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20.- En una fábrica se gasta diariamente, para los jor-nales de 42 obreros, hombres y mujeres, la can-tidad de S/. 4 320. Los jornales de los obrerossuman tanto como los de las obreras. Calcular elnúmero de éstas, sabiendo que el jornal delhombre excede en 30 soles al de la mujer.

Solución:

Sea “x” el número de obreros, el número de obre-ras será: (42 - x).

Siendo la suma de los jornales de obreros y obrerasiguales, cada uno de ellos será:

4 320––––– = 2 1602

de donde:

2 160El jornal de cada hombre es: –––––x

2 160El jornal de cada mujer es: –––––42 - x

Por condición, el jornal del hombre excede en 30soles al de la mujer.

Entonces:

2 160 2 160––––– - ––––– = 30x 42 - x

2 160(42 - x) - 2 160x = 30(x)(42 - x)

72(42 - x) - 72x = x(42 - x)

3 024 - 72x - 72x = 42x - x2

x2 - 186x + 3 024 = 0

factorizando:

(x - 168)(x - 18) = 0

x1 = 168 (absurdo: excede el total)

x2 = 18

∴ x = 18 hombres

42 - x = 42 - 18 = 24 mujeres

Rpta.: Hay 24 obreros

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar una raíz, al resolver:

(x - a)4 + (x - b)4 41–––––––––––––––– = ––– (a - b)2

(x - a)2 + (x - b)2 20

a - b 3b + a 3a - ba) ––––– b) –––––– c) ––––––2 2 2

3a + b a - 3bd) –––––– e) ––––––2 2

2. Dar la suma de las raíces de la ecuación:

___________ ___________√6x2 - 15x - 7 + √4x2 - 8x - 11

___________- √2x2 - 5x + 5 = 2x - 3

1 5 7 3 9a) –– b) –– c) –– d) –– e) ––2 2 2 2 2

3. Dar una raíz al resolver:_____ _____ _____ _____

√2x - 1 + √3x - 2 = √4x - 3 + √5x - 4

1 2 1a) –– b) –– c) - 1 d) –– e) 13 3 3

4. Al resolver se obtiene como producto de las raícesde la ecuación:

2x3 - 3x2 + x + 1 3x3 -x2 + 5x - 13–––––––––––––– = ––––––––––––––2x3 - 3x2 - x - 1 3x3 -x2 - 5x + 13

40 7 1 43a) 40 b) ––– c) ––– d) ––– e) –––7 40 40 7

5. Calcular:____ ______

p √q b2

E = ––– + –––– + –––√ q p √ a

si las raíces de la ecuación.__

ax2 + b(b - 2√a ) x + b2 = 0 están en la relaciónde p/q

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0

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6. Si las raíces de la ecuación de segundo grado:

p2 p2

(1 - q + –– )x2 + p(1 + q)x + q(q - 1) + –– = 02 2

son iguales. Calcular E = p2/q.

1 1a) 1 b) 4 c) –– d) –– e) 24 2

7. Si una de las raíces de la ecuación x2 + px + q = 0es el cuadrado de la otra, calcular el valor de:

E = p2 - q(3p - 1) + q2

a) p b) q c) 0 d) 1 e) -1

8. Calcular “a” de manera que las 2 ecuaciones:

(5a - 2)x2 - (a - 1)x + 2 = 0

(2b + 1)x2 - 5x + 3 = 0

tengan las mismas raíces.

4 1 7 13 11a) –– b) –– c) –– d) ––– e) –––3 3 3 3 3

9. En la ecuación ax2 -(a - 5)x + 1 = 0, el productode las raíces es igual a la diferencia de las mis-mas. Hallar la mayor raíz.

1 1 1 1 1a) –– b) –– c) –– d) –– e) ––3 2 4 6 5

10.Dar la ecuación de segundo grado cuyas raícessean iguales a cada una de las raíces de laecuación:

ax2 + bx + c = 0

aumentada en la inversa de la otra raíz, de esamisma ecuación.

a) ax2 +(c + a)x +(c + a) = 0

b) acx2 + b(c - a)x +(c + a)2 = 0

c) acx2 + b(c + a)x +(c + a) = 0

d) acx2 +bx +(c + a)2 = 0

e)acx2 +(a + b)x +(c + a)2 = 0

11. Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación:

x2 + 3x m - 1–––––––– = ––––––5x + 12 m + 1

serán iguales en magnitud, pero de signos con-trarios.

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5

12. El resolver, una raíz será:

1 1 1 1–––– + –––– = –– + ––x - a x - b a b

ab aba) ––––– b) ––––– c) a - b a + b a - b

d) b - a e) a + b

13. Determinar “m” en la ecuación:

x2 -(3m - 2)x +(m2 - 1) = 0 de modo que una raízsea triple de la otra.

11 11 14a) 1 b) ––– c) -1 d) - ––– e) –––14 14 11

14. Calcular el valor de:

__ __ E = (1 + √2 )

7+ (1 - √2 )

7

a) 6 b) 14 c) 82 d) 478 e) 198

15. Calcular una de las raíces de las ecuaciones:

x2 + px + q = 0 , x2 + p’ x + q’ = 0

si ellas tienen una raíz común.

pq - p’q’ pq’ - p’q pq’ - p’qa) ––––––– b) –––––––– c) ––––––––

q - q q’ - q q - q’

q’ - q q’ - qd) ––––– e) ––––––––

p’ - q pq’ - p’q

16. Dadas las ecuaciones:

x2 + pq + q’ = 0

x2 + p’x + q” = 0

x2 + p”x + q = 0

α

α α

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Hallar:p + p’ + p”

E = –––––––––q + q’ + q”

sabiendo que p y q son raíces de la primera, p’ yq’ son raíces de la segunda y p” y q” son raíces dela tercera.

1 1 1 1a) –– b) - –– c) –– d) - –– e) -12 2 3 3

17. Se han sacado 9 litros de un barril lleno de vino,después se han llenado con agua y de esta mez-cla se han sacado otros nueve litros, y el barril esnuevamente llenado con agua. Si la cantidad devino que queda en el barril es a la cantidad deagua que se le ha añadido como 16 es a 9. ¿Quécapacidad tiene el barril?

a) 42 b) 49 c) 45 d) 46 e) 48

18. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dospuntos A y B distantes 320 km ; uno de A en di-rección a B y otro de B con dirección a A. El pri-mero recorrió 8 km más por hora que el segun-do y el número de horas que demoraron en en-contrarse está representado por la mitad del nú-mero de km que el segundo recorrió en una ho-ra, ¿cuál es la distancia recorrida por el primerciclista?

a) 180 km b) 160 km c) 190 km

d) 182 km e) 192 km

19. Un grupo de hombres formados en cuadro demanera que el marco lo constituirán tres filas dehombres. Se observó que añadiendo 25 hombresse podía forrar un cuadro lleno, en el cual elnúmero de hombres de cada lado excedería en22 a la raíz cuadrada del número de hombresque había en el lado mayor del primitivo. Sepide hallar el número de hombres del ladomayor del primitivo.

a) 81 b) 144 c) 64 d) 25 e) 49

20. Dos campesinas llevaron al mercado 100 naran-jas en total, una de ellas tenía una cantidad ma-yor de naranjas que la otra, no obstante ambasobtuvieron de la venta iguales sumas de dinero.Una vez vendidas todas, una de ellas, dijo a laotra: Si yo hubiera llevado la misma cantidad denaranjas que tú, habría recibido 15 soles. La se-gunda contestó: Si yo hubiera llevado las tuyashabría obtenido 6 2/3 nuevos soles. ¿Cuántasnaranjas llevó la primera campesina?

a) 42 b) 49 c) 45 d) 46 e) 48

CLAVE DE RESPUESTAS

1) C 2) D 3) E 4) B 5) C

6) B 7) C 8) D 9) A 10) B

11) D 12) E 13) E 14) D 15) C

16) B 17) C 18) E 19) A 20) C

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