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Algoritmo de Euclides yTeorema Fundamental de la Aritmtica4.1. Algoritmo de Euclides. 4.2 Ecuaciones diofnticas4.3. Teorema Fundamental de la Aritmtica4.4 Ejercicios resueltos4.5 Ejercicios propuestos

4.1. Algoritmo de Euclides. El mximo comn divisor de dos enteros puede obtenerse escogiendo el mayor de todos los divisores comunes. Hay un proceso ms eficiente que utiliza repetidamente el algoritmo de la divisin. Este mtodo se llama algoritmo de Euclides.El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: dados dos enteros a y b, cuyo mximo comn divisor se desea hallar, y asumiendo que a b > 0, (El mtodo funciona tambin si a y b son negativos. Basta trabajar con los valores absolutos de estos nmeros, debido a que M.C.D(| a |, | b |) = M.C.D (a,b)) se siguen los siguientes pasos:a) Se usa el algoritmo de la divisin para obtener b + con < b.Si = 0, entonces, b|a y M.C.D.(a, b) = b.b) Si se divide b por y se producen enteros y que satisfacenb = + con .Si = 0 el proceso termina y M.C.D.(a, b) = .c) Si se procede a dividir por ,obteniendo .d) Este proceso continua hasta que algn residuo cero aparece. Esto ocurre porque en la secuencia no puede haber ms de b enteros. Es decir el proceso es finito.e) En estas circunstancias, el mximo comn divisor de a y b no es ms que el ltimo residuo no cero del proceso anterior.Esto lo garantiza la aplicacin reiterada del siguiente teorema.4.1.1. Teorema. Si a y b son enteros positivos con entonces M.C.D.(a, b) = M.C.D.( b, r ).DemostracinSea d = M.C.D.(a, b). Luego d | a y d | b. De donde d | (a+qb) por los teoremas 2.2.3. y 2.2.4.Como a+qb = r, se tiene que d | r.Luego d es divisor comn de b y r.Por otra parte, sea c un divisor comn de b y r, luego c | (qb + r) por teorema 2.2.2. y 2.2.3.Como qb + r = a, entonces, c | a. De lo anterior tenemos que c es un divisor comn de a y b.Como d = M.C.D.(a, b) se tiene que .Luego, d = M.C.D.(b, r).Ej: Halle M.C.D.(12.378, 3.054).Solucin12.378 = 4x3.054 + 1623.054 = 18x162 + 138162 = 1x138 + 24138 = 5x24 + 18 24 = 1x18 + 618 = 3x6 + 0Luego M.C.D.(12.378, 3.054) = 6 que es el ltimo residuo no cero.Ejemplo: Como el M.C.D.(12.378, 3.054) = 6 podemos utilizar el ejercicio anterior para encontrar enteros x y y que cumplan la condicin: 6 = 12.378x + 3.054y. 6 = 24 - 18= 24 - (138 - 5x24)= 6x24 - 138= 6x(162 - 138) - 138= 6x162 - 7x138= 6x162 - 7x(3.054 - 18x162)= 132x162 - 7x3.054= 132x(12.378 - 4x3.054) - 7x3.054= 132x12.378 + (- 535) x3.054Luego, x = 132; y = -535

Diofanto de AlejandraFue un gran matemtico griego que di fama a Alejandra, hacia el ao 280 d. J. C.Diofanto se dedic al lgebra, como indican los trminos de un epigrama griego que nos relata la corta historia de su vida. Su infancia dur 1/6 de su vida; su barba creci despus de 1/12 ms; se cas despus de 1/7 ms, y su hijo naci cinco aos ms tarde; el hijo vivi hasta la mitad de la edad de su padre, y el padre muri cuatro aos ms tarde que su hijo.Si x es la edad a la cual muri, entonces:,y Diofanto debi haber vivido hasta los ochenta y cuatro aos de edad.De los principales escritos de Diofanto se conservan algunos: son seis de los trece libros que formaban la ARITHMETICA, y fragmentos de sus nmeros POLIGONALES y PORISMAS. Su obra perenne se halla en la teora de nmeros y de Ecuaciones Indeterminadas.Se interes especialmente por ecuaciones cuadrticas y otros tipos ms elevados, como por ejemplo la ecuacin: .Hall cuatro nmeros enteros positivos x, y, z, u para los cuales esta afirmacin es cierta.Siglos ms tarde, sus pginas fueron vidamente ledas por Fermat, el cual demostr que la ecuacin no tiene solucin en los enteros positivos.

4.2 Ecuaciones diofnticas4.2.1. Definicin. El trmino ecuacin diofntica se usa para designar una ecuacin en una o ms incgnitas que va a ser resuelta en los enteros. La ecuacin diofntica ms simple es la ecuacin diofntica lineal en dos incgnitas , donde a y b son enteros dados, no ambos cero.Ej: La ecuacin diofntica tiene infinitas soluciones enteras. Algunas de estas soluciones son:

Ej: La ecuacin diofntica no posee solucin debido a que tanto como son nmeros pares. La suma de dos nmeros pares es un nmero par y 17 es un nmero impar.Un criterio para conocer cuando una ecuacin diofntica de este tipo posee solucin lo proporciona el siguiente teorema.4.2.2. Teorema. La ecuacin diofntica tiene solucin s y slo s d|c, donde d = M.C.D.(a, b).Si es una solucin particular de esta ecuacin, entonces, todas las otras soluciones estn dadas por: para t entero arbitrario.Ejemplo: La ecuacin no tiene solucin porque: 2 = M.C.D.(2, 10) no divide a 17.Ejemplo: La ecuacin tiene solucin porque: 1 = M.C.D.(5, 6) divide a 8.Cmo hallamos una solucin particular?Existen dos mtodos. El primero es por simple inspeccin, pero si as no fuera posible, podemos utilizar el algoritmo de Euclides as:

Se hallan utilizando el algoritmo anteriormente citado.6 = 1x5 + 1.5 = 5x1 + 0.Luego, 1 = 6 - 1x5.Quiere decir que Entonces:

En la expresin se multiplican ambos miembros por 8 y se obtiene: .Luego, la solucin particular de la ecuacin diofntica es de la forma siguiente:

La solucin general ser:o sea

4.3. Teorema Fundamental de la Aritmtica4.3.1. Definicin. Un entero p > 1 es llamado un nmero primo, s y slo s sus nicos divisores positivos son 1 y p. Un entero mayor que 1 que no sea primo se llama compuesto.Ejemplo: Los siguientes nmeros son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.Los siguientes nmeros son compuestos: 4, 6, 9, 14, 15, 16, 21.4.3.2. Teorema. Si p es un nmero primo y p | ab, entonces p|a p|b.DemostracinSi p|a, no hay nada que demostrar.Asumamos que . Como los divisores de p slo son 1 y p, tenemosM.C.D.(p, a) = 1. Entonces, por el lema de Euclides p|b.4.3.3. Teorema Fundamental de la Aritmtica. Todo entero n > 1 puede ser expresado como producto de primos. Esta representacin es nica, salvo el orden de los factores.El teorema anterior garantiza que todo entero n se puede escribir de forma nica de la manera siguiente:

donde,

Se puede demostrar que si un entero n est escrito en la forma anterior, entonces el nmero de sus divisores positivos viene dado por:

Resultados similares se pueden obtener en el caso que n sea negativo.Ejemplo: 1001 se puede escribir como producto de primos de forma nica, como .Ejemplo: 24 se puede escribir como producto de primos de forma nica, como .Ejemplo: El nmero de divisores de 1001 es .Ejemplo: El nmero de divisores de 24 es .Ejemplo: -1001 se puede escribir, salvo el signo como producto de primos de forma nica, como -1001 = - (7x11x13).Ejemplo: El nmero de divisores positivos de -1001 es t (1001) = 8.4.3.4. Definicin. El mnimo comn mltiplo de dos enteros a y b, ambos diferentes de cero, denotado por m.c.m.(a, b) es el entero positivo m que satisface:i. a | m y b | mii. Si a | c y b | c con c > 0, entonces, .

4.4 Ejercicios resueltos1. Pruebe que un entero positivo es cuadrado perfecto, s y slo s en su descomposicin en factores primos todos los exponentes son pares.SolucinSea la descomposicin en factores primos de n.n es cuadrado perfecto si y slo si existe un tal que , s y slo s . Para que todos los es necesario que , sto s y slo s s y slo s es par.2. Resuelva este problema:una compaa compr cierto nmero de reliquias falsas a $17 cada una y vendi algunas de ellas a $49 cada una. Si la cantidad comprada originalmente es mayor que 50 y menor que 100 y la compaa obtuvo una ganancia de $245. Cuntas reliquias faltan por vender?SolucinSea x: nmero de reliquias que compr.y: nmero de reliquias que vendi.Se sabe que 50 < x < 100.Lo que vendi menos lo que compr debe ser igual a la ganancia. Luego:. Se trata de resolver esta ecuacin diofntica.M.C.D.(17, 49) = ? . Utilicemos el algoritmo de Euclides.49 = 2x17 + 1517 = 1x15+215 = 7x2+17 = 7x1+0Luego, M.C.D.(17, 49) = 1

O sea que: . Multiplicando por 245 obtenemos:

As que una solucin particular de la ecuacin diofntica es .

La solucin general para Bajo las condiciones del problema, slo se obtiene que con se cumple que , o sea que compr 98 reliquias.Para , se tiene que da como resultado , que fueron las reliquias que vendi. Luego, faltan por vender 59 reliquias.3. Demuestre: que un nmero de 4 cifras es mltiplo de 9 si la suma de sus dgitos es mltiplo de 9.SolucinSea , donde a, b, c, d son dgitos.Sea (escrito en base 10).Sea n la suma de sus dgitos, es decir, y tal que 9n.Luego, .Entonces, ; es decir, es mltiplo de 9, o sea .Como por hiptesis 9 | n y se tiene que 9 | (N - n), entonces, 9 | N.4. Halle dos nmeros, uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores cuyo mximo comn divisor sea 18.Solucion.Sea

Se debe cumplir que:

Entonces, A debe ser de la forma, A = X12 X26Tambin B, debe ser de la forma B = Y1 Y24Pero, d = 18 = 2 x 32De lo anterior, se deduce que A =32 x 26B = 2 x 34Luego, A = 576B = 1625. Un nmero N descompuesto en sus factores primos es de la forma N = 2x 3y 5zSi se divide por 2, se suprimen 24 divisores.Si se divide por 3, se suprimen 18 divisores.Si se divide por 5, se suprimen 12 divisores.Halle N.Solucion:N = 2x 3y 5z tiene (X+1) (Y+1) (Z+1) divisoresN/2 tiene X (Y+1) (Z+1) divisoresN/3 tiene (X+1) Y (Z+1) divisoresN/5 tiene(X+1) (Y+1) Z divisoresPero:(X+1) (Y+1) (Z+1) - X (Y+1) (Z+1) = 24(X+1) (Y+1) (Z+1) - (X+1) Y (Z+1) = 18(X+1) (Y+1) (Z+1) - (X+1) (Y+1) Z = 12Las expresiones anteriores conducen al siguiente sistema de ecuaciones simultneas(Y+1) (Z+1) = 24(X+1) (Z+1) = 18(X+1) (Y+1) = 12La solucin al sistema anterior es la siguiente:X = 2, Y = 3, Z = 5.En consecuencia, N es de la forma siguiente: N = 22 33 55 = 337.500.6. Halle un nmero cuadrado perfecto de 4 cifras, sabiendo que la suma de sus dgitos es 31.Solucin.Sea N = mcdu el cuadrado de ab.Se cumple que m + c + d + u = 31.El valor mnimo de m es 4 y esto en el caso que c = d = u = 9Si m = 4, entonces, N = 4999 que no es cuadrado perfecto. Si m = 5, entonces, . El nico nmero posible es N = 5929 cuya raz es 77, pero no cumple la condicin de que la suma de sus dgitos sea 31.Si m = 6, entonces, . El nico nmero posible es N = 6889 que cumple las condiciones del problema.Se puede demostrar que para m = 7, m = 8, m = 9, ningn nmero cumple las condiciones del problema.En consecuencia, N = 6889 = 8327. La suma de dos nmeros es 240 y su mnimo comn mltiplo es 1768. Cules son esos nmeros?.Solucin.Se sabe que 1768 = 23 x 13 x 17.Ninguno de los nmeros solicitados tiene como factores primos, simultneamente, el 13 y el 17, debido a que 13 x 17 = 221. Por tanto 240 - 221 = 19, que es un nmero primo, no cumple las condiciones del problema, debido a que 1768 debe tener los factores primos de cada uno de los nmeros y 19 no es factor primo de 1768.Luego:

Necesariamente, la nica posibilidad es a = b = 3, despus de chequear con v.Entonces, A = 23 x 13 y B = 23 x 17.Por tanto: A = 104B = 136La condicin A + B = 240 se cumple en este caso.8. Encuentre un nmero de 4 cifras divisible por 9, sabiendo que sus cifras van disminuyendo de izquierda a derecha de unidad en unidad.Solucin.Sea N = abcd el nmero pedido.Se deben cumplir las siguientes condiciones:b = a - 1c = b - 1 = a - 2.d = c - 1 = a - 3.Como 9 divide a N = abcd, entonces, 9 debe dividir a la siguiente suma:a + a - 1 + a - 2 + a - 3.Entonces, 9 debe dividir a (4a - 6). Se presentan las siguientes posibilidades:4a - 6 = 9, entonces, 4a = 15 lo que no de puede dar.4a - 6 = 18, luego, a = 6.4a - 6 = 27, luego, 4a = 33 lo que no se puede dar.La nica posibilidad es, entonces a = 6, en cuyo caso N = 6543.9. Si p y p2+8 son nmeros primos primos, demuestre que p3+4 es tambin primo.Solucion.Veamos que si p es primo, entonces, p2+8 es primo solo para p = 3.Sea p > 3, entonces p = 6K+1 p = 6K+5.En el primer caso, p2+8 = (6K+1)2+8 = 3 (12K2+4K+3) que es un nmero compuesto.En el segundo caso p2+8= (6K+5)2+8=3(12K2+20K+11) que es un nmero compuesto.Si p = 3, entonces p2 +8 = 17 y, en este caso, p3+4 = 27+4 = 31 que es un nmero primo. 10. Demuestre que todo entero de la forma tiene un factor primo de esa forma.Solucin.Si es primo, no hay nada que demostrar.Si es compuesto, debe tener al menos un factor primo de la forma , debido a que el producto de factores primos de la forma siempre da como resultado factores de la forma .11. Demuestre que el nico primo p, para el cual es cuadrado perfecto, es .Solucin.Si p es primo y 3p +1 es cuadrado perfecto, entonces se debe cumplir que:

Entonces, Existen dos posibilidades:

En el primer caso, Con la segunda posibilidad, se tiene , que es una contradiccin

4.5 Ejercicios propuestos1. Demuestre que si dos enteros son divisibles por un tercero y los cocientes obtenidos son primos relativos, entonces, el tercer entero es el mximo comn divisor de los enteros dados.2. Demuestre que si la suma de dos enteros positivos a, b es un nmero primo, entonces M.C.D.(a, b) = 13. Demuestre que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.4. Si el mximo comn divisor de dos nmeros es 2 y su producto es 840, halle los dos nmeros.5. Si el mximo comn divisor de dos enteros es 14. Cules son esos enteros, sabiendo que la serie de los cocientes obtenidos, al buscar el mximo comn divisor, es 3, 8, 2 y 4.6. El mximo comn divisor de dos nmeros es 108. Cul es el menor de estos enteros si el mayor es 756?7. Demuestre que si n es un entero, entonces es divisible por 30.8. Halle el menor entero positivo que dividido por 4, 6, 11, 15, 18, 33 deje siempre por residuo 1.9. Demuestre que no existen enteros m y n tales que

10. Dados los enteros a, b, c,con al menos dos de ellos diferentes de cero, pruebe que si d = M.C.D.(a, b, c), entonces:d = M.C.D.(M.C.D.(a, b), c)= M.C.D.(a, M.C.D.(b, c))= M.C.D.(M.C.D.(a, c), b)