Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar1 INDICE PLANIFICACION DE LOS ENCUENTROS .................................................................................. 2 PROGRAMA ANALITICO........................................................................................................... 3 LAS ORIENTACIONES METODOLGICAS................................................................................. 8 1.Introduccin. .................................................................................................................. 8 1.1. Objetivo General. ........................................................................................................ 8 2.DESARROLLO................................................................................................................. 8 2.1NCLEOS TEMTICOS .............................................................................................. 8 2.2 BIBLIOGRAFA COMENTADA .................................................................................. 13 3. MATERIAL EXPLICATIVO. ............................................................................................. 14 2.3.MTODOS A UTILIZAR............................................................................................ 14 3. CONCLUSIONES. ........................................................................................................... 15 TEXTO GUA .......................................................................................................................... 16 Unidad1: Matrices .......................................................................................................... 16 Competencias ................................................................................................................. 16 Definicin de matriz ......................................................................................................... 16 Tipos de Matrices: ........................................................................................................... 19 Traza de una Matriz ......................................................................................................... 23 Suma de Matrices............................................................................................................ 24 Propiedades de la suma de matrices................................................................................. 25 Propiedades de la multiplicacin de matrices ..................................................................... 33 Propiedades de los escalares ........................................................................................... 36 Propiedades de la potencia de una matriz.......................................................................... 36 Propiedades de la Matriz Transpuesta............................................................................... 38 PRACTICO N 1.............................................................................................................. 40 Unidad N 2:Determinantes ........................................................................................... 44 Competencias ................................................................................................................. 44 Definicin........................................................................................................................ 44 Determinante de una Matriz de orden 2x2.......................................................................... 45 Determinante de unaMatriz de orden 3x3......................................................................... 46 Determinante de una Matriz de orden 4x4, 5x5, nxn ........................................................... 48 Propiedades de los Determinates...................................................................................... 49 Menores de una Matriz..................................................................................................... 54 Cofactores de una Matriz.................................................................................................. 55 Adjunta de una Matriz ...................................................................................................... 58 Matriz Inversa.................................................................................................................. 59 PRACTICO..................................................................... Error! Marcador no definido. Escalonamiento de Matrices............................................................................................. 65 Matrices Escalonadas por Filas......................................................................................... 66 Calculo de la Inversa de una matriz por Escalonamiento..................................................... 69 Sistemas de Ecuaciones Lineales ..................................................................................... 73 Clasificacin de los Sistemas de Ecuaciones Lineales: ....................................................... 73 Matriz Ampliada............................................................................................................... 75 Mtodos de Solucin de Sistemas de Ecuaciones .............................................................. 76 Ejercicios ........................................................................................................................ 81 Unidad N 3:Vectores..................................................................................................... 83 Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar2 Competencias ................................................................................................................. 83 Definicin de Vector......................................................................................................... 83 Operaciones Con Vectores............................................................................................... 84 Vectores en R3................................................................................................................ 87 Norma de un Vector en R2................................................................................................ 91 Ejercicios: ....................................................................................................................... 94 Unidad N 4:Espacios Vectoriales ................................................................................... 95 Competencias ................................................................................................................. 95 Definicin de Espacio Vectorial ......................................................................................... 95 Ejercicios ...................................................................................................................... 103 Unidad n 4: Transformaciones Lineales....................................................................... 104 Competencias ............................................................................................................... 104 Definicin...................................................................................................................... 104 Ejercicios Resueltos....................................................................................................... 106 Ejercicios para Realizar por el Estudiante ........................................................................ 108 Unidad N 6: Valores y VectoresPropios ............................................................... 110 Competencias ............................................................................................................... 110 ValoresPropios ............................................................................................................ 110 Vectores Propios ........................................................................................................... 115 Ejercicios para realizar por el estudiante.......................................................................... 119 PLANIFICACION DE LOS ENCUENTROS FECHA DE ENCUENTRO Unidad 1Unidad 2Unidad 3Unidad 4 Temas 1.1 al 1.7Temas 2.1 al 2.5Temas 3.1 al 3.10Temas 4.1 al 4.8 UNIDAD-TEMAS DE AVANCE EvaluacinEvaluacin Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar3 UNIVERSIDAD PRIVADA DOMINGO SAVIO FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGAS DE LA INFORMACIN ALGEBRA LINEALPROGRAMA ANALITICO I.JUSTIFICACION Laasignaturadelgebralinealesconsideradaimportanteenlaformacindelosestudiantesdel pre-grado,porquecontribuyeengranmaneraaldesarrollodelashabilidadescognitivasdelos estudiantes.Laasignaturasirvecomobasepararesolverproblemasdeaplicacinendiferentesreasdel conocimientoydeestamaneramejorarelrendimientoacadmico,mediantelaaplicacindela teora matricial en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales. II. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Desarrollarenel estudiante habilidades cognitivasdelconocimientopara la resolucinde Sistemas deEcuacioneslineales,demecuacionesconnIncgnitas.Tambincontribuyealdesarrollode las destrezasen la resolucin de problemas e interpretacin de resultados. OBJETIVOS ESPECIFICOS - Formarhbitos en el estudiante para queadquiera y aplique gradualmentelos conocimientos del lgebra matricial. -Adquirir conocimientos en el estudio del lgebra vectorial.-Dotar las herramientas del lgebra vectorial para aplicaciones en eluso de base de datos, hojas declculo, aplicaciones estadsticas (SPSS). - DeterminaryaplicarlaspropiedadesenlosEspaciosVectorialesylasTransformaciones Lineales en la resolucin de problemas. IDENTIFICACION rea :Ciencias exactas. Sigla:MAT - 221. Materia:lgebra Lineal. Carga Horaria :4 HTy 2 HP Nivel:Tercer Semestre. Pre- Requisitos:Fundamentos de Matemticas (MAT-110). En Vigencia:Desde el ao 2007. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar4 III. CONTENIDOS

Unidad 1:Matrices

Objetivos de la unidad -Conocer los diferentes tipos de matrices y sus aplicaciones -Aplicar las propiedades de matrices en las operaciones entre matrices. -Resolver sistemas de ecuaciones aplicando matrices. 1.1 Definicin.Nomenclatura.Tiposde matrices. Operaciones: Igualdad,Adicin,Multiplicacinpor escalar, Resta Diferencia, Producto . Transposicin. Traza de una matriz. Propiedades.1.2 Tipos de matrices cuadradas. Matriz Diagonal. Matriz Escalar. Matriz Identidad. Unicidad. 1.3 Operaciones Elementales sobre filas en las matrices. Propiedades Generales. 1.4 Equivalenciasporfilasy/ocolumnas.Matricesescalonadas.Matricesescalnreducidas. Triangular superior. Triangular Inferior. Aplicaciones. 1.5 Matriz No singular: Inversa de una matriz - Algoritmo de Gauss. 1.6 Matrices por bloques Matrices aumentadas 1.7 SistemadeEcuacionesLineales.Sistemashomogneosynohomogneos.Sistemas compatibles e incompatibles. 1.8 Mtodosmatricialesderesolucindesistemasdeecuacioneslineales:MtododeGaussy Gauss/Jordan 1.9 Ejercicios de aplicacin. Unidad 2 :Determinantes Objetivos de la unidad -Calcular el determinante de una matriz inferior, mtodo de Sarrus. -Calcular el determinante de una matriz superior, algoritmos de La place-Aplicar las propiedades de los determinantes en el clculo de determinantes. -Calcular la inversa de una matriz aplicando determinantes. 2.1 Determinantesdeunamatriz:Definicin.Propiedades.Formasdeclculo:Determinantesde Orden Inferior. , mtodo de Sarrus 2.2 Determinantes nulos: Filas Iguales, Columnas Iguales, Con filas o columnas nulas. 2.3 Determinantes de Matrices Triangulares. Determinante de la matrizTranspuesta. 2.4 Determinantes de Orden Superior. Matriz de los Cofactores. Regla de La Place.2.5 Matriz Adjunta clsica. Clculo de la Inversa de una matriz utilizando determinantes. 2.6 Determinantes de un operador lineal. Multilinealidad de determinantes. 2.7 Resolucin de Sistemas de Ecuaciones utilizando determinantes.2.8 Ejercicios de aplicacin.

Unidad 3:Vectores reales en R2, R3 Y Rn Objetivos de la unidad -Realizar operaciones con Vectores en R2 y R3 -Interpretar grficamente vectores en R2 y R3 Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar5 -Calcular la norma y la distancia entre vectores 3.1VectoresenR2.Definicin.Nomenclatura,NotacinMatricial,RepresentacinGrficaenun sistema cartesiano. 3.2Operaciones con vectores:Adicin, Regla del Paralelogramo, Multiplicacin por escalar, Resta o Diferencia,Producto interno o Producto Escalar. 3.3Normadeunvector.Distancia,AnguloentreVectores.VectorUnitario,Normalizarunvector, Proyeccin de un vector sobre otro, Interpretacin Grfica.3.4VectoresenR3.NotacinMatricialyNotacinijk.Operaciones.Adicin,Multiplicacinpor escalar. Resta o Diferencia Producto interno. Producto Externo. Norma de un vector y distancia. AnguloentreVectores.VectorUnitario,Normalizarunvector,Proyeccindeunvectorsobre otro.readelParalelogramoformadoentre2vectores.VolumendelParaleleppedoformado entre 2 vectores y el vector Producto Vectorial. Interpretacin Grfica. 3.5Aplicaciones:Estudiode larecta enelPlano yelEspacio.Ecuaciones Vectoriales.Estudiode Plano en R3.Vector Normal, Ecuacin del Plano en R3. 3.6Ejercicios de aplicacin. Unidad 4:Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Objetivos de la unidad -Determinar los espacios ysubespacios vectoriales -Aplicar las propiedades de los espacios vectoriales en la resolucin de ejercicios. 4.1 Espacios Vectoriales. Definicin. Propiedades. Identificacin. 4.2 Subespacios. Teorema - Definicin. Subespacios generales. Identificacin. 4.3 PropiedadesdelosespaciosVectoriales.Combinacioneslineales.Espacio,filaycolumnade una matriz.Sumas y sumas directas. 4.4 Base y dimensin. Conceptos y dependencias e independencia lineal. Definiciones. Dimensin y subespacios. Aplicaciones a las ecuaciones lineales. 4.5 Rango de una matriz. Vectores coordenados 4.6 Ejercicios de aplicacin. Unidad 5:Transformaciones lineales Objetivos de la unidad -Interpretar las transformaciones lineales -Aplicar los teoremas sobre transformaciones lineales en la resolucin de ejercicios -Realizar operaciones de transformaciones con vectores y matrices. 5.1 Definiciones. Ncleo o imagen. 5.2 Transformaciones singulares y no singulares. 5.3 Operaciones. Suma, Producto por un escalar. Composicin.5.4 Operaciones lineales. Operaciones invertibles. Matrices y operaciones lineales.5.5 Representacin Matricial. Cambio de Bases. Similaridad.5.6 Matrices y transformaciones lineales.Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar6 5.7 Ejercicios dirigidos en clase. Unidad 6: Valores y vectores propios Objetivos de la unidad -Aplicar las matrices en el clculo de los valores y vectores propios -Aplicar las propiedades en la resolucin de ejercicios -Diagonalizar matrices utilizando los valores y vectores propios. 6.1Valores y Vectores propios. Definicin. Propiedades 6.2Vectores propios de una matriz. Autovectores 6.3Matriz diagonal. 6.4Diagonalizacin de matrices 6.5Ejercicios de aplicacin. IV. METODOLOGIA DE ENSEANZA-APRENDIZAJE Lametodologaqueseaplicarenelprocesodeenseanza-aprendizajedelaasignatura,ser compartidaentrelaexplicacindelosconceptostericosporpartedeldocenteylaresolucinde ejerciciosporpartedelosestudiantes.Almismotiempo,seasignarntrabajosdeinvestigacinde temas afines a la materia para que luego los estudiantes realicen exposiciones grupales. Tambin se otorgarn trabajosprcticos para ser resueltos por los estudiantes en sudomicilio yen loshorarios de ayudanta y luego sern evaluados stos trabajos como actividades acadmicas de la materia. V.MATERIALES Y MEDIOS DIDACTICOS - Pizarra y marcadores - Reglas de diferentes tipos - Equipos de multimedia - Laboratorio de Software VI.ACTIVIDADES ACADEMICAS -Resolucin y defensa de prctico de Matrices -Resolucin y defensa de prctico de Determinantes -Resolucin y defensa de prctico de Vectores en R2, R3 y Rn -Resolucin y defensa de prctico de Espacios Vectoriales -Resolucin y defensa de prctico de Transformaciones Lineales -Resolucin y defensa de prctico de Valores y Vectores Propios -Asignacin de trabajos de investigacin y posterior defensa mediante exposiciones individuales y grupales. -Participacin en los foros mediante preguntas y respuestas propuestas por el docente o los compaeros de la asignatura. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar7 VII. TIPOSDE EVALUACION Paraestaasignaturasetomarnencuentalostrestiposdeevaluacin:diagnstica,formativay sumativa. VIII.FORMAS DE EVALUACION Materia tipo C. Sistema Modular Examen parcial40puntos. Actividad Acadmica20 puntos. Examen final40puntos. TOTAL100puntos. Asistencia mnima obligatoria del 80% del total de clases. Nota mnima de aprobacin 51 puntos. IX.BIBLIOGRAFIA 1.Stanley.L.Grossoman.lgebraLinealconsusAplicaciones.McGrawHill.Bogota.4ta Edicin. 2001. 2.Seymour Lipschutz. lgebra Lineal. McGraw Hill. Serie Shaum. 2da Edicin. 1998. 3.Howard Anton. Introduccin al lgebra Lineal. Editorial Limusa 2da Edicin. 1998. 4. Eduardo Raffo.Algebra lineal. Lecca / 1989. 5. Domingo Mendoza. Algebra lineal.S. E. / 1992. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar8 LAS ORIENTACIONES METODOLGICAS 1. Introduccin. LaasignaturadeAlgebraLinealseconstituyeenunadelasasignaturasmsimportantesporsu relacindecoherenciatemticaconotrasasignaturasdelamallacurricularcomoEstadstica, Produccin,Investigacin de Operaciones, Gestin de Calidad y con asignaturas relacionadas con la toma de decisiones en las Organizaciones. La resolucin de sistemas de ecuaciones es requisito como conocimiento previo para la asignatura de Investigacin de Operaciones en la resolucin de problemas para la toma de decisiones.Elniveldeprofundidadycomplejidadqueabarcareldesarrollodelmduloserdesarrollar competenciasbsicasycomplementarias;esdecir,conlosconocimientosyprcticarealizadoslos estudiantes podrn profundizar sus conocimientos en problemas de aplicacin.1.1. Objetivo General. DesarrollarhabilidadescognitivasdelconocimientoenlaresolucindeSistemasdeEcuaciones lineales, dem ecuaciones con n incgnitas.Realizarcondestrezamtodosderesolucindeproblemaseinterpretacinderesultadosque apoyen al estudianteen elrazonamiento lgicomatemtico. El objetivo planteado est orientado a desarrollar en el estudiante las siguientes competencias: Realiza operaciones de suma,multiplicacin y potenciacin de matrices. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales de orden m x n 2.DESARROLLO 2.1NCLEOS TEMTICOS Unidad 1:Matrices Objetivos de la unidad -Conocer los diferentes tipos de matrices y sus aplicaciones -Aplicar las propiedades en las operaciones entre matrices. -Resolver sistemas de ecuaciones aplicando matrices. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar9 Definicin.Nomenclatura.Tiposde matrices. Operaciones: Igualdad,Adicin,Multiplicacinpor escalar, Resta Diferencia, Producto. Transposicin. Traza de una matriz. Propiedades.Tipos de matrices cuadradas. Matriz Diagonal. Matriz Escalar. Matriz Identidad.Operaciones Elementales sobre filas en las matrices. Propiedades Generales. Equivalenciasporfilasy/ocolumnas.Matricesescalonadas.Matricesescalnreducidas. Triangular superior. Triangular Inferior. Aplicaciones. Matriz No singular: Inversa de una matriz - Algoritmo de Gauss. Matrices por bloques Matrices aumentadas SistemadeEcuacionesLineales.Sistemashomogneosynohomogneos.Sistemas compatibles e incompatibles. Mtodosmatricialesderesolucindesistemasdeecuacioneslineales:mtododeGaussy Gauss/Jordan Ejercicios de aplicacin.SNTESISEn el desarrollo de la unidad que correspondeal primer encuentro presenta: Definiciones y propiedadesde losdiferentes tipos de matrices Desarrollo paso a paso de operaciones de suma, multiplicacin e inversa de matrices. Unidad 2: Determinantes Objetivos de la unidad -Diferenciar matrices cuadradas de orden superior e inferior -Calcular el determinante de una matriz inferior, mtodo de Sarrus. -Calcular el determinante de una matriz superior, algoritmos de La place-Aplicar las propiedades en el clculo de los determinantes de una matriz. 2.1Determinantesdeunamatriz:Definicin.Propiedades.Formasdeclculo:Determinantesde Orden Inferior. , mtodo de Sarrus 2.2Determinantes nulos: Filas Iguales, Columnas Iguales, Con filas o columnas nulas. 2.3Determinantes de Matrices Triangulares. Determinante de la matrizTranspuesta. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar10 2.4Determinantes de Orden Superior. Matriz de los Cofactores. Regla de La Place. SINTESISEn el desarrollo de los temas que correspondeal segundoencuentro presenta: Definiciones dedeterminantes Propiedades de los determinantes Calculo de determinantes de: 2x2, 3x3, 4x4, .., nxm Aplicaciones 2.5 Matriz Adjunta clsica. Clculo de la Inversa de una matriz utilizando determinantes. 2.6 Determinantes de un operador lineal. Multilinealidad de determinantes. SINTESIS En el desarrollo de los temas que correspondeal tercer encuentro presenta: Clculodedelainversadeunamatrizpormtodos:1)Mtododelamatrizadjunta,2) Mtodo de escalonamiento de matrices Aplicaciones de la inversa de una matriz. 2.7 Resolucin de Sistemas de Ecuaciones utilizando los mtodos de Gauss y Gauss-Jordan. 2.8 Ejercicios de aplicacin.SINTESIS En el desarrollo de los temas que correspondeal cuarto encuentro presenta: Definicin de sistemas de ecuaciones Anlisisdelostiposdesoluciones:solucinnica,infinitassolucionesysistemasde ecuaciones que no tienen solucin.Diferentes mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones: Gauss y Gauss Jordan. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar11 Definicin de vectores en plano y el espacio Aplicaciones de vectores. Unidad 3: Vectores reales en R2, R3 Y RN Objetivos de la unidad -Realizar operaciones con Vectores en R2 y R3 -Interpretar grficamente vectores en R2 y R3 3.1Vectores en R2 . Definicin. Nomenclatura, Notacin Matricial, Representacin Grfica en un sistema cartesiano. 3.1.1Operacionesconvectores:Adicin,RegladelParalelogramo,Multiplicacinporescalar, Resta o Diferencia,Producto interno o Producto Escalar. 3.1.2Normadeunvector.Distancia,AnguloentreVectores.VectorUnitario,Normalizarun vector, Proyeccin de un vector sobre otro, Interpretacin Grfica.3.1.3Vectores en R3. Notacin Matricial y Notacin ijk. Operaciones. Adicin, Multiplicacin por escalar. Resta o Diferencia Producto interno. Producto Externo. Norma de un vector y distancia. AnguloentreVectores.VectorUnitario,Normalizarunvector,Proyeccindeunvectorsobre otro. readel Paralelogramo formado entre dos vectores. Volumen del Paraleleppedo formado entre dos vectores y el vector Producto Vectorial. Interpretacin Grfica. 3.1.4Aplicaciones: Estudio de la recta en el Plano y el Espacio. Ecuaciones Vectoriales.Estudio de Plano en R3.Vector Normal, Ecuacin del Plano en R3. 3.1.5Ejercicios de aplicacin.METODLOGIA DE ESTUDIO PARA EL ESTUDIANTE La sugerenciade metodologa de estudio que puede conducir a una interesante experiencia en esta asignatura, por ende, conducente a logros exitosos es la siguiente: 1)Lectura de conceptos, definiciones y propiedades del texto gua. 2)Revisar y comprobarlos ejemplos resueltos en el texto gua. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar12

NUCLEO TEMATICO PARA ESTUDIO INDEPEDIENTE Atravsdeinteraccinporplataforma(chat,foroytareas)yclasespracticasaacordar,se proporcionar orientacin y pautasde estudio de los temas que contempla este ncleo temtico. Unidad 4:Espacios vectoriales y sub espacios Objetivos de la unidad -Determinar los espacios y sub-espacios vectoriales -Aplicar las propiedades de los espacios vectoriales en la resolucin de ejercicios. 4.1 Espacios Vectoriales. Definicin. Propiedades. Identificacin. 4.2 Subespacios. Teorema - Definicin. Sub-espacios generales. Identificacin. 4.3 PropiedadesdelosespaciosVectoriales.Combinacioneslineales.Espacio,filaycolumnade una matriz.Sumas y sumas directas. Lectura de conceptos, definiciones y propiedades del texto gua. Revisar y comprobar los ejemplosEntendi los ejemplos resueltos? Leer el libro de Hawar Anton para estudio comparativo NoSiResolver tarea Asistir al encuentro de da sbado. El docente realizar las aclaraciones y profundizar el tema Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar13 4.4 Base y dimensin. Conceptos y dependencias e independencia lineal. Definiciones. Dimensin y sub-espacios. Aplicaciones a las ecuaciones lineales. 4.5 Rango de una matriz. Vectores coordenados 4.6 Ejercicios de aplicacin. Unidad 5: Transformaciones lineales Objetivos de la unidad -Interpretar las transformaciones lineales -Aplicar los teoremas sobre transformaciones lineales en la resolucin de ejercicios -Realizar operaciones sobre transformacionescon vectores ymatrices. 5.1 Definiciones. Ncleo o imagen. 5.2 Transformaciones singulares y no singulares. 5.3 Operaciones. Suma, Producto por un escalar. Composicin.5.4 Operaciones lineales. lgebra. Operaciones invertibles.Matrices y operaciones lineales.5.5Representacin Matricial. Cambio de Bases. Similaridad.5.6 Matrices y transformaciones lineales.5.7 Ejercicios dirigidos en clase. Unidad 6: Valores y vectores propios Objetivos de la unidad -Aplicar las matrices en el clculo de los valores y vectores propios -Aplicar las propiedades en la resolucin de ejercicios -Diagonalizarmatrices utilizando los valores y vectores propios. 6.1 Valores y Vectores propios. Definicin. Propiedades 6.2Vectores propios de una matriz. Autovectores 6.3 Matriz diagonal. 6.4 Diagonalizacin de matrices 6.5 Ejercicios de aplicacin. 2.2 BIBLIOGRAFA COMENTADA 1.El Libro de texto de Algebra Lineal, cuyo autor Ing. Miguel Cuellar M., es el resultado de ms desieteaosdeinteraccinyexperienciacontinaenlaenseanzadematemticas.Elmaterialse adecua a las caractersticas heterogneas de conocimientos previos de los estudiantes que buscan su profesionalizacin en aulas de nuestra Universidad. Presentaejemplosdefcilcomprensinyaplicacionesproporcionandobasesslidasparaellogro de la comprensin profunda de los temas. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar14 2.Howard Anton. Introduccin al lgebra Lineal. Editorial Limusa 2da Edicin. 1998 EllibrodeHawardAntonesdegranutilidad,porque,estelibrosebasaenlapresentacindelas definicionesyteoremasquepermitenunamejorcomprensindelosejerciciosprcticos,sus ejemplosexpresadosenformasecuencialayudanalacomprensindecadaunodelostemasde manera gradual. 3.Stanley.L.Grossoman.lgebraLinealconsusAplicaciones.McGrawHill.Bogota.4ta Edicin. 2001. Estelibroserecomienda,porlosconceptostericosclarosylasdiferentesaplicacionesque presenta en cada uno de las unidades temticas. 4.Seymour Lipschutz. lgebra Lineal. Mc Graw Hill. Serie Shaum. 2da Edicin. 1998. Estematerialsecaracterizaporpresentarejerciciosresueltosvariadosparaqueelestudiante entiendalaresolucinpasoapasoyluegolapresentacindeejerciciospropuestosparaser resueltos por el estudiante. 5.Eduardo Raffo.Algebra lineal. Lecca / 1989. Este libro presenta ejemplos y ejercicios de fcil comprensin para el estudiante en cada uno de los temas. 6.Domingo Mendoza. lgebra lineal.S. E. / 1992. EllibrodeDomingoMendozaseutilizporlosconceptostericosylosejerciciosvariadosde cada uno de los temas.

2.3. MATERIAL EXPLICATIVO El texto gua incluye conceptos, definiciones y ejemplos de aplicacin en problemas reales. 2.4.MTODOS A UTILIZAR Encuentro fsicoEl docente realizar una evaluacin diagnstica del ncleo temtico correspondiente al encuentro. Atravsdeexposicinmagistralconsolidarlosconceptosydefiniciones,asmismo,profundizar Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar15 las extensiones de los temas tratados. Plantearejemplosrepresentativosquecontribuyanalacomprensinprofundadeltema.La resolucin de dichos ejemplos se realizar en forma grupal cooperativo o individual. Encuentro virtual Elestudianteyeldocentedispondrndedossesionessemanales,cadasesincontiempode duracin de dos horaspara interactuar por mediode la plataforma virtual (chat, foro y tareas). Eldocenteplantearejemplosrepresentativospararealizarseguimientodelestudioindependiente delestudiante;asmismo,responderalasconsultasdelosestudiantesatendiendodudas referentes al texto gua en las tareas y prcticos planteados. 3. CONCLUSIONES Preguntas y ejercicios para realizar en forma individual o colectivacon solucionario. Cada unidad del texto Gua presenta men de ejercicios, los cuales debern ser resueltos en los plazos y trminos sealados en plataforma del sistema. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar16 TEXTO GUA Unidad1: Matrices Competencias Al finalizar esta unidad el estudiante desarrollar las siguientes competencias: 1) Define y reconoce los diferentes tipos de matrices. 2) Realiza operaciones de suma y producto con matrices. 3)Aplica las propiedades de las matrices en la realizacin deoperaciones con las mismas. Definicin de matriz Se dice que una matriz es un arreglo cuadrado o rectangular de nmeros y/o letras, dispuestas en lneas horizontales y verticales denominadas estas como filas y columnas. A las matrices se las puederepresentar con las primeras letras maysculas del abecedario y a los elementos de una matriz; con letras minsculas, es decir: mxnmn m m mnnna a a aa a a aa a a aa a a aA((((((((

=........... ........... ............ ..........3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11 En resumen (forma genrica) una matriz tambin se la puede representar de la siguiente manera:[ ]n mj ia A= ) ( ........ 3 , 2 , 1) ( ........ 3 , 2 , 1columnas n jfilas m i==

Donde: m = Nmero de filas. n= Nmero de columnas. Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar17 Ejemplos: 1) 3 30 9 86 5 43 2 1((((

= A 2)

313= aElemento que pertenece a la fila uno y columna tres.522 = aElemento que pertenece a la fila dos y columna dos. 033= a Elemento que pertenece a la fila tresy columna tres. 831= a Elemento que pertenece a la fila tres y columna uno. 3 3219 083 0 1(((((

= k a B

313= aElemento que pertenece a la fila uno y columna tres.031= a Elemento que pertenece a la fila tresy columna uno. 823 = aElemento que pertenece a la fila dos y columna tres. Orden de una matriz Una matriz que tiene m filas y n columnas, se dice que es de orden mxn. Ejemplos: 1) 2 26 13 2((

= A La matriz tiene dos filas y dos columnas 2)4 21 3 0 24 3 2 1((

= B La matriz tiene dos filas y cuatro columnas 3)[ ]6 10 5 4 3 2 1= CLa matriz tiene una fila y seis columnas4)[ ]1 17= DLa matriz tiene una fila y una columna Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar18 5) Construya una matriz de orden 4x4 cuyo elemento genrico [ ]4 4ija este dado por: a) j i aij+ = b) 2) ( j i aij =

c) 2 + =jiaij d) 2jji+ Solucin 4 444 43 42 4134 33 32 3124 23 22 2114 13 12 11(((((

=a a a aa a a aa a a aa a a aAPrimeramente construimos la matriz genrica, luego aplicamos la condicin a) 4 48 7 6 57 6 5 46 5 4 35 4 3 2(((((

= A b) 4 40 1 4 91 0 1 44 1 0 19 4 1 0(((((

= A c) 4 433102 6411327525383 22337253((((((((((

= A Ciencias y Tecnologas de la Informacin lgebra Lineal Elaborado por: Ing. MSc. Miguel Cuellar19 Tipos de Matrices: Matriz cuadrada Una matriz es cuadrada si el nmero de filas es igual al nmero de columnas es decir: m = n. A este tipo de matrices se las llama matriz de orden n. Ejemplos 1) 2 x 24 32 1A((

= Matriz de orden dos 2)3 x 38 0 72 7 53 2 1B((((

= Matriz de orden tres 3)4 x 47 4 2 31 9 6 41 2 0 54 3 2 1C(((((

=Matriz de orden cuatro Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada tal que el elemento: 0 =ijas:j i >Esdecir,queelnmerodeordendelasfilasesmsgrandequeelnmerodeordendelas columnas. Por lo tanto la matriz triangular superior tiene sus elementos nulos despus de la diagonal principal hacia abajo. Ejemplo 3 33323 2213 12 110 00((((

=aa aa a aA Es una matriz triangular superior. Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada tal que el elemento:0 =ija si:j i