Algebra Lineal Trabajo 3

5/12/2018 Algebra Lineal Trabajo 3 - slidepdf.com

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Hiperplano

Un hiperplano es un concepto de geometría. Es una generalización del

concepto de plano.

En general es un conjunto de puntos de Rn, tales que

CT*X = K

donde CT es un vector columna de Rn y K es una constante en R

En un espacio de una única dimensión (como una recta), un hiperplano es

un punto; divide una línea en dos líneas. En un espacio bidimensional

(como el plano xy), un hiperplano es una recta; divide el plano en dos

mitades. En un espacio tridimensional, un hiperplano es un plano corriente;

divide el espacio en dos mitades. Este concepto también puede ser

aplicado a espacios de cuatro dimensiones y más, donde estos objetos

divisores se llaman simplemente hiperplanos, ya que la finalidad de esta

nomenclatura es la de relacionar la geometría con el plano.

En general, un hiperplano es un espacio afín de codimensión. En otras

palabras, un hiperplano es un análogo de muchas dimensiones al plano (de

dos dimensiones) en el espacio tridimensional.

Un hiperplano afín en un espacio n-dimensional puede ser descrito por una

ecuación lineal no degenerada con la siguiente forma:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.

Aquí no degenerada significa que no todas las ai son 0. Si b=0, se obtiene

un hiperplano lineal, que pasa a través del origen.



Las dos mitades del espacio definidas por un hiperplano en espacios de n

dimensiones son:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn b

y

a1x1 + a2x2 + ... + anxn b.

Ejemplo 1)

Hallar el hiperplano de

a) la recta x + y = 1

b) el plano x + 2y-z = 1

Solución:

a) Para la recta x + y = 1, hallando un punto que se encuentre sobre la

recta, tomando x = 1, y = 1- 1 = 0; luego el punto P(1,0) está sobre la recta.

Por tanto el punto P(1,0) es un hiperplano del conjunto x + y = 1.

b) Para el plano x +2y-z =1, hallando una recta sobre el plano, haciendo y

=0 la recta L1, será x +2*0-z = 1; o sea, L1: x = z+1

La recta L1 es un hiperplano del plano x + 2y-z = 1

Conjunto Convexo

Un conjunto S Rn es convexo si cumple que para cualquier X1 y X2 de S,

si el segmento determinado por dicho par puntos está incluido en SEn símbolos

X S / X = t* X1 + (1-t) *X2 y t

es decir, que dados dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento

lineal cerrado que une los dos puntos está totalmente contenido en el



conjunto.

La expresión t* X1 + (1-t) *X2, donde t se llama conbinación

convexa de X1 y X2. En consecuencia se dice que el conjunto S es

convexo, si toda combinación convexa de dos puntos cualquiera de S

pertenece a S. El conjunto de todas las combinaciones convexas de X1 y

X2 es el segmento cuyos extremos son esos puntos.

Propiedades de los conjuntos convexos

Conjuntos convexo "por definición"

a) El conjunto vacío es un conjunto convexo.

b) Los conjuntos de un único punto {a}, también son conjuntos convexos.

c) También el conjunto Rn (espacio total) es un conjunto convexo.

La intersección, finita o infinita, de conjuntos convexos es un conjunto

convexo.

La unión de conjuntos convexos, en general, no tiene porque ser un

conjunto convexo.

La combinación lineal de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Ejemplo 2:

Construir una combinación lineal convexa con X1=(1,1) y X2= (3,7)

Solución

Sea X = (x,y) = t(1,1)+(1-t)(3,7)o en paramétrica

x = t+3-3t = 3-2t

y

y = t +7-7t = 7-6t

ó en cartesiana



3x =9-6t

y = 7-6t

eliminando t, queda la recta L: 3x-y = 2,

es decir, el segmento de ecuación L, y extremos X1 y X2.

Desigualdades Lineales

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal

pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son. Para resolver una desigualdad lineal se

utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal.

Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:

Ejemplo 3:

Resolver: 5 > 4x - 18.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:

5 +18> 4x-18 +18

23 > 4x23/4 > x

x < 23/4

El conjunto solución es: (-, 11).

Ejemplo 4:

Resolver: 2x-5y < 10

x+ 3y 3

Solución:

Graficando las recta L1: 2x-5y < 10 y L2: x+3y 3 e intersectando las

regiones que se solapan



Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un

número negativo, el signo de desigualdad cambia.

Semiespacio

A partir del concepto de hiperplano podemos definir el concepto de

semiespacio, como el conjunto de puntos que verifica que:

X Rn / CTX K ; k R (1)

y

X Rn / CTX K ; k R (2)

En el primer caso (1) lo denominamos semiespacio inferior y en el segundo

(2) semiespacio superior.

Estas dos definiciones de semiespacio se refieren a semiespacios

cerrados, ya que las desigualdades son de la forma mayor (menor) -igual.

Si las desigualdades son estrictas, es decir, mayor (menor) estrictamente

entonces decimos que se trata de semiespacios abiertos.

L1

L2

(5,0)

(0,-

2)

(3,0)

(0,1)

X

Y



Cada hiperplano define dos semiespacios. Gráficamente se trata de la

porción del espacio que esta por encima del hiperplano (semiespacio

superior) o por debajo del hiperplano (semiespacio inferior).

Ejemplo 5:

Para ejemplo

Resolver: 2x-5y < 10

x+ 3y 3

los semi espacios para L1 son S1 y S2 y para L2 son S'1 y S'2

Combinación lineal convexa

Un punto x se dice que es combinación lineal de n P1, P2,.. Pn, puntos, si

dicho punto se puede expresar de la siguiente forma:

∑1

n

ai Pi

donde

∑1

n

ai=1 y ai 0, para todo i = 0,1... n

L1

L2

X

Y

S'2

S'1 S2

S1



Como caso particular de combinación lineal de dos puntos se tiene el

concepto de recta definido anteriormente.

Si los ai son no negativos (ai 0), entonces podemos decir que se trata de

una combinación lineal positiva de n puntos. Para n=2 se obtiene la

definición de semirecta

Un punto x es una combinación lineal convexa de n puntos si se cumple

que : es decir, a la condición de no negatividad de los escalares, se añade

que su suma sea la unidad.

Ejemplo 6:

Se puede expresar P(3,7) como combinación lineal convexa de los puntos

P1(1,2) y P2(-1,3).

Solución:

Expresando la combinación lineal

(3,7) = a1*(1,2) + a2*(-1,3)

Resolviendo en función de componentes

3 = a1*1 +a2*(-1) (1)y

7 = a1*2+a2*3 (2)

multiplicando (1) por 3 y sumando a (2)

7+6 = a1*3+a1*2 -3*a2+3*a2

a1 = 13/5

sustituyendo a1 en (1)

3 = 13/5 -a2, entonces a2 = 13/5 -3;

a2 = -2/3

Luego a2 0, luego no cumple con la condiciones de combinación lineal

convexa.



CONCLUSIÓN

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