ALGUNOS PROBLEMAS DE DECISION CON UN CONOCIMIENTO

PARCIAL DE LAS UTILIDADES *

Miguel Martin Diaz Departamento de Estadfstica Matemdtica Universidad de Valladolid.

Resumen:

En este trabajo se consideran algunos modelos de decisi6n cuando

se sabe, solamente, que las utilidades satisfacen ciertas desigualdades

lineales. E1 problema es hallar las condiciones que deben cumplir las

probabilidades para poder tomar una decisi6n, adoptando como criterio de decisi6n el de la esperanza matemfitica. Algunos problemas de este tipo han sido estudiados en Ref. 1.

Se dan condiciones no explicitas en el caso general y explfcitas

para algunos casos particulates. Por ejemplo, se dan condiciones

explfcitas, para tas probabilidades, cuando es conocido un orden parcial entre las utilidades.

lntroducci6n al problema.

Vamos a considerar el siguiente modelo de decisi6n:

Un espacio finito de decisiones A~, A 2 , . - - , An

* Recib ido Enero, 1974.

57

Un espacio de consecuencias (CI , C 2 , - . - , Cn)

Una funci6n de utilidad definida sobre el espacio de consecuencias.

Escribiremos ui = u (Ci).

Llamaremos u al vector de utilidad: ( u l , u2, � 9 , Un).

Una matriz P ( m x n) de elementos Pi/, tal que se verifica:

t l

pij ~ O ~, pi/ = 1 i--i

Pij es la probabilidad de que se siga la consecuencia C~ cuando se toma

la decisi6n Ai .

Consideramos como criterio de selecci6n entre las decisiones, el

de la esperanza matem~itica, es decir:

n n

A i ~ A k r ~, u j P i / ~ ~, UjPkj /=l /=l

Si u y p son conocidos se puede hallar, evidentemente, una deci-

si6n 6ptima.

Si el conocimiento que tenemos de u es, solamente, que pertene- ce a un cierto conjunto U de valores posibles, se puede plantear la

siguiente cuesti6n:

hC6mo ha de ser P?. Para que con dicho conocimiento se pueda

tomar una decisi6n, concretamos: ~c6mo ha de se rP para que exista A/

tal que se verifique A / > t A i i = 1, �9 �9 �9 m para Vu E U?.

A partir de ahora, por abreviar los c~lculos, consideraremos sola-

mente dos acciones A ~ A 2 y estudiaremos las condiciones bajo las

cuales se puede asegurar A 1 >~ A 2 para Vu E U.

Algunos tipos de problemas en este sentido pueden verse en

(ref. 1). Enumeraremos tres de ellos.

Tipo 1.

Es conocido un orden total en C~, C 2 , - - . , Cn ;por ejemplo:

u t ~>u2 ~>u3 > / . �9 �9 >~u,,

58

De este problema se da la soluci6n explfcita en (ref. l) prig. 204.

Tipo 2.

Si la condici6n ul >~u2 >~...>lUn no es suficiente para tomar una decisi6n, un conoc imien to mris preciso consiste en o rdenar diferen- cias entre:

a) Valores ui consecutivos. Por ejemplo:

n = 5 u~ --u2 >~u4 --Us>~U2 --u3 >~u3 --u4 >lO

De problemas a) se dan soluciones explfcitas en (ref. 1) prig. 6., asf

como de diferencias de orden superior entre diferencias consecuti- vas, por ejemplo:

( u i - u 2 ) - - ( u 4 - - u s ) > t ( u 4 - u s ) - ( u 2 - u3 ) >~

>1(u2 - - u a ) - - ( u 3 --u4)>~O

b) ui cualesquiera, sin que sean consecutivas en el orden inicial, por ejemplo:

n = 5/x I - - N 3 ) U 2 - - U 4 ~ U 3 - - U 5

Problemas b) estrin p lan teados en (ref, 1) prig. 209. Se dan condi- ciones suficientes pero no necesarias.

Tipo 3.

Es conocido un orden parcial entre las C/; por ejemplo:

1"l = 5 Ul ~ U3 ~ U 5 / , t 2 ~ U 4 ~ U 5

Condiciones no explfci tas de P estfin dadas en (ref. 1) prig. 215.

Planteamiento del problema.

Vamos a plantear un p rob lema que generaliza los anteriores.

Dado (bil bi2 . . . . . b i n ) E R n, /,c6mo ha de ser P para que se verifique A1 ~>A2 para V u que verifique:

n (1) ~. uj bi j~ 0 i = 1,2 . . . . . r

J=-i

59

Si Lies la forma lineal definida por (bil . . . . . bin) escribiremos (1)

abreviadamente asi: Li (u)>~ 0

Este problema generaliza, evidentemente, los anteriores.

Bas~indonos en un teorema de Farkas, vamos a dar una soluci6n

al problema planteado. Despu6s, mediante un teorema m(ts preciso, daremos soluciones explfcitas a algunos problemas particulates.

Teorema 1 . - ( d e Farkas-Minkowski )

Hip6tesis.

E es un espacio vectorial de dimensi6n finita.

L, L I , L2 . . . . . Lp aplicaciones lineales de E en R.

Tesis.

Una condici6n necesaria y suficiente para que sea cierta la impli- caci6n siguiente: Li(x).>~O i= 1 . . . . . r ~ L ( x ) > ~ O , x E E , e s q u e

existan K1,K2 . . . . . Kr>~ 0 Ki E R tales que se verifique:

u

L = X Ki Li i--1

Una demostraci6n puede verse en (ref. 3) p~ig. 284.

Antes de aplicar este teorema al problema de decisi6n, vamos a

establecer algunas anotaciones:

Pi es el vector (1911 P 1 2 . . . . . Pro)

P2 es el vector (P2x P22 . . . . . P2n)

d = p l - - p 2 ; P l / - - P 2 i = d /

n n

E ( A I ) = ~ u~ p l / ; E ( A 2 ) = ~, ui P2i ]=1 /=1

n E ( A I ) - - E ( A 2 ) = Y-, ( p l / - - p 2 / ) u i = u . d

i=1

Sea L la forma lineal definida por d y Li i = 1 , . . . ,r, la forma

lineal definida por (bil . . . . . bin).

60

Teniendo en cuenta que A1 >~A2 "~,L (u)>~ 0, aplicando el teore- ma 1 a l a s formas lineales L, Li, resulta:

Teorema 2.

Una condici6n necesaria y suficiente para que sea A~ t> A 2, para

todo u que satisfaga (1): L i (u) >~ 0 i= 1 , . . . ,p, es que existan K~,K2 . . . . . Kr >>- 0 tales que se verifique:

r

L = ~. Ki L i i=1

Aplicando este resultado a los problemas Tipo 1, Tipo 2, Tipo 3, tenemos:

Tipo 1.

UI >~U2>>~...>~Un L i = u i - - U i + l i = 1 . . . . . n - - 1

A ~ >i A 2 "* existen K1, �9 " �9 Kn-i >1 0 tales que se verifique:

n - I

ul dl +u2 d2 + . . . . . +un dn = Z (u x - -u i+ l )K i i=l

identificando, se obtienen las condiciones ya obtenidas en (ref. 1):

d l ) O dl + d 2 ~ O dl + d 2 +da~>O,

dx -F d2 4- . . . . . + dn_ 1 ~ 0

Tipo 2.

Aplicando al apartado a) se obtienen condiciones ya obtenidas en (ref. 1) y la soluci6n al problema b) es:

u ~ > l u 2 1 > u a t > u 4 1 > U s u l - - u 3 1 > u2 - - u 4 1 > ua - - Us

L 1 = u I - - u 2

L 4 = u 4 - - u 5

L 6 = u 2 ~ u 3

L2 = u 2 - - u 3 L3 = u a - - u 4

Ls = u l - -u2--u3 +u4

- - / / 4 -]-/-/5

Entonces se plantea:

61

u l d I + u2d 2 d- uad a + u4d 4 q- usd s = K1 (ul --U2) "~

+ K2 (u 2 --l.13 ) ~t. Ka (u3 - - u 4 ) + 1s (u4 - - u s ) +

+ K s (ul - -u2 - - u3 + u4) + K6 (u2 --U3 --U4 "~- 13 5)

Entonces, por igualaci6n, se podrfan calcular las condiciones a

que deben satisfacer las di para que existan K 1 , - - - , K6 ~ 0 que satisfagan la igualdad anterior.

Mils adelante daremos la soluci6n explfcita de este problema.

Tipo 3.

En este caso se plantea:

Uldl -t- u2d2 +u3d3 +/,/464 +usd5 = K1 (ul - - u 2 ) +

+ K2 ( u 2 - - u 4 ) + Ka (u3 - - u 4 ) + K4 (u4 - - u s )

Cabe hacer el mismo razonamiento q u e e n el caso anterior. Estas

condiciones son las obtenidas, por un m6todo directo, y en el caso

general, en la mencionada referencia 1.

Daremos despu6s la soluci6n explicita del problema general,

aplicando el teorema siguiente:

Teorema 3.

Bajo las mismas hip6tesis del teorema 1, una condici6n necesaria

y suficiente para que sea cierta la implicaci6n siguiente: Li (x)>1 0

i = 1 , . - . , r =~ L(x)>~O, x E E (dimensi6n n), es que existan K1,

K2, �9 - �9 Ks >1 0 s <<, r y L1, L2, . �9 �9 , Ls, formas linealmente indepen- dientes tomadas entre las f6rmulas LI, L 2 , . . . , Lr, tales que se veri-

fique: s L = E KiLi

i=1

Demostraci6n.

Es una consecuencia inmediata del teorema de Farkas y del

siguiente lema:

62

Lema.

Si x, x ~ , x 2 , . . . , Xr son elementos de un espacio vectorial de

dimensi6n finita y

r

X = ~ K i x i i=1

K i>lO existen K]>~' 0 x i' i = 1 , . - . , s s~<r los x i' independientes y

tornados de los x~, x 2 , . ' ' , Xr tales que se verifica:

$ t t

-~ - - g ~ x i x i=1

Este es un resultado conocido. Expresa que un cono engendrado pot un ntamero finito de vectores se puede descomponer en la uni6n de conos simples (engendrados por vectores independientes).

E1 teorema resulta, ahora, como aplicaci6n inmediata del lema

al teorema 1. Basta considerar el espacio vectorial de las formas lineales. Aplicando este teorema al problema de decisi6n planteado, se obtiene:

Teorema 4.

Una condici6n necesaria y suficiente para que sea A~ >~A2 para

Vu que satisfaga ( 1 ) L i ( u ) > 1 0 i = 1 , . . . , r es que existan Kl , K2 , - -

�9 �9 Ks >1 0 s <, r y L i i = 1 , . �9 �9 , s formas linealmente independientes tomadas de entre los L I , L2, "" " , Lr tales que se verifique:

$

L = 2 K i L i (2), i = 1

siendo L la forma lineal definida por d.

Observamos que al ser L i e n (2) linealmente independientes, la

soluci6n en Ki es flnica. Entonces para hallar las condiciones explicitas

alas que debe satisfacer d para asegurar A 11> A 2, se puede proceder asf:

Buscamos las submatrices no singulares de B de orden (n x n)

(si r>~n, en caso contrario las de orden r x r). Cada una de elias pro- porciona n formas linealmente independientes y con elias planteamos (2), que es: o incompatible o con soluci6n flnica.

63

Si una submat r i z de o rden n x n es singular, buscamos submatr ices

no singulares de ella que no sean a la vez submatr ices de matr ices

no singulares de orden n; po rque al p lan tear el sistema (2) corres-

pond ien t e dar ia o incompa t ib le o una soluci6n ya encont rada . En

par t icular si t o m a m o s las matr ices de o rden n (o todas las de orden r

en el caso r < n ) son no singulares, no hace falta cons iderar las

matrices de 6 rdenes inferiores.

Entonces , una condic i6n necesaria y suf ic iente para poder ase-

gurar que A ~ > A 2 es que exista una mat r iz no singular, ob ten ida por

el p r o c e d i m i e n t o indicado, que p r o p o r c i o n a un sistema (2) con solu-

ciones K l, . . . , Ks >lO.

La ventaja de uti l izar (2) en vez de (1) es que los sistemas (2)

dan soluciones flnicas (si son compat ib les ) y pe rmi t en dar condi-

ciones expl fc i tas e n d .

Vamos a v e r es to aplic~indolo al caso de un orden parcial y despu6s

a un caso par t icu lar de o rden def in ido en t re diferencias de uti l idades.

Problema de decisi6n c u a n d o es c o n o c i d o un orden parcial en el

espacio de consecuencias .

Supongamos que las ut i l idades u l , u 2 , - . . , Un sat isfacen condi-

ciones dadas po t un o rden parcial, al que le asociamos un grafo de

v6rtices c~, c 2 , ' . ' , cn Y arcos (ci c / ) cuando ui >~u/ (siendo ui u/

consecut ivos en el orden) . Por e jemplo n = 5

u l ~ u2 >~ us

u 4 ~ u 5 c~

U 3 ~ U 2 ~ U 4

E1 grafo co r r e spond ien te viene da-

do po t la figura 1. c2

Recordamos algunas def in ic iones re-

lativas a la t eo r f a de grafos.

Un subgrafo de un grafo, es un gra-

fo fo rmado por todos los v6rtices de Cs

aqu61 y un s u b c o n j u n t o de sus arcos.

C 3

/ / . C 4

F i g u r a I

64

Un grafo parcial de un grafo, es un grafo fo rmado por un sub-

c o n j u n t o de vertices de aqu61 y los arcos que los unen.

Un firbol es un grafo c o n e x o y sin ciclos.

Dado un grafo G, dec imos que A es un firbol de G si, ademfis de

ser un firbol es un subgrafo de G. Desde luego G ha de ser c o n e x o .

Por e jemplo, un ~irbol de grafo de la figura 1, es la figura 2.

Cl

C2

C5

C3

c4

Figura 2

CI

/ / C2

Figura 3

C3

Dado un firbol y un arco i, de A, al suprimir i quedan descolgados

de A dos ~irboles; l l amaremos A (i) a aqu41, de esos dos firboles, que

est~i f o r ma do por los v6rtices super iores (en el orden de f in ido) a i.

De o t ro modo : la f lecha del arco i es saliente de A (i). Por e jemplo ,

si i = (c2 cs ) en el firbol an te r io r A (/) es el ~irbol de la figura 3.

Teorema 5.

Si u~ ,u2 , u 3 , . - . , U n sat isfacen un orden parcial, dado por un

grafo c o n e x o G, la cond ic i6n necesaria y suficiente para que sea

A 1 ~ A 2 para todos los valores de ua, u 2 , . . . , un que satisfagan d icho

orden parciat es que exista un firbol, A, de G, tal que, para t o d o

arco i, se verifique:

i EA (i)

Demos traciOn.

La apoya remos sobre el t e o r e m a 4 y el siguicnte.

65

L e m a .

Si A es un ~rboi de v6rtices: u l , u 2 , . . . , un Y arcos ( u i u / ) ,

siendo Lk = u i - - u / K = 1 , . - - , n - - I , se verifica:

n n - I

Z d i u i = Z ( Z d ) L k i=1 k = l l E A ( k )

La demostraci6n puede verse en ref. 2, p~g. 245.

Teniendo en cuenta las observaciones hechas al teorema 4, apli-

cando el lema, resultar~ demostrado el teorema, si demostramos que

todas las matrices de orden n - - 1 no singulares, son las correspon-

dientes a los arboles.

Entonces, si una matriz es singular y de orden n - - 1 , tiene ciclos

y las submatrices de orden inferior no singulares ser~n las proporcio-

nadas por ~irboles parciales de los ~irboles de orden n - - 1 ; que, por

ello, no afiaden condiciones nuevas.

Entonces, supongamos que A es un ~irbol y L a , . . . , Ln - i las

formas lineales asociadas a A . L k = ui - - u i. Si (ui u]) es un arco de A.

Supongamos que fuera K ~ L l + . . . + Kn_xLn-1 = 0; A tiene un v6rtice

colgante; es claro que la forma lineal correspondiente al flnico arco

que contiene a dicho v6rtice ha de venir multiplicada por un Ki = O.

Suprimiendo dicho arco, y razonando de un modo an~ilogo en el ~rbol

parcial que queda, y asf sucesivamente, se obtendrfa K~ = K2 . . . . .

= Kn-~ = 0; por 1o tanto L1, L2 , �9 �9 � 9 Ln-~ son linealmente indepen-

dientes.

Supongamos ahora que A es un grafo que contiene un ciclo.

Sean L x, L 2 , . . . , Lr las formas lineales correspondientes a los arcos

que forman el ciclo.

Evidentemente, existen 5i i = 1, �9 �9 �9 r en donde 5i = + 1 segfin

el sentido del arco tales que es:

r

]~ 6 i L i = 0 i = I

Esto quiere decir que La, L 2 , . . . , Lr son linealmente depen-

dientes. Con esto queda demostrado el teorema.

66

Este teorema corrige un enunciado incorrecto (Io referente a la condici6n necesaria del teorema de la p~ig. 246 de Ref. 2). En dicho

enunciado se dice "para cualquier ~rbol" y lo correcto es: que exista

un ~rbol.

Apl icac idn 1.

Supongamos u 1 >~ u2 >~ . �9 �9 >t Un. En este caso el orden viene dado por un firbol. Descolgando sucesivamente todos los arcos y aplicando

el teorema se obtienen las condiciones ya conocidas:

dl>~O d a + d 2 > ~ O . . . d l + d z + . . . + d n _ l > ~ O

E j e m p l o 2.

Ul ) /12 ) U3 124 ) /'/3 U4 ) U2

E1 grafo correspondiente es el representado en la figura 4.

Considerando el ~rbol que re- cl

sulta al suprimir ( c4c2) se obtiene:

d 1/>0 d l + d 2 > ~ O d41>0 (a)

Considerando el ~rbol que re- c~

sulta al suprimir (CaCa) se obtiene:

d 11>0 d 1 + d 4 > 1 0 d4I>0 (b)

Considerando el ,Srbol que re-

sulta al suprimir ( c2c3) se obtiene: c3

d 1>/0 d a + d 4 ~ O d l + d 2 + d 4 ~ 0 ( c )

C4

Figura 4

Entonces para poder asegurar que A a ~> A 2 es necesario y suficien- te que se verifique alguna de las condiciones (a), (b), (c).

Supondremos ahora que el grafo tiene varias componentes conexas.

Teorema 6.

Si Ul, u2, �9 �9 �9 Un verifican un orden parcial, dado por un grafo G

de componentes conexas G~, G 2 , . . . , G~c, la condici6n necesaria y

suficiente para que se verifique A ~ > ~ A z para todos los valores de

67

u l , u 2 , . . . , u,, que satisfagan dicho orden parcial, es que verifique:

a) Z di=O j = 1 , . . . , K ~Ea i

b) para V j = 1 , 2 , - - . , K se tenga A ~ > A 2 en el problema

restringido a G i. En efecto, supongamos, sin p6rdida de generalidad, G~

formada por c l , c 2 , . . . , c r . Se tiene:

n Z d i u i = ~ u i d i + Z u i d i = d ~ ( u l - - u 2 ) +

i=1 i E G 1 l E G 1

+ (d l + d2) (u2 - - u a ) + �9 �9 " + (d l + d2 Jr" . . �9 -t-

+ d r - 1 ) ( u r - l - u r ) + ( d 1 + d 2 + - ' " + d r )Ur + ~ d i u i i ~ r

Supongamos que fuera d l + d 2 + " - + d r > O .

Tomando Ul = Uz . . . . . ur = - - 1 Ur+l . . . . un = 0 (valores

compatibles con el orden) se tendr/a: A2 > A~.

Si se verifica d ~ + d 2 + . . . + d r < O . T o m a n d o Ul=U2 . . . . .

= U r = 1 ur+l . . . . . Un = 0 , se tendria A 2 > A 1 .

Esto demuestra a).

Anfilogamente razonamos b):

Si no es posible decidir, dado d, A~ >~Az en el problema restrin-

gido a G~, tomando ur+l = Ur+z = un = 0, tampoco es posible decidir

que A~ >~A2 en el problema general.

Finalmente vamos a aplicar el teorema 4 a un problema del tipo 2.

Supongamos:

Ul • U 2 ) U 3 ) N 4 ; U l - - U 3 ) U 2 - - U 4

Las formas lineales son:

L 1 -= u 1 - - u 2 ; L 2 ---- (U 2 - - U 3 ) ; L 3 -= (u a - - 1 , / 4 ) ;

L4 = ( u l - - u a - - u 2 - - u 4 )

No son linealmente independientes, pues:

L4 = L 1 - La

68

a) L1, condiciones

Consideremos los casos:

L2, L3, son linealmente independientes. Se obt ienen las ya conocidas:

d l / > 0 d l + d 2 ~ > 0 dl+dz+d3>~O

b) L 1, L 2, L4, son l i nea lmen te independientes :

u l d I + u 2 d 2 + u 3 d 3 + u 4 d 4 = K 1 (U 1 - - U 2 ) "t- K2 (u2 - - u3 ) +

+ K 3 ( u l - - u 2 - - u 3 + u 4 ) que da:

d4 ; Ka = d4 K z = d l + d 2; K 1 = d l -

y las condiciones son:

dl + d 2 ~ O d l - - d 4 ~ O d 4 ~ 0

c) L1, L3, L4, son linealmente dependientes; pero si considera- mos (L1L3) (LIL4) (L3L4) las condiciones estarfin comprendidas en las obtenidas en los casos (LIL2L a) (LIL2L4) (L2L3L4) respecti- vamente.

d) L~, L3, L4, son linealmente independientes:

Uldl + u2d2 + u3d a + u 4 d 4 = K 1 (u2 - - u 3) +

+ K2 (Ua--U4) + K3 (ul --u2--ua + u4) ;

K1 = dl + d2 K2 = dl- -d4 K3 = dl

y las condiciones obtenidas son:

d l > / 0 dl -- d4 >~ O, d2 + d2 >~ O

Resumiendo, la condici6n necesaria y suficiente para poder ase- gurar que A~>~A2 con el conocimiento que se tiene de u~u2u3u 4 es que se verifique una de las tres condiciones siguientes:

a) dl>~O dl + d 2 + d 3 ~ O dl +d2>~O

b) d l + d 2 ~ O d l - - d 4 ~ 0 d 4 ~ O

c) d l>~0 d I + d 2 ~ 0 dl--d4>~O

69

Teniendo en cuenta que es:

d l + d2 + d3 + d4 = 0

esto equivale a la condici6n tinica:

dl~>0 d l + d 2 ~ > 0 d l - - d4 = 2dl + d2 + d 3 I> 0

BIBLIOGRAFIA.

Ref. 1.- FISHBURN: Decision and Value Theory Publications in

operations research. No. 10 (Wiley).

Ref. 2.- M. MARTIN DIAZ: Nota sobre un problema de decisi6n

cuando se conoce un orden parcial en el espacio de conse-

cuencias. Trabajos de Estadfstica e Investigaci6n Operativa.

Val. 20, 1969.

Ref. 3.- R. PALLU DE LA BARRIERE: Cours d'automatique thdo-

rique. (Dunod).

70