resto verdadero, se multiplica el resto obtenidopor la cantidad por la cual se dividió dividendo ydivisor.

En general: D = dq + R

dividiendo entre “m”:

D d R–– = –– . q + ––m m m

El resto verdadero = Resto obtenido . m

R= –– . m = Rm

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Hallar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = (8x3-7x + 2)n+3 (5x5 - 3x + 7)n-1

- (10x - 1)n+1(4x - 1)n-1

Solución:

Como se pide calcular la suma de coeficientes delpolinomio, se halla su valor para x = 1:

P(1) = (8 - 7 + 2)n+3 (5 - 3 + 7)n-1

- (10 - 1)n+1(4 - 1)n-1

P(1) = (3)n+3(9)n-1 - (9)n+1(3)n-1

P(1) = (3n+3) (32)n-1 - (32)n+1(3)n-1

P(1) = 3n+3 . 32n-2 - 32n+2 . 3n-1

P(1) = 33n+1 - 33n+1 = 0

∴ ∑ coeficientes = P(1) = 0

Rpta.: ∑ coeficientes = 0

2.- Si el polinomio:

P(x) = (5x - 1)2n-1 (2x + 5)n

+ [(3x + 1)(x + 5)]n + (x2 + n)(x - 2)

tiene como término independiente (-36) Calcular n.

Solución:

Se halla el T.I., para lo cual se hace x = 0:

P(0) = (-1)2n-1 (5)n + [(1)(5)]n + (n)(-2)

2n - 1 es número impar, por lo tanto:

(-1)2n-1 = -1

entonces:

P(0) = (-1) (5)n + 5n - 2n = -5n + 5n - 2n

P(0) = -2n

Este es el T.I., según el enunciado su valor es -36.Luego:

∴ -2n = -36n = 18

Rpta.: n = 18

3.- Determinar E = abc si el polinomio:

x5 - 2x4 - 6x3 + ax2 + bx + c

es divisible entre (x - 1)(x + 1)(x - 3)

Solución:

si el polinomio es divisible entre (x -1)(x +1)(x - 3), será divisible separadamente entre (x-1), (x + 1) y(x-3).

Dividiendo tres veces consecutivas por Ruffini:

1 -2 -6 +a +b +c1 +1 -1 -7 +a-7 +b+a-7

1 -1 -7 a-7 b+a-7 a+b+c-7

-1 -1 +2 +5 -a+2

1 -2 -5 a-2 b-5

3 +3 +3 -6

1 +1 -2 a-8

Los restos deben ser cero, así:

a + b + c - 7 = 0 (α)

b - 5 = 0 (β)

a - 8 = 0 (γ)

De (γ): a = 8

De (β): b = 5

De (α): 8 + 5 +c - 7 = 0

c = -6

∴ E = (8)(5)(06) = -240

- 116 -

α

α α

Algebra 27/7/05 16:04 Página 116

4.- Determinar “a” y “b” si el polinomio:

ax8 + bx7 + 1

es divisible entre (x-1)2

Solución:

Como es divisible entre (x - 1)2 será divisibledoblemente por (x - 1). Dividiendo consecutiva-mente entre (x - 1), por Ruffini:

a b 0 0 0 0 0 0 1↓

1 a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b

a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b+1

↓

1 a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b6a+5b 7a+6b

a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b 6a+5b7a+6b 8a+7b

Por ser divisible debe cumplirse que:

i) a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = -1 (α)

-7bii) 8a + 7b = 0 ⇒ a = –––– (β)8

Sustituyendo en (β) en (α):

-7b–––– + b = -1

8

b = -8

Sustituyendo en (β):

-7ba = –––– (-8)8

a = 7

5.- Hallar el cociente entre “q” y “r” si el cociente esexacto:

x5 - 5qx + 4r–––––––––––––

(x-c)2

Solución:

Si el cociente es exacto, el polinomio dividendoes divisible entre (x - c)2 y también dos veces esdivisible entre (x - c), dividiendo por Ruffini:

1 0 0 0 -5q +4r

↓c c c2 c3 c4 -5qc+c5

1 c c2 c3 -5q+c4 4r-5qc+c5

↓

c c 2c2 3c3 +4c4

1 2c 3c2 4c3 -5q+c4+4c4

Como el cociente es exacto, debe cumplirse que:

i) 4r - 5qc + c5 = 0 (α)

ii) -5q + 5c4 = 0

c4 = q (β)

Sustituyendo (β) en (α):

4r - 5c5 + c5 = 0

r = c5 (γ)

De (β) a la quinta y (γ) a la cuarta potencia, seobtiene:

c20 = q5 (ρ)

r4 = c20 (θ)

de estas dos últimas relaciones:

r4 = q5

6.- Hallar “n” y “a” si la división es exacta:

(x2 + x + 2)4 - a [(x + 1)2 - x + 1]3 - nx4(x + 1)4

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––x3 - 1

Solución:

Como el divisor es:

x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)

Por productos notables, el dividendo será divisi-ble entre (x - 1)(x2 + x + 1) y también entre cadauno de ellos. Si es divisible por (x - 1), aplicandoel Teorema del resto se obtiene:

Á L G E B R A

- 117 -

Algebra 27/7/05 16:04 Página 117

R =P(1)= (1+1+2)4 - a(4 -1+1)3 - n(1)4(2)4 = 0

256 - 64a - 16 n = 0

4a + n = 16 (α)

Si es divisible entre (x2 + x + 1), aplicamos el Teore-ma del Resto, previo cambio de forma del dividen-do, de esta manera:

(x2 + x + 2)4 - a(x2 + 2x + 1 - x + 1)3 - n(x2 + x)4

o: (x2 + x + 2)4 - a (x2 + x + 2)3 - n(x2 + x)4

(Dividendo)

Igualando a cero el divisor:

x2 + x + 1 = 0 x2 + x= -1

Sustituyendo en el dividendo:

R = (-1 + 2)4 - a(-1 + 2)3 - n(-1)4 = 1 - a - n

Como la división es exacta el resto es cero, esto es:

1 - a - n = 0

a + n = 1 (β)

Restando (α) - (β):

3a = 15

a = 5

Sustituyendo en (α):

n = -4

7.- Calcular “a” y “b” si el polinomio:

2x4 + ax3 + bx2 + 27x - 10

es divisible entre x2 - 6x + 5

Solución:

Transformando a producto el divisor por produc-tos notables, entonces el polinomio será divisibleseparadamente por (x - 5) y (x - 1)

x2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)

Dividiendo por Ruffini dos veces:

2 +a +b 27 -10

↓

1 2 a+2 a+b+2 a+b+29

2 a+2 a+b+2 a+b+29 a+b+29-10

↓

5 10 5a+60 30a+5b+310

2 a+12 6a+b+62 31a+6b+339

Por condición del problema:

a + b + 29 - 10 = 0

a + b = -19 (α)

También:

31a + 6b + 339 = 0

31a + 6b = -339 (β)

De (α):

b = -19 - a

sustituyendo en (β):

31a + 6(-19 - a) = -339

a = -9

sustituyendo en (α):

-9 + b = -19

b = -10

8.- Un polinomio de tercer grado cuyo primer coefi-ciente es 1, es divisible por (x - 2) y (x - 1) y alser dividido por (x - 3) da resto 20. Hallar su tér-mino independiente.

Solución:

Datos:

i) P(x) es de tercer grado

ii) Primer coeficiente es 1

iii) P(x) ÷ (x - 2), R = 0

iv) P(x) ÷ (x - 1), R = 0

v) P(x) ÷ (x - 3), R = 20

Incógnita: T.I. = P(0)

- 118 -

α

α α

Algebra 27/7/05 16:04 Página 118

De los datos (3) y (4) se obtiene:

P(x) ÷ (x - 2)(x - 1), R = 0

En toda división:

D = dq + R

si R = 0, la división es exacta, para este problema,por lo tanto:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)

Por dato (1), P(x) es de tercer grado:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)123 14243 123

3er.grado 2do.grado 1er.grado

se concluye que q(x) es de primer grado y es dela forma:

q(x) = ax + b

Luego: P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(ax - b)

Por dato (2) el primer coeficiente es 1, luego:

a = 1

Por lo tanto se puede escribir:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + b) (α)

Por dato (5); P(3) = 20

Sustituyendo x = 3 en (α) e igualando a 20:

(3 - 2) (3 - 1) (3 + b) = 20

b = 7

El polinomio buscado es:

P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + 7)

P(0) = (0 - 2)(0 - 1)(0 + 7) = 14

9.- Un polinomio P(x) divisible entre:

(xn-1 + 1)

tiene como T.I. -3 y grado “n”. Calcular el valorde “n” si se sabe que al dividirlo separadamenteentre (x - 1) y (x - 3), los restos que se obtienenson: -2 y 732 respectivamente.

Solución:

Datos:

i) P(x) ÷ (xn-1 + 1), R = 0

ii) P(x) es de grado “n”

iii) P(x) ÷ (x - 1), R = -2

iv) P(x) ÷ (x - 3), R = +732

v) T.I. de P(x) es -3

Incógnita: n

Por el dato (1):

P(x) ≡ (xn-1 + 1) q(x)

Por el dato (2):

P(x) ≡ (xn-1 + 1) q(x)123 14243 123grado n grado (n-1) grado (1)

144424443grado n

por lo tanto, q(x) es de primer grado y de la forma:

q(x) = ax + b

y, el polinomio adopta la forma:

P(x) ≡ (xn-1 + 1) (ax + b)

Por dato 5:

T.I. = P(0) = -3 (α)

P(0) ≡ (0 + 1)(0 + b) (β)

Igualando (α) y (β)

(0 + 1)(0 + b) = -3

b = -3

Con lo cual el polinomio hasta este momentotiene la forma:

P(x) ≡ (xn-1 + 1) (ax - 3)

Por el dato (3):

P(1) = -2

P(1) = (1n-1 + 1)(a - 3) = -2

Á L G E B R A

- 119 -

Algebra 27/7/05 16:04 Página 119

Esto es:

(1n-1 + 1)(a - 3) = -2

a = 2

El polinomio finalmente será:

P(x) ≡ (xn-1 + 1)(2x - 3)

Por el dato (4):

P(3) = 732 (ρ)

P(3) = (3n-1 + 1)(6 - 3) (π)

Igualando (ρ) y (π):

(3n-1 + 1)(6 - 3) = 732

3n-1 + 1 = 244 ; 3n-1 = 243 3n-1 = 35

Como las bases son iguales, los exponentes tam-bién serán iguales:

n - 1 = 5 ; n = 6

10.- Un polinomio P(x) de sexto grado tiene raízcuadrada exacta, es divisible separadamentepor (x2 +1) y (x + 3) y si se le divide por (x + 2)el resto es 225.

Hallar la suma de sus coeficientes.

Solución:

Datos:

i) P(x) es de sexto grado

ii) P(x) tiene raíz exacta

iii) P(x) ÷ (x2 + 1), R = 0

iv) P(x) ÷ (x + 3), R = 0

v) P(x) ÷ (x + 2), R = 225

Por los datos (2), (3) y (4):

P(x) ÷ (x2 + 1)2, R = 0

P(x) ÷ (x + 3)2, R = 0

de aquí se concluye que:

P(x) ÷ (x2 + 1)2 (x + 3)2, R = 0

luego:

P(x) ≡ (x2 + 1)2 (x + 3)2 q(x)

Por dato (1):

P(x) ≡ (x2 + 1)2 (x + 3)2 q(x)123 123 123 123

6to. grado 4to. 2do. 01444244436to.grado

se concluye que q(x) es de grado cero y toma laforma de:

q(x) = A

el polinomio será:

P(x) ≡ (x2 + 1)2 (x + 3)2 A

Por el dato (5):

P(-2) = 225

P(-2) ≡ (4 + 1)2 (-2 + 3)2 A = 225

(5)2 (1)2 A = 225

A = 9

El polinomio es:

P(x) = (x2 + 1)2 (x + 3)2 (9)

La suma de coeficientes será:

P(1) = (1 + 1)2 (1 + 3)29 = (4)(16)9 = 576

P(1) = 576

11.- Determinar el polinomio P(x) de 5to. grado quesea divisible entre (2x4 - 3) y que al dividirloseparadamente entre (x + 1) y (x - 2) los restosobtenidos sean 7 y 232 respectivamente.

Solución:

Datos:

P(x) ÷ 5to. grado

P(x) ÷ (2x4 - 3), R = 0

P(x) ÷ (x + 1), R = 7

P(x) ÷ (x - 2), R = 232

- 120 -

α

α α

Algebra 27/7/05 16:04 Página 120

a) Como P(x) ÷ (2x4 - 3), da R = 0

P(x) = (2x4 - 3) q(x)

b) Como P(x) es de 5to. grado, q(x) es de primergrado:

q(x) = ax + b

Luego: P(x) = (2x4 - 3) (ax + b) (α)

c) Aplicando el Teorema del resto:

P(x) ÷ (x + 1)

haciendo: x + 1 = 0

x = -1

R = P(-1) = 7

En (α):

P(-1) = [2(-1)4 - 3][a(-1) + b] = 7

(-1)(-a + b) = 7

+a - b = 7 (β)

d) P(x) ÷ (x - 2)

haciendo: x - 2 = 0

x = 2

R = P(2) = 232

En (α):

P(2) = [2(2)4 - 3][a(2) + b] = 232

29(2a + b) = 232

2a + b = 8 (γ)

Sumando (β) y (γ):

3a = 15

a = 5

En (β):5 - b = 7

b = -2

e) Reemplazando valores en (a):

P(x) = (2x4 - 3)(5x - 2)

efectuando:

P(x) = 10x5 - 4x4 - 15x + 6

12.- Hallar el resto de la división:

(x - 3)8 + (x - 4)5 + 6–––––––––––––––––––

(x - 3)(x - 4)

Solución:

En toda división se cumple:

D = dq + R

En este caso:

(x -3)8 + (x - 4)5+ 6 ≡ (x - 3)(x - 4) q(x) + ax + b

Como es una identidad, se cumple para cualquiervalor de x, así:

para x = 3 se obtiene:

(3 - 3)8+(3 - 4)5 + 6 ≡ (3 - 3)(3 - 4) q(3) + 3a + b

-1 + 6 = 3a + b

3a + b = 5 (α)

para x = 4 se obtiene:

(4 -3)8 + (4 -4)5 + 6 ≡ (4 - 3)(4 - 4) q(4) + 4a + b

4a + b = 7 (β)

restando (β) - (α):

a = 2

En (α): 6 + b = 5

b = -1

R = ax + b

R = 2x - 1

13.- Hallar el resto en:

(x - 5)3 (x + 4)2 (x3 - 3x - 17)n

–––––––––––––––––––––––––––(x - 2)(x + 4)(x - 5)

Solución:

Dividiendo al dividendo y al divisor entre (x- 5)(x + 4),se obtiene:

(x - 5)2 (x + 4) (x3 - 3x - 17)n

––––––––––––––––––––––––––(x - 3)

Á L G E B R A

- 121 -

Algebra 27/7/05 16:04 Página 121

Aplicando el Teorema del resto:

x - 3 = 0

x = 3

Sustituyendo en el dividendo:

R =(3 - 5)3 (3 + 4)(27 - 9 -17)n = (4)(7)(1)n = 28

Como previamente se dividió, dividendo y divi-sor entre el producto (x-5) (x+4), para obtener elresto verdadero se tendrá que multiplicar el resto28 por (x-5) (x+4), así:

R.verdadero = 28(x - 5)(x + 4)

efectuando:

R = 28x2 - 28x - 560

14.- Hallar el resto en:

x102 - x51 -x4 + 2––––––––––––––––x2 - x + 1

Solución:

Multiplicando el dividendo y divisor por (x+1) seobtiene:

(x102 - x51 - x4 + 2)(x + 1)––––––––––––––––––––––

(x2 - x + 1)(x + 1)

efectuando:

x103 - x52 - x5 + 2x + x102 - x51 - x4 + 2–––––––––––––––––––––––––––––––––

x3 + 1

descomponiendo parcialmente en potencias de “x3”:

(x3)34(x) - (x3)17(x) - (x3)(x2) + 2x + (x3)34

––––––––––––––––––––––––––––––––––––x3 + 1

- (x3)17 - (x3)(x) + 2–––––––––––––––––

aplicando Teorema del resto:

x3 + 1 = 0

∴ x3 = -1

R = (-1)34 (x) - (-1)17(x) - (-1)(x2) + 2x

+ (-1)34 - (-1)(x) + 2 - (-1)17

R = x + x + x2 + 2x + 1 + x + 2 + 1

R = x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)

Como se ha multiplicado dividendo y divisor por(x + 1), se tendrá que dividir por este mismovalor el resto para obtener el verdadero.

El resto verdadero será:

(x + 1)(x + 4)R. verdadero = –––––––––––––

(x + 1)

R. verdadero = x + 4

15.- Si se divide un polinomio P(x) entre (x - 1) seobtiene un resto que es 3; al cociente se divideentre (x + 1), el resto es 5; al nuevo cociente sedivide entre (x + 2), el resto es 8. Hallar el restode la división P(x) entre (x - 1)(x + 1)(x + 2)

Solución:

Datos:

i) P(x) ÷ (x - 1) = q(x), R = 3

ii) q(x) ÷ (x +1) = q1(x), R = 5

iii) q1(x) ÷ (x + 2) = q2(x), R = 8

Operando para resolver el ejercicio:

Por el dato (1):

P(x) = (x - 1) q(x) + 3 (α)

Por el dato (2):

q(x) = (x + 1) q1(x) + 5 (β)

Por el dato (3):

q1(x) = (x + 2) q2(x) + 8 (γ)

Sustituyendo (γ) en (β):

q(x) = (x + 1) [(x + 2) q2(x)+8] + 5

q(x) = (x + 1) (x + 2) q2(x) + 8(x + 1) + 5 (φ)

Sustituyendo (φ) en (α):

P(x) = (x - 1) [(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8(x + 1) + 5] + 3

- 122 -

α

α α

Algebra 27/7/05 16:04 Página 122