ALGUNAS REFLEXIONES ENTORNO A LA ENSENIANZA DE LA MATEMáTICA EN 1 CICLO

8/14/2019 ALGUNAS REFLEXIONES ENTORNO A LA ENSENIANZA DE LA MATEMTICA EN 1 CICLO

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Provincia de Buenos AiresDireccin General de Cultura y EducacinSubsecretara de EducacinDireccin Provincial de Educacin de Gestin EstatalDireccin de Educacin General Bsica

Gabinete Pedaggico Curricular - Matemtica

AALLGGUUNNAASS RREEFFLLEEXXIIOONNEESSEENNTTOORRNNOO AA LLAA

EENNSSEEAANNZZAA DDEELLAA

MMAATTEEMMTTIICCAAEENNEELL PPRRIIMMEERR CCIICCLLOO DDEELLAAEE..GG..BB..

Documento N 1 ao 1999

Autores:

- GARCA, Alicia (Escuela N 3. Carlos Casares)- MENSI, Maritza (Escuela N 3. Carlos Casares)- PALACIOS, Silvia (Escuela N 11. Vicente Lpez)- CASTELLAN, Claudia (Escuela N 6. Moreno)- BERNOLDI, Vernica (Escuela N 6. Moreno)

Coordinacin: Horacio Itzcovich


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ALGUNAS REFLEXIONES EN TORNO A LA ENSEANZADE LA MATEMTICA EN EL PRIMER CICLO DE LA E.G.B

INTRODUCCIN

Este documento surge como resultado de una experiencia realizada en varias Regiones de la Prov.de Bs. As. durante los aos 1997 y 1998

Ante las diferentes dificultades y contradicciones reflejadas en las relaciones que los alumnosestablecen con la matemtica, la Direccin de Educacin Primaria se propuso generar algunos mbitos dediscusin en los cuales conocer y analizar ciertas definiciones de la didctica de la matemtica, quepodran resultar sumamente tiles a la hora de pensar las prcticas de enseanza de esta disciplina.

Para ello, se convoc a algunos docentes, directivos e inspectores con la finalidad de analizar laenseanza de la matemtica en las escuelas, se discutieron enfoques didcticos, se cuestionaron ciertasprcticas histricas y se implementaron algunas actividades en varias aulas, protagonizadas por losmismos maestros con sus respectivos alumnos.

Mediante este documento se intenta reflejar y compartir con el conjunto de las escuelas de laE.G.B. de la provincia algunas de las ideas que se desarrollaron en esos encuentros, sealar dificultades ylogros y proponer a todos los docentes a reproducir con sus alumnos las experiencias que aqu se van arelatar.

Para que este documento fuese posible, los autores (maestros y directores participantes en algunosde los grupos de trabajo, coordinados por la D.E.P.) debieron invertir horas de sntesis, reflexin, estudioy escritura, tarea nada sencilla por cierto. Esperamos sepan disculpar los errores y falencias propias de estaprimera experiencia de comunicacin y socializacin de la tarea abordada.

Este documento consta de 3 captulos y un A modo de reflexin final. En cada captulo se haceun anlisis didctico de un contenido matemtico y se presenta una secuencia de actividades con losresultados que las mismas han permitido observar en las aulas cuando fueron puestas a prueba.

Los contenidos a los cuales se hace referencia son: el Sistema de Numeracin, Las Operaciones deSuma y Resta y La Divisin.

El apndice A modo de reflexin final busca presentar los cambios ms sustanciales que seplantean con relacin a las prcticas habituales.

Esperamos que este material resulte til para poder encarar nuevas ideas y propuestas ya que lascuestiones relacionadas con la matemtica que los chicos no aprenden en nuestras escuelas, no lasaprenden en ningn lado.


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CAPTULO 1: El Sistema de Numeracin

Qu saben los nios sobre los nmeros al ingresar al 1er Ao de la EGB.?

Averiguar cmo se aproximan los nios al conocimiento del Sistema de Numeracin Decimal esun paso necesario para disear situaciones didcticas que les permitan cuestionar y reformular sus ideaspara acercarse, progresivamente, a la comprensin operatoria de nuestro sistema.

Se impone reflexionar acerca de qu idea tenemos respecto a la construccin del nmero.Desde esta concepcin de los aprendizajes numricos, el rol docente consiste en proponer a los

nios, situaciones que les permitan construir el sentido del nmero, es decir, que lo que se ensea estcargado de significado. El nio debe ser capaz, no slo de repetir o rehacer, sino tambin de resignificaren situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.

Los nios se encuentran inmersos en una cultura donde los nmeros tienen su espacio. El hechode que a los 5 o 6 aos, los nios no han construido la nocin de nmero, no quiere decir que no se pueda

trabajar con ellos. Es posible partir del uso que hacen ellos de nociones numricas, en situacionescotidianas (escolares y no escolares), para comenzar su enseanza. De hecho, saben sintonizar el canalque quieren ver, discar un nmero telefnico si un mayor se los dicta, conocen el nmero de su edad,piden tantos caramelos, y en el aula, se dan situaciones diarias en las que estn presentes los nmeros.

Es necesario evitar toda ruptura entre la experiencia cotidiana y extraescolar que tienen los niossobre los nmeros, y las actividades orientadas a la comprensin del Sistema de Numeracin.

Para comprobar esos "estados del saber" en los nios antes de ingresar al l Ao de la E.G.B., sellev a cabo una entrevista con los alumnos de 5 aos del Jardn de Infantes N 910, distrito CarlosCasares.

La propuesta consisti en encuentros donde se realizaron las siguientes actividades: - Las docentesse presentaron manifestando su inters por jugar con ellos para ver cunto saban de ciertas "cosas".

Primeramente se les pidi que se sentaran en ronda solicitndoles que expresen cuntas nenas ycuntos nenes formaban la salita celeste. (Conocimiento del recitado de los nmeros).

Registro 1, (Conteo oral).

Docente: - Cuntos nenes y cuntas nenas son?Nios - 3O!

30 nenes y nenas.

Docente.- Y ... cuntas nenas son?Nios: - Nenas... (comienzan a contar una a una). _ Son 10.

Docente: - A ver, otra vez.Nios: - ( vuelven a contar) Son 13 varones!

Docente: - Y mujeres?Nios: -Yo cont varones y no nenas.

(Una nena cuenta) Son 11 nenas,S, pero falt Daniel.

Docente: - Cuntos seran con Daniel?Nios: - 14 y 11 mujeres.

Faltan 2. Somos 15 nenes.

Docente: - Vamos a trabajar con los que vinieron hoy, cuntos son?Nios: - 13!

Docente: -Saben escribir el 13?Nio: - S, porque yo s hasta el 100.

Otros no contestan. Otro nio escribe el 1 invertido.Una nena pasa y escribe en la pizarra el 13 (invertido)

Luego se les pregunt cuntos aos tenan y si lo podan escribir en las pizarras individuales.(Reconocimiento de la escritura de los nmeros).

Docente: - Cuntos aos tienen?

Nios: - 5...6...


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Docente: - Saben escribirlos?Nios: - (un nio dice que s y escribe algo como una E. Otro pasa y escribe

algo parecido al 5. Otros escriben el 5 correctamente).

Docente: -Quin dijo que tiene 6?Nios: - ( Muchos. Pasan a escribirlo y lo hacen bien).

Ms tarde se quiso saber el concepto que tienen los nios encuanto al uso social de los nmeros, seles pregunt para qu sirven y dnde encuentran nmeros en la salita, en su casa, enla calle.

Docente: -A ver... charlamos un rato para qu sirven los nmeros?Nios: - Para contar, para jugar a las escondidas, para ir a la escuela.

Docente - Dnde ven nmeros en la salita?Nios: - All...( sealan un almanaque).

Docente: - Qu es eso? Para qu sirve?

Nios: - Es un almanaque que marca los das.

Docente: -Y hoy? Qu da es? Saben?Nios: ...........

Docente: - Para qu otras cosas sirven los nmeros?Nios: - Para hacer cuentas, para contar las cuentas.

Para los centmetros.

Docente: - y.,. Dnde ven nmeros en la casa, en la calle?Nios: - En el auto cuando vas ligero va marcando.

En el camin, en los remses, en las patentes, en la bicicleta de hacer gimnasia, en eltelfono.

Por ltimo se present la banda numrica (del 1 al 10) como la siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y se les pregunt qu estaba all escrito.

Docente: -( muestra la banda numrica del 1 al 10) qu ven?Nios: - Del 1 al 10

Docente: -Cul es el nmero de tuedad?Nios: -(pasan a marcarlos sin dificultad, algunos el 5, otros el 6)

Docente: -Cmo se llama el que est antes del 5?Nios: - El 4 (sealan varios)

As sucesivamente con otros nmeros. Se present la banda numrica del 11 al 20, siendo menorla cantidad de nios que los reconocen. Luego se dobl la banda del 1 al 10 ocultando uno de losnmeros, se les pregunt qu haba pasado, a lo que respondieron que faltaba un nmero porque ladocente dobl el papel, reconociendo el nmero oculto. Con la banda del 11 al 20 hubo msdificultadpara nombrarlos y descubrir el faltante. Algunos nios nombraban al 11 como "uno- uno", dem con otros.

De los encuentros se puede deducir que los nios del preescolar son capaces de contar y, an ms,de realizar algunos clculos (con los nios ausentes del da de la visita: a los presentes le sumaron losausentes, discriminando nenas y nenes). Hay pequeos que logran realizar este procedimiento y otros queno.

A su vez pueden descubrir el anterior y el posterior o decir cul falta en la serie (de 1 al 10),cuando un nmero es tapado. En algunos casos lo hicieron con la serie del 11 al 20.

Logran relacionar la palabra oral y el smbolo numrico. Aunque puede aparecer por ejemplo,once como uno-uno o diez y uno.

Presentadas tarjetas con imgenes de nios (de 1, 2, 3 4 y 5 chicos, como las que se encuentran acontinuacin) deban colocar el nmero correspondiente a la cantidad de personas. La mayora logrescribir el nmero correcto, apelando al conteo, por lo que se demuestra que reconocen la cantidad de

elementos que corresponde a una coleccin entre 1 y 5 elementos.


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En cuanto a comparaciones entre nmeros, por ejemplo se colocaron 6 elementos y 9 elementos.Argumentaron que el ltimo tiene ms porque "hay ms".

En conclusin, los nios de la sala de 5 aos son capaces de:- Diferenciar las letras de los nmeros.- Manejar la serie oral hasta el 30 (muchos). Algunos slo hasta el 10.- Reconocer los nmeros escritos hasta el 10 (hay un grupo que ya conoce hasta el

30 y, en algn caso aislado, hasta el 100).-Decir la cantidad de elementos en una coleccin y escribir el nmero. Algunos lo hacen en

forma invertida.-Comparar nmeros (del 1 al 10, y en algunos casos del 11 al 20). Reconocer

anterior y posterior y descubrir cual falta.

Hay muchas formas de proponer situaciones con nmeros en la sala de 5: por medio de juegoscotidianos como las cartas, los dados, actividades de recorrido, leyendo el calendario, marcandocumpleaos, etc.

De esta manera van incorporando saberes en forma progresiva, lo que se manifiesta a travs de:- la ampliacin del dominio numrico.- el conteo sin saltear en la serie oral.- la coordinacin de la serie oral con el recuento.- La determinacin de una cantidad de elementos a travs del conteo o sobreconteo.

En general, los nios del Nivel Inicial terminan este ciclo, sabiendo contar y escribir los nmeros ycon un buen manejo de su aspecto cardinal.

Estos son los saberes que se logran a partir de una propuesta que permita trabajar sistemticamenteestos conceptos y preparar a los nios para el trabajo del rea en la E.G.B.

Lo importante es ver cmo los nios pueden crecer en estos conocimientos medianteun trabajo intencional que les permitan, seguir construyendo saberes a partir de las experiencias que traende sus casas.


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Las investigaciones en didctica de matemtica han permitido una nueva aproximacin a laenseanza del sistema de numeracin. La intencin es crear condiciones para una comprensinoperatoria de nuestro sistema de designacin de nmero, sin dejar de lado los conocimientos iniciales delos nios.

Se trata de tomar en cuenta estos conocimientos iniciales, tan incompletos o imperfectos como

sean, para dar sentido a aquellos que se buscan desarrollar.El nio aprender cuando logre construir el sentido. Para eso se deben crear situaciones

problemticas frente a las cuales, los nios utilizarn los recursos de que disponen, buscarn solucionesutilizando distintos procedimientos, recin entonces estarn en condiciones para pensar enformalizaciones y convencionalidades.

Resulta vano definir, componer, simbolizar los nmeros fuera de un contexto de utilizacin delos nmeros. Por el contrario, es a travs del uso que haga, que el nio elaborar sus propiasconcepciones del nmero, no definitivas, siempre en evolucin,

Desde esta perspectiva el rol de maestro no consiste en ensear los nmeros uno tras otro, sinoproponer a los nios situaciones que les permitan utilizarlos de modo que las palabras y los smbolos secarguen de sentido.

S se plantea que los nios deben poder construir el sentido de los nmeros funcionando comorespuesta a problemas, desde la didctica nos tenemos que preguntar: Para qu sirven los nmeros?Cules son las funciones de los nmeros que los alumnos de preescolar y de los primeros aos puedenreconocer y utilizar para construir el significado?1

La primera funcin especfica del nmero de la que pueden apropiarse los nios es "la memoriade la cantidad", es decir la posibilidad de evocar una cantidad sin que sta est presente. Cuando se lepide que represente (registre) cierta cantidad de objetos pueden surgir varias soluciones posibles comopor ejemplo, construir utilizando el conteo y recordar solamente el ltimo nmero pronunciado.

El nmero es tambin un buen recurso para guardar "la memoria de la posicin", que permite

recordar el lugar ocupado por un objeto en una lista ordenada, sin tener que memorizar toda la lista.Se reconocen as los dos aspectos del nmero: cardinal y ordinal

Otra funcin del nmero es el "recurso para anticipar" que se refiere a la posibilidad que dan losnmeros de anticipar los resultados a propsito de situaciones no visibles sobre las cuales se tienenciertas informaciones.

Estos diferentes procedimientos dependen esencialmente del nivel de conocimientos de cadanio, del dominio de su conocimiento y sobre todo de su disponibilidad, por lo tanto, de sussignificaciones.

Partir de lo que los nios saben, qu conocimientos tienen sobre los nmeros; cmo los usan,con qu eficacia, qu dificultades nos revelan sus prcticas y favorecer las situaciones que dan

significado a los nmeros, asegurar en todos los nios la apropiacin y dominio de los contenidosmatemticos socialmente establecidos.Cuando hablamos de presentar situaciones a los nios para que vayan construyendo el sentido de

los nmeros y la apropiacin de nuestro sistema de numeracin, nos referimos a la presentacin deproblemas, entindase como tales no slo a los enunciados, sino tambin a juegos, situaciones cotidianasque generen un obstculo a franquear a partir de sus conocimientos que les sirven de herramientas paraproducir soluciones usando sus propios procedimientos.

Cules son los tipos de problemas que pueden dar sentido a los procedimientos numricosutilizados y a las designaciones orales o escritas usadas?

a) Problemas que apunten a la "memoria de la cantidad": comparar dos o ms colecciones,armar o completar una coleccin para que tenga tantos elementos como una dada. Porejemplo, presentar dos portalpices con lpices y algunos sueltos:

1 Parra, Cecilia. Los nios, los maestros y los nmeros. Documento de Actualizacin Curricular. Direccin de Currculum.Secretara de Educacin. G.C.B.A. 1992.


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Consigna: hacer "algo" para que los dos portalpices tengan la misma cantidad

b) Problemas relacionados a "la memoria de la posicin (para ubicarse en una serie,en la fila, en el casillero.

c) Problemas ligados al " recurso para anticipar" ( en qu casillero va a caer si est en el 5 y sac 4con los dados? cunto tiene que sacar para alcanzar el 12 si est en el 6?).

d) Problemas en los que interviene la reunin de dos o ms colecciones cuando setrata de anticipar resultados.

e)Problemas en los que una coleccin se distribuye en dos colecciones: Hay 14 nios,8 son nenes, cuntos son nenas?.

f) Problemas de canje.

g) Problemas de particin de una coleccin.

EL JUEGO DEL CASTILLO2

Esta actividad tiene por objetivos:

* El reconocimiento de la escritura en cifras de los nmeros.* La localizacin de esas escrituras en una tabla de nmeros presentados en filas de diez.* La toma de conciencia del diferente rol que juega cada cifra en la escritura de un nmero.* El aprendizaje y la utilizacin del nombre de la decenas.* La bsqueda de regularidades del Sistema de Numeracin Decimal* La utilizacin de procedimientos para encontrar resultados.

El juego inicial;

El tablero se presenta a los nios como un "castillo" que tiene 100 cuartos. Como son tantoscuartos, para poder identificarlos estn numerados. Se les cuenta a los nios que algunos nmeros van aestar tapados por un cartoncito y que la actividad consiste en decir qu nmero es el que est escondido.

Se puede hacer una presentacin colectiva de la actividad en un tablero en el pizarrn, conalgunos nmeros tapados y pedir a los nios que sealen un cuarto y nombren el nmero correspondiente.Luego se destapa y se corrobora.

2 Parra, C. Op.citada


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A continuacin se organiza la clase en grupos de 5 6 nios, cada uno con un tablero individual ytantos nmeros tapados como jugadores (o el doble si se quiere que jueguen dos veces cada uno). Puedeotorgarse puntaje (2, 3 o 4 puntos, en el reverso del cartoncito), que se obtiene cuando se dice el nmerocorrecto.

En su turno, cada jugador elige el cuarto que va a identificar, dice el nmero y, si es correcto, gana

esos puntos.

A continuacin presentamos un posible castillo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

La experiencia se llev a cabo en 1 ao de la Escuela N 3 y en 1 ao de la Escuela N 29 deldistrito de Carlos Casares. Desde ya, agradecemos a todos los docentes que han facilitado el desarrollo deeste trabajo.

Los nios ya conocan algunos nmeros y haban trabajado con bandas numricas hasta 29 o 39.En primer lugar se present el castillo en el pizarrn con algunos nmeros tapados, invitando a los

nios a descubrir el nmero del cuarto que estaba oculto.

A continuacin se presentan algunas de las interacciones que se produjeron en el aula de lasescuelas y grados mencionados. Pero tambin se han incluido algunos de los registros que docentesdesarrollaron en San Justo, Mar del Plata, Balcarce, Baha Blanca y otros lugares de la Provincia deBuenos Aires. Naturalmente, agradecemos a estos docentes que se tomaron el trabajo de arrimar estasproducciones de sus alumnos:

Docente: JonyQu numerito falta ac? Ac va el 34 (oralmente)Qu nmeros lleva? Se fija en qu familia est. Busca en la del

30 y en la del 4 y dice un 3 y un 4

Y el 39? Lleva un 3 y un uno. No un 3 y un 9

AlejandroQu nmero es este? (72) El 72Por qu? Por que est en la fila del 7 y en la del 2

YsicaY este? (84) El 8 y el 4, por que est en la

fila del 8 y en la del 4


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JonyCmo se llama este (seala el 50)

YsicaCincuenta

Se pudo observar que los nios apelaron a distintos procedimientos para decidir cul era elnmero tapado, a saber:

- Realizan conteos desde cero- Realizan conteos a partir de los nudos (10, 20, 30,etc), de izquierda a derecha hasta llegar al nmerotapado.- Ubican los nmeros que conforman el nmero tapado y dicen tiene un 2 y un 8, aunque no sepan quese llama veintiocho.- Forman el nmero guindose por filas y columnas est en la familia del 8 y en la de los 4 es un 8 y un4- Descubren el nmero teniendo en cuenta el que est arriba o abajo: es el 35 porque est abajo del 25 o

el que est adelante o detrs.

La presentacin de la serie en un cuadro como el del Castillo pone en evidencia varias de lasregularidades de la serie numrica, especialmente a nivel de escrituras que poco tiempo despus deinstalarla en el aula, se notan grandes adelantos en los nios hasta la aparicin de pequeos clculosmentales, por ejemplo: 62 + 12 lo piensan como 62 + 10, van a la fila de abajo, o sea al 72 y luego suman2 llegando al 74.

Otras cuestiones observadas fueron:

Inversin de nmeros al completar el cuadro de manera individual:

Edu (6 aos):

Segn los procedimientos que utilizan, estos pueden ser vlidos segn el campo numrico con elque se trabaja.

Contar de 1 en 1 desde 0 es vlido para nmeros chicos. Cuanto mayores son, aparecen errorescomo es el caso de Daniela (6 aos):

Confunde 81 con 18, y a partir de all, sigue contando (19, 20, 21) para completar los casillerosvacos.

El maestro deber identificar estos procedimientos y por medio de otras actividades yconfrontaciones, hacer que los nios descubran otros procedimientos para no caer en errores.


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En tanto, muchos otros chicos resuelven la situacin sin inconvenientes:

Vernica (6 aos):

Mariela (6 aos):

Luciana (7 aos):


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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Tablas para completar:

Se propone a los nios tres tipos de tablas incompletas:

- Slo estn ubicados los nmeros de la primera fila y la primera columna. Los nios tiene que completarlos casilleros marcados:

Figura 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

- Solo estn ubicados los nmeros de la primera fila y deben completar los casilleros marcados:

Figura 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Estas actividades tiene la finalidad de que los alumnos comiencen a abandonar los procedimientosvinculados al conteo, y descubran otro tipo de relaciones.


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Algunos procedimientos observados fueron los siguientes:

Alejandra (6 aos) figura 1, comienza completando la fila del 10, luego interrumpe y al preguntarle comolo haba hecho, respondi: "me iba fijando los nmeros de arriba y me daba cuenta" :

Aldana completa el cuadro teniendo en cuenta el nmero de la fila y el de la columna:

Ale omite la fila del 10. Cuando llega al 90, para l es la fila del 100. El nmero marcado corresponde al96, pero en su "cuenta" es el 106, y lo escribe como 1600. La docente le pide que se fije si falta algunafila. Observa y dice "Me "salti" la familia del 10. Dame otro que lo hago bien"


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Miriam : Su procedimiento es escribir todos los nmeros para encontrar los marcados. En este caso, elconteo sigue mandando:

Fabin necesita colocar la primera columna para contar desde all:

Vernica y Aldana realizan el conteo de las filas y observan el nmero de la primera fila respetando el dela columna:

Estas actividades permiten cuestionar algunos procedimientos que fueron elaborados por losalumnos, y fuerza a la bsqueda de otros ms eficientes.

La tabla de la figura 1 puede obstaculizar el procedimiento que se apoya en est entre tal y tal yfavorecer la estrategia que relaciona columnas y filas.

La tabla de la figura 2 permite continuar contando desde 1 pero posibilita que los alumnos

miren las filas anteriores, e ir contando (o saltando) de diez en diez.


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OTRAS ACTIVIDADES:

El rompecabezas:

Se corta la tabla en piezas. Los nios tiene que reconstruirl

Muestra de algunos trabajos:

Varios chicos arman sin dificultad el rompecabezas, pero no se apoyan en los nmeros sino en lasformas de los cortes. Por lo tanto, result conveniente que los rompecabezas tengan piezas que sean de lamisma forma. Esto s exigi que los chicos comiencen a buscar en los nmeros la informacin que permitareconstruirlo.

Extractos de tablas para completar:Se entrega un extracto de tabla y los chicos deben completar, a partir de un solo dato, los

casilleros:


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Muestras de algunos trabajos:

Ale realiza el conteo mentalmente a partir del nmero dado. Tiene en cuenta los nmeros de las columnasrespetando las filas:

Jos realiza un procedimiento similar al de Ale:

Antonella necesita completar todos los casilleros pero no tiene en cuenta las filas y las columnas. Es decir,no considera a la tabla como un extracto del Castillo:


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Lo mismo le ocurre a Yamila:

Esta es una actividad difcil pues las referencias no son las mismas que usaron para resolver lasactividades anteriores. Los nios tienden a ubicar los siguientes nmeros a partir del nmero dado.Quienes an se apoyan en el conteo, encuentran mayores dificultades: no reconocen que hay espaciosrecortados a derecha e izquierda y olvidan la organizacin del cuadro original. Al no disponer de laprimera fila ni la primera columna, los fuerza a encontrar relaciones ms complejas entre los nmeros:contar de diez en diez, subir y bajar en el cuadro, ubicar la fila y la columna correspondiente.

Encontrar el intruso

Sobre extractos de tabla aparecen nmeros. Se trata de encontrar cules no estn bien ubicados(los intrusos) a partir de uno que s est bien y aparece remarcado


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Muestras de algunos trabajos:

Fabian: el 20 debe ir donde est el 23Maestra: Y ac cul va? (seala debajo del 14)

Fabin: el 18Maestra: te parece? Qu familia es?Fabin: la del 4. A va el 24Descubre que el 23 es el que est mal, y que el 20tambin es intruso, pero recurre al conteo y seequivoca con el 35, considerndolo intruso.

Ysica lo realiza correctamente:

Lo mismo que Juan:


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CAPTULO 2: Las Operaciones de Suma y Resta

El trabajo con las operaciones de suma y resta es una de las preocupaciones permanentes de losdocentes.

Hay que ensear el algoritmo? Qu sumen cmo quieran? Les corrijo la cuenta? Cmo hacerpara que el significado de la cuenta no se borre con la aparicin del algoritmo? .Estas son slo algunas delas inquietudes que se han presentado.

A modo de muestra, se ha interrogado a alumnos de 4 ao de E.G.B de la Escuela N 11 deVicente Lpez, (a quiene expresamos nuestro agradecimiento, en particular a las docentes que hancolaborado con estas actividades) sobre qu es sumar? y qu es restar?. Las siguientes son algunas delas respuestas obtenidas:

SUMAR

Para m es sumar nmeros Es agregar un caramelo y ms cosasEs poner nmeros o cosas.Es agregarle un nmero a otroEs agregarle algo a lo que ya tens.Es hacer una cuenta de ms.

RESTAR

Para m es restar caramelos.Es quitar nmeros.Es sacar nmeros o cosasEs bajar puntos.Es sacarle un nmero a otro nmeroEs tener algo y sacarle un poco

Evaluando estas respuestas que dan los alumnos, es posible destacar que recurren a palabrasclaves que aplican a la resolucin de los problemas que se han enfrentado.

Ciertos problemas de suma y resta implican agregar o quitar elementos a una coleccin, yconforman la mayora de los sentidos de estas operaciones que se trabajan en el aula, pero no todosencierran estas acciones.

Veamos otros ejemplos:

- Paola y Juan tienen 11 figuritas. Paola tiene 6 figuritas, cuntas tiene Juan?

- Micaela gan 5 figuritas. Ahora tiene 13. Cuntas tena antes de jugar?

- Luis tena 9 figuritas. Despus de jugar se qued con 4. Qu pas en su juego?

- Lucas gan en el primer partido 6 figuritas. Entre los dos partidos que jug gan 9. Cuntas gan enel segundo partido?

- Roberto perdi 5 figuritas. Ahora tiene 3. Cuntas tena antes de jugar?

- Daro debe 6 figuritas a Roberto y 8 a Nancy. Cuntas figuritas debe?

Evidentemente, la comprensin acabada de las operaciones de suma y resta sedesarrolla en varios aos de escolaridad, aumentando la diversidad y complejidad de los tipos deproblemas que pueden ser resueltos mediante el uso de estas operaciones, lo que no quiere decir que los

alumnos de primer ao de la E.G.B. no puedan comenzar a resolver problemas como los planteadosanteriormente, apelando a recursos y estrategias propias, basados en los conocimientos intuitivos de quedisponen.

Se intenta que los conocimientos matemticos no aparezcan estticos, acabados, bajo unmecanismo nico, sino que tienen una cierta dinmica de desarrollo y construccin acorde a lacomplejidad del mismo, a los diversos tipos de problemas que se vayan presentando y a las posibilidadesde los chicos.

Estos modos de aproximacin que construyen los chicos se ven reflejados en estos ejemplos,experimentados en 1 ao de E.G.B.


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La mayora de los nios manejan algunos nmeros, apelan a ciertas operaciones para jugar en elkiosco, han trabajado algunas de las relaciones entre los nmeros mediante el Juego del Castillopresentado en el Captulo 1.

Estos saberes previos de que disponen son la base sobre la cual se apoyan para poder producir

nuevos resultados y elaborar otro conjunto de relaciones entre los nmeros a partir de estrategiaspersonales o compartidas en pequeos grupos.

Desde este lugar es que el rol docente adquiere otro significado. Valorar las producciones de loschicos, estimularlos a la bsqueda de soluciones, generar situaciones en las cuales los alumnos puedanreflexionar en torno a la validez o no de los resultados obtenidos y de los recursos desplegados, introducirmodificaciones a las situaciones planteadas de modo tal que los alumnos vislumbren las nuevasdificultades a las que se enfrentan son algunas de las cuestiones a tener presentes

Por ejemplo, a partir de diferentes enunciados y actividades que representan verdaderos problemaspara los alumnos, en los cuales los nmeros que intervienen son chicos, algunos de los procedimientos

vistos son:

- Usar chapitas, lpices o dibujos:

- Seguir contando a partir del primer nmero que interviene en la cuenta:

Estela 1 ao

- Poner los diferentes objetos, separar una parte. Mediante representaciones grficas, hacer tachados ycontar los que quedan:

Lucas 1 ao


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El logro de estas habilidades es consecuencia de una planificacin que contemple la presentacinde situaciones y problemas que involucren a los alumnos en la bsqueda de estas estrategias. No es unacuestin azarosa sino que es una intencin didctica.

Pero, paralelamente a este tipo de problemas, los alumnos deben ir avanzando en la comprensin y

dominio de las regularidades del sistema de numeracin. Este dominio permitir complejizar losproblemas y en consecuencia, ver aparecer producciones de los chicos como las siguientes:

En estos ejemplos, los alumnos muestran un cierto dominio de un repertorio que les resulta muyfamiliar, casi memorizado. Al igual que los adultos, hay resultados ante los cuales no desplegamosninguna accin, por ejemplo, todos sabemos de memoria que 3 + 2 = 5. No se trata de ensearles a losalumnos a memorizar los resultados de las sumas o restas, sino que puedan encontrar algunas relacionesque les permitan reconocer que algunos clculos son ms fciles y otros ms complejos, y los fciles yalos sabemos (por ejemplo 2 + 2 , 4 + 4 , 6 + 1 etc)

Por ejemplo:


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Otras estrategias personales estn ntimamente vinculadas al dominio de la serie numrica y susregularidades, obteniendo resultados parciales. Las producciones de los alumnos de 1 y 2 ao de laEscuela N 11 de Vicente Lpez, expresan, por ejemplo:

Estas estrategias de clculo tambin son elaborados por los chicos para resolver diferentes

problemas y actividades que ha propuesto la maestra.En este terreno, el clculo mental est en el centro del trabajo. La priorizacin de este tipo de

clculo particularizante, en cierto modo opuesto al algortmico, es el punto de partida para la comprensinde estas operaciones, ya que influyen notoriamente en la habilidad que desarrollan los chicos para resolverlos problemas que se les plantean.

El clculo mental no implica dejar de usar lpiz y papel, como tampoco es hacer el algoritmo enla cabeza. Es el clculo pensado, reflexionado y acorde a los nmeros que intervienen en el clculo aresolver. Por ejemplo, para hacer 24 + 99 es pertinente hacer24 + 100 1 y este procedimiento sirve slo para sumar 99.

El clculo mental pone en juego las particularidades de nuestro sistema de numeracin, susrelaciones y sus regularidades. Es por ello que estos aspectos deben ser parte del trabajo planificado por lainstitucin escolar.

A modo de ejemplo, aqu estn algunas otras producciones de los alumnos:


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Sebastin:

En el caso de Ronan, calcula primero 7 + 7 y luego escribe el resultado de 6 + 7. Lo mismo hacepara resolver 70 + 13. Lo resulve y luego anota el 83:

En el siguiente caso, los padres insistieron con hacer la cuenta parada en la casa. Pero el alumnoresolvi a partir del clculo horizontal, y luego escribi el resultado parado:

Otro recurso que result sumamente pertinente es la banda numrica y el Castillo, presentados enel Captulo 1.

Mediante estas nuevas herramientas, la comprensin del sistema de numeracin juega a favor dela aparicin de procedimientos como los siguientes:

Para resolver 23 + 12: Se ubican en el 23 y luego bajan 10 y avanzan 2


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El juego de la caja3

Se presenta a continuacin algunas producciones escritas por alumnos de diferentes escuelas,producciones a partir del juego de la caja.

En varios de los casos, las maestras reconocieron que los chicos ya haban hecho cuentas de sumasy restas, y les llam la atencin que no las hayan podido usar. Esto muestra la falta de significado que loschicos le impregnaron a dichas operaciones.

En el siguiente caso, primero pusieron el 7 y el 8. Al no haber entre ellos ningn signo, unaalumno agreg el cero. Otro dijo que no, que tena que ir el ms y borran el 0 y ponen el +:

3 Parra, C. Op. citada


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Juego de la Caja. Fase 2

Objetivos del maestro:- Provocar la aparicin de escrituras aditivas- Proponer una situacin que favorece la construccin del sentido de escrituras tipo a + b = c- Comprometer la distincin entre datos y resultado

Organizacin de la clase: grupos de 4 o 5 alumnos y una cantidad par de grupos. La mitad son emisores yla otra mitad receptores. Se entrega a cada equipo emisor una bolsa o caja y 20 chapitas. Se recuerda a losnios el juego de la caja, cuando pusieron primero algunas chapitas y luego otras y averiguaron cuntashaba en total. Se explica que primero van a trabajar la mitad de los equipos.

Consigna para los equipos emisores:"Ahora van a hacer lo mismo en cada equipo, con la cantidad de chapitas que ustedes elijan, pero

va a ser un secreto entre ustedes. Van a escribir un mensaje al equipo que juega con ustedes, sin dibujos,nada ms que con nmeros, para que el otro equipo, con ese mensaje, pueda averiguar cuntas chapitashay en la caja"

Consigna para los equipos receptores:"Con el mensaje que les mandan y conversando entre ustedes tienen que ponerse de acuerdo y

escribir en el papel la cantidad de chapitas que hay en la caja. Cuando lo hagan, van a ir a encontrarsecon el otro equipo y ver que pas"

Se comentan colectivamente las producciones, se analizan las contradicciones, desajustes ydificultades.


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Posteriormente se vuelve a jugar cambiando los roles de los equipos.

Al trmino de la segunda vuelta se recogen los mensajes y, junto con los anteriores se colocan enun afiche que dice: JUEGO DE LA CAJA

Si esta secuencia se utiliza como introduccin al problema de la escritura, despus de varias

realizaciones se oficializa la utilizacin del signo + e =.

Estos son algunos de los mensajes elaborados por los chicos:

Juego de la Caja: Sacando Cubos

Se reproducen las fase 1 y 2, pero el segundo alumno retira objetos de la caja. Por ejemplo: unalumno pone 15 chapitas, el segundo retira 6. Los nios deben determinar cuntas quedan en la caja.Como antes, se trata centralmente de que los alumnos:

-

comprendan que la anticipacin es posible: se pueden elaborar los resultados numricos de unatransformacin, incluo cuando esta no resulta directamente accesible- sean capaces de elaborar procedimientos de resolucin, que pueden variar desde una concretizacin de

la situacin, la utilizacin de diversas formas de conteo, hasta incluso la puesta en juego de elementosde clculo.

- Comiencen a producir codificaciones escritas de sustracciones.

Otorgar sentido y utilizar correctamente las escrituras del tipo a - b = c requiere de mltiplessituaciones e instancis de trabajo. El juego de la caja puede tener carcter introductorio y deber formarparte de una propuesta ms amplia.

Estas son algunas muestras del trabajo:


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En el siguiente caso, conversan entre los compaeros del grupo sobre la operacin a utilizar,determinando la suma. Cuando lo escriben interrumpe Marina diciendo: No tach, que es de menos, lesac, no le agreg :

Luegon acotan que el igual es lo que te queda

Juegode la caja. Fase 3

Clculos Fciles y difciles4

Durante el transcurso de los juegos se han ido escribiendo en el afiche los clculos sobre los quese fueron trabajando.

Material: el afiche con los clculos

Organizacin: la clase se divide en grupos de 2 o 3 nios.

Consigna"Hoy vamos a trabajar sobre los clculos que fueron escribiendo y resolviendo cuando jugamos

al juego de la caja. Van a conversar entre ustedes cules les parecen fciles y cules difciles. Van a tenerque ponerse de acuerdo y escribirlos en dos columnas: la de los fciles y la de los difciles. Despus van amostrar como les quedaron y vamos a comentar por qu unos les parecen fciles y otros difciles."

Los grupos trabajan y presentan su clasificacin. A partir de ello se observa cules son losclculos que a todos les parecen fciles y cules son los criterios usados por los alumnos. Lo mismo para

los difciles.

A partir de esta clasificacin y de los criterios usados, en otra clase se propone una nuevaactividad: "pensar y proponer clculos fciles como estos, pero que no estn en este afiche"

La idea es que los alumnos recuperen los criterios que determinaron que dichos clculos eranfciles y puedan encontrar nuevos clculos. Otro da se repite la misma actividad para los difciles.

De algn modo, los fciles se van convirtiendo en los que "hay que saber" y los difciles en losque "hay que resolver"

Algunas producciones de los chicos son como las siguientes

4Es muy interesante que aparezcan clculos como 10+5, 20+3, 40+8 como 2+2, 3+3, 4+4.. A su vez tambindebern aparecer 23-3, 45-5 o 4+10, 56+20. En varios de estos casos, el recurso del Castillo es muy pertinente.


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Durante mucho tiempo se ha insistido en que los alumnos no hagan cuentas sueltas, sino que estndentro de un contexto.

Pareciera que el Juego de la Caja: Fciles y Difciles es hacer cuentas sueltas. Por un lado escierto, pero el problema reside precisamente en encontrar un conjunto de relaciones que puedan ser el

sostn de las decisiones que toman los alumnos. En el terreno de hacer matemtica, las relacionesnumricas es el punto central. Y es lo que se debe intentar que hagan los alumnos. Algunos problemastendrn relacin con la vida cotidiana, otros tendrn relacin con otras disciplinas, y otros sern problemasnetamente matemticos, donde lo que se busca es que los chicos vayan entrando en el hacer matemtica,comiencen a producir resultados a partir de relaciones entre los nmeros, resultados que sern respuestas atoda una gama de problemas bien diferentes, y que lo nico que tienen en comn es que se resuelvengracias al poder de la matemtica.

De las estrategias personales a los algoritmos:

El trabajo en torno al Sistema de Numeracin y al establecimiento de relaciones que permitan a

los alumnos comprender el significado de la Suma y de la Resta requiere de mucho ms tiempo del que elsistema de educacin le est otorgando.

Es por ello que se plantea todo un ao en torno a esas cuestiones para luego invitar a los alumnos,ante situaciones ms complejas, buscar estrategias menos engorrosas, ms econmicas, entre las cuales,indefectiblemente se hallan los algoritmos convencionales.

Pero sera de suma utilidad que los mismos no estn tan alejados de las producciones a las que hanarribado los alumnos, por ejemplo, si los chicos pueden resolver el siguiente clculo, en el marco de unproblema determinado:


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36 + 25 =

30 + 6 + 20 + 5

50 + 11 = 60 + 1 = 61

cuando se les plantea parar la cuenta pueden aparecer escrituras como las siguientes:

Leo:

Estos algoritmos pueden ser un paso intermedio entre los clculos horizontales y la cuentaparada convencional.

Aunque en el caso de Leo se puede observar que es el algoritmo convencional pero desarmadoen todos sus pasos intermedios.

En el caso de la resta, aparece la siguiente posibilidad:


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En este caso, las producciones de los nios son posibles gracias al trabajo desarrollado durantetodo primer ao.

Estas producciones son acompaadas con algunas intervenciones docentes que intentan retomarlas composiciones y descomposiciones aditivas realizadas por los alumnos en los clculos horizontales, en

el Juego del Castillo, en los fciles y los difciles, etc.En dichas actividades aparecen argumentos de los alumnos que hacen factible la descomposicin

de un nmero, por ejemplo el 24, como 20 + 4 o como 14 + 10 o como 25 1 o de otra cualquier forma.Estas actividades son recuperadas en esta etapa y por lo tanto, a los nios no le resulta extrao

escribir el 54 como 50+4 o como 40+14

Para que estas producciones sean posibles, los alumnos deben haber recorrido un ao, comomnimo, en el cual se haya trabajado las regularidades del sistema de numeracin, los clculos fciles ydifciles, se hayan presentado variedad de problemas de suma y resta que evidencien los diferentes sentidode estas operaciones. En fin, la planificacin del Primer Ciclo debe comenzar siendo colectiva entre losdocentes involucrados y los directivos. Sin estas intenciones, es dificultoso que los nios arriben a losresultados ac demostrados.


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CAPTULO 3: La Divisin

La relacin entre el conocimiento matemtico producido por un matemtico y dicho objeto en elmbito institucional podran compararse a una brecha, en la cual los puntos de intersticio guardaran unagran duda a la tarea de ensear entre los docentes. Tal vez , esos puntos dan paso a los "fantasmas" quequisieran ser descubiertos. Esos fantasmas que durante aos han circulado en la tarea pedaggica de los

docentes que han intentado traspasarlos , comprenderlos, apropiarse de ellos y hallar la mejor forma depoder transmitirlos...

Hablando de fantasmas, qu opinan de la divisin como tal ?, podra ser uno de ellos?...

Como conocimiento matemtico se podra decir que es un objeto complejo para cuya apropiacin,el nio se apoya en conocimientos ya adquiridos en las otras operaciones.

Pero, qu opinan alumnos y docentes que transitan la tarea de ensear y aprender acerca de esteobjeto de conocimiento del rea de la matemtica...?

Ante la pregunta: "por qu creen que la divisin puede resultar difcil de ser aprendida por los

nios?", docentes encuestados entre primero y sptimo aos responden de la siguiente manera:

porque no se aplican desde la enseanza los pasos metodolgicos conocidos.

porque en esta operacin se inicia la resolucin por la unidad de mayor orden, a diferencia de las otrasoperaciones, considerando las metodologas hasta ahora utilizadas.

porque la enseanza no se apoya en el uso de material concreto.

porque el docente no escucha las hiptesis de los nios, las cuales lo orientaran a intervenir deuna manera mas apropiada al alumno.

Estos supuestos de los docentes con relacin a las dificultades que presenta la divisin paraser enseada y por lo tanto aprehendida, tiene su contracara en las opiniones de los nios. Ante lapregunta cres que sabs dividir?, se obtuvieron diversas opiniones,... producto del paso por la escuela?.Entre ellas , las siguientes:

Los alumnos de cuarto ao expresan que saben dividir .

Los alumnos de quinto ao expresan que saben porque piensan y las resuelven...( se refieren alas cuentas). Alguno se ellos acota: Me esforc en aprender!.

Sexto ao no cree saber dividir porque no sale el clculo mental.

Sptimo ao dice que creen saber hacerlo.

Octavo y Noveno aos expresan contradictoriamente que saben, otros saban, otros hacemucho que no lo hacen por eso lo han olvidado, pero agregan: Usando la calculadora no hayproblemas...

Para nios y docentes el fantasma de la divisin se presenta como un problema en el cual seentremezclan "metodologa con clculo mental" no aprendido; hasta del discurso de los chicos sedesprende la idea de que este ltimo representara una posibilidad aparente para resolver divisiones en losgrados inferiores , los mayores suponen que la posibilidad est con el uso de la calculadora ...

De la informacin obtenida a travs de docentes y alumnos, se desprende que el objeto

"divisin", como objeto de conocimiento es muy complejo y los docentes no "disponen" de recursosdidcticos para ensearlo...

Se podran repensar los recursos didcticos a partir de la observacin de los recursos de loscuales dispone el alumno?

QU ENTENDEMOS POR DIVISIN?

"...La enseanza moderna,...pone nfasis en la comprensin de lo que significa cadaoperacin ms que en su realizacin efectiva...", expresa Santal5. Los alumnos en la escuela de hoy no

5 Santal, L. La matemtica moderna en la escuela primaria y secundaria. Artculo.


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debieran dudar de la operacin que resuelve una situacin problemtica aunque cometan errores en elalgoritmo.

R.Charnay considera que una de las dificultades principales de la enseanza de la matemticaes la significacin de lo que se aprende. "...La construccin de la significacin de un conocimiento debeser pensada en dos niveles: un nivel externo: cual es el campo de utilizacin de este conocimiento, y cuales son los lmites de ese

campo... y un nivel interno: como funciona tal recurso y por que funciona..."6

Con relacin a la significacin de la "divisin" se podra decir que:el algoritmo por si mismo no sera significativo para nios de primer ciclo. Hablando en trminos de"partir" ,"repartir" ,"agrupar"...y un contexto problematizador los nios de primer ao estn encondiciones de resolver problemas vinculados al concepto sin necesidad de pasar por el algoritmo. Esdecir, que sera factible su enseanza antes de tercer ao y que si bien en tercero y durante el segundociclo se construye oficialmente su sentido, no es el nico espacio donde se realiza.

A continuacin se transcriben prrafos de tomas realizadas a nios de primer ao a travs delas cuales se fundamentan las afirmaciones anteriores:

"Se present el siguiente problema: tengo que repartir 25 caramelos entre nosotros 6,cuntos caramelos doy a cada uno para que todos tengan la misma cantidad?"

Sara- Yo me los como a todosExp.- Mejor los repartimos entre todos...Rom.- Los repartimosExp.- Cuntos para cada uno?Sara - 5Exp.- A mi me dejaron afuera...Leandro- (Risas)...bueno, 4... a ver ( reparten montoncitos de 4, para cada uno)Exp.- Todos tenemos la misma cantidad?

Jos- No, ella se qued con 5Exp.- As?Sara- ste queda...se lo puedo llevar a mi hermanito?

Se observa un intento de particin inequitativa ( 4, 4, 4, 4, 5 ) pero, recordada la consignase concreta un divisin equitativa ( 4, 4, 4, 4, 4) con el consecuente resto ( 1 ) y la posibilidad de decidirque se hace con el mismo.

Las situaciones problemticas que se presenten a los nios pueden involucrar la divisinexacta ( a : b = c para b 0 de donde b . c = a ), por ejemplo:

" Repartimos 25 figuritas en mi grupo de amigos, somos 5. Alguien se qued sin figuritas?

Alguien tuvo ms que otro?";O, la divisin euclidiana ( a : b = c y sobra un resto r con b0, de donde b.c + r = a) que

permitira incorporar la discusin sobre el resto (r) de la operacin, como se observa en la toma a primerao anteriormente comentada.

El hecho de presentar problemas vinculados a la divisin desde primer ao, da lugar aincorporar una banda de edades no pensada como parte del aprendizaje de la complejidad creciente de esteconcepto. Ms que del concepto, de las situaciones problemticas que lo involucren y de la posibilidadque se d a los alumnos de compartir los distintos procedimientos, particulares o grupales, que dieranlugar a las resoluciones de estas situaciones.

ACTIVIDAD DESARROLLADA CON ALUMNOS DE SEGUNDO AO:

Se concret una experiencia con relacin al tema fantasma, en SegundoAo de la E.G.B. de la Escuela N 6 del Distrito de Moreno. Participaron nios y docentesde la escuela (para quienes nuestro agradecimiento y reconocimiento por las colaboracin brindada) y serecibi la colaboracin del Profesor H. Itzcovich. En particular agradecemos a los docentes Claudia Ortz,Anala Fras, Paola Di Muccio, Susana Pizzani, a la Inspectora Mara Elena Lan Franco (Area I, Moreno)y a los alumnos de 9 ao A y su docente Alicia Lucera.

El objetivo fue generar un espacio para hipotetizar sobre problemas presentados y el propsitodel equipo docente, favorecer el planteo de hiptesis y la confrontacin de las mismas a travs desituaciones problemticas an, no conociendo los algoritmos de todas las operaciones.

6 Parra, C., Saz, I. Didctica de Matemtica. Captulo 4, Edit. Paids. (1992)


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La secuencia presentada se describe a continuacin7:

Fase 1 :

Se prepar para cada uno de los cinco subgrupos de nios de un segundo ao, un sobre con 100baldosas(cartoncitos de 2 cm. x 2 cm.).

Fase 2:La situacin problemtica inicial, de tipo oral fue la siguiente:

Van a tener que sacar 35 baldosas de ac (se entregaron simutneamente los sobres a los equipos), yarmar un patio rectangular... Cada fila del patio tendr 4 baldosas, mi pregunta es , cuntas filas tendrel patio?

Esta situacin problemtica, resuelta en forma grupal y a travs del uso de los objetos,present el valor de cada parte de la coleccin. Los nios deban averiguar el nmero de partes de la

misma.

Experimentador: Cantas filas tiene el patio?

Emi: 8 y falta 1.

Exp: Dnde?

Emi: En la ltima fila.

Para Emi, la ltima fila existe de manera incompleta pero no la considera como parte de larespuesta sino hubiera dicho 9 filas. Al decir falta 1 en la ltima est involucrando los elementos que

restan, aunque dice: faltan3. en lugar de decir sobran 3

Fase 3:Ahora usaremos 26 baldosas... Cuntas filas de 4 baldosas podremos armar? .

Se observa que los nios operan sobre el patio ya armado, contando y restando baldosas.

Exp.- Con 26 baldosas Cantas filas pudieron armar? .

Juan- 6 filas y sobran 2

Fase 4:

Cmo esto ya es muy fcil para ustedes, guarden las baldosas en el sobre, ya somos unosalbailes brbaros ,sabemos armar los patios. Ahora tenemos 37 baldosas (pero los chicos no las tienepresentes) tienen que descubrir cuntas filas de 4 baldosas va a tener el patio y cuntas baldosassobran.

Se entrega hojas a los grupos. En general, los grupos decidieron que cada uno de sus integrantesdibujara una baldosa o una de las filas del total de la coleccin, y el papel entregado circul en la mesa decada subgrupo.

Exp: (con relacin al grupo 2) Dicen que ubicaron 32 baldosas.Nacho: Son 37.Exp: Se puede o no se puede hacer otra fila?

Nacho: Yo creo que s.. (cuenta los palitos uno a uno que han dibujado) Son 9 filas y sobra 1


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Fase 5:Ahora tengo 22 baldosas, pero en lugar de 4 en cada fila, pongan 5 en cada fila. Cuntas filas se

pueden armar? Cuntas sobran?. Traten de resolverlo sin hacer dibujos y busquen cuentas que

conozcan que los puedan ayudar.

En cada subgrupo se intenta resolver y aparecen respuestas como esta:

Csar: 1 son 5, 2 son 10, 3 son 15, 4 son 20 y sobran 2

Exp: Por qu no lo escribs as como lo dijiste?

Este chico estableci una relacin de proporcionalidad entre las filas y las baldosas, al descubrirla existencia de una regularidad entre los elementos de dicha relacin.

Durante la puesta en comn de los resultados, el experimentador retoma la informacin de los

grupos y la escribe en el pizarrn, pudiendo observarse las siguientes ideas:

Algunos recurren a la suma:

Exp: Ac sumaron as:

Alumnos: suman 20

Estos grupos de chicos se deciden por la suma de sumandos iguales, considerando como sumandoregular a la cantidad de baldosas por fila.

Otros realizan los repartos pero usando nmeros en lugar de baldosas:

Exp: Emi lo hizo as:

1111111111

y sigui hasta el 20. Cuntos le sobraron?

7 Adaptacin de la versin publicada en Multiplicacin, divisin y fracciones. Documento de trabajo N4 de laDireccin de Currculum de la Secretara de Educacin. G.C.B.A. 1997.


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Alumnos: sobraron 2

En cambio, otros lo hicieron mentalmente:

Exp: A ver, Csar, cmo lo pensaste?

Csar: Con la mente

Exp: Empezaste con 5 y hago 1 (escribiendo en el pizarrn)

Csar: Con 10 hago 2Con 15 hago 3Con 20 hago 4 (mientras lo expresa oralmente, el experimentador anota en el pizarrn)

Exp: Muy bien.

Se observa en este caso la aplicacin de una relacin proporcional entre los elementos fila-columna. Esta regularidad permitira establecer la razn entre dos nmeros resultado del cociente entre losmismos.

Si bien esta experiencia se desarroll en una clase de un da, la continuidad de un trabajo de estetipo, aumentando el tamao de los nmeros, habilitara el uso de la multiplicacin, en el caso de que losalumnos dispusieran de ella.

De esta forma, podran aparecer escrituras que involucren la multiplicacin, aproximndose cadavez ms al resultado requerido por el problema, por ejemplo:

Se dispone de 87 baldosas para armar un patio rectangular, colocando 4 baldosas en cada fila.Cuntas filas va a tener el patio y cuntas sobran?

Sumar 4 + 4 + 4 ..hasta alcanzar el 87 comienza a resultar engorroso, y justifica el uso de lamultiplicacin, por ejemplo, por 10:si hago 10 filas, uso 10 x 4 = 40 baldosas

si hago otras 10, uso otras 40puedo hacer otra fila y sobran 3. En total son 21 filas y sobran 3.

O bien, ir restando las baldosas usadas:

87 40 = 47 (si hago 10 filas)

47 40 = 7 (si armo otras 10 filas) son 21 filas

7 4 = 3 (si armo otra fila)

sobran 3 baldosas.


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ALGUNOS EJEMPLOS DE PROBLEMAS POSIBLES DE PRESENTAR A LOS ALUMNOS:

"...El abordaje de una variedad de problemas es un trabajo complejo y a largo plazo. Considerarcomo objeto de la enseanza a los problemas de la divisin significa asumir dicha complejidad. Para ellonos parece importante promover una organizacin de la clase que permita trabajar con esta complejidad ycon la diversidad...".8

Los docentes de la Escuela en la cual fue aplicada la secuencia anteriormente presentada,realizan la siguiente propuesta de problemas orientados al ciclo con la intencin de presentar una variedadde situaciones:

1.- Juan tiene 50 caramelos y quiere darle 5 a cada nene para cuntos nenes le alcanza?

2.- Mi seorita trajo una caja con 130 bolitas para repartir entre nosotros 10, sobran

algunas?.

Breve nota: Mientras lee los problemas anteriores y posteriores podra observar lascaractersticas de las preguntas...?

3.- En cada pgina de mi lbum de figuritas tengo 6 figuritas. Si tiene 30 pginas y llenla mitad ,cuntas figuritas tengo ?.

4.- Un camin distribuir 350 cajones de verduras en 5 negocios, cmo podra hacerlopara que no sobre ninguno dejando distinta cantidad de cajones en cada negocio?.

5.- Vena un grupo de 16 hormigas a descansar en 3 hormigueros pequeos. Decidieron

separarse para ocuparlos, de que manera podran hacerlo?

6.- Mam gusana trajo 4 manzanas para que comieran sus 7 hijos,cmo hizo la mam para que comieran todos ?.

Se plantearon distintos problemas en los cuales, es probable que los alumnos apliquendiversos modos de produccin de hiptesis y procesos para alcanzar resoluciones distintas o no, deacuerdo a los recursos que tengan disponibles.

Entre otras, la intencin del equipo docente que trabaj en esta pequea investigacin, esproponer a los dems docentes reflexionar sobre laformulacin de las preguntas que hacen a lassituaciones problemticas que se presentan a los nios. Es decir, se cree que las mismas no debieran

llevar involucrada la operacin que se debe realizar, que debieran permitir la hipotetizacin deprocedimientos y no directamente la cuantificacin de un resultado...( dejemos de lado la famosapregunta: cuntos caramelos le tocan a cada uno?)...

Pero sta, es simplemente es nuestra reflexin...

8 Broitman, C. La enseanza de la divisin en Primer Ciclo. Revista Zona Educativa. Julio 1998


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A modo de reflexin final

En los ltimos aos se ha destacado que la enseanza de la matemtica se debe basar en el trabajocon problemas. Esto es innegable . Pero cierto es que no es muy claro que significa esto.

No cualquier problema es pertinente para que los alumnos movilicen sus conocimientos yproduzcan nuevas y ms complejas relaciones entre los nmeros. No cualquier problema permite que losalumnos se vayan aproximando al concepto de suma y resta. Y mucho menos al de divisin.

Que los chicos resuelvan problemas no garantiza automticamente que dominen un conceptomatemtico. Dichos problemas, y ms que eso, toda una variedad de problemas es la que da sentido a unconocimiento matemtico. Por lo tanto, la secuencia de actividades que se elija favorecer (o no) que losalumnos se apropien y produzcan un conocimiento matemtico. Dicha secuencia no es azarosa. Estntimamente ligada con los conocimiento de que disponen los alumnos, de las intervenciones docentes, delos intercambios entre pares que se promuevan, de las verdades colectivas a las que se va arribando, delos tiempos que se autorice sin correr tras la planificacin, de la coordinacin con otros docentes y losdirectivos de la institucin escuela, en definitiva, de un proyecto que ponga en el centro de atencin los

objetivos reales: la transmisin de una parte de la cultura que la humanidad ha producido y los modos enque son producidos (o al menos proximidades de dichos modos)

Estas decisiones permitirn a los alumnos comenzar a tener otro tipo de vnculo con el saber,animarse a producir resultados (errneos, parciales, poco formales) pero justamente de eso se trata, derepensar en las diferentes maneras en que un chico que tiene entre 6 y 9 aos se aproxima cada vez ms alquehacer matemtico.

Una de las cuestiones a destacar con relacin a este documento es que aborda el sistema denumeracin desde un punto de vista que pone el acento en las funciones y los tipos de problemas quepermiten resolver los nmeros. En particular, el conocimiento del sistema de numeracin.

Se ha optado por no abordarlo desde los conceptos de unidad, decena y centena ya que los mismosponen en juego la multiplicacin y la divisin. Lgicamente, cuando armamos grupos de diez, lo quehacemos no es ms ni menos que dividir por diez. Cuntas decenas tiene el 1234? Para responder estacuestin, basta correr un lugar la coma. Y esto es dividir.

Sin duda, los chicos pueden decir que en el lugar de las decenas est el 3, pero esa respuesta indicaque saben que ese nmero que est ah es el nmero 3, y no que representa al 30. Para que puedan pensaren que dicho nmero representa el 30, deben anteriormente saber que 34 = 3 x 10 + 4 y esto involucra lamultiplicacin.

Estas razones motivaron la opcin de trabajar con los nmeros tal como se los lee, se los escribe yel lugar que ocupan en la serie. Es ms sencillo para los chicos pensar que el 34 es 30 + 4 , que tienecosas similares con otros que tambin empiezan con el 3, que est despus del 33, que apelar a la

multiplicacin para descomponer los nmeros.

Por ltimo se pretende destacar que no son todos problemas vinculados a la realidad los que sepresentan a los chicos. Si slo se presentan a los alumnos problemas reales se corre el riesgo de que laescuela carezca de sentido ms all de tercero o cuarto ao. La fuerza de la matemtica reside en sucapacidad de anticipacin, en no necesitar experimentar para encontrar la respuesta a un problema (nadiese ha subido al Aconcagua para saber su altura). Es principalmente el conjunto de relaciones que loschicos pueden establecer a partir de problemas que se les planteen, lo que caracteriza el hacermatemticas en este ciclo. Estas relaciones pondrn en juego los nmeros, las operaciones, las figuras, lasmediciones, en definitiva, esa porcin de construccin cultural que desarroll la humanidad a lo largo demiles de aos que se supone resulta til para conocer ms y mejor y poder tomar decisiones msapropiadas.


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ALGUNAS REFLEXIONES ENTORNO A LA ENSENIANZA DE LA MATEMáTICA EN 1 CICLO

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