTAAACAGGAGAAATGTATTTAACTAAATCCTAAACACAGCAGGCTATCTGCAAGCAGCAGCAGCAGCAGCAGCCATGCTCCCTCACAGAATCCTTACAATTTTTGAAGTTTTTTGTTTAACTGCTACAAAAGCCGATTTAGTAACATTTATTACACTTAAAAACTTCAGTTCATTTGTAGTTCAAAGCAAATGTATTGGCTTTGAGTTTAAAGACTGAACTACTTTAGATTTGATTTGCATTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTGAGATGCAGTCTTGCTCTGTCAGCCAGGCTGGAGTGCAGTGGCTGGATCTCAGCTCACGGCAAGCTCTGCCTCCTGGGTTCATGCCATTCTCCTGCCTCAGCCTCCTGAGTAGCTGGGACTACAGATGCCCGCCACCATGCCCGGCTAATTTTTTGTATTTTTACTAGAGATGGGGTTTCACCGTGTTAGCCAGGATGGTCTCGATCTCCTGACCTCGTGATCTGCCCGCCTTGGCCCCCCAAAGCGCTGGGATTACAGGCCTGAGCCACCACGCTTGGCATCTTTTTACCTTTCATTAACTTTGATGCAAACCTATAGCTTAAGGTATCTTAAACTTTAATGACATTTTTCTCTAAAATAGTAGTTTGTAATAACTTGTTCTGGCACCTGGCTCCAATGAACACTACCCTCTGACCCTGTGGTATAATTTTCATGAGTAAGTGGAAACCTAAGATCTTAGAAGTTCAACGGCAATGTGTCCAAGGGGTTTAGATCCTCTCCTTAAGTGCCTGTATCTCTGTGAAAAGAATCATCATAGGCTAGGCGCGATGGCTCACACCTGTAATCCCAGCACTTTGGGAGGCCGAGGTAGGTGGATCACCTGAGGTCGGGAGTCCAAGACCAGCCTGACTGACATGGAAAAACCCTGTCTCTACTAAAAATACAAAATTAGGTATGGTGGTGCATTCCTGTAATCCCAGCTACTCGGGAGGCTGAGGCAGGAGAATCGCTTGAACCCGGGAGGGGGAGGTTGCAGCAAGCCAAGATCGTGCCATTGCACTCCAGCAGCCTGGGCAACAAGAGTGAAAAACTACACCTCAAAAACAAAAACAAAAACAAAAGAATCATCATCAAGTGAACTGGAACACATCCAGAGAACTAATTTTGTTAGAAAGATTTTAGAGTTGAGCCACACAATCTGCATCTTCTGCGTCCTCCATGCACTCGTCTGCTTTCTGGAGCCCCATGAGTGAGTCTTAATCCTGTTCCAGATAACAGTTCTCTTCCGGGTAACGGTTCTTCAGATACTTGAAGACAGTGTCTTATTTCCTTAAATCTTCTCATTTCTTCTTCAAAAGACAGTATTTCAAGTTACTTTTATGTATCTTTACCATCTACCTCTGGATAAACACTCTCCAATTTGTCAGTGACCATGTTAAAAACCAAGCACGGTGCTTAAAACTGACATCATCTTTCAGGCAATCACTCCATTGGAGAATACAGTGGGGCTCTGGATCTGTACTTCACTTGCTCCAGAGCCTCTGCTTGTGTTAATACGGCCCAGTTTCAAATAAGCATTTTTAGCAGCCCTGAAATGTGTACTCAGATTTAGTTTATAGTCAACTAAAAACACCCAGAGGTCTCCTGTATTACACAAGTTATAATTAAAACCTTAAAAGAGAAAGGTATAGGACAAATGATCTGTCTCCTCCCTTTTTTGCTTTTTCATATGTTAAGACTATCTCGGAGCTGTTATCAGACTTTTTTCCTGAAAAACTCTCAACAATACTCAAACTAGGTGTTACATGAAGCTGGGGTCTCCAGGTTTTGCCTCACTTGTTCTTTCTTTTGTTGTTGTTGAGACAGAGTCTCACTCTGTCGCCAGGCTGGAGTGCAGTGGCAGGATCTCAGCTGACTGCAACCTCAGCCTCCAGAGTTCAAGCAATTCTTCTGTGTCAGCCTCCCAAGTAGCTGGGATTACAGGTGCACACCACCACGCCCAGCCA
![Page 31: Alicia Dickenstein](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062309/56815a95550346895dc813c5/html5/thumbnails/31.jpg)
La secuencia de 42 bases
TTTAATTGAAAGAAGTTAATTGAATGAAAATGATC
AACTAAG
![Page 32: Alicia Dickenstein](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062309/56815a95550346895dc813c5/html5/thumbnails/32.jpg)
La secuencia de 42 bases
TTTAATTGAAAGAAGTTAATTGAATGAAAATGATC
AACTAAG
Está presente en el genoma de 10 vertebrados:Hombre, chimpancé, ratón, rata, perro, pollo, rana, pez, cebra, pez fugu, tetraodón
![Page 33: Alicia Dickenstein](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062309/56815a95550346895dc813c5/html5/thumbnails/33.jpg)
En: “The Mathematics of Phylogenomics”Lior Pachter and Bernd Sturmfels
http://arxiv.org/abs/math.ST/0409132
Ver también el libro: Algebraic Statistics for Computational BiologyCambridge University Press, 2005
• La probabilidad (de acuerdo al modelo de evolución de Jukes-Cantor) de que
esto haya ocurrido por azar es aproximadamente igual a:
10 -50 = 0, 0……..01
(50 cifras decimales)
![Page 34: Alicia Dickenstein](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062309/56815a95550346895dc813c5/html5/thumbnails/34.jpg)
Conjetura:
Esta secuencia de 42 bases estaba en un ancestro común a todos estos vertebrados
![Page 35: Alicia Dickenstein](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062309/56815a95550346895dc813c5/html5/thumbnails/35.jpg)
TAGAGACGGGGGTTTCACAATGTTGGCCA
Muchas gracias por venir!
![Page 36: Alicia Dickenstein](https://reader036.fdocuments.mx/reader036/viewer/2022062309/56815a95550346895dc813c5/html5/thumbnails/36.jpg)
Agradecemos a Agradecemos a Lior Pachter y Bernd SturmfelsLior Pachter y Bernd Sturmfelspor autorizarnos a reproducirpor autorizarnos a reproducir
la figura de su personajela figura de su personajeDiaNADiaNA
creado para su libro:creado para su libro:
Algebraic Statistics for Computational Biology
Cambridge University Press, 2005