Algebra Lineal

Carrera: UAX Asignatura: Matemáticas

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DELTA-MASTER c/ General Ampudia 16, 28003 MADRID ( 915351932 915333842

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

1-Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Operaciones con matrices:

A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

LMMMM

L

L

21

22221

11211

B=

pqpp

q

q

bbb

bbb

bbb

L

MMMML

L

21

22221

11211

Suma: - Las matrices a sumar tienen que tener la misma dimensión (m=p, n=q).

A+B =

+++

+++

+++

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

LMMMM

L

L

2211

2222222121

1112121111

Producto por un número (λ):

λA=Aλ=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

λλλ

λλλ

λλλ

LMMMM

L

L

21

22221

11211

Producto de matrices:

- El producto de matrices no es conmutativo (en ocasiones AB≠BA). - Si multiplicamos AB, A tiene que tener la misma cantidad de columnas que B de filas

(n=p). - La matriz resultante de la multiplicación tiene la misma cantidad de filas que A y de

columnas que B (dimensión de AB es igual a m×q).




AB=

+++++++++

+++++++++

+++++++++

nqmnqmqmnmnmmnmnmm

nqnqqnnnn

nqnqqnnnn

bababababababababa

bababababababababa

bababababababababa

LLLL

MMMMLLLL

LLLL

221122221211212111

222212122222212211221221121

121211121221212111121121111

Traza de una matriz: -La matriz a la que se halla la traza tiene que ser cuadrada (n=m). -La traza es la suma de los elementos de la diagonal. traza(A)= nnaaa L2211 + Transposición de matrices: -La transposición es el simple cambio de filas por columnas.

TA =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

LMMMM

L

L

21

22212

12111

Tipos de matrices Matriz fila: matriz con una sola columna (m×1). Matriz columna: matriz con una sola fila (1×n): Matriz cuadrada: matriz con la misma cantidad de filas que de columnas (n=m). Matriz rectangular: matriz con un número diferente de filas que de columnas (n≠m). Matriz nula: Matriz en la que todos sus elementos son ceros. Matriz triangular superior (inferior): matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están por debajo (arriba) de la diagonal son ceros. Matriz diagonal: matriz cuadrada en la cual son nulos los elementos por debajo y por arriba de la diagonal. Matriz regular: matriz que se puede invertir. Matriz identidad: matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal son unos. Matriz simétrica: matriz que es igual a su transpuesta (A= TA ).




Matriz antisimétrica: A=- TA . Matriz ortogonal: 1−= AAT . Matriz idempotente: 2 .=A A Matriz nilpotente: si existe un n tal que OA =n (O matriz nula). Propiedades de los distintos tipos de matrices

- ( ) TTT BABA +=+

- ( ) TTT ABAB =

- 111 AB(AB) −−− = - IA=AI=A (I es la matriz identidad) - OA=AO=O (O es la matriz nula)

Determinantes - El determinante solo se le halla a una matriz cuadrada. Determinantes de matrices de dimensión 2:

A=

dcba

,|A|= cbaddcba

−=

Determinantes de matrices de dimensión 3:

A=

333

222

111

cbacba

cba

,|A|= )( 231312123132213321 cbacbacbacbacbacba ++−++

Determinantes de orden mayor que tres:

Menor correspondiente al elemento ai j ,M i j: es el determinate formado al eliminar la fila i y la columna j. Adjunto al elemento aij : (-1)i+jMij . Determinante: cogemos cada elemento de una fila o columnas lo multiplicamos por su adjunto y lo sumamos.




Propiedades de los determinantes:

• |AT |=|A| • |AB|=|BA| • |A-1|=1/|A| • |A|=-|B|, siendo B la matriz formada al intercambiar dos filas o columnas • |A|=0, si A tiene dos filas o columnas iguales, proporcionales o que una dependa

linealmente de las otras. • |B|=k|A|, si todos los elementos de B son iguales a los de A menos una fila o columna

que se a multiplicado por k. Matriz inversa

- La matriz 1−A es la matriz inversa de A si -1 -1AA = A A = I

- La matriz A tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero.

Matrices semejantes - Dos matrices A y B cuadradas de orden n son semejantes si existe una matriz P regular tal que -1B=PAP . Calculo de la matriz inversa

- t

-1 (adjA)A =

| A |, donde la matriz adjA es la matriz formada por los elementos adjuntos

de A. - Otra manera de calcular la inversa de A es utilizando el método de Gauss- Jordan

Sistemas de ecuaciones lineales Se denomina sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas a:

11 1 12 1 1 1 1

21 1 22 1 2 1 2

1 1 2 1 1

......

.............................................

n

n

m m mn m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

Forma matricial Ax=b, donde




A=

11 12 1

21 22 2

1 2

....

........ ....

....

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

M M, x=

1

2

n

x

x

x

M, b=

1

2

m

b

b

b

M

Clasificación de los sistemas

- Sistema compatible determinado: son los que tienen solución y es única. - Sistema compatible indeterminado: son los que tienen infinitas soluciones. - Sistema incompatible: son los que no tienen ninguna solución.

Rango de una matriz: orden del mayor determinante no nulo que se puede formar apartir de la matriz. Teorema de Rouché-Frobenius

Sea la matriz ampliada A% =

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

....

........ ....

....

n

n

m m mn m

a a a ba a a b

a a a b

M M M

- Si rang A ≠ rang A% entonces el sistema es incompatible. - Si rang A = rang A% =n entonces el sistema es compatible determinado. - Si rang A = rang A% < n entonces el sistema es compatible indeterminado.

Resolución de sistemas de ecuaciones - Sistema de Cramer (compatible determinado) -1x = A b .

- Regla de Cramer

11 1 1 1 1 1 1

21 2 1 2 2 1 2

1 1 1

... ...

... ...

... ...

... ...| |

i i n

i i n

n ni n ni nni

a a b a aa a b a a

a a b a ax

− +

− +

− +

=

A

M M M M M

- Otro método es el de eliminación de Gauss-Jordan.




2-Espacios vectoriales

Definición Diremos que un conjunto V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K si hay definidas dos operaciones: 1- una ley interna, V×V→V, (x , y) →x+y, que denominamos suma de vectores 2- una ley externa K ×V→V, (α ,y) →αy, que denominamos producto por un escalar de manera que verifican las siguientes propiedades: 1- x+y=y+x (conmutativa) 2- (x+y)+z=x+(y+z) (asociativa) 3- / ,∃ ∈ + = ∀ ∈0 V x 0 x x V (elemento neutro) 4- , /∀ ∈ ∃ ∈x V - x V x + ( - x ) = 0 (elemento opuesto) 5- (α+β)x=αx+βx 6- α (x+y)= αx+αy 7- (αβ)x=α(β x) 8- 1 x = x

, ,α β∀ ∈ ∈x,y V¡ Combinación lineal: Sea Vx,...,x,x n21 ∈}{ y K∈}a,...,a,a{ n21 se dice que la operación

nnxxx ααα +++ ...2211 forma una combinación lineal de dichos vectores. Dependencia lineal: Se dice que Vx,...,x,x n21 ∈}{ es un conjunto linealmente dependiente si ∃ K∈}a,...,a,a{ n21 con al menos 0≠iα , en el que nnxxx ααα +++ ...2211 =0. Independencia lineal: Se dice que Vx,...,x,x n21 ∈}{ es un conjunto linealmente dependiente de V si al ser nnxxx ααα +++ ...2211 =0 es necesario que 0a...aa n21 ==== . Sistema generador: Se dice que Vx,...,x,x n21 ∈}{ , forma un sistema generador de V si

Vx∈∀ , ∃ K∈}a,...,a,a{ n21 /x = nnxxx ααα +++ ...2211 . Base de un sistema generador: Se dice que B = }{ n21 x,...,x,x forma una base de V si se cumple, que es un sistema generador de V y un conjunto linealmente independiente. Coordenadas de un vector en una base dada: Sea B = }{ n21 x,...,x,x una base de V, y sea

Vx∈ ; se dice que nK∈)a,...,a,a( n21 son las coordenadas de x en la base B si se cumple: x = nnxxx ααα +++ ...2211 . Cambio de base: Sean B = }{ n21 x,...,x,x y B1 = }{ n21 y,...,y,y dos bases de un espacio vectorial V. Se dice ecuaciones del cambio de base a las que surgen de hacer




nnxxx ααα +++ ...2211 = nn yyy 12

121

11 ... ααα +++ siendo )a,...,a,a( n21 y

)a,...,a,a( n1

21

11 las coordenadas de x en las bases B y B1 respectivamente.

Dimensión de V: numero de vectores que forman una base V. Subespacio vectorial: Sea S un subconjunto de vectores de V, se dice que forma un subespacio vectorial de V si en él se verifican: Syx, ∈∀ y Syx ∈+ βα (el elemento neutro siempre tiene que pertenecer a S). Operaciones entre subespacio: Sean S1 y S2 dos subespacio de V, se dice:

- Suma. S1 + S2= S1 ∪ S2, es un subespacio de V, donde una base de S1 + S2 esta formada por una cantidad maximal de vectores linealmente independiente del conjunto de vectores formado al unir una base de cada uno de los subespacio.

- Intersección. S1 ∩ S2, es un subespacio de V en el que si ∈x S1 ∩ S2 entonces ∈x S1

y ∈x S2. - Suma directa. S1 ⊕ S2, se dice si dim(S1 ∩S2)=0 - dim(S1 + S2)+dim(S1 ∩ S2)=dim(S1)+dim(S2).

3-Espacios vectoriales euclídeos

Producto interior: a cada par de vectores se le asigna un número real <u,v> que satisface: 1- 1 2 1 2, , ,a b a b< + >= < > + < >u u v u v u v (linealidad) 2- <u,v>=<v,u>(simetría) 3- <u,v>≥0, <u,u>=0⇔u=0 (definida positiva) Espacio euclideo: todo espacio vectorial en el que se le defina un producto escalar. Longitud de un vector u: ||u||= ,< >u u . Desigualdad de Cauchy – Schawarz: || || || ||< > ≤ ⋅u,v u v .

Relación trigonométrica: cos( )|| || || ||

θ< >

=⋅

u,vu v

, donde θ es el ángulo entre los vectores.

Ortogonalidad: dos vectores son ortogonales si su producto interno es igual a cero. Complemento ortogonal: sea S un conjunto del espacio vectorial V, definimos complemento ortogonal de S a:

{ }: 0⊥ = ∈ < >= ∀ ∈S v V u,v u S , ⊥S es un subespacio vectorial de V.

-Si S es un subespacio de V,V =S⊕ ⊥S . Conjuntos ortogonal: un conjunto es ortogonal si todos los elementos son ortogonales entre si. Conjuntos ortonormal: un conjunto es ortonormal si todos los elementos son ortogonales entre si y la longitud de cada uno de ellos es uno.




-Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente.

Proyección: la proyección del vector V en W es cW donde 2|||| W

WV, ><=c (c es llamado

coeficiente de Fourier). Proceso de ortonalización (Gram-Schmidt): Sea el conjunto de vectores {V1,V2,...,Vn} que queremos ortogonalizar, el proceso de ortogonalización es el siguiente:

121

112

1

222

2312

1

333

121

22

11

||||...

||||

................................................................||||||||

||||

−−

− ><−−

><−=

><−

><−=

><−=

=

nn

nnnnn W

WW,V

WW

W,VVW

WW

W,VW

WW,V

VW

WW

W,VVW

VW

1

1

12

Representación del producto interno en una base {V1,V2,....Vn}:

><><><

><><><><><><

nnnn

n

n

VVVVVV

VVVVVVVVVVVV

,...,,...

,...,,,...,,

21

22212

12111

MMM

4-Aplicaciones lineales Aplicación lineal: sean V y W dos espacios vectoriales, decimos que la aplicación

:f →V W ,∀ ∈ ∃ ∈x V y W tal que ( )f=y x es lineal si ( ) ( ) ( )( ) ( )

f f ff fα α

+ = +=

x y x yx x

-A toda aplicación lineal se le puede asociar una matriz y esta depende de las bases a escoger en los espacios V y W. Endomorfismo: W=V. Núcleo: se dice núcleo o Ker de f a: Ker(f)={ : ( ) 0f∈ =x V x }.

Imagen: se dice que imagen de f :Im(f){ }: / ( )f∈ ∃ ∈ =y W x V x y . -dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(V). Inyectiva: Ker(f)=0.(f es un monomorfismo) Sobreyectiva: Im(f)=W . ( f es epimorfismo)




Biyectiva: aplicación inyectiva y sobreyectiva. (f es un isomorfismo)

5-Diagonalización

Autovector: Sea :f →V V un endomorfismo, se dice que x es un autovector de f si se cumple f(x)=λx. Autovalor: es el valor λ de la definición de autovector. Calculo de Autovalores y autovectores Autovalores: son las soluciones del polinomio det(A-λI)=0 (polinomio característico), siendo A una matriz asociada a la aplicación lineal f. Autovectores: son los vectores que conforman las bases de cada subespacio (subespacio propio) formado por las soluciones de los sistemas (A- iλ I)x=0, i=1..r, donde iλ son los autovalores y r es la número de valores propios distintos. - Una aplicación es diagonalizable si la multiplicidad de sus autovalores es igual a la dimensión del subespacio propio. Matriz diagonal asociada a la aplicación f, D: es la matriz diagonal en la cual su diagonal está formada por los autovalores de f. Además D= 1−P AP, donde P es una matriz cuyas columnas están formada por los autovectores. Propiedades: - A y ⊥A tienen los mismos autovalores. - Si λ es autovalor de A, kλ es autovalor de kA (los autovectores son los mismos). - Si λ es autovalor de A, 1λ − es autovalor de 1−A (los autovectores son los mismos). - Si λ es autovalor de A, nλ es autovalor de nA (los autovectores son los mismos). - Si λ es autovalor de A, Ker(f)≠0. - Si p(x) es el polinomio característico de A entonces p(A)=0, Teorema de Cyley-

Hamilton. - Si A es simétrica es siempre diagonalizable y sus autovectores forman un conjunto

ortogonal.

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