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MATEMTICAS PARA INFORMTICA UNIDAD 4: LGEBRA BOOLEANA Docente: Jeaneth Gutirrez Rincn

Propuesta en 1847 por el matemtico y lgico ingls George Boole. Tambin se le conoce como lgebra Lgica y est basada en el carcter binario (dos valores) de las variables que en ella intervienen, llamadas variables lgicas. Ejemplo: las siguientes variables lgicas x, y, z tienen carcter binario, puesto que pueden tener dos estados posibles:

1. OPERACIONES LGICAS BSICAS 1.1 Inversor (compuerta NOT): realiza la operacin inversin o complementacin, es decir, cambia 1 por 0 y 0 por 1.

Smbolo:

1.2. Compuerta AND: Puede tener 2 o ms variables de entrada. La compuerta AND realiza la operacin de multiplicacin lgica de las entradas.

Smbolo:

Nota: El nmero de combinaciones lgicas est dado por 2n, donde n es el nmero de

variables de entrada. La compuerta AND equivale a la conjuncin, con 0 = F y 1 = V

Reglas de la multiplicacin booleana: 0.0 = 0 0.1 = 0 1.0 = 0 1.1 = 1

Ejemplo:

A Tabla de verdad

X Y Z

F V 0 1 Apagado Encendido

Variable de entrada

Variable de salida

1 0 1

A A 0

A B

Salida: X X = A.B

Tabla de verdad A B A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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a) Realice la tabla de verdad de:

Solucin: Como se tienen tres entradas, entonces la tabla de verdad se debe realizar con 23=8 combinaciones lgicas, as: a) b)

A B C A.B.C 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

2.3 Compuerta OR: tambin puede tener dos o ms entradas. Realiza la operacin de suma lgica.

Smbolo:

Nota: La compuerta OR equivale a la disyuncin.

Reglas de la suma: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1

a) Realice la tabla de verdad de:

Solucin: La tabla de verdad se debe realizar con 23=8 combinaciones lgicas, as:

Salida: X X = A+B

A.B.C A B C

A B

Tabla de verdad A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A + B + C A B C

A.B.C = 1.1.1 =

b) Si se sabe que A = 0, B = 1, C = 1, cul es el valor lgico de la salida?

b) Si se sabe que A = 1, B = 1, C = 1, cul es el valor lgico de la salida?

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a) b)

A B C A+B+C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Halle la expresin Booleana que equivale a la salida de los siguientes circuitos: a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

3. EVALUACIN DE SALIDA DE CIRCUITOS Cuando se tienen los niveles lgicos de las entradas de un circuito adems de la representacin con lgebra Booleana de la salida del mismo, se puede hallar el nivel lgico de la salida teniendo en cuenta los siguientes pasos: 1) Realice todas las inversiones de trminos simples: 2) Resuelva las operaciones dentro de los parntesis.

A B

A + B +C = 0 + 1 + 1 =

C X

A B

C Y

A B Z

A B W

A B C

D P

B

A

C D

E

T

0 = 1, 1 = 0

C

A B

D

A B

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3) Lleve a cabo una operacin AND antes de una OR, a menos que el parntesis indique lo contrario. 4) Si toda una expresin est negada, se deben realizar las operaciones dentro de la expresin y luego se invierte el resultado.

Ejemplo: a) Sabiendo que A = 0, B = 1, C = 1, D = 1 y que la salida X de un circuito es X = halle el nivel lgico de la salida. Solucin:

X =

b) Se sabe que A = 0, B = 0, C = 1, D = 1, E = 1 y que la salida W de un circuito es:

Solucin:

EJERCICIOS PROPUESTOS 2. Halle el nivel lgico que se obtiene como salida en todos los incisos del numeral 1. Asuma que A = 0, B = 0, C = 1, D = 1 y E = 1 3. Se tiene que:

Halle adems el resultado de las sumas:

4. Si se tiene que la salida de un circuito es 1D.C.BA.X == , qu valores deben tener las entradas A, B, C y D? 5. A partir de la expresin dada dibuje el circuito correspondiente utilizando compuertas lgicas: a) C)BB).((A ++

Solucin: Observe que la salida X es el resultado de una operacin de multiplicacin, es decir de una compuerta AND, con dos trminos o entradas que son: (A + B) y (B + C). Pero a su vez cada entrada es el resultado de una operacin suma, es decir de una compuerta OR. Veamos entonces cmo queda el circuito:

A.B.C. (A+D),

0.1.1. (0+1) = 1.1.1.(1) = 1.1.1.0 = 0 X = 0

W= [ D + (A+B).C ].E. Halle el nivel lgico de la salida.

C

X

A B

A = 0 B = 1 C = 1 D = 0

B A

C D

? Cul es la expresin resultante en la salida y el nivel lgico que se obtiene?

A+B, A+B y A+B+C

W= [ 1 + (0+0).1 ].1 = [ 1 + (0).1 ].1 = [ 1 + 0 ].1 = [ 1 + 1 ].1 = [1].1 = 1 W = 1

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Ntese que una de las entradas de la compuerta AND es el trmino C)B( + , que corresponde a una compuerta OR de dos entradas, en la que una de ellas va negada o complementada, por ello fue necesario utilizar la compuerta NOT.

b) A (B + CD) c) AB + A(B+C) + B(B+C) d) e)

4. OTRAS COMPUERTAS: NOR, NAND, XOR, XNOR 4.1 NOR: es una funcin OR con la salida invertida o negada. Smbolo:

Ejemplo: represente con lgebra Booleana la salida del siguiente circuito:

4.2 NAND (NOT AND): es una funcin AND con la salida invertida o negada. Smbolo:

4.3 XOR (OR EXCLUSIVA): equivale a la disyuncin exclusiva. Smbolo:

Nota: BABABA +=

C

A B X = ?

?

AB (C + D) A B + A B + ABC

Tabla de verdad A B OR: A + B NOR:

BBBBAAAA+

0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

Inversor

B A

X = A B Es equivalente a B A

X = A B A B

Inversor

B A

X = A + B Es equivalente a B A

X = A + B A+B

Tabla de verdad A B AND: AB NAND:

ABABABAB 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Tabla de verdad A B A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

B A

X = A B

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4.4 XNOR (NOT XOR): es una funcin XOR con la salida invertida o negada. Smbolo:

5. SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES BOOLEANAS Una expresin Booleana puede ser simplificada utilizando las anteriores leyes del lgebra Booleana. Ejemplo: a) Dada la expresin Booleana X = C.D + C.K + F.D + F.K, realice el diseo del circuito original utilizando compuertas, luego simplifique y realice el diseo del circuito simplificado. Solucin: Diseo original:

Simplificacin: C.D + C.K + F.D + F.K Expresin booleana original (C.D + C.K) + (F.D + F.K) Asociativa [C. (D+K) ] + [ F. (D+K) ] Distributiva (D+K) . (C+F) Distributiva

Diseo circuito simplificado:

b) Simplifique la siguiente expresin Booleana: AB + A(B+C) + B(B+C) Solucin: Para este caso es necesario resolver los parntesis usando la propiedad distributiva as:

AB + A.(B+C) + B. (B+C) Expresin Booleana original AB + (A.B + A.C) + (B.B + B.C) Distributiva AB + A.B + A.C + B.B + B.C Asociativa (se eliminan parntesis por tener el mismo operador booleano, en este caso el +)

B A

X = A B

Tabla de verdad A B A B A B 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

CD + CK + FD + FK

C D

F

K

(D+K) . (C+F)

D K

C F

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(AB + AB) + AC + (BB + BC) Asociativa. AB + AC + (B + BC) Idempotencia AB + AC + B Absorcin AC + (B + AB) Conmutativa y asociativa AC + B Absorcin

Veamos la representacin del circuito simplificado:

Ejercicio propuesto: realice el diseo del ejercicio original (sin simplificar)

c) Aplique ley de Morgan y distributiva para la siguiente expresin: Solucin:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Aplique SOLAMENTE Ley de Morgan en las siguientes expresiones Booleanas: a) b) cc) d) e) f) g) h) i) j)

2. Con los siguientes ejercicios realice: Diseo del circuito original Simplificacin Diseo del circuito simplificado

a) b) c) d) (C + AB) + [(CB + CA + AB) (C + AB)] Rta: C+AB e) f)

AC + B

B

C A

A.B + AB

A.B + AB Expresin Booleana original (A.B) . (A.B) De Morgan (A+B) . (A+B) De Morgan y Doble complemento A.A + A.B + BA + BB) Distributiva 0 + A.B + BA + 0 Complementacin

A.B + BA Elemento Neutro

(A + B) ( A +B) Rta: B ABC ( BD + CDE) + AC Rta: A (BCDE + C) [AB (C + BD) + A B] C Rta: BC A + AB + AB Rta: A+B ABC + ABC + A BC + ABC + ABC Rta: BC + BC

X + Y + Z A B C D A B A+B C+P XY + ZU (X+Y)(Z+U) XYZ + XZ (X+Y+Z)W ((PQR)+(STU))

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3. Realice el diseo del circuito inicial, luego justifique los pasos de la simplificacin dada indicando la(s) ley(es) aplicadadas y finalmente disee el circuito simplificado:

(XW + YZ) (YZ +YZ +YZ) Expresin inicial

(XW + YZ) (Y(Z + Z) +YZ)

(XW + YZ) (Y.1 +YZ)

(XW + YZ) (Y +YZ)

(XW + YZ) ((Y+Y) .(Y+Z))

(XW + YZ) (1.(Y+Z))

(XW + YZ) (Y+Z)

(XW + YZ) (Y. Z)

(Y Z) (XW + YZ)

(Y Z XW ) + (YZ YZ)

(Y Z XW ) + YZ

Y Z (XW + 1)

Y Z.1

Y Z

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=