INTRODUCCIN Laprogramacinlinealconstituyeunimportantecampodelaoptimizacin porvariasrazones,muchosproblemasprcticosdelainvestigacindeoperaciones pueden plantearse como problemas de programacin lineal. Algunos casos especialesdeprogramacinlineal,talescomolosproblemasdeflujoderedesy problemas de flujo de mercancas se consideraron en el desarrollo de las matemticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos muchainvestigacinsobrealgoritmosespecializadosensusolucin.Unaseriede algoritmos diseados para resolver otros tipos de problemas de optimizacin constituyencasosparticularesdelamsampliatcnicadelaprogramacinlineal. Histricamente, las ideas de programacin lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teora de optimizacin tales como la dualidad, la descomposicin y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programacin lineal es muy usada en la microeconoma y la administracindeempresas,yaseaparaaumentaralmximolosingresosoreducir almnimoloscostosdeunsistemadeproduccin.Algunosejemplossonlamezcla dealimentos,lagestindeinventarios,lacarteraylagestindelasfinanzas,la asignacin de recursos humanos y recursos de mquinas, la planificacin de campaasdepublicidad,etc. Enlaprogramacinlinealsefundamentaenlosconocimientosdelgebra lineallocualincluyecombinacinlinealdemltiplesvariable,espaciosvectorial multilineales,convexidad.Estosconceptossetratanenestainvestigacindeuna manerasimpleyconejemplos.

Hiperplano Unhiperplanoesunconceptodegeometra.Esunageneralizacindelconceptode plano. EngeneralesunconjuntodepuntosdeRn,talesque CT*X=K dondeCTesunvectorcolumnadeRnyKesunaconstanteenR Enunespaciodeunanicadimensin(comounarecta),unhiperplanoesunpunto; divideunalneaendoslneas.Enunespaciobidimensional(comoelplanoxy),un hiperplano es una recta; divide el plano en dos mitades. En un espacio tridimensional, un hiperplano es un plano corriente; divide el espacio en dos mitades. Este concepto tambin puede ser aplicado a espacios de cuatro dimensiones y ms, donde estos objetos divisores se llaman simplemente hiperplanos, ya que la finalidad de esta nomenclatura es la de relacionar la geometraconelplano. Engeneral,unhiperplanoesunespacioafndecodimensin.Enotraspalabras,un hiperplanoesunanlogodemuchasdimensionesalplano(dedosdimensiones)en elespaciotridimensional. Un hiperplano afn en un espacio ndimensional puede ser descrito por una ecuacinlinealnodegeneradaconlasiguienteforma: a1x1+a2x2+...+anxn=b. Aqu no degenerada significaquenotodaslasai son0.Si b=0,seobtieneun

hiperplanolineal,quepasaatravsdelorigen. Las dos mitades del espacio definidas por un hiperplano en espacios de n dimensionesson: a1x1+a2x2+...+anxnb y a1x1+a2x2+...+anxnb.

Ejemplo1) Hallarelhiperplanode a)larectax+y=1 b)elplanox+2yz=1 Solucin: a) Para la recta x + y = 1, hallandounpuntoqueseencuentresobrelarecta, tomandox=1,y=11=0;luegoelpuntoP(1,0)estsobrelarecta.Portantoel puntoP(1,0)esunhiperplanodelconjuntox+y=1. b)Paraelplanox+2yz=1,hallandounarectasobreelplano,haciendoy=0la rectaL1,serx+2*0z=1;osea,L1:x=z+1 LarectaL1esunhiperplanodelplanox+2yz=1 ConjuntoConvexo UnconjuntoSRnesconvexosicumplequeparacualquierX1yX2deS,siel segmentodeterminadopordichoparpuntosestincluidoenS Ensmbolos XS/X=t*X1+(1t)*X2y0t1

es decir, que dados dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento lineal cerradoqueunelosdospuntosesttotalmentecontenidoenelconjunto. Laexpresint*X1+(1t)*X2,donde0t1,sellamacombinacinconvexade X1 y X2. En consecuencia se dice que el conjunto S es convexo, si toda combinacinconvexadedospuntoscualquieradeSperteneceaS.Elconjuntode todaslascombinacionesconvexasdeX1yX2eselsegmentocuyosextremosson esospuntos. Propiedadesdelosconjuntosconvexos Conjuntosconvexo"pordefinicin" a)Elconjuntovacoesunconjuntoconvexo. b)Losconjuntosdeunnicopunto{a},tambinsonconjuntosconvexos. c)TambinelconjuntoRn(espaciototal)esunconjuntoconvexo. Lainterseccin,finitaoinfinita,deconjuntosconvexosesunconjuntoconvexo. La unin de conjuntos convexos, en general, no tiene porque ser un conjunto convexo. Lacombinacinlinealdeconjuntosconvexosesunconjuntoconvexo. Ejemplo2: ConstruirunacombinacinlinealconvexaconX1=(1,1)yX2=(3,7) Solucin SeaX=(x,y)=t(1,1)+(1t)(3,7) oenparamtrica x=t+33t=32t y y=t+77t=76t

encartesiana 3x=96t y=76t eliminandot,quedalarectaL:3xy=2, esdecir,elsegmentodeecuacinL,yextremosX1yX2. DesigualdadesLineales Una inecuacin o desigualdadlineal eslomismoqueunaecuacinlinealpero cambiandoelsignodeigualdadporsigno(s)dedesigualdad. Lossignosdedesigualdadson.Pararesolverunadesigualdadlinealseutilizanlos mismospasosqueseusanpararesolverunaecuacinlineal.Comoejemplo,vamos aresolverlassiguientesdesigualdades:

Ejemplo3: Resolver:5>4x18. Sumandolamismacantidadaamboslados: 5+18>4x18+18 23>4x 23/4>x x