UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES

FACULTAD DE MEDICINA HUMANAALGEBRA DE FUNCIONES Y FUNCION INVERSA

MATEMATICA APLICADA A LA MEDICINA

2015

TRANSFORMACION DE FUNCIONES Desplazamiento Horizontal:

Sea f(x) =

Si: c > 0 ;

y= f(x – c) y= f(x+c)

c - c Desplazamiento Desplazamiento hacia la derecha hacia la izquierda

TRANSFORMACION DE FUNCIONES Desplazamiento Vertical: Si: c > 0; y = f(x) + c y = f(x) - c

c - c

Desplazamiento Desplazamiento vertical hacia arriba vertical hacia abajo

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Hallar el dominio, rango y el grafico de la siguiente función. f(x)= Desplazamiento horizontal: x – 3 = 0; x = 3 Desplazamiento vertical: + 2

2 3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Hallar el dominio; rango y grafico de la siguiente función: g(x) = Solución. Desplazamiento horizontal: x + 3 = 0; x = - 3 Desplazamiento Vertical: y = 2

2

- 3 Dg(x) = R Rg(x) = [ 2;

ALGEBRA DE FUNCIONES Si f(x) y g(x) son dos funciones con dominios Df

y Dg donde se cumple que Df Dg Suma de funciones: ( f + g )(x)= f(x) + g(x)

Diferencia de funciones: ( f – g )(x)= f(x) – g(x) Multiplicación de funciones: ( f . g )(x) = f(x).g(x)

División de funciones:

-

ALGEBRA DE FUNCIONES Ejercicios: 1. Dada las funciones : f(x) = {(-1,2),(0,0),(2,4),(3,- 1),(4,3)} g(x) = {(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)}

Hallar: (f + g)(x); (f – g)(x); (f . g)(x) y (f / g )(x)

Solucionario Primero hallamos los dominios de : Df = {- 1, 0, 2, 3, 4} Dg = {2, 3, 4, 6} entonces hallamos: Df Dg: { 2, 3, 4} (f + g)(2)= f(2) + g(2) = 4 + 0 = 4 (2, 4) (f + g) (f + g)(3)= f(3) + g(3) = -1 + 4 = 3 (3, 3) (f + g) (f + g)(4)= f(4) + g(4) = 3 + 7 = 10 (4, 10) (f + g)

(f – g)(2) = f(2) – g(2) = 4 – 0 = 0 (2, 0) (f – g ) (f – g)(3) = f(3) – g(3) = -1 – 4 = -5 (2, 0) (f – g ) (f – g)(4)= f(4) – g(4) = 3 – 7 = - 4 (2, 0) (f – g )

OPERACIONES CON FUNCIONES

(f . g)(2) = f(2) .g(2) = 4 . 0 = 0 (2, 0) f . G

(f . g)(3) = f(3) .g(3) = - 1 . 4 = -4 (3, - 4) f . g

(f . g)(4) = f(4) .g(4) = 3 . 7 = 21 (4, 21) f . g

Df Dg = { 3,4} – { 2 Dg /( g(2) = 0 ) ( 3, -1/4)

f/ g ( 4, 3/7)

f/ g

OPERACIONES CON FUNCIONES2. Si: y

Hallar : (f + g)(x); (f . g)(x); (f / g)(x) Solución Hallamos la intersección de los dominio de f y g. Df Dg = {[- 3,0 > [0, 4]} { [ - 2, 2] < 2, 5]

} Df Dg = [- 2, 0 > [ 0, 2] < 2, 4]

[

[

OPERACIONES CON FUNCIONES

a) Si X [- 2, 2] g(x)=

b) Si X < 2, 5] g(x) = x – 4 = 0 x = 4 x <2,5] – {4}

D(f/g) = Df Dg – { 4 } = [ - 2, 0 > < 0, 2] < 2, 4>

[

OPERACIONES CON FUNCIONES

Dadas las funciones: f(x) = 2x – 3 y g(x) = 1 - Hallar el dominio y su regla de correspondencia: Solución Dh = ( Df ) – { x g(x) / g(x) = 0 } = ( R R ) – { -1 ; 1} Dh = R – { - 1; 1 } h(x) =

h(x) =

COMPOSICIÓN DE FUNCIONESDadas 2 funciones: f: A B y g: B C Es decir: f g A B C g o fLa composición de g con f, denotada por g o f está definida por:

Regla de correspondencia: g o f = g [ f (x) ]Donde: Dom(g o f)={x / x ϵ Dom (f)^ f(x) ϵ Dom (g)} A f B g C Df Rf Dg Rg x f(x) g(f(x))

Dgof g o f Rgof

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Su regla de correspondencia es: g o f = g [ f(x) ], donde según el gráfico se puede apreciar:

Dom (g o f) Dom (f) ARang (g o f) Rang (g) C

Rang (f) Dom (g) ≠ ɸ EJEMPLO Entonces: y ; hallar la regla

de correspondencia de f(g(x)) y g(f(x)).

f(g(x))= f( 2x+1) = =

g(f(x))= g(= 2(= 2 + 5

¿CUÁL ES EL DOMINIO DE G O F?

Dom (g o f) =

1 Dom(f) f(1) = b Dom (g)

2 Dom(f) f(2) = d Dom (g)

3 Dom(f) f(3) = a Dom (g)

4 Dom(f) f(4) = d Dom (g)

Dom (g o f) = {2, 3, 4}

¿CUÁL ES EL RANGO DE G O F ?

(gof)(x) = g(f(x))

(gof)(2) = g(f(2)) = g(d) = 6 (2, 6 gof

(gof)(3) = g(f(3)) = g(a) = 4 (3, 4) gof

(gof)(4) = g(f(4)) = g(d) = 6 (4, 6) gof

gof = { (2, 6) , (3, 4) , (4, 6) }

Ran (g o f) = { 4, 6 }

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si f(x) = 2x + 3 , x [ -2, 5] ; g(x) = ; x [-3, 7]

Hallar : (g o f)(x) y dominio de g o f.

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) =

(g o f)(x) = x + 2

Dominio g o f: x [-2, 5] ^ f(x) = 2x + 3 [-3, 7]

x [-2, 5] ^ -3 ≤ 2x + 3 ≤ 7

- 6 ≤ 2x ≤ 4

- 3 ≤ x ≤ 2

[-2, 5] [-3, 2] = [-2, 2]

Dom (g o f) = [-2, 2]

21x

2132 x

COMPOSICION DE FUNCIONES

2. Dadas las funciones : f(x) = 3x – 2 , si x < 0, > ; g(x)= ; si: x < - 3, 5 > . Hallar fog y gof . Solución Hallamos el D(fog) = { x Dg /x Dg g(x) Df } x <-3, 5> g(x) < 0, > entonces x <- 3, 5 > < 0, > = < 0; 5 > Calculamos la regla de correspondencia de fog: (fog)(x)= f(g(x)) = f( ) = 3 - 2 para x < 0, 5> Hacer lo mismo para gof : D(gof) x < 0, 7/3 > Regla de correspondencia: gof(x)= 9 - 12x + 4.

∩

COMPOSICION DE FUNCIONES

Dada las funciones f(x) = 3x – 4 y f(g(x)) = 6x + 5. Hallar la regla de correspondencia de la función g(x). Solución Sea: f(x)= 3x – 4 Entonces: f(g(x)) = 3g(x) – 4 6x + 5 = 3g(x) – 4 6x + 9 = 3g(x) 2x + 3 = g(x)

RESOLVER

Si f(x) = 2x2 – 3x + 1 y g(x) = {(-1, 2), (0, -1), (1, 3), (2, 0)}

Determinar:a) (f2 – 3g)(-1) b) (2f + 3g2)(0) c)

(f o g)(2)

SOLUCIÓN:

b) (f2 – 3g)(-1) = f2 (-1) – 3g(-1) = [f(-1)]2 – 3(2) = 36 – 6 = 30

b) (2f + 3g2 )(0) = 2f(0) + 3[g(0)]2 = 2(1) + 3(-1)2 = 2 + 3 = 5

c) (f o g)(2) = f(g(2)) = f(0) = 1

TIPOS DE FUNCIONES

1) Función Inyectiva Si f: A B; f es inyectiva si x1 , x2 A debe cumplir

que si: f(x1) = f(x2) en B. Entonces x1 = x2

Gráficamente una función es inyectiva si es cortada por una recta horizontal

f a lo más en un punto.

2) Función Sobreyectiva o Sobre Si f: A B ; f es suryectiva si el Rang (f) = B

3) Función Biyectiva Si f: A B ; f es biyectiva, si es inyectiva y

suryectiva, a la vez.

B

¿CUÁL ES FUNCIÓN NO INYECTIVA?

A

B

C

D

M

N

p

f

A

B

C

D

M

N

P

Q

g

EJERCICIOS DE FUNCIONES INYECTIVAS

1) Probar que la funcion f(x)= 2x + 5, es inyectiva: Solución f(x1) = 2x1 + 5 f(x2) = 2x2 + 5 entonces : f(x1) = f(x2) 2x1 + 5 = 2x2 + 5 donde: x1 = x2 ; es inyectiva

2) Probar que la funcion : ; es inyectiva: Solución:

; es inyectiva.

FUNCION INVERSA

Dada la funcion f(x)={(x , f(x))/x Df } con dominio Df y rango Rf . Si “ f (x)” es inyectiva, entonces posee inversa.

Notación: denota la inversa de f . ; donde : y Ejemplo: Consideremos la funcion: f = {( a, 1),(b, 2),(c, 3),(d, 4),(e,

5)} funcion inyectiva por lo tanto tiene inversa. Df f Rf D = { 1, 2, 3, 4, 5 } R = { a, b, c, d, e }

= {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d)}

R D

a

bcde

12345

GRAFICO DE LA FUNCION INVERSA

Gráficamente f y f -1 son simétricas con respecto al eje de simetría y = x

¿CÓMO SE HALLA UNA FUNCIÓN INVERSA?

Si f = { (x, y) R2 / 2x – 3y = 6 } Hallar la regla de correspondencia de f y f -1 y graficarlo.

f : 2x – 3y = 6 f -1: 1. Demostrar que f es inyectiva: f(x1) = f(x2) x1 = x2

Si: x = 0 y = - 2 y = 0 x = 3 2. Despejamos:

Cambiamos la variable x por y

e y por x

Si : x = 0 f -1 (0) = 3

f -1 (x) = 0 x = - 2

362 x

y

236

)(1x

yxf

212121 6262362

362

xxxxxx

236 y

x

GRÁFICA DE F Y F -1

y

x

y = x

f

f -

1

3

-2

-2

3

FUNCION INVERSA2. Hallar la inversa de la funcion: f(x)= 2x – 7 , x < - 3 ; 6 ] Solución 1ro Demostramos que la funcion es inyectiva: 2x1 – 7 = 2x2 – 7 x1 = x2 ; la funcion es

inyectiva. 2do. Se despeja “x” de la ecuación: < - 3;

6] 3ro. Se permuta “x” por “y” : , x < - 13; 5]

ojo: f <- 3,6] < -13, 5]

−13<𝑦 ≤5

FUNCION INVERSA OBSERVACION: En el problema anterior la inversa se

puede obtener resolviendo la ecuación: f( (x) )= x Entonces: f( (x) ) = 2 (x) - 7 = x (x) =

2. Hallar la inversa de la funcion: f(x)= - 2 Solución: es

inyectiva f( (x) )= x , D (x) = R

3. Hallar la inversa de la funcion: f( (x) ) = x , D (x) = R – { 2/3}

FUNCION INVERSA4. Hallar la inversa de la siguiente funcion:

Solución: Del grafico de la funcion se tiene:

y Si: Rf1 = < - , 1] 1 Si: Rf2 = < 1 , > - 0,5 1 x Además : son

inyectivas y -0,5 como: Rf1 Rf2 = , entonces f(x) es

inyectiva. Calculo de la inversa de la

funcion:

EJERCICIOS DE APLICACION1. Calcular: (f+g),(f-g),(f.g) y (f/g) de las

funciones: y 2. Si: f(x) = 2x² +1 para x є <-2, 20>; g(x)= 2x +3 para x є < 6, ∞> Hallar el dominio, rango y regla de

correspondencia de fog(x).3. Hallar la función inversa de:

f(x)=x²+4x-1, si x є <-4,-3> 30