Algebra en todas partes

Marcos Campos Nava Álgebra en Todas Partes Dr. José Antonio de la Peña

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EL ÁLGEBRA EN TODAS PARTES

Empezaré por hacer una pregunta: ¿Está realmente el álgebra en

todas partes? Pero responderla no es el objetivo del autor ni del

libro, más que cuestionarnos lo anterior, debemos tomarlo como una

afirmación así que lo que debe interesarnos es si realmente la obra

cumple el objetivo por el cual la fue escrita: que después de leerla

cualquier persona quede convencida de que las matemáticas son

bellas, interesantes y hasta apasionantes, (convencer a los lectores

de que además son fáciles es un objetivo muy pretencioso) Para

estar convencidos de que las matemáticas son todo lo que hemos

dicho tenemos que entenderlas; lo primero que alguien piensa

cuando le decimos “matemáticas” son números. Ahora ¿qué son los

números? Cualquiera que haya al menos pasado por primaria está

familiarizado con ellos, pero ¿en verdad sabemos que son?

Recuerdo que en alguna ocasión tomé gis y escribí un símbolo en el

pizarrón, le pregunté a un grupo de alumnos ¿qué es lo que ven? Al

instante algunos respondieron: un número, el dos. Otros más

reservados quedaron callados pensando que era una pregunta

capciosa y solo algunos perspicaces me respondieron: lo que yo veo

es un símbolo hecho con gis sobre la pizarra.

Lo primero que debemos comprender es que los números son como

las ideas, no pueden verse ni tocarse y solamente existen en nuestra

mente, lo que hacemos al “escribir números” es representar esa idea

por medio de símbolos, a los que debemos llamar numerales, por

cierto nuestro sistema de numerales indoarábigos hace apenas 600

años aproximadamente que se estableció en Europa. Ahora bien

¿tiene importancia el conocimiento de los números para las

personas? El que responda “no” a esta pregunta sin duda es un


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necio, pues el primer contacto con las matemáticas sin importar de

quien se trate se da a muy temprana edad. Lo primero que nos

pregunta un adulto cuando nos conoce es ¿Cómo te llamas? Y

¿Cuántos años tienes? A la segunda pregunta seremos capaces de

contestar por lo menos usando los dedos de las manos para indicar

nuestra edad. Es común también que los niños a tierna edad

muestren un conocimiento práctico de correspondencia cuando

tienen que resolver por ejemplo el problema de repartir las canicas

de una bolsa entre dos y lo hacen diciendo “una para ti, una para mí”

¿Alguna vez nos hemos preguntado por qué usamos el llamado

sistema decimal o base 10? Recordemos que la mayoría

aprendemos a contar usando los dedos de nuestras dos manos (10

dedos) Cualquier estudiante de secundaria o bachillerato debe estar

familiarizado con este término pero en mi experiencia docente he

encontrado a muchachos que no tienen el menor conocimiento de lo

que esto significa, podemos representar cualquier número en base

10 utilizando justamente 10 símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y sabiendo

además que la posición más a la derecha antes del punto decimal

representa unidades, la anterior decenas, etc. De tal forma que el

número 23107 está escrito en base 10 y lo podemos representar así:

2 x 10000 + 3 x 1000 + 1 x 100 + 0 x 10 + 7 x 1= 23107 ahora bien, si

recordamos que 100 = 1; 101= 10; 102 = 100, etc. También podemos

escribir lo siguiente: 23107 = 2 x 104 + 3 x 103 + 1 x 102 + 0 x 101 +

7 x 100. Y así cualquier número se puede representar escrito en

bases diferentes de 10, de tal forma el 23107 en base 8, base 12 ó

base 2 tendrá diferente representación. Interesante ¿no? Por las

características de este ensayo, no escribiremos más

representaciones. Hasta aquí debo resaltar el hecho de que en mi


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experiencia con estudiantes de bachillerato he notado el trabajo tan

grande que les cuesta a muchos manejar los números en base 10

usando la notación científica, (justo lo que hicimos anteriormente),

¿tendrá importancia saber manejar perfectamente este sistema

decimal nuestro y un recurso como la notación científica? Si alguien

nos pide por ejemplo escribir la altura de un edificio famoso,

escribiremos una cantidad usando a lo más centenas y expresando

el resultado en metros, si alguien nos pide escribir la distancia del

diámetro de nuestro planeta en metros será ya un valor difícil de

escribir por la cantidad de cifras, si nos piden escribir el total de

segundos que tiene de existir el Universo (según alguna teoría)

seguramente no alcanzará una hoja para escribir un número tan

grande, y entonces se pone de manifiesto la importancia de escribir

números de muchas cifras usando un sistema para abreviarlos,

recordar que 3 x 108= 300,000,000.

Si un estudiante de nivel preparatoria tiene bastante problemas para

manejar el sistema base 10 con el que ha tenido contacto toda su

vida desde temprana edad, puesto que aprendió a contar con los

dedos de sus manos (10), no podemos esperar una comprensión

mayor de sistemas como en base 6 ó en base 2 ¿qué importancia

tiene esto? Que por ejemplo las computadoras trabajan en un

lenguaje llamado binario ó base 2, que utiliza solamente los símbolos

(0,1) y el cual tiene muchas ventajas para esa tarea.

Alguien que lea hasta lo aquí expuesto puede deducir que las

matemáticas en verdad son importantes, y necesarias, pero ¿Son

bellas? ¿Son interesantes? Tal vez no he cambiado ni con mucho la

concepción que la mayoría tiene de que son aburridas. Por otro lado

al escribir un ensayo sobre álgebra, el que lo lee debe esperar ver


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ecuaciones llenas de letras elevadas a diferentes potencias, ¿lo que

he planteado anteriormente tiene entonces que ver o no con el

álgebra? Tenemos que ir paso a paso o corremos el riesgo de que

nos pase lo que al común de los estudiantes que atendemos: son

capaces a veces sin error de realizar operaciones con letras

(algebraicas) y ni siquiera saben la historia atrás de un número. De

aquí en adelante ya que estamos convencidos de que las

matemáticas y los números son importantes y necesarios (usando los

argumentos que el autor presenta en su obra) expondré a

continuación siguiendo los mismos lineamientos el porqué aparte de

necesarias son interesantes. Dicen muchas personas que conozco

“Dios es el arquitecto del Universo” porque hizo todo lo que existe en

él, después de leer este “Maravilloso” libro puedo decir: Si Dios existe

(algo no comprobado matemáticamente) debe llamársele el

Matemático del Universo, puesto que la arquitectura está basada en

las matemáticas, así como todo lo que existe en la naturaleza, según

era la idea que tenían los griegos en la antigüedad. Primero

establezcamos la diferencia y similitud entre álgebra y aritmética: si

escribimos un número por ejemplo 20, en aritmética su valor no

puede cambiar, si queremos representar un número cualquiera

podemos representarlo con una letra por ejemplo “n” que representa

cualquier número, si escribimos “2n” significa que de esa cantidad

sea cual sea, necesitamos el doble, si por otro lado escribimos “n²”

aquella cantidad la estamos multiplicando por sí misma. Así que con

el álgebra lo único que hacemos es generalizar y no debe por tanto

representarnos mayores problemas representar números con

numerales indoarábigos o con letras. Ahora bien el lector se dará

cuenta que las primeras cuartillas de este ensayo tienen mucho que


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ver por supuesto con aritmética y también con álgebra. Continuemos,

un ejemplo de lo que podemos hacer combinando aritmética y

álgebra es lo siguiente: Podemos estar interesados en saber cuantas

diagonales se pueden trazar en un polígono de cualquier número de

lados, podemos entonces llamar al número de lados “n”, con papel y

lápiz podemos ver fácilmente lo siguiente: en un triángulo (n=3) no se

pueden trazar diagonales, en un cuadrado ó rectángulo (n=4) se

pueden trazar 2, en un pentágono (n=5) se trazan 5, en un hexágono

(n=6) trazamos 9, en un heptágono (n=7) hay 14 diagonales, en un

octágono (n=8) hay 20 diagonales ¿cuál es el patrón? Si n= 3, d = 0;

si n=4, d=2; si n=4, d=2+3; si n=6, d=2+3+4; si n=7, d=2+3+4+5; si

n=8, d=2+3+4+5+6... de tal forma que con aritmética, álgebra y

sabiendo rescribir lenguaje común a lenguaje matemático, podemos

establecer una fórmula y decir cuantas diagonales tendrá un polígono

de “n” lados. Este ejemplo lo he escogido a propósito para hacer

notar la relación entre letras y números, en adelante nos centraremos

totalmente a defender el argumento que pretendemos.

Para los griegos de la época de Pitágoras,

Dios había creado todo en la naturaleza en base a proporciones de

números enteros, a los que llamaron racionales, fue enorme su

sorpresa cuando se dieron cuenta que la diagonal de un cuadrado no

era un número racional, es decir no se podía expresar como la

división de dos números enteros, por ejemplo en un cuadrado de una

unidad por lado, si queremos calcular su diagonal, basta con aplicar

el famoso teorema de Pitágoras c²= a² + b² para darnos cuenta que

la diagonal valdrá √2 el cual no se puede expresar como el cociente

de dos números enteros. Hoy en día no es extraño para nosotros

hablar de números irracionales, como √2 = 1.4142135624... pero


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cuando los discípulos de Pitágoras descubrieron esto pensaron que

Dios se había equivocado al no darse cuenta que la diagonal de un

cuadrado no es un número racional. Hablando de ésta época y del

tan famoso Teorema de Pitágoras el cual sirve para relacionar los

catetos de un triángulo rectángulo con su hipotenusa, es curioso

hacer notar que por ejemplo en China ni siquiera lo conocen de esa

forma, si no como el Teorema de Chou, el cuál aparece en un libro

Chino del mismo nombre que data de ¡1000 a.c.! . Con lápiz y papel

podemos hacer un ejercicio simple pero interesante que nos muestra

porqué se pensaba (y no estaban equivocados) que todo en la

naturaleza tiene relación con los números: Trazamos un cuadrado de

cualquier medida, la base superior se toma como hipotenusa de un

triángulo rectángulo, el cual se traza; cada cateto de éste triángulo se

toma como lado para trazar dos nuevos cuadrados; a estos dos

nuevos cuadrados se les repite el paso anterior trazándoles dos

triángulos rectángulos usando como hipotenusa su base y así

sucesivamente se continúan el procedimiento repetidamente y el

resultado se conoce como árbol de Pitágoras, pues empieza a tomar

esa forma ¿una casualidad de las matemáticas y la naturaleza? La

respuesta es no; ya que es fácil notar que los árboles cumplen con el

Enunciado de Pitágoras ó Chou ó como de ahora en adelante le

queramos llamar, ya que se puede observar que cuando el tallo de

un árbol, (llamémosle “c” a su diámetro) se divide en 2 ramas

(llamémosles “a”, “b” a sus diámetros), el área del tallo es igual a la

suma del área de cada rama, lo cual podemos escribir como c²= a² +

b² ; es decir los árboles cumplen con este teorema. En la antigüedad

cuando solo existía el conjunto de los números naturales, aquellos

enteros positivos que nos sirven para contar (1,2,3,4,5...) notaron


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fácilmente que operaciones como las restas eran imposibles de

hacer, así que vieron la necesidad de adoptar un nuevo conjunto de

números: los enteros, estos podían ser tanto positivos como

negativos (...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...) aún así faltaban números pues si

pretendíamos repartir un pan a cuatro hombres hambrientos, el

resultado ya no era un número entero sino racional (1/4), cuando los

griegos calcularon la diagonal de un cuadrado descubrieron que

aparte de los números racionales, debían considerarse los números

irracionales, finalmente terminamos adoptando un conjunto de

números llamado “Números Reales”, en el cual están contenidos

todos: Los enteros, los racionales, los irracionales, el cero; es decir

prácticamente todos los números que conocemos ¿ó tal vez no? Le

preguntaré al lector como a cualquier estudiante de bachillerato que

se inicia en un curso de tercer ó cuarto semestre, ¿todos los

números que existen están contenidos en los Reales? Que pasa si

definimos por ejemplo a un número a=1/0 (léase el número “a” es

igual al cociente de uno entre cero) si pasamos el cero al otro lado de

la igualdad tenemos a x 0 = 1 (léase el número “a” multiplicado por

cero es igual a uno) algo totalmente absurdo. ¿Qué podemos deducir

de lo anterior? La división 1/0 es un número que escapa a lo que

conocemos. Si le pedimos a un estudiante que resuelva la siguiente

ecuación (recordemos que le llamamos ecuación a una igualdad

expresada con números conocidos y no conocidos, es decir variables

y constantes) x² + 1 = 0; Él lo encontrará muy fácil y “despejará” el

valor de la incógnita, resultando x = √-1 ; ¿Puede el lector decir

cuanto vale la raíz cuadrada de –1? Nos daremos cuenta que en los

números reales no existe ninguno que multiplicado por sí mismo

resulte otro negativo; a la expresión en cuestión se le ha llamado un


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número imaginario “i” y se dice que i = √-1; y por lo tanto i² = -1; es

decir que el cuadrado de un número imaginario es un número real.

Los algebristas llegaron a la conclusión de que el conjunto de

números más general es el llamado de los números complejos, del

cuál derivan tanto los números reales como los imaginarios.

Cuando nos tratan de enseñar algo nuevo, la actitud que tomemos

hacia la persona que lo transmite y al mensaje es determinante, si

pensamos que es aburrido y difícil de entender, la adquisición de

nuevos conocimientos es más compleja; durante el tiempo que llevo

de impartir clase, muchos alumnos me han hecho saber que entran

predispuestos a que las matemáticas son muy difíciles, aburridas y

sin utilidad práctica; algunos otros reconocen que sí tienen bastante

utilidad pero que no les interesan; también he notado que cuando los

chicos encuentran divertido un conocimiento, su atención se centra

en la persona que imparte clase y en el mensaje de la misma, así

que como un apoyo didáctico y que a su vez motive a una buena

actitud hacia las matemáticas, podemos emplear algunos “juegos” a

veces muy simples pero que no dejan de sorprender a quien lo

conoce por primera vez, tal es el caso de adivinar el número que una

persona está pensando, ó como en un juego de 6 de cartas con

números escritos del 1 al 63, con las cuales se puede predecir sin

errores el número que una persona escoja siempre y cuando nos

diga en qué cartas no aparece dicho número; después se da la

explicación de que está basado en elementos matemáticos como la

notación base 2. El anterior juego fue propuesto por Martín Gardner.

También es importante que nuestros alumnos conozcan el lado

humano de las Matemáticas y esto lo podemos lograr mediante la

historia de aquellos que con todo su intelecto lograron triunfos tan


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grandes; recordemos la historia de cómo se llegó a la solución de

ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos. Se cuenta que a

finales del siglo XV los matemáticos se ganaban la vida trabajando

en bancos, participando en juegos de azar y organizando “duelos” en

los que demostraban sus proezas mentales ante la gente. En ese

tiempo no se tenía una solución para las ecuaciones de tipo

ax³+bx²+cx=d; que por cierto presentan algunas soluciones de

números complejos; un gran matemático de la época: Antonio Fior

había resuelto parcialmente el problema, conocía un método para

resolver ecuaciones del tipo x³ + ax +b =0; no lo publicó para tener

ventaja en las competencias contra otros matemáticos, por otro lado

Nicola Fontana, conocido como “Tartaglia” conocía un método para

resolver ecuaciones del tipo x³ + ax² +b =0; se retaron a un duelo

público para saber quien sería el matemático más grande de ese

momento, Tartaglia resultó vencedor. A principios del siglo XVI

Girolamo Cardano convenció a Tartaglia de confiarle su secreto, a

reserva de guardarlo de por vida, Tartaglia aceptó y grande fue su

sorpresa cuando Cardano publicó un libro donde daba a conocer la

solución de las ecuaciones cúbicas, dándole el crédito a Tartaglia,

además la solución estaba por fin completa, pues en el libro venía el

método para las ecuaciones más generales: ax³+bx²+cx=d; aún así la

ofensa no fue perdonada y en un duelo público se decidió quien

debería ostentar el título del más grande matemático de la época

¿Quién lo habrá ganado? Sin duda este pasaje parece sacado de

relatos del viejo Oeste, sucedió por cierto en Italia. En 1850 un

coleccionista compró un antiguo papiro egipcio que data de 1650 a.c.

al descifrarlo se descubrió que contaba con más de 85 problemas de

matemáticas; aunque no se supo a quien iban dirigidos, fue indicativo


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del desarrollo tan grande que tenía este pueblo, un ejemplo de ello

es lo siguiente: “La cantidad, el total y la séptima parte hacen 19”

este problema que bien puede aparecer en cualquier libro de álgebra

hoy en día, data de más de 3000 años, un estudiante de secundaria

incluso podrá resolverlo si plantea la ecuación: x + x/7 =9.

Diofanto fue un matemático griego que vivió 2 siglos antes de nuestra

Era, poco se conoce de su vida, él estudió problemas que debían

tener su solución en números enteros, tal y como lo indica una rima

que data de esa época: “La juventud de Diofanto duró una sexta

parte de su vida. Se dejó crecer la baba después de un doceavo

más. Al pasar un séptimo más de su vida se casó y cinco años

después tuvo un hijo. El hijo vivió exactamente la mitad que Diofanto”

este problema que data de hace más de 2000 años se puede

resolver si asignamos a la edad desconocida de Diofanto, la variable

“x” entonces decimos x = x/6+ x/12+ x/7+ 5+ x/2+ 4. Si el lector

resuelve la ecuación sabrá la edad de Diofanto y su hijo, que deben

ser números enteros. A mediados del siglo XVII un matemático

aficionado de nombre Pierre de Fermat, leyendo un libro de Diofanto

se detuvo en una hoja pensando en la expresión an+bn=cn y se

preguntó: “cuando el exponente es mayor ó igual a 3 ¿qué números

enteros satisface ésta expresión?” Escribió al margen del libro: “en la

ecuación xn+yn=zn cuando n>2 no existen soluciones enteras; tengo

una hermosa demostración de esto, pero el margen de este libro es

muy pequeño para escribirla” Este enunciado se conoció como el

último Teorema de Fermat, hoy en día se cree que realmente no

tenía una solución ó que era equivocada, lo cierto es que a raíz de

conocer este enunciado, muchos se dieron a la tarea de tratar de

demostrarlo sin éxito, surgieron tratados sobre el tema y se abrieron


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nuevas ramas de las matemáticas en busca de la respuesta. Hasta

que en 1993 un matemático llamado Inglés llamado Andrew Wiles dio

a conocer que tenía por fin la demostración al último Teorema de

Fermat; el suceso causó tal conmoción que todos los periódicos del

mundo hablaron de ello, cuando su manuscrito de 200 hojas fue

analizado a detalle se encontró un error que echaba por tierra todo el

trabajo de 7 años; Wiles tardó otro año para enmendar el error, pero

por fin su triunfo fue reconocido. La historia de las matemáticas está

llena de historias tan interesantes como la anterior y como otras más

que mencionaré. En un oráculo griego se pide: “Construir un cubo del

doble de volumen que el cubo del Altar de Apolo” si designamos la

variable “a” como la arista del cubo de Apolo y “x” como su volumen,

podemos escribir x=a³; si queremos conocer la arista del otro cubo

designada como “y” tenemos: y³-2x=0 una ecuación cúbica que es

imposible resolver por medios geométricos como lo intentaron ellos.

Todos los que alguna ocasión fuimos estudiantes, sabemos de la

importancia de poder escribir mensajes en “clave” para que cuando

sean interceptados no se puedan descifrar. Pues el mismo caso

sucede cuando el ejército de determinado país quiere comunicar algo

muy importante y corre el riesgo de ser interceptado; a veces los

mensajes no están “cifrados” ó codificados de manera compleja y se

puede saber con facilidad lo que dice; cuando se necesita de mayor

confiabilidad entran en juego las matemáticas, para ser más exacto

el álgebra matricial, donde se utilizan arreglos rectangulares de

números llamados matrices para codificarlos. Se cuenta que durante

la primera Guerra Mundial el gobierno de Alemania mandó un

mensaje en código a su canciller en México en el cual alentaba a

nuestro país a unirse a Alemania en la Guerra contra los aliados,


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ofreciendo como recompensa la recuperación del territorio perdido

contra Estados Unidos, dicho mensaje fue interceptado por los

ingleses, decodificado y enviado a al presidente Norteamericano, el

resultado fue la intervención de ellos por el lado de los aliados, lo

cuál dio fin rápido a las hostilidades. También puede resultar para los

estudiantes muy interesante el hecho de saber que por medio de las

matemáticas se pueden hacer predicciones muy acertadas sobre

juegos de azar, todos hemos jugado alguna ocasión un juego donde

las matemáticas rigen sus reglas, al lanzar un volado ó al tirar un

dado entra en juego la probabilidad y la estadística, ramas de las

matemáticas que pretenden predecir lo que puede suceder en un

futuro dependiendo de los datos iniciales, siempre con un grado de

incertidumbre; también hemos jugado ó conocemos los pronósticos

deportivos, juegos donde dependiendo de que seamos capaces de

adivinar si un equipo ganará ó no, recibiremos un premio. Será

interesante para el lector saber que por medio del álgebra de las

matrices y haciendo un modelo matemático de un juego de

básquetbol, contando con la mayor parte de las jugadas que se

presentan, es posible predecir con bastante exactitud el resultado de

un partido. Estos cálculos que hoy en día parecen muy difíciles de

hacer, se pueden simplificar por medio de programas de

computadoras, pero aún así no todo está escrito, se dice que una

computadora de las más modernas puede tardarse en factorizar un

número de 200 cifras varios meses, recordemos que factorizar

significa descomponerlo en las cantidades más simples posibles,

pero que multiplicados sigan dando el número inicial. Recientemente

para el análisis del esfuerzo que debe soportar la estructura de un

edificio de 100 pisos, tuvieron que resolverse 1500 ecuaciones


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simultáneas; tarea muy difícil para un ser humano pero que una

computadora tardó 45 minutos en hacerlo. Hace algunos años fue

muy sonado el tema de que una computadora, había logrado vencer

al mejor jugador del mundo de ajedrez, el duelo entre Gari Kasparov

y la computadora Deep Blue, ¿por fin las máquinas han logrado

superar la inteligencia de sus creadores? Esto puede sonar al tema

de una película de moda, pero hoy en día las computadoras pueden

resolver operaciones que parecen imposibles para la mente humana,

controlan grandes procesos en las industrias donde no interviene un

solo hombre, ¿las máquinas han aprendido a pensar, son más

inteligentes que el ser humano? Esta pregunta que parece de

ciencia-ficción se puede responder con un rotundo “no”, estos

cerebros cibernéticos por sofisticados que sean están basados en la

maravillosa inteligencia del cerebro humano, no debemos subestimar

el intelecto de grandes pensadores como los que aquí mismo hemos

mencionado comparándolo con una máquina que lo más que puede

aspirar es a imitar las capacidades todavía insospechadas y mal

aprovechadas por la mayoría del cerebro humano. Quiero por último

citar a otros tres grandes matemáticos del pasado: Euler, quien a

pesar de quedar ciego y a su avanzada edad seguía con sus

estudios científicos, teniendo a un ayudante al que le dictaba ¿se

puede imaginar el lector la mente tan prodigiosa de este hombre que

resolvía complicados cálculos mentalmente? A veces nosotros

somos incapaces de resolver una operación aritmética si no tenemos

a la mano una calculadora. Este hombre fue capaz de calcular con

exactitud la órbita del planeta Urano, justo el día de su muerte.

Gauss solía decir: “Las matemáticas son las reinas de las ciencias y

la aritmética la reina de las matemáticas” a la tierna edad de 10 años


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logró la siguiente hazaña; un profesor le encargó a Gauss y un grupo

de niños más sumar todos los números del 1 al 100; cuando se

disponía a abandonar el salón pues sería una tarea ardua, el niño

Gauss se levantó y dijo “el resultado es 5050” atónito el profesor

preguntó como era posible hacer una suma tan grande en tan poco

tiempo, a lo que le niño le respondió: no es necesario hacer todas las

sumas, puesto que del 1 al 100 existen 50 pares de números que

sumados dan 101 (por ejemplo 1 + 100; 2 + 99; 3 +98;...) por lo que

basta multiplicar 101 por 50. De Evarist Galois se dice que fue

elegido por los Dioses, pues a la temprana edad de 20 años perdió la

vida, no sin antes hacer una contribución magnífica a las

matemáticas. Según su biografía, Galois fue incomprendido por los

matemáticos de su tiempo, a la edad de 15 años ya había preparado

una publicación que corrió con pésima suerte, al ser extraviado el

manuscrito, dos años después corrió la misma suerte cuando falleció

el matemático al que lo había enviado para revisión. A los 20 años de

edad fue retado a un duelo con pistola, los motivos no son conocidos,

lo cierto es que presintiendo su muerte, pasó toda la noche

escribiendo “garabatos” en una carta que hizo enviar a un amigo,

Galois murió por una herida de bala al otro día, tuvo que esperar a

que después de su muerte se pudiera descifrar esos “garabatos” y

por fin se le considerara un gran matemático.

La mejor conclusión que puedo obtener al final de este ensayo es

que las matemáticas demás de estar por todas partes son hermosas,

podemos salir un día a la calle y mirar a nuestro alrededor, se

encuentran en la naturaleza cuando observamos como un ave puede

sustentarse en el aire, en la simetría de las obras creadas por Dios y

por el hombre, en la geometría de todo lo que nos rodea, es una


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ciencia viva, la cual debemos explotar y seguir estudiando, me

pregunto ¿dónde están los Pitágoras, los Diofanto, los Fermat, los

Galois de hoy en día? Pueden estar en cada uno de nosotros... que

el cometido de crear interés por estudiar esta ciencia se cumpla.

Bibliografía.

Peters- SCAF

Álgebra un enfoque moderno

Reverté Ediciones S.A. de C.V.

3ª Reimpresión, México 1994.

Phillips, Butts, Shaughnessy

Álgebra con aplicaciones

Editorial Harla

Julio 1991, México.

A. Baldor

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Publicaciones Cultural

14ª Reimpresión, México 1996

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