Algoritmos aproximativos: o problema do...
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Algoritmos aproximativos: o problema do caixeiro-viajante Universidade Federal do Rio de Janeiro Vinícius Gusmão Pereira de Sá
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Algoritmos aproximativos: o problema do caixeiro-viajante
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Vinícius Gusmão Pereira de Sá
Algoritmos aproximativos
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
Máquina A
Máquina B
Máquina C
Máquina D
0 8 10 15 18 19 22 25 35 38 42 60 70 (min)
Algoritmos aproximativos
10:00 15:00
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
Máquina A
Máquina B
Máquina C
Máquina D
0 8 10 15 18 19 22 25 35 38 42 60 70 (min)
Algoritmos aproximativos
10:00 15:00 19:00
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
Máquina A
Máquina B
Máquina C
Máquina D
0 8 10 15 18 19 22 25 35 38 42 60 70 (min)
Problemas NP-difíceis
→ pelo menos tão difíceis quanto qualquer problema em NP
→ provavelmente não é possível resolvê-los em tempo polinomial (a menos que P = NP)
→ força bruta demanda tempo exorbitante
→ heurísticas e algoritmos aproximativos
→ mochila, cobertura mínima por conjuntos, floresta de Steiner, conjunto independente máximo, escalonamento, caixeiro-viajante etc.
Problemas de minimização: A(I) ≤ α . opt(I) , α ≥ 1
Problemas de maximização: A(I) ≥ α . opt(I) , 0 < α ≤ 1
Algoritmos aproximativos
Algoritmos aproximativos
10:00 15:00 19:00
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
0 8 10 15 18 19 22 25 35 38 42 60 70 (min)
18:20
Algoritmo aproximativo:
α = 4/3
Algoritmos aproximativos
10:00 15:00 19:00
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
0 8 10 15 18 19 22 25 35 38 42 60 70 (min)
18:20
Algoritmo aproximativo:
α = 4/3
16:15
O problema do caixeiro-viajante
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O problema do caixeiro-viajante → o mais famoso problema de otimização combinatória
→ operações de máquinas em manufatura, otimização do movimento de ferramentas de corte, otimização de perfurações em placas de circuito impresso, roteamento de veículos, distribuição de tarefas etc.
→ ciclo hamiltoniano de custo mínimo
→ NP-difícil, mesmo se as arestas tiverem custos em {1,2}
→ gama enorme de heurísticas
→ diversas formulações e problemas correlatos
Caixeiro-viajante métrico (euclidiano)
→ grafo completo → custos das arestas satisfazem a desigualdade triangular
A B
X
c(A,B) ≤ c(A,X) + c(X,B)
A B
O menor caminho entre A e B é sempre a própria aresta (A,B)
Algoritmo RSL (Rosenkrantz, Stearns e Lewis)
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo RSL (Rosenkrantz, Stearns e Lewis)
1) árvore geradora T de custo mínimo
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo RSL (Rosenkrantz, Stearns e Lewis)
2) duplicam-se as arestas (multigrafo)
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo RSL (Rosenkrantz, Stearns e Lewis)
3) determina-se um ciclo euleriano W: A,B,D,G,C,G,H,G,F,G,D,E,D,B,A
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo RSL (Rosenkrantz, Stearns e Lewis)
4) constrói-se um circuito hamiltoniano, com os vértices na ordem do ciclo euleriano, sem repetições: A,B,D,G,C,G,H,G,F,G,D,E,D,B,A
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo RSL (Rosenkrantz, Stearns e Lewis)
5) retorna-se o circuito hamiltoniano H assim obtido: A,B,D,G,C,H,F,E,A
c(H) ≤ 2 . c(H*)
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo RSL (Rosenkrantz, Stearns e Lewis)
Tempo
O (n2)
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
A B
C D
E
F
G
H
1) árvore geradora T de custo mínimo
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
2) emparelhamento perfeito M (de custo mínimo) dos vértices de grau ímpar
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
2) emparelhamento perfeito M (de custo mínimo) dos vértices de grau ímpar
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
3) determina-se um ciclo euleriano W: A,B,D,G,F,H,G,C,D,E,A
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
4) constrói-se um circuito hamiltoniano, com os vértices na ordem do ciclo euleriano, sem repetições: A,B,D,G,F,H,G,C,D,E,A
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
5) retorna-se o circuito hamiltoniano H assim obtido: A,B,D,G,F,H,C,E,A
c(H) ≤ 1,5 . c(H*)
A B
C D
E
F
G
H
Algoritmo de Christofides
Tempo
O (n3)
UFRJ
