Aplicación en su forma matricial, para la construcción de modelos de regresión para el análisis de curvas de declinación en la industria petrolera.

Equipo #8Lombardini Rosas

Luis GerardoTorres Gómez

Martha PaolaVelázquez

Hernández Stephanie

La aplicación del Álgebra Lineal a la Ingeniería Petrolera, en este caso con el uso del Método de Mínimos Cuadrados.

OBJETIVO

Método de Mínimos Cuadrados

Curva de declinación

Caudal límite económico y tiempo de abandono

CONTENIDO

Para esto, necesitamos partir de una ecuación lineal Ax=b.

MÉTODO DE MÍNIMOSCUADRADOS

Ax=b

A es llamada la matriz de coeficientes

x es la matriz de incógnitas

b la matriz de términos independientes

FORMA MATRICIAL

a

B

A

x

b

Ax=b

2.903892.861402.813432.597282.705062.677932.563092.426772.408652.273062.422742.172102.399552.205672.369572.338082.334132.140741.950122.141381.97878

111111111111111111111

0 90 180 210 300 418 570 630 778 960 1020 1170 1320 1470 1530 1680 1740 1830 1980 2100 2190

Haciendo d=b-Ax, su norma que se denota: IIdII, puede calcularse a través de:

IIdII= =

¿Qué quiere

decir esto?

 

POR LO TANTO…

El Método de Mínimos Cuadrados

consiste en encontrar una

solución para x en Ax=b tal que

se minimice la suma de

cuadrados residuales, esto es IIdII

La solución por Mínimos Cuadrados para el sistema matricial Ax=b es:

x= (ATA)-1 ATb

SOLUCIÓN AL MÉTODO

AT

• Es transponer la matriz A, en donde el elemento de la matriz original A se convertirá en el elemento de la matriz transpuesta AT.

(ATA)-1: • Es la inversa de ATA

Para poder predecir la producción

del petróleo y gas

Determinar

los precios de los hidro-carbur

os.

CURVA DE DECLINACIÓN

Declinación Exponencial

Declinación Armónica

Declinación Hiperbólica

CLASIFICACIÓN

DECLINACIÓN EXPONENCIAL

q es la pro-ducción de acei-te (petróleo) me-dida en mbpd.

qq y –D0 son los

parámetros que deseamos cono-cer.

q= q0e-Dot

t es el tiempo en días

Considere los siguientes datos de producción utilizados para evaluar la declinación de un pozo:

Tiempo (Días) q (mbpd)*0 18.245

90 17.486180 16.667210 13.4273300 14.95529418 14.55505570 12.97587630 11.32227778 11.11902960 9.70913

1020 11.276811170 8.77671320 11.01831470 9.076391530 10.692861680 10.361381740 10.320541830 8.505811980 7.029542100 8.51162190 7.23394

*millones de barriles por día

¿Cuál de los modelos estima mejor el comportamiento del caudal con el tiempo?

Para la solución del Método necesitamos transformar la ecuación que se asemeje a y=mx+b.

1 2 3 4 5

Tiempo (Días)

q (mbpd)

*

In (q)

0 18.245 2.9038990 17.486 2.86140

180 16.667 2.81343210 13.4273 2.59728300 14.9552

92.70506

418 14.55505

2.67793

570 12.97587

2.56309

630 11.32227

2.42677

778 11.11902

2.40865

960 9.70913 2.273061020 11.2768

12.42274

1170 8.7767 2.172101320 11.0183 2.399551470 9.07639 2.205671530 10.6928

62.36957

1680 10.36138

2.33808

1740 10.32054

2.33413

1830 8.50581 2.140741980 7.02954 1.950122100 8.5116 2.141382190 7.23394 1.97878

Modelo Exponencial q= q0e-Dot

In (q0)

-D0 Aplicándole loga-ritmo natural a nuestra ecuación

In (q) = a+Bt

Nótese que, la podemos llevar a la expresión y=mx+b

ECUACIONES LINEALES

a+0B = 2.90389a+90B = 2.86140

a+180B = 2.81343a+210B = 2.59728a+300B = 2.70506a+418B = 2.67793a+570B = 2.56309a+630B = 2.42677

a+778B = 2.40865a+960B = 2.27306a+1020

B= 2.42274

a+1170B

= 2.17210

a+1320B

= 2.39955

a+1470B

= 2.20567

a+1530B

= 2.36957

a+1680B

= 2.33808

a+1740B

= 2.33413

a+1830B

= 2.14074

a+1980B

= 1.95012

a+2100B

= 2.14138

a+2190B

= 1.97878

Donde a a se le suma el tiempo en días multiplicado por B

FORMA MATRICIAL

a

B

A

x

b

Ax=b

2.903892.861402.813432.597282.705062.677932.563092.426772.408652.273062.422742.172102.399552.205672.369572.338082.334132.140741.950122.141381.97878

111111111111111111111

0 90 180 210 300 418 570 630 778 960 1020 1170 1320 1470 1530 1680 1740 1830 1980 2100 2190

x=(ATA)-1 ATb

ENCONTRANDO LOSPARÁMETROS

Los valores de a y B son:2.7831395866801

94

-3.5019901291545

846*10^-4

 

A=ea= 16.16955252.

q= q0e-Dot sustituyendo los valores obtenemos:

q=16.16955e-3.5019901291545846*10^-4x

CUADRADOS RESIDUALES

0.12075041331981

0.1097783244822

0.093326235644589

-0.112317793967

950.026980117194

4440.041173600718

468-

0.020436149318382

-0.135744208543

45-

0.10203475463197-

0.17388853428135-

0.0031965935064258

-0.201306741569

110.078673110368

2120.062677037694

470.122234903080

460.143274755017

780.160336695792

7-

0.0015353930449047

-0.139625541107

590.093658340442

269-

0.037423748395339

d:

||d||=0.5013702160062

Ilustración 1: Diagrama de dispersión (exponencial)

DECLINACIÓNARMÓNICA

q=

q

01+D0t

qq y D0

pará-metros que de-seamos conocer.

Constante de la fórmula

t es el tiempo en días

Modelo Armónico

Necesitamos transformar la ecuación que se asemeje a y=mx+b.

1𝑞= 1𝑞0 + ቀ

𝐷0𝑞0ቁt

a B

Tiempo (Días)

q (mbpd)*

0 18.245 0.05480953690 17.486 0.057188608

180 16.667 0.0599988210 13.4273 0.074475136300 14.95529 0.066865971418 14.55505 0.068704676570 12.97587 0.077066123630 11.32227 0.088321511778 11.11902 0.089935983960 9.70913 0.10299584

1020 11.27681 0.088677561170 8.7767 0.113938041320 11.0183 0.0907581021470 9.07639 0.1101759621530 10.69286 0.0935203491680 10.36138 0.096512241740 10.32054 0.0968941541830 8.50581 0.1175666981980 7.02954 0.1422568192100 8.5116 0.1174867242190 7.23394 0.138237253

a+0B = 0.054809536

a+90B = 0.057188608

a+180B = 0.0599988a+210B = 0.07447513

6a+300B = 0.06686597

1a+418B = 0.06870467

6a+570B = 0.07706612

3a+630B = 0.08832151

1a+778B = 0.08993598

3a+960B = 0.10299584

a+1020B = 0.08867756a+1170B = 0.11393804a+1320B = 0.09075810

2a+1470B = 0.11017596

2a+1530B = 0.09352034

9a+1680B = 0.09651224a+1740B = 0.09689415

4a+1830B = 0.11756669

8a+1980B = 0.14225681

9a+2100B = 0.11748672

4a+2190B = 0.13823725

3

Donde a a se le suma el tiempo en días multiplicado por B

FORMA MATRICIAL111111111111111111111

a

B

0.0548095360.0571886080.05999880.0744751360.0668659710.0687046760.0770661230.0883215110.0899359830.102995840.088677560.113938040.0907581020.1101759620.0935203490.096512240.0968941540.1175666980.1422568190.1174867240.138237253

A

x

b

Ax=b

0 90 180 210 300 418 570 630 778 960 1020 1170 1320 1470 1530 1680 1740 1830 1980 2100 2190

x=(ATA)-1 ATb

ENCONTRANDO LOSPARÁMETROS

0.0595120555501897

3.142799415528362*10^-5

  

Los valores de a y B son:

q0= = 16.80331

D0 = q0.B = 0.00050Dando como resultado nuestra q igual a:

CUADRADOS RESIDUALES

Es tiempo de obtener el módulo o norma de d-0.0047025195501897-0.0051519670241652-0.00517029449814070.0083632016772008-0.0020744827967747-0.0039442811070982

-3.5988921870130919*10^40.0090098191319817,0.00597294799699970.013312910060738

-0.00289104958857890.017655231288129-0.0102389058351640.0044647550415434-0.014076537607774-0.015798845731066-0.017302611380383

d:||d||=

Ilustración 2: Diagrama de dispersión (armónico)

¿QUÉ MODELO ESTIMAMEJOR EL COMPORTA-MIENTO DEL CAUDAL?

Modelo de Regresión

||d||

Modelo Exponenci

al

0.5013702160062

Modelo Armónico

0.047275624705617

Dando como respuesta al Modelo Armónico

El valor para la declinación D0 es:D0 = q0.B = 0.00050 ¿Qué tiempo de vida le queda al pozo (qEL= 5 mbpd)?t= - 1 D0

¿Cuál será la producción acumulada (Np) al abandonar el pozo?Np = In = 40,735.86041mb

= 4,721.324 días aprox.

CONCLUSIÓNEl tiempo de abandonoCaudal límite económicoProducción acumulada

Un modelo de regresión más acertado es aquel cuyo valor es más cercano a cero, visto en la tabla comparativa.

El tiempo de vida del pozo que fue de 4,721.324 días aprox.

La producción acumulada obtuvimos la cantidad de 40,735.86041mb.

A la aplicación del método de mínimos cuadrados.