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David Gonzáles López
ÁLGEBRA BÁSICA Teoría y práctica
ÁLGEBRA BÁSICA
Teoría y Práctica
© David Gonzáles López
Primera Edición 2009
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2009 – 16362 Segunda Edición 2011
Lambayeque, diciembre 2011
Impreso en Impresiones Montenegro
Calle Manco Cápac 485 - Chiclayo
500 ejemplares
Consultas y sugerencias al e-mail del autor: [email protected] Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin la autorización escrita del autor.
PresentaciónPresentaciónPresentaciónPresentación
El Álgebra es el lenguaje de las matemáticas y una de sus ramas que estudia a la cantidad del
modo más general posible. Las matemáticas son, esencialmente, la expresión o reducción de ideas complejas y sofisticadas mediante símbolos, y operaciones sobre símbolos. Una vez que tenemos los símbolos y las operaciones aparece el álgebra. El Álgebra tiene por objeto simplificar, generalizar y resolver las cuestiones relativas a la cantidad, determinando las operaciones que hay que efectuar para llegar a cierto resultado, transformando las expresiones algebraicas en otras equivalentes y adquiriendo las bases para mas tarde poder hacer planteamientos matemáticos que representen la realidad. El dominio del Álgebra elemental tiene una enorme importancia para el dominio de la matemática porque en él se conjugan capacidades, habilidades y destrezas; ya que en cada uno de sus temas el alumno deberá poner en juego un alto grado de práctica y abstracción. El propósito de este material es hacer llegar a los postulantes a universidades y centros de estudios superiores el desarrollo teórico, práctico y formativo de algunos temas del álgebra, los cuales son muy necesarios y relevantes para el aprendizaje del álgebra y la matemática en general. Sirve también como material de consulta para los estudiantes de cursos avanzados de matemáticas. Cada tema desarrollado tiene parte teórica, ejercicios resueltos y propuestos para una cabal retroalimentación. Estos temas se han desarrollado minuciosamente, para una fácil comprensión por el lector; en muchos casos, se ha optado por dos o más formas de solución, dándole al estudiante un mayor panorama en cuanto los criterios a tomar frente a un problema determinado. En la segunda edición se han incluido el tema de logaritmos, ejercicios adicionales de los temas de álgebra tratados en este material y preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de algunas universidades del País. Espero que este material logre convertirse en un importante auxiliar pedagógico para todos los estudiantes egresados de secundaria; y a través de él, logre aportar en su preparación preuniversitaria y en su posterior desarrollo profesional.
El Autor
ÍNDICE
Presentación 1.1. CONCEPTOS PREVIOS ……………………………………………………………………… 01 Conjuntos numéricos / El conjunto de los números naturales / El conjunto de los números
enteros / El conjunto de los números racionales / El conjunto de los números irracionales / El conjunto de los números reales / El conjunto de los números complejos.
1.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS …………………………………………………................. 04 Álgebra / Expresiones algebraicas / término algebraico / términos semejantes /
clasificación de las expresiones algebraicas / Grado de una expresión algebraica / Polinomios especiales / valor numérico de expresiones algebraicas.
1.3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ENTEROS …………………………………………... 11 Adición y sustracción de polinomios / Multiplicación de polinomios / Productos notables /
División de polinomios / Teorema del resto / Teorema del factor / Cocientes notables. 1.4. FACTORIZACIÓN …………………………………………………………………. ... ………... 28 Polinomio primo sobre un conjunto numérico / Métodos para factorizar una expresión
algebraica. 1.5. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ……………………………………………. 43 Fracción algebraica / Clases de fracciones / signos de una fracción / simplificación de
fracciones/ Operaciones con fracciones / simplificación de fracciones complejas / Fracciones parciales.
1.6. TEORÍA DE EXPONENTES ……………………………………………………….. ………… 59 Potenciación / Radicación / Leyes de exponentes. 1.7. RACIONALIZACIÓN ……………………………………………………………….. .. ………… 68 Factor racionalizante / casos que se presentan para racionalizar. 1.8. LOGARÍTMOS ……………………………………………………………………………………. 70 Definición / identidad fundamental del logaritmo / propiedades generales del logaritmo /
Antilogaritmo / Cologaritmo / Sistema de logaritmos / Ecuación logarítmica / Inecuación logarítmica.
1.9. EJERCICIOS ADICIONALES ……………………………………………………………………86 Grado, polinomios y valor numérico / División de polinomios / Productos notables /
Factorización / Fracciones algebraicas racionales / Teoría de exponentes / Logaritmos. 1.10. PREGUNTAS DE ÁLGEBRA EN LOS EXÁMENES DE ADMISIÓN …………………… 99 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo (UNPRG) / Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) / Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
1
ÁLGEBRA BÁSICA - TEORÍA Y PRÁCTICA 1.1. CONCEPTOS PREVIOS Conjuntos numéricos Los conjuntos numéricos que se estudian en las matemáticas son: Los números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, números reales y números complejos. El conjunto de los números naturales ) N (
Es el conjunto denotado por N cuyos elementos son empleados para realizar la operación de contar.
N={ } . . . ,n , . . . 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,
N={ } natural númeroun es x / x El conjunto de los números enteros ) Z (
Contar con números más y más grandes no era problema, contar en forma descendente era asunto distinto : 0 , 1 , 2 , 3, 4 , 5 ¿Pero qué venía después de cero?. Sin embargo, si se habla de deudas, temperaturas muy frías y aún de las cuentas regresivas en los lanzamientos a la luna, debemos tener una respuesta. Enfrentándose a este problema, los matemáticos inventaron un cúmulo de números: , 5 , 4 , 3, 2 , 1 −−−−− ... llamados enteros negativos, que
junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, denotado por Ζ . { }. . . , n , . . . , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . .. , n , . . . Z −−−−=
Ζ = { } entero númeroun es x / x Del conjunto Ζ podemos obtener los siguientes subconjuntos :
{ }1 , 2 , 3 , 4 , . . .Z −−−−=−
+Ζ = { } . . . 4, 3, 2, 1,
{ }0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . .Z0 −−−−=−
+Ζ
0 = { } . . . 4, 3, 2, 1, 0,
El conjunto de los números racionales ) Q ( Enfrentados a la necesidad de dividir, los matemáticos decidieron que el resultado de dividir un entero entre otro entero distinto de cero se podía ver como un número. Esto significa
que: ,2
8 ,
15
14 ,
3
2 ,
8
7 ,
4
3
−−
etc. son números con todos los derechos y privilegios de los enteros e
inclusive un poco más. Siempre es posible dividir excepto entre cero. De manera natural esos números se llaman números racionales (una razón de números). El conjunto de los números racionales se denota por Q .
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
2
−−−−= . . . ,
n
m, . . . ,5, . . . ,1., . . ,
2
1, . . . ,0, . . . ,
3
1, . . . ,
2
1, . . . ,1, . . . ,
n
m, . . .Q
≠∈== 0n , Zn,m ;
n
mx/x Q
¿Cuándo un número decimal es racional? a) Los números decimales finitos son racionales
Q100
2323,0 ∈=
b) Los números decimales periódicos puros y periódicos mixtos son números racionales.
Q3
1
9
3...3333,0 ∈== Q
990
239
990
2241...2414141,0 ∈=
−=
Q33
7
99
21...212121,0 ∈== Q
99
122
990
22321...2323232,1 ∈=
−+=
El conjunto de los números Irracionales ) I (
Está formado por todos los números decimales que no se pueden expresar de la forma n
m con
Zn,m ∈ y 0n ≠ . El conjunto de los números irracionales se denota por I .
{ }. . . ,e4, . . . ,, . . . ,5, . . . ,3, . . . ,2, . . . ,5, . . . ,, . . .I 3 ππ −−−=
{ } preiódica no infinita decimalción representa tienex/x I = Hay dos números irracionales muy importantes en las matemáticas, dichos números son: a) El número pi )(π , cuya aproximación decimal es: 1416,3≈π Una primera referencia del valor de π aparece en la Biblia. En el primer libro de los Reyes, capítulo 7, versículo 23. Aquí el valor de π es 3, inexacto por supuesto. El número π se obtiene de la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir:
==nciacircunfere la de Radio:R
nciacircunfere la de Longitud:C
2R
C π
b) El número e (épsilon ), cuya aproximación decimal es: 7182,2e = El conjunto de los números Reales ) R (
El conjunto de los números reales denotado por R , es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales Así : IQZNR ∪∪∪= , además φ=∩ IQ . También IQR ∪= .
Intuitivamente los números reales se representa por una recta y la llamamos RECTA REAL
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
3
−−−−= ,...28,...,5,...,2,...,
2
3,...,1,...,0,...,1,...,2,...,5,...,...,R π
{ } irracional o racional númeroun es x/x R = El conjunto de los números Complejos ) C ( Sean las ecuaciones 01x 2 =+ y 04x 2 =+ desarrollando se tiene
1x 2 −= 04x 2 =+
1x 2 −±= 4x −±= i x ±= i2x ±=
Ambas ecuaciones no tienen solución en el conjunto de los números reales. Frente a esta
situación aparece el número 1i −= que satisface 1i 2 −= .Descartes fue el primero en llamarlo número imaginario. Es así como aparecen los números complejos:
i23 ,i05 ,i27 ,i42
1 ,i
3
2 ,i23 ,i4 ,i2 −+−++− , etc.
Los números complejos se denotan por C .
{ }1i , Rb,a ; biax/x C −=∈+==
Los números complejos se representan de la siguiente forma :bia + forma binómica :)b,a( forma cartesiana , donde :a parte real
:b parte imaginaria Conclusión
- Todo número es complejo - CRQZN ⊂⊂⊂⊂
- I es disjunto de Z,N y Q Gráfica
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
4
1.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Álgebra Parte de la matemática elemental que estudia a las cantidades en su forma más general, haciendo uso para ello de letras y números. Teniendo como objetivo transformar, generalizar, simplificar y resolver cuestiones relativas a la cantidad. Expresiones algebraicas Llamamos expresión algebraica a toda combinación de números y letras (variables) unidas entre sí por los signos de diferentes operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en una cantidad limitada de veces (cuyos exponentes a lo más son números racionales).
Ejemplos: y4x , y-x
yz4x ,
y63x
5x6x , y5y2x , 2x ,y x 3
23
2
2323 +
−
−−−
No son expresiones algebraicas: xlog ,xcos ,8 4
x
Observación Los tres últimos ejemplos son expresiones trascendentes o no algebraicas, denominadas: exponencial, trigonométrica y logarítmica respectivamente. Término algebraico Es aquella expresión algebraica donde no se encuentran presentes las operaciones de adición y sustracción. Ejemplo:
Otros ejemplos : , zy x, 4xy- ,y x3 , x7 31/223 −− −
Términos semejantes Son aquellos términos que tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes
Ejemplos: a) xy 2
1 ,y x3 , xy4 − son términos semejantes
b) yx2
1 , y x3 , yx2 , yx
4
3 23232323 −− son términos semejantes
Clasificación de las expresiones algebraicas A. Por su forma o naturaleza Se clasifican de acuerdo a la forma de sus exponentes que afectan a sus variables. a) Expresión algebraica racional (E.A.R.) Una expresión algebraica es racional cuando los exponentes de la parte literal( letras) son números enteros.
Ejemplos: 2
33
2
42
xy7
y2x5 ,
)yx(
1 , 2
y
x , z7xy5y4
−− +
+++−
No son expresiones algebraicas racionales: z73x5x , 1xy , yx6 1/41/22 ++++
3x2+
coeficiente
exponente
parte literal signo
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
5
- Expresión algebraica racional entera (E. A. R. E.).- Es aquella expresión algebraica racional que se caracteriza por presentar exponentes enteros positivos en su parte literal; es decir, no tiene parte literal en su denominador.
Ejemplos: 8x67x , 4
3
2
x5yx4 32 +−−+
- Expresión algebraica racional fraccionaria ( E. A. R. F.).- Es aquella expresión algebraica racional que se caracteriza por presentar exponentes negativos en su parte literal; es decir, tiene parte literal en su denominador.
Ejemplos: yx
xy , x6x7 ,
x
4 38
3 ++ −−
b) Expresión algebraica irracional ( E. A. I. ) Una expresión algebraica es irracional cuando presenta exponentes fraccionarios en su parte literal.
Ejemplos: x5x
12 , x4x65x , x10x8x5 7
3
898/12/13/1 ++−−+ −−−
Observa el siguiente esquema: B. Por su número de términos Pueden ser: a) Monomio Es una expresión algebraica que consta de un sólo término. Dicho término es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potenciación de exponente natural. También podemos decir, un monomio es una expresión algebraica racional entera que consta de un sólo término.
Ejemplos: yx7 ,4x 35 y zy x5 234 b) Multinomio Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos
Ejemplos: yx7yx2y3x 52434 −+ y 3xyx24x 5534 +−+ − Un caso particular de éstos es el polinomio o polinomio entero. Polinomio entero: es aquella expresión algebraica cuyos términos son todos expresiones algebraicas racionales enteras.
Ejemplos: 4x5x23xP(x) 34 +−+= y y x57xy3xyy)Q(x, 8443 ++=
CCLLAASSIIFFIICCAACCIIÓÓNN DDEE LLAASS EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS
Expresiones algebraicas racionales Expresiones algebraicas irracionales
Enteras Fraccionarias
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
6
Grado de una expresión algebraica A. Grado de un monomio - Grado absoluto: está dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. - Grado relativo: está dado por el exponente de la letra referida. Ejemplo:
Sea el monomio: 936 zyx12
Grado absoluto )GA( : 18936 =++
Grado relativo )GR(
Grado relativo respecto a x )GR( x es 6
Grado relativo respecto a y )GR( y es 3
Grado relativo respecto a z )GR( z es 9 B. Grado de un polinomio - Grado absoluto: está dado por el monomio de mayor grado absoluto. - Grado relativo: está dado por el mayor exponente de la letra referida. Ejemplo:
Sea el polinomio: y5yx8y3x 334 −+ Grado absoluto:
Grado absoluto )GA( de y3x 34 es 734 =+
Grado absoluto )GA( de yx8 3 es 413 =+
Grado absoluto )GA( de y5 es 1
Por lo tanto, el Grado absoluto )GA( del polinomio es 7 Grado relativo:
Grado relativo respecto a x )GR( x es 4 ( mayor exponente de la variable x )
Grado relativo respecto a y )GR( y es 3 ( mayor exponente de la variable y )
Polinomios especiales A. Polinomio completo con respecto a una letra: es el polinomio que presenta todas las potencias de una letra, desde el mayor grado hasta el cero inclusive. El término algebraico que tiene la letra de grado cero se llama término independiente.
Ejemplo: 8xy4x5yx3)y,x(P 223 −−+= Este polinomio es completo respecto a x B. Polinomio ordenado con respecto a una letra: es el polinomio cuyos exponentes de la letra considerada, van aumentando o disminuyendo, según sea ascendente o descendente la ordenación. Ejemplo: y9xy7yx6y8xy)P(x, 36435 −−+=
Este polinomio es ordenado con respecto a x C. Polinomio completo y ordenado con respecto a una letra: es aquel polinomio que presenta las dos características anteriores. Ejemplos:
3x4x3xx8xP(x) 2345 +−−++=
4yx3yxyy5xy)Q(x, 32342 +−++= ( polinomio completo y ordenado con respecto a y )
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
7
D. Polinomio homogéneo: es el polinomio que presenta el mismo grado absoluto en todos sus términos.
Ejemplo. xy2x4yx6y7xy)P(x, 452332 −−+= E. Polinomios idénticos: son aquellos polinomios que presentan en sus términos semejantes, coeficientes iguales. Sea cxbxax)x(P 23 ++= y pxnxmx)x(Q 23 ++=
Decimos que pc ,n b , ma )x(Q)x(P ===⇔≡
Así : 1x2
8yx3)x(P 2 +−= es idéntico a )34(x4yx3)x(Q 2 −+−=
F. Polinomio nulo: es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos o iguales a cero. También se le llama polinomio idénticamente nulo. Sea dcxbxax)x(P 23 +++= , decimos que 0d , 0c , 0b , 0a 0)x(P ====⇔=
G. Polinomio opuesto: es aquel polinomio que se obtiene cambiando de signo a todos sus coeficientes del polinomio dado Sea dcxbxax)x(P 23 +++=
decimos que )x(P− es su opuesto dcxbxax)x(P 23 −−−−=−⇔
Así : Sea x4yx3x2)x(P 23 −+= su opuesto es x4yx3x2)x(P 23 +−−=− Ejercicios 01: Grado de un polinomio y polinomios especiales 1. Hallar el grado absoluto de los siguientes polinomios:
a) xxx 23 ++ c) 44223 yxyyxyx −+−
b) 6x4x3x5 42 −+− d) 6422345 y3yxzx4yx6x −+−− 2. Hallar el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras.
a) 323 xyxx −+ c) 253243 zxyzxyx ++
b) 54234 xy4yx6x4x −−+ d) 1115834624 zyxyx4xyyx −+−+−
3. Hallar a y b en el monomio baba yx5 +− si el grado relativo respecto a x es 8 y respecto a
yes 12.
4. Hallar m y n sabiendo que el monomio : n3)1m(2 yx)nm( −+ tiene grado absoluto igual a 17 y que además su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo con respecto a x .
5. Si 852 zyx7)z,y,x(P = calcular : yx
z
GRGR
GAGR
+
+
6. Si 10514 zyx5)z,y,x(Q = calcular : xy
z
GRGR
GAGR
+
+
7. Sea el siguiente monomio ba yx5)y,x(M = y sabiendo que 5GA 2GR x =∧=
calcular 22 ba +
8. Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio : 54 )x1()5x()x(P −++=
9. Sea 2n2nn62n yxyx)y,x(P +−−+ += . Si cada término tiene el mismo grado absoluto, hallar n .
10. Sea a5a7a22a3a5a1a yxyxyxyx)y,x(P −−−−−+ +++= , además 7)P(GR x =
Hallar el )P(GA
11. Hallar )ba( + si 8bababaa x8yx2yx3)y,x(P −+= −+− es homogéneo.
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
8
12. Hallar )dcba( +−− si dx)5c(x)8b4(x)12a2()x(P 23 +−+++−= es nulo.
13. Sea el polinomio 16bc15ba18a x7x18x5)x(P +−+−− ++= , hallar cy b ,a para que el polinomio
)x(P sea completo y ordenado en forma descendente.
14. Calcular pnmE ++= en la identidad )3x)(2x)(1x(
13x10x
3x
p
2x
n
1x
m 2
−−−+−
≡−
+−
+−
15. Se sabe que el polinomio 3a4ba1cb1dc x8x7x5x2)x(P −−++−−+ +++= es completo y ordenado
descendentemente , calcular dcbaM +++= .
16. Si el polinomio 6m3mn5np x7x4x3)x(P −+−+− +−= es completo y ordenado ascendentemente,
calcular el valor de )p4n3m2( +− .
17. Determinar )cba( ++ sabiendo que el polinomio cx11bx5axx3)x(P 22 +−+−+= es
idénticamente nulo. 18. Si )x(P es idénticamente nulo, hallar 2)ba( − en 2)2x(b)3x(a)ax(P ++++=− .
19. Hallar )ba(abE += si el polinomio 8bab2abbab2a yx7yx5yx)y,x(P −++− +−= es homogéneo
20. En el polinomio homogéneo ab3baba )yx()yx()y,x(P += + el grado relativo a x es 48 .
Indicar el valor de )ba( + .
21. Halle el número de términos del polinomio completo y ordenado ...x)3n(x)2n(x)1n()x(P 4n5n6n +−+−+−= −−−
22. Si el polinomio )x(P es ordenado y completo. Indicar cuántos términos tiene.
...x)5n(x)4n(x)3n()x(P 6n7n8n +−+−+−= −−− Valor numérico de expresiones algebraicas Se denomina valor numérico de una expresión algebraica al resultado de sustituir cada una de las letras(variables) por números y realizar las operaciones indicadas. Ejemplos:
1. Hallar el valor numérico de 3yx
yx3E −
+−
= para -1/2y , 1x =−=
Solución
3
)2
1()1(
)2
1()1(3
E =−−+−
−−−= =−
−
+− 3
2
32
13
=−−
− 3
2
32
5
=−−−
33
5=− 3
3
5
3
4
3
95 −=−
2. Si 3x)1x(P +=+ , hallar )4(P)3(PE +−=
Solución Primera forma: Haciendo 1k x k1x −=⇒=+ Escribiendo la expresión original en términos de k tenemos:
2kP(k) 31k)k(P +=⇒+−=
Una vez reducida se hace: xk = y se tiene 2x)x(P +=
hallamos 123)3(P −=+−=− y 624)4(P =+=
Luego 561)24()23()4(P)3(PE =+−=+++−=+−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
9
Segunda forma: Reemplazamos x por 1x − para hallar el )x(P
3x)1x(P +=+
3)1x() 1)1x( (P +−=+−
2x) x (P +=
hallamos 123)3(P −=+−=− y 624)4(P =+=
Por lo tanto 561)4(P)3(PE =+−=+−= Tercera forma: Escribiendo )3x( + en función de 1x + :
2)1x()1x(P ++=+
luego donde aparezca )1x( + se colocará x :
2x)x(P +=
Por lo tanto 5)24()23()4(P)3(PE =+++−=+−= Cuarta forma: Para calcular la expresión pedida podemos hacer:
4 x 31x −=⇒−=+ 3 x 41x =⇒=+
Estos valores se reemplazan en la igualdad original ( 3x)1x(P +=+ )
134)3(P −=+−=− y 633)4(P =+=
Luego, 561)4(P)3(PE =+−=+−= Ejercicios 02: Valor numérico de expresiones algebraicas Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas
1. 32
322
yx
zyxE
+
−−= para 1z , 1y , 2x −=−=−=
2. 3yx3yxE 332 +−= para 2/1y , 1x −=−=
3. yxz2
1y2x3E
+−+−
= para 2/1z , 3/1y , 2/1x −==−=
4. 232
323
zyx
zyxE
−−
+−= para 2z , 2/1y , 1x −==−=
5. x
zz
z
y2xE
3222 −−
−= para 2z , 1y , 1x −==−=
6. )yx)(xzy()zyx(x
yz2
y
xz
z
xy3E 2 −−+−−++−+= para 2z , 1y , 1x −=−==
7. y
yx
x
yxE
22 −−
+= para 1/2y , 2x −=−=
8. )xx
y()
y
1
x
1(E −+−= para 1/2y , 3/1x −=−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
10
9.
x
y1
y3yx5E
2
32
−
+−= para 2y , 2/1x −=−=
10. y-x
x
xxy2
3
yx
E
2
−−
−= para 1y , 2/1x −=−=
11. )zk)(yk)(xk(k z
3E −−−= para 6z , 2y , 5x =−== sabiendo que zyxk3 ++=
12. )cx)(bx)(ax(x E −−−= donde 22b , 22a , 2
cbax −=+=
++= y 32c =
13. y2x3
y2x5
y2x
y2x5E
+−
−++
= si se cumple que 2x
y4
y
x=+
Resolver los siguientes ejercicios sobre valor numérico de un polinomio
14. Sea 4xx)x(P 2 +−= , calcular : )3(P)1(P
)2(P)0(PE
−+−−+
=
15. Sea 2x3x4)x(P 2 ++= , calcular ))1(P(P))0(P(PE −+=
16. Si 3x)7x(P −=+ , calcular )2/1(P)2/1(PE +−=
17. Sea 5x2)1x(P −=− , hallar )4(P
18. Sabiendo que 1xx)1x2(P 2 ++=+ y 1xx)2x(Q 2 +−=+ , calcular ))2(Q(P
19. Si tenemos que 3x)Q(x , 2x)x(P 32 +=+= y 4x)x(R 4 +=
calcular )16(R)27(Q)4(PE ++=
20. Si 3x
1x3)x(P
−+
= hallar ))x(P(P
21. Si 1x
1x2)x(P
−−
= además 1))x(P(P = , hallar el valor de 5x8E +=
22. Si xn
m)
nmx
nmx(P =
−+
hallar )3(P −
23. Si x
1x2))x(Q(P
−= y
1x
x)x(Q
−= , hallar )x(P
24. Si baxx)ax(P 2 +−=+ y abxx)bx(Q 2 +−=− , determinar ))0(Q(P
25. Si 3cxax)1x(Q , 1bxx3)1x(P 22 ++=−+−=+ y )1x(Q)x(P += , hallar cbaE ++=
26. Sabiendo que x5)2x(P)1x(P =+++ y 2)3(P = ,hallar )2(P)5(PE −=
27. Se definen P 2x)2)1x(f( +=+− y 7x)1x(P +=− , a base de ello determinar )7(f
28. Si 5x4)x(P += y 5x8)3)x(g(P +=+ , hallar )4(g
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11
1.3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ENTEROS Adición y sustracción de polinomios La adición de polinomios es una operación que tiene por objeto reunir dos o mas polinomios (sumandos) en una sola expresión( suma) La sustracción de polinomios es la operación que consiste en sumar al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo para obtener el polinomio diferencia. La adición y la sustracción de polinomios consiste en la reducción de términos semejantes Así, sean los polinomios R , Q , P y S
RQP =+ y S)Q(PQP =−+=− Ejemplos 1. Hallar la suma de 3yxy74x ; x3xy3y2 ; yxy3x2 222222222 −−+−+−+−
Solución Sea 3yxy74x x3xy3y2 yxy3x2S 222222222 −−++−+−++−=
Agrupando términos semejantes y reduciéndolos se tiene: 3)yy2y()xy7xy3yx3( )x4x3x2(S 222222222 −−−+++−++−=
3y2xy7x3S 222 −−+=
2. Sea 3y2yx2x5P 223 −−+= y 3x2yx5x2Q 223 −−−= hallar QP −
Solución =−+=− )Q(PQP 3y2yx2x5 223 −−+ )3x2yx5x2( 223 −−−−+
= 3y2yx2x5 223 −−+ 3x2yx5x2 223 +++−
= x2y2)33()yx5yx2()x2x5( 222233 +−+−+++−
= x2y2yx7x3 223 +−+
3. De xy5yyx 22 −+ restar xy7y3yx2 22 −+−
Solución
Sea )xy7y3yx2(xy5yyxM 2222 −+−−−+=
xy7y3yx2xy5yyxM 2222 +−+−+=
)xy7xy5()y3y()yx2yx(M 2222 +−+−++=
xy2y2yx3M 22 +−= Ejercicios 03: Adición y sustracción de polinomios enteros Hallar la suma de :
1. 222222 yxy7x ; x3xy3y2 ; yxy3x −+−+−+−
2. xy5xy4x3 ; x3yxyx5 ; yxyx 323332323 +−−−−−+−++
3. 222222 y4
1x
3
1xy
6
5 ; y
8
1x
6
1xy
2
1 ; xy
4
3y
3
2x
6
5+−+−−+−
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4. x4
3x
6
5x
5
3 ; 3x
8
3x
3
2 ; 5xx 34324 −+−−−−+−
5. 4223 432244224 y7
1yx
4
1yx
6
5 ;y
14
1xy
6
1yx
8
3x
6
5 ; y
7
2yx2x +−−−−+−+−
6. 2342535 x4
1x
6
1x
3
2 ; x
10
1x
8
3x3 ; x
5
4x
3
2x −+−++−+−
7. 223322323 ax4
1xa
2
1a
3
2 ; x
9
1ax
8
7xa
7
3 ; x
3
1ax
6
5a
9
2−+−−−−−+
8. 52345324542355 y3
1yx
5
2y2x ; x
9
1yx
6
5yx
5
3 ; y
6
1xy
4
3yx
10
1 ; yx −−−−−−−−−
Resolver 9. De xy3yx 22 −+ restar xy4x3y 22 −+−
10. De 8y6y 32 −+ restar y6y3y2 24 +−−
11. De 19x6x9x 23 −+− restar 32 x643x21x11 +−+−
12. De 31y6y9y 235 −+− restar y19y8y31y11 234 −−+−
13. Restar 7x6x9x6 23 −+− de 15x25x8x 234 ++−
14. Restar 54325 y25xy6yxx ++− de 45235 xy15x19yx8y3 −−−−
15. Restar 5y8y15y8y23 543 −−−+ de 9yy8y3 435 ++−−
16. Restar 6x4
3yx
6
1 32 ++− de 2
9yxx
9
7xy
8
3 232 −+−
17. Hallar la expresión que sumada con 5xx 23 +− da 6x3 − 18. Hallar la expresión que sumada con xb9a5 −+− da a9x8 +
19. De 33 b3
1a
2
1− restar la suma de 22 ab
4
3ba
2
3+− con 322 b
3
2ab
6
5ba
8
1+−
20. De la suma de 22 y9
2xy
6
5x
5
3+− con
4
1y
3
1xy
2
3 2 +− restar la suma de
xy9
1y
3
2x
9
2 22 +− con 2
1y
2
3xy
9
22x
45
17 22 −−−
Multiplicación de polinomios La multiplicación de polinomios es la operación que consiste en obtener una expresión llamada producto, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador Así, sean los polinomios Q , P y R
RQ P =⋅
Propiedades : n mnm xxx +=⋅ y n . mnm x)x ( = Ejemplos
1. Sea 22 y3
2xy2x3P +−= y yx
3
2Q −= hallar Q P ⋅
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13
Solución
)yx3
2)(y6xy2x3(Q.P 22 −+−=
)y)(y6()x3
2)(y6()y)(xy2()x
3
2)(xy2()y)(x3()x
3
2)(x3(Q.P 2222 −++−−+−+−+=
322223 y6xy4xy2yx3
4yx3x2Q.P −++−−=
322223 y6)xy4xy2()yx3
4yx3(x2Q.P −++−−+=
3223 y6xy6yx3
13x2Q.P −+−=
2. Sea 2n yx3P −= y 42nn2 yyxx2Q +−= hallar Q . P
Solución
)yyxx2( )yx3(Q . P 42nn22n +−−=
)y)(y()yx)(y())(2xy()y)(x3()yx)(x3()x2)(x3( 422n2n224n2nnn2n −+−−+−++−+=
64n2n24n2n2n3 yyxyx2yx3yx3x6 −+−+−=
64n4n2n22n2n3 y)yxyx3()yx2yx3(x6 −++−−+=
64n2n2n3 yyx4yx5x6 −+−=
Productos notables Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación. Los más importantes son: 1. Binomio al cuadrado ( Trinomio cuadrado perfecto)
• 222 yxy2x)yx()yx)(yx( ++=+=++
• 222 yxy2x)yx()yx)(yx( +−=−=−−
• 22222 ybabxy2xa)byax()byax)(byax( ++=+=++
• 22222 ybabxy2xa)byax()byax)(byax( +−=−=−− 2. Trinomio al cuadrado
• yz2xz2xy2zyx)zyx()zyx)(zyx( 2222 +++++=++=++++
• bcyz2acxz2abxy2zcybxa)czbyax()czbyax)(czbyax( 2222222 +++++=++=++++
3. Binomio al cubo
• )yx(xy3yxyxy3yx3x)yx()yx)(yx)(yx( 3332233 +++=+++=+=+++
• )yx(xy3yxyxy3yx3x)yx()yx)(yx)(yx( 3332233 −−−=−+−=−=−−−
• 332222333 ybyaxb3byxa3xa)byax()byax)(byax)(byax( +++=+=+++
• 332222333 ybyaxb3byxa3xa)byax()byax)(byax)(byax( −+−=−=−−−
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4. Trinomio al cubo • )zx)(zy)(yx(3zyx)zyx()zyx)(zyx)(zyx( 3333 ++++++=++=++++++
• xyz3)xzyzxy)(zyx(3zyx)zyx( 3333 −+++++++=++ 5. Producto de una suma por su diferencia( Diferencia de cuadrados)
• n2m22n2mnmnm yx)y()x()yx)(yx( −=−=−+
• 22 yx)yx)(yx( −=−+
• 222222 ybxa)bx()ax()byax)(byax( −=−=−+
6. Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia de cubos
• n3m3n2nmm2nm yx)yyxx)(yx( +=+−+
• n3m3n2nmm2nm yx)yyxx)(yx( −=++−
• 3322 yx)yxyx)(yx( +=+−+
• 3322 yx)yxyx)(yx( −=++−
• 3333332222 ybxa)by()ax()ybabxyxa)(byax( +=+=+−+
• 3333332222 ybxa)by()ax()ybabxyxa)(byax( −=−=++− 7. Identidad de ARGAND
• n4n2m2m4n2nmm2n2nmm2 yyxx)yyxx)(yyxx( ++=+−++
m y n : número par
• m4m2m2m4m2mmm2m2mmm2 yyxx)yyxx)(yyxx( ++=+−++
• 1xx)1xx)(1xx( k2k4kk2kk2 ++=+−++
• 1xx)1xx)(1xx( 2422 ++=+−++
• 42242222 yyxx)yxyx)(yxyx( ++=+−++ 8. Producto de binomios con un término común
• abx)ba(x)bx)(ax( 2 +++=++
• abcx)bcacab(x)cba(x)cx)(bx)(ax( 23 +++++++=+++
9. Producto de binomios de la forma )dcx)(bax( ++
• bdx)bcad(acx)dcx)(bax( 2 +++=++
10. Identidades de Legendre
• )yx(2)yx()yx( 2222 +=−++
• xy4)yx()yx( 22 =−−+
• )ybxa(2)byax()byax( 222222 +=−++
• abxy4)byax()byax( 22 =−−+ 11. Identidades de Lagrange
• )yx)(ba()bxay()byax( 222222 ++=−++
• )zyx)(cba()cybz()cxaz()bxay()czbyax( 2222222222 ++++=−+−+−+++
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Observación Identidades complementarias 1. Condicionales: Si 0cba =++ se verifica que:
• )acbcab(2cba 222 ++−=++
• 2222222 accbba)cabcab( ++=++
• abc3cba 333 =++
• )cbcaba(2cba 222222444 ++=++
• )cba(2)cba( 4442222 ++=++
• )acbcab(abc5cba 555 ++−=++
2. )ba(ab8)ba()ba( 2244 +=−−+
3. Identidad de Gauss • abc3cba)bcacabcba)(cba( 333222 −++=−−−++++
• abc)ac)(cb)(ba()cabcab)(cba( ++++=++++
Ejemplos
1. Simplificar [ ] )yyxx( )yx()yx()yx(E 4224222 +−−+++=
Solución Ordenando la expresión
{ [ ] } )yyxx( )yx( )yx()yx(E 422422 +−−+++=
aplicamos diferencia de cuadrados
[ ] )yyxx( )yx()yx(E 422422 +−−++= en el corchete aplicamos identidad de Legendre
)yyxx( )yx(2E 422422 +−+= los paréntesis dan diferencia de cubos
)yx(2E 66 +=
2. Simplificar n32nn2mnmm22nmn2nmm2 y4)yyxyxx()yxyyxx(E +++−+−−+++=
Solución Ordenando cada expresión
[ ] [ ] n32nmn2nmm22nmn2nmm2 y4)yx()yyxx()yx()yyxx(E +−−++−−+++=
haciendo ayyxx n2nmm2 =++ y byx nm =− se tiene n322 y4)ba()ba(E +−−+=
aplicando la identidad de Legendre n3y4ab4E +=
reemplazando los valores de a y b n3nmn2nmm2 y4)yx)(yyxx(4E +−++=
de los paréntesis resulta diferencia de cubos n3n3m3 y4)yx(4E +−=
n3n3m3 y4y4x4E +−= m3x4E =
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Ejercicios 04: Multiplicación de polinomios enteros- Productos notables Multiplicar 1. )7x)(9x( 44 −−
2. )4m)(5m)(1m( 222 −−+
3. )4yx)(3yx( +−++
4. ( )1x2x4)(1x2 2 +−+
5. )y2
3x
3
2)(y
4
1xy
3
1x
2
1( 22 −+−
6. )xyy2x2
3)(y
2
1xy
3
1x
5
2( 2222 −+−+
7. )2x3
1x2)(
5
2x
4
1x
8
3( 32 +−−+
8. )a3
2axx
2
3)(a
2
3x
2
1ax
3
1( 2222 +−+−
9. )x10
1yx
2
3)(x
4
1x
4
1yx
3
1y
2
1( 33423 −+−+
10. )xx)(xx2x( 23n2n1n +−+ +++
11. )xx)(x3x2x( 1nn1nn2n +++ ++−
12. )x2x)(x2xx( 1a3a1aa2a ++++ −+−
13. )xxx)(x2xx3( 2n1nn2nn1n −−−− +−−+
Simplificar 14. )1x)(1x)(1x)(1x)(1x(E 842 +++−+=
15. )kkyy)(kkyy)(ky)(ky(E 2222 +−+++−=
16. )xx(36)4x()5x()2x()1x(E 22222 −−+−−−+=
17. 2222 )2x()1x()1x()2x(E −+−−+=
18. )x1x)(xx)(xx(E y4y4yyyy −−− ++−+=
19. ][ )yyxx)(y(x )yx()yx(E y8y4y4y8y22y2yy2yy −−−−− ++−−++=
20. )1xx)(1x)(1x)(1x)(1x(E 2444 ++−+++=
21. ][ )yyxx)(xy( )x3y2()y3x2( E 84482222 ++−−++=
22. )yyxx)(yyxx)(yx(E 22422424 +−++−=
23. )yx)(yx)(yxyx(E 22 +−++=
24. )1xx)(1x)(1x(E 23 +−+−=
25. 4 42 )1x)(1x)(1x)(1x(1E +++−+=
26. )zyx(4)zyx()zyx()zyx()zyx(E 2222222 ++−++−++−+−++++=
27. 2
2
222
2
22 ) 1x
1x ( )
x
1x ( ) 1
x
1x ( )
x
1x (E ++−−−++=
28. )cba)(cba(b)-c(a )acb(E −+++++−+=
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29. 2105
4722
)yx()yx()xy(
)yx()yx(E
−−−−
+−=
30. . . . )1xx)(1xx)(1xx)(1xx(E 482422 +−+−+−++= hasta n factores Resolver 31. Si 8yx =+ y 16xy = , hallar 22 yx +
32. Si 2x
1x =− hallar 44 xx −+
33. Si 5ba =+ y 2ab = calcular )ba()ba()ba(E 443322 +++++=
34. Si 12zyx =++ y 60yzxzxy =++ , hallar 222 )zy()zx()yx(M +++++=
35. Si 20rqp =++ y 300rqp 222 =++ hallar el valor de 222 )rq()rp()qp(E +++++=
36. Si 0zyx =++ simplificar zxyzxy
)xz()zy()yx(E
222
+++++++
=
División de polinomios La división de polinomios es una operación que consiste en hallar el polinomio cociente dados el polinomio dividendo y el polinomio divisor. En la división de polinomios se cumple:
RCQP +⋅= ó Q
RC
Q
P+=
donde =P Polinomio dividendo =C Polinomio cociente =Q Polinomio divisor =R Polinomio resto o residuo
=+Q
RC Cociente completo
En la división exacta de polinomios 0R = y se cumple que:
C QP CQ
P⋅=⇔= donde 0Q ≠
Propiedad : n m
n
m
xx
x −= , donde 0x ≠
Casos de la división - Cuando se trata de dos monomios Reglas o pasos a seguir:
• Se dividen los signos mediante la regla de signos • Se dividen los coeficientes
• Se dividen la letras aplicando la propiedad: n m
n
m
xx
x −= , donde 0x ≠
Ejemplo: Dividir 452
584
zyx4
zyx12E
−
−=
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18
Efectuando
zyx3zyx3E 32455824 == −−− - Cuando se trata de un polinomio y monomio Reglas o pasos a seguir:
• Se escribe la división como una suma del cociente de 2 monomios • Se divide cada cociente de monomios
Ejemplo: Dividir 22
343254
yzx2
zyx2zyx4E
+−=
Efectuando
zxyyx2yzx2
zyx2
yzx2
zyx4E 342
22
343
22
254
+−=+−
=
- Cuando se trata de dos polinomios Para efectuar la división entre dos polinomios se conocen varios métodos. Presentaremos a continuación algunos de ellos. a. Método clásico o normal Reglas o pasos a seguir: 1) Se ordenan los polinomios, generalmente en forma decreciente con respecto a una sola letra o variable 2) En caso existan dos o mas variables se asumirá solo a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. 3) Se divide el primer término del dividendo, por el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo. 4) Se baja el término siguiente del dividendo, y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más un grado menos que el grado del divisor. O en todo caso si la división es exacta el resto será un polinomio idénticamente nulo. Ejemplos 1. Dividir 4x8x4x5x6)x(P 234 ++−−= entre 2x3x2)x(Q 2 +−=
Solución
4x8x4x5x6 234 ++−− 2x3x2 2 +− 234 x6x9x6 −+− 2x2x3 2 −+
4x8x10x4 23 ++−
x4x6x4 23 −+−
4x4x4 2 ++−
4x6x4 2 +−
8x2 +−
Luego, el polinomio cociente es 2x2x3)x(C 2 −+= y el resto 8x2)x(R +−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
19
2. Dividir 54324235 y6xy24yx33yx5yx26x6)y,x(P +−++−= entre 22 yxy3x2)y,x(Q +−=
Solución
54322345 y6xy24yx33yx26yx5x6 +−+−+ 22 yxy3x2 +− 2345 yx3yx9x6 −+− 3223 y7xy4yx7x3 +−+
32234 yx33yx29yx14 +−
32234 yx7yx21yx14 −+−
43223 xy24yx26yx8 −+−
43223 xy4yx12yx8 +−
5432 y6xy20yx14 +−
5432 y7xy21yx14 −+−
54 yxy −
Luego, el polinomio cociente es 3223 y7xy4yx7x3)x(C +−+= y el resto 54 yxy)x(R −= Observación - Teorema ( Algoritmo de la división de polinomios) Dados un polinomio )x(P de grado 1n > y un polinomio )x(Q de grado m , con nm1 ≤≤ ;
entonces existen polinomios únicos )x(C y )x(R , que tienen la propiedad de que:
)x(R)x(C )x(Q)x(P += , donde el grado de )x(R es menor que el grado de )x(Q .
- Si al dividir )x(P entre )x(Q se obtiene 0)x(R = , es decir si )x(C . )x(Q)x(P = , se dice que
)x(Q divide o es divisor o factor de )x(P .
b. División sintética La división sintética es un procedimiento práctico para encontrar el cociente y el resto de la división de un polinomio )x(P de grado 2 o mas, entre un binomio de la forma rx)x(Q −= (o cualquier otra expresión transformable a ésta). A la división sintética también se le conoce con el nombre de “Regla de Ruffini” Si dividimos 01
1n
1n
n
n axa . . . xaxa)x(P ++++= −− de grado n entre rx)x(Q −= , entonces
por el algoritmo de la división de polinomios existe 1
2n
2n
1n
1n b . . . xbxb)x(C +++= −−
−− de grado
1n − y )x(R un polinomio constante talque : )x(R)rx)(x(C)x(P +−=
Por división sintética podemos hallar el polinomio cociente )x(C y el polinomio resto ).x(R Reglas o pasos a seguir: - Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable. En caso falte un término este se completa con cero. - En caso hubiesen dos o mas variables se considera solo a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero ( 0), se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo izquierdo del gráfico.
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20
- Se baja el primer coeficiente del polinomio dividendo siendo este el primero del polinomio divisor. Luego se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna - Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del polinomio dividendo. Llegado este momento se reduce la columna que falta, y siempre se cumplirá que la última columna le va ha pertenecer al resto, y este siempre será un valor numérico. Observaciones - La división sintética también es aplicable cuando el divisor es un binomio de la forma rax − . - La división sintética es también aplicable cuando el divisor es un polinomio de segundo grado factorizable de la forma )sx)(rx( −− o no factorizable, o un polinomio de grado 2 o mas. Esta división se realiza por el llamado Método de Horner . Ejemplos
1. Dividir 2xx5x2)x(P 23 −+−= entre =)x(Q 2x − Solución
Hacemos 2x 02x =⇒=− Aplicando división sintética tenemos
2 1 5 2 − 2− 2 4 − 2− 1 1 2 −− 4−
Luego , 1xx2)x(C 2 −−= y =)x(R -4
2. Dividir 3xx2x3)x(P 234 +−+= entre =)x(Q 3x + Solución
Hacemos 3x 03x −=⇒=+ Aplicando división sintética tenemos
3− 0 1 2 3 − 3 60 21 9 −− 180 60 20 7 3 −− 183
Luego , 60x20x7x3)x(C 23 −+−= y 183)x(R =
3. Dividir 1x12x5x29x18)x(P 235 −+−−= entre =)x(Q 2x3 + Solución
Hacemos 3
2x 0)
3
2x 3( )
3
2x(32x3)x(Q −=⇒=+⇒+=+=
Aplicando división sintética tenemos
3
2−
12 5 29 0 18 −− 1−
6 14 8 12 −− 4− 6 9 21 12 18 −− 5−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
21
Cociente primario 6x9x21x12x18)x(A 234 ++−−=
Dividiendo todo el cociente primario entre3 , porque es el primer coeficiente del divisor se tiene:
El cociente verdadero 3
6x9x21x12x18)x(C
234 ++−−=
2x3x7x4x6)x(C 234 ++−−= y 5)x(R −=
4. Dividir 1x3
12x2x16x17x69
9182736
+
++−+
Solución Observamos que los exponentes del dividendo son múltiplos del exponente 9 del divisor, luego se puede aplicar el método de la división sintética. Hacemos yx 9 = . Al transformar el dividendo y reemplazar el cambio de variable se tiene
=+
++−+
1x3
12x2)x(16)x(17)x(69
993949
1y3
12y2y16y17y6 234
+++−+
También hacemos 3
1y 0)
3
1y 3( )
3
1y(31y3)y(Q −=⇒=+⇒+=+=
Aplicando división sintética tenemos
3
1−
2 16 17 6 − 12
7 5 2 −− 3− 9 21 15 6 − 9
Cociente primario 9y21y15y6)y(A 23 +−+=
Dividiendo todo el cociente primario entre3 , porque es el primer coeficiente del divisor se tiene:
El cociente verdadero en términos de y , 3
9y21y15y6)y(C
23 +−+=
3y7y5y2)y(C 23 +−+=
reemplazando 9xy =
tenemos el cociente verdadero en términos de x , 3x7x5x2)x(C 91827 +−+=
y el resto 9)x(R = c. Método de Horner Se emplea para dividir un polinomio )x(P de grado n entre un polinomio )x(Q de grado m
donde 01
1n
1n
n
n axa . . . xaxa)x(P ++++= −−
01
1m
1m
m
m bxb . . . xbxb)x(Q ++++= −− , 0ba , mn mn ≠∧≥
Reglas o pasos a seguir: - Se completan y ordenan los polinomios. En caso falte un término este se completará con cero. - En caso existan dos o mas variables se asume a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes.
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
22
- Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo, y en forma vertical los coeficientes del divisor, todos cambiados de signo a excepción del primero. - Se divide el primer coeficiente del dividendo por el primero del divisor, obteniendo el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo, y los resultados se colocan dejando una columna de lado. - Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior, tanta veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo. Llegado este momento se reduce las columnas que falten; separando los coeficientes del cociente y el resto respectivamente. Ejemplos
1. Dividir 1x5x4x6x2)x(P 234 −−++= entre 3x2x2)x(Q 2 −+=
Solución
2 2 6 4 1 5 −− 2− 2− 3
3 4 4− 6 3
2
9 3−
1 2
2
3
2
7 2−
Luego , 2
3x2x)x(C 2 ++= y
2
7x2)x(R +−=
2. Dividir 5x9x4x6)x(P 235 −+−= entre 2xx3)x(Q 3 −+=
Solución
3
6 0 4− 5 0 9 −
0 0 2− 4 1− 0 0 0 0 2 6− 4 2 0 − 2 0 2− 9 2 13 −
Luego , 2x2)x(C 2 −= y 9x2x13)x(R 2 −+=
3. Hallar pnmE ++= si la división 6x2x3
pnxmxx14x9x123
2345
−+
−+−+− es exacta.
Solución
Utilizando el método de Horner, el resto debe ser un polinomio idénticamente nulo
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
23
3
12 9− 14 p n m −−
0 0 8− 24 2 − 9− 0 6 18 − 6 6 12 4 0 − 4 3− 2 p12 n22 m30 −+−−
Luego, el resto es 0x0x0)p12()n22(x)m30()x(C 22 ++=−++−+−=
Así tenemos que: 30m 0m30 =⇒=− 22n 0n22 =⇒=+− 12p 0p12 =⇒=−
Finalmente 64122230pnmE =++=++=
3. Dividir 22
5322345
y3xyx4
y2yx16yx5yx14x8
++
++++ con respecto a x .
Solución Utilizando el método de Horner se tiene:
4 8 14 5 16 2 0 1 − 2− 6−
3 − 12 3− 9− 4 − 1 3 8 2− 6− 2 3 1− 2 4 1 −
Luego, el resto es 3223 y2xyyx3x2)y,x(C +−+= y 54 y4xy)y,x(R −= Teorema del resto Si )x(P es un polinomio de grado n y rx)x(Q −= , entonces el resto o residuo de dividir
)x(P por )x(Q esta dado por R)r(P = .
Demostración En efecto, por el algoritmo de la división
R)x(C )rx()x(P +−= Como esta igualdad es válida para todo x , en particular para rx = entonces
R)r(C )rr()r(P +−=
Entonces R)r(P = Ejemplos 1. Hallar el resto de dividir 1x4xx)x(P 23 −−+= entre 2x)x(Q +=
Solución Hacemos 2x 02x −=⇒=+
Luego el resto es 31)2(4)2()2()2(PR 23 =−−−−+−=−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
24
2. Hallar el resto de 2x3
2xx18x9 23
−−+−
Solución
Hacemos 3
2x 02x3 =⇒=−
Luego el resto es 3
202
3
2)
3
2(18)
3
2(9)
3
2(PR 23 −=−+−==
3. Hallar el resto de 2x
8x5x8x3x2x3
2458
+
+−−−−
Solución Hacemos 2x 02x 33 −=⇒=+ ¡ no se saca raíz ! Dando la forma al dividendo
8x5x8x)x(3x)x(2x)x()x(P 2323223 +−−−−= reemplazando
8x5x8x)2(3x)2(2x)2(R 2222 +−−−−−−−= efectuando resulta
8xR +=
4. Hallar el resto de 1x5x
4)2x5x(3)1x5x(2
2232
−+
+++−++
Solución Hacemos que 1x5x 01x5x 22 =+⇒=−+ Reemplazando en el dividendo
42784)21(3)11(R 23 +−=++−+=
15R −=
5. Hallar el resto de y2x
yx)yx( 555
+−−+
Solución Hacemos que y2x 0y2x −=⇒=+
Reemplazando en el dividendo 555555 yy32yy)y2()yy2(R −+−=−−−+−=
5y30R = Teorema del factor Dado un polinomio )x(P de grado n , un número r es una raíz de )x(P si y solo si
rx)x(Q −= es un factor de )x(P . Demostración i) En efecto, por el algoritmo de la división
R)x(C )rx()x(P +−=
Por el teorema del resto 0)r(P = , entonces 0R =
Por lo tanto, )x(C )rx()x(P −= , luego rx − es un factor de )x(P
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
25
ii) Recíprocamente, si rx)x(Q −= es un factor de )x(P , entonces )x(C)rx()x(P −=
Como el resto 0)r(PR == , entonces 0)r(C )rr()r(P =−=
Significa que r es una raíz de )x(P . Ejemplos 1. Determinar si 2x)x(Q += es factor de 4x5xx)x(P 23 ++−=
Solución Hacemos 2x 02x −=⇒=+
Entonces 184)2(5)2()2()2(PR 23 −=+−+−−−=−=
Luego 2x)x(Q += no es factor de 4x5xx)x(P 23 ++−=
2. Determinar si 1x2)x(Q −= es factor de 3xx12x4)x(P 23 −−+=
Solución
Hacemos 2
1x 01x2 =⇒=−
Entonces 03)2
1()
2
1(12)
2
1(4)
2
1(PR 23 =−−+==
Como 0R = entonces 1x2)x(Q −= es factor de 3xx12x4)x(P 23 −−+=
Observación - Raíces de un polinomio: De acuerdo al teorema del factor se conoce que dado un polinomio de grado 1n ≥ , un número r se llama raíz o cero del polinomio )x(P si 0)r(P = .
Ejemplo: Sea 4x4xx:)x(P 23 +−− , el número 2x −= es una raíz o un cero de )x(P puesto
que 0)2(P =− Cocientes notables Son divisiones indicadas de dos expresiones binómicas. Se denominan notables porque no se requiere efectuar la operación, directamente se escribe el cociente.
- Primer caso 1n2n3n22n1nnn
axa . . . xaaxxax
ax −−−−− +++++=−−
donde: n es par o impar Ejemplos
* 43223455
yxyyxyxxyx
yx++++=
−−
* 3222222232
22
4242
22
88
)y()y)(x()y()x()x(yx
)y()x(
yx
yx+++=
−
−=
−
−
642246 yyxyxx +++=
- Segundo caso 1n2n3n22n1nnn
axa . . . xaaxxax
ax −−−−− −+−+−=+−
donde n es par
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
26
Ejemplo
* 3525252232
52
4542
52
208
)y()y)(x()y()x()x(yx
)y()x(
yx
yx−+−=
+
−=
+
−
15102546 yyxyxx −+−=
- Tercer caso 1n2n3n22n1nnn
axa . . . xaaxxax
ax −−−−− +−−+−=++
donde n es impar
* 42322222223242
22
5252
22
1010
)y()y)(x()y()x()y()x()x(yx
)y()x(
yx
yx+−+−=
+
+=
+
+
86244268 yyxyxyxx +−+−=
- Caso ax
ax nn
−+
donde n es par o impar Por el Teorema del resto: a x 0ax =⇒=−
Luego, nnn a2aaR =+= ¡ División inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE.
- Caso ax
ax nn
+−
donde n es impar Por el Teorema del resto: a x 0ax −=⇒=+
Luego, nnn a2a)a(R −=−−= ¡ División inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE.
- Caso ax
ax nn
++
donde n es par Por el teorema del resto a x 0ax −=⇒=+
Luego, nnnnn a2aaa)a(R −=+=+−= ¡ División inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE Ejercicios 05: División de polinomios enteros- Cocientes notables Dividir
1. yx5yx3 232 − entre yx3 2−
2. 468 x8x10x4 −− entre 3x2
3. 810829121818 zyx7zyx35yx21 −− entre yx7 5−
4. 2234 nm8
3nm
3
2m
4
1+− entre 2m
4
1
5. 6524334 xyyx4
1yx
5
1yx
3
2−+− entre 3xy
5
1−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
27
6. 342223 yzx2
1xyz
6
5zyx
3
2yzx
4
3−+− entre xyz
6
5−
7. 1m1mm2m x9x6x15x −++ −+− entre 2mx3 −
8. n1n1n x5
2x
4
1x
3
2−− −+ entre 2nx
3
2 −
Dividir por el método clásico y por división sintética 9. 2x3x2x 23 −+− entre 3x +
10. 1x3x3x2 24 −+− entre 2x −
11. 2
1x
6
5x
3
2x
4
3 23 −+− entre 2
1x −
12. 2xx3x4 34 −+− entre 1x2 + Dividir por el método clásico y por el método de Horner
13. 1xxx3x 234 +−+− entre 2xx 2 +−
14. 1x3x2x2 235 ++− entre 2xx2 2 −−
15. 1xxx3
2x
3
1 234 −+−− entre 2x3 2 +
16. 2xxx3x 345 −+−− entre 1x3xx2 23 −+− Resolver
17. Calcular ab si la siguiente división es exacta 5x2x
baxx3x2x2
234
−+
−+−+
18. Hallar m y n si la división es exacta 4x2x
n2mxx3x2
34
+−
−+−
19. Calcular ba + si la división 2xx5
baxx15x11x52
234
−−
−++− deja como resto: 9x2 −
20. Calcular c.b.a si el polinomio cbxaxx3x 234 ++++ es divisible por 2xx2x 23 −−+
21. Hallar el resto en 1mx
mmxxmx2x 2234
+−−+−+
22. Hallar el resto en 2x
5x2x8x 7780
++++
23. Hallar el resto en 3x
4xx243x 2227
++++
24. El residuo de dividir 3xx2
cbxaxx4x823
235
++
++++ es : 7x11x5 2 ++ , hallar abcE =
25. Determinar nm + sabiendo que 15x16x7nxmx 234 ++−+ es divisible por 5x3x 2 +−
26. En la siguiente división 1xx
aaxx2xx32
234
−+
+++− el residuo no es de primer grado. Calcular
dicho resto. 27. Si cx)3b4(bxx)x(P 23 ++−−= es divisible entre )4x)(3x( −+ , hallar )1(P
28. Escribir el cociente sin efectuar la división :
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
28
a) y2x3
y16x81 44
−−
c) 1x2
1x1024 10
−−
e) y3x2
y243x32 55
++
g) yx2
yx512 99
++
b) 3x
243x 5
−−
d) 32
642
m5xy4
m25yx16
+
− f)
32
96
y7x4
y343x64
−
− h)
33
1818
ba
ba
+
−
i) 1x
1x3
21
+
+ j)
x
1)1x( n ++ k)
1yx
)2y()3x(22
4242
−+
+−− l)
5yx
)2y()3x(22
3232
−+
−−−
1.4. FACTORIZACIÖN Factorizar es la transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de dos o mas polinomios primos dentro de cierto campo de números Factorizar también significa, convertir una suma algebraica en producto de factores primos. Polinomio primo sobre un conjunto numérico Es aquel polinomio de grado mayor que cero que no admite ser transformado en multiplicación indicada. Todo polinomio primo tiene como únicos divisores a el mismo y a cualquier constante no nula de un cierto campo de números. Un polinomio primo también es denominado polinomio irreductible y factor primo. Ejemplos 1. 2x3 + es primo en R ,Q y C
2. 5x 2 − es primo en Q . No es primo en R
3. 1xx 2 +− es primo en Q y R . No es primo en C
Generalmente trabajaremos en los racionales )Q( salvo que se indique lo contrario. Pero debe tenerse en cuenta lo siguiente:
* )2x)(4x)(3x)(1x()x(P 22 −+−+= está factorizado en Q .
* )2x)(4x)(3x)(3x)(1x()x(P 2 −+−++= está factorizado en R .
* )2x)(4x)(3x)(3x)(ix)(ix()x(P −+−+−+= está factorizado en C . El número de factores primos, como lo hemos visto anteriormente depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En el conjunto numérico de los racionales, el número de factores primos se calcula contando los factores basales (que figuran como bases y que contengan a las variables, denominados también factores algebraicos). Así por ejemplo: * 32 )4x()3x()x(P −+= tiene 2 factores primos
* 32 )3x()2x)(2x(x)x(P −−+= tiene 4 factores primos
* 4522 )y2x()y3x(yx)x(P −+= tiene 4 factores primos
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
29
Métodos para factorizar una expresión algebraica
A. Método de factor común Factor común de dos o más expresiones algebraicas es la parte numérica y/o literal que está repetida en dichas expresiones. El método consiste en extraer el o los factores comunes y dejarlos como un producto indicado. El factor común puede ser:
• Factor común MONOMIO • Factor común POLINOMIO • Factor común POR AGRUPACIÖN DE TËRMINOS
Ejemplo: 1. Factorizar la siguiente expresión: 425322 yx12yx6yx3P ++=
Solución
El factor común es 22 yx3 , es un monomio
)y4xy21(yx3P 2322 ++= 2. Factorizar la siguiente expresión: b2a1b1aba2 yx24yx48yx72P ++= ++
Solución
El factor común es ba yx24 , es un monomio
)yxy2x3(yx24P baba ++=
3. Factorizar la siguiente expresión: 11251027 )1x( )1x()1x( )1x(P ++−++= Solución
El factor común es 1025 )1x()1x( ++ , es un polinomio
][ )1x(1)(x )1x()1x(P 221025 +−+++=
)1x1x2x( )1x()1x(P 221025 −−++++=
) x2 ( )1x()1x(P 1025 ++= 4. Factorizar ccx)x1(b)1x(aN −+−−−=
Solución
Extrayendo factor común "c" en los dos últimos términos )1x(c)x1(b)1x(aN −+−−−=
A. Método de factor común B. Método de identidades C. Método del aspa simple D. Regla de Ruffini E. Método de los artificios: a) Cambio de variable o agrupaciones convenientes b) Quita y pon o reducción a diferencia de cuadrados c) Sumas y restas especiales
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
30
Extrayendo factor común 1− en el término central )1x(c)1x(b)1x(aN −+−+−=
Extrayendo factor común )1x( −
)cba)(1x(N ++−= 5. Factorizar bcdacdxabdxabcxdxacxabxaxaM 22222233 +++++++=
Solución
Agrupando de dos en dos
)bcdacdx()abdxdxa()abcxcxa()bxaxa(M 22222233 +++++++= Extrayendo factor común en cada paréntesis
)bax(cd)bax(adx)bax(acx)bax(xaM 22 +++++++=
Extrayendo factor común )bax( +
)cdadxacxxa)(bax(M 22 ++++= Agrupando de dos en dos en el segundo paréntesis
][ )cdadx()acxxa()bax(M 22 ++++=
Extrayendo factor común dentro del corchete ][ )cax(d)cax(ax)bax(M ++++=
)dax)(cax)(bax(M +++=
B. Método de identidades Para este caso se utilizará los productos notables en forma inversa; entre los mas importantes tenemos:
• Trinomio cuadrado perfecto. Se caracteriza por: - Tener dos términos que son cuadrados perfectos. - El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. - Los cuadrados perfectos siempre deben tener signo positivo. El trinomio con estas características se reduce a un binomio al cuadrado. Para factorizarlo se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y entre ellas va el signo del segundo término. Forma general : a) 2nmn2nmm2 )yx(yyx2x +=++
b) 2nmn2nmm2 )yx(yyx2x −=+− Ejemplos:
1. 222 )yx(yxyx +=++
2. 23223364 )x 3yx2(x3yx 34yx4 −=+−
• Diferencia de cuadrados. Es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forma el producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.
Forma general : )yx)(yx(yx nmnmn2m2 −+=− Ejemplos:
1. )yx)(yx(yx 22 +−=−
2. )y 5yx3)(y 5yx3(y5yx9 4242824 −+=−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
31
• Suma o diferencia de cubos Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos, para factorizar se recuerda el producto notable
Forma general a) )yyxx( )yx(yx n2nmm2nmn3m3 +−+=+
b) )yyxx( )yx(yx n2nmm2nmn3m3 ++−=−
Ejemplos: 1. )yxyx( )yx(yx 2233 +−+=+
2. )y9zxy6zx4)(y3xz2(y27zx8 6234232963 ++−=− Otros ejemplos
1. Factorizar 222 n4mn4p4mP ++−= Solución
Agrupando el 1º , 3º y 4º término 222 p4)n4mn4m(P −++=
Factorizando el paréntesis 22 p4)n2m(P −+=
Factorizando toda la expresión )p2n2m( )p2n2m(P −+++=
2. Factorizar 222244 ba3)ba(ab2baP ++++=
Solución
Sabemos que: 222222 baba2ba3 += , luego 22222244 baba2)ba(ab2baP +++++=
agrupando adecuadamente 22224224 ba)ba(ab2)bba2a(P +++++=
Factorizando el trinomio cuadrado perfecto 2222222 ba)ba(ab2)ba(P ++++=
Toda la expresión es un trinomio cuadrado perfecto
[ ]222 ab)ba(P ++= 222 )abba(P ++=
3. Factorizar 3222 y)yx(z)yzx(xE −+++= Solución
Efectuando las operaciones indicadas 3223 yzyzxxyzxE −+++=
Agrupando adecuadamente
)zyzxxyz()yx(E 2233 +++−= Factorizando los paréntesis
)yxxy(z)yxyx( )yx(E 2222 +++++−=
El factor común es )yxyx( 22 ++
)zyx)(yxyx(E 22 +−++=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
32
4. Factorizar 3xxxP 23 −++= Solución
Sabemos que: 1113 −−−=− , luego
111xxxP 23 −−−++= Agrupando adecuadamente
)1x()1x()1x(P 23 −+−+−=
Factorizando en el 1º y 2º paréntesis
)1x()1x)(1x()1xx)(1x(P 2 −++−+++−=
El factor común es: )1x( −
)11x1xx)(1x(P 2 +++++−=
)3x2x)(1x(P 2 ++−=
C. Método del aspa simple Se utiliza para factorizar trinomio de la forma: a) cbxx nn2 ±± ó b) cbxax nn2 ±± Para factorizar se hace lo siguiente: - Se descompone en dos factores el primer término, estos factores se colocan en las puntas de la izquierda del aspa. - Se descomponen en dos factores el término independiente, incluyendo el signo, estos factores se colocan en las puntas de la derecha del aspa. - El término central debe ser igual a la suma de los productos del aspa. - Los factores son las sumas en forma horizontal de los extremos del aspa. Ejemplos 1. Factorizar 15x14x8F 2 −+=
Solución 15x14x8F 2 −+=
3 x4 − ⇒ x6− 5 x2 ⇒ x20
x14 La expresión factorizada es: )5x2)(3x4(15x14x8F 2 +−=−+=
2. Factorizar 36x109x25F 24 +−=
Solución 36x109x25F 24 +−=
9 x25 2 − ⇒ 2x9 −
4 x 2 − ⇒ 2x100−
2x109−
La expresión factorizada es: )4x)(9x25(36x109x25F 2224 −−=+−=
)2x)(2x)(3x5)(3x5(36x109x25F 24 +−+−=+−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
33
3. Factorizar 11478312 yx4yx68yx64F +−= Solución
El factor común de la expresión es 34 yx4
)yyx17x16(yx4F 844834 +−= Aplicamos aspa simple en el paréntesis y tenemos
)yx( )yx16(yx4F 444434 −−= Factorizando las diferencias de cuadrados tenemos
)yx)(yx( )yx4)(yx4(yx4F 2222222234 +−+−= Factorizando las diferencias de cuadrados en el primer y tercer paréntesis
)yx)(yx)(yx( )yx4)(yx2)(yx2(yx4F 222234 ++−++−=
4. Factorizar 3c5c2)ba)(4c()ba(M 22 ++−++++=
Solución Extrayendo el signo menos en los tres últimos términos
)3c5c2()ba)(4c()ba(M 22 −−−++++=
Aplicando aspa simple en el último paréntesis
)3c)(1c2()ba)(4c()ba(M 2 −+−++++=
Aplicando aspa simple en toda la expresión
)3c)(1c2()ba)(4c()ba(M 2 −+−++++=
)1c2( )ba( ++ ⇒ )1c2)(ba( ++
)3c( )ba( −−+ ⇒ ))3c()(ba( −−+
)ba)(4c( ++ La expresión factorizada es:
)3cba)(1c2ba(3c5c2)ba)(4c()ba(M 22 +−++++=++−++++= Observación Recordemos que: - Sea )x(P un polinomio de grado 1)(n n ≥ , "r" es raíz o cero de 0)r(P )x(P =⇔
Es decir, raíz o cero es el valor que anula al polinomio. D. Regla de Ruffini La regla de Ruffini se basa en el siguiente teorema: Sea 01
1n
1n
n
n axa . . . xaxa)x(P ++++= −− , 0a n ≠ y 0a 0 ≠ un polinomio de grado n cuyos
coeficientes son enteros. Si el número racional q
p , expresado en forma irreductible, es una
raíz de )x(P , entonces p es divisor exacto de 0a y q es divisor exacto de na .
La Regla de Ruffini permite factorizar polinomios de grado 2 o más que acepte factores de primer grado de la forma rx ± ó rsx ± . También, podemos decir que la Regla de Ruffini sirve para hallar los divisores binómicos de un polinomio. Pasos a seguir - Determinación de las posibles raíces racionales ( o ceros ) de un polinomio de grado 2 o más:
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
34
*Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, las posibles raíces o ceros estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo. *Si el coeficiente del primer término es diferente a la unidad, se procede como en el caso anterior y además se consideran las fracciones que resultan de dividir todos los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente. Así: Posibles raíces racionales de un polinomio ( PRR) Dado: 01
1n
1n
n
n axa . . . xaxa)x(P ++++= −− , donde 0a n ≠ , 0a 0 ≠ y +∈ zn
PRR
±=n
0
a de positivos Divisores
a de positivos Divisores
- Luego, se utiliza la Regla de Ruffini ( o división sintética) tantas veces como ceros o raíces tenga el polinomio. Ejemplos:
1. Factorizar 4x4xx)x(P 23 +−−= Solución
Posibles raíces o ceros: PRR 4 , 2 , 1 ±±±=
1 4 4 1 1 −− 4 0 1 −
2 4 0 1 − 0 4 2
2− 2 1 0 2−
1 0 Luego, el polinomio factorizado es igual a: )2x)(2x)(1x(4x4xx)x(P 23 +−−=+−−=
2. Factorizar 2x5xx3x)x(P 234 +−−+=
Solución Posibles raíces o ceros: PRR 2 , 1 ±±=
1 2 5 1 3 1 −− 2 3 4 1 −
2− 2 3 4 1 − 0 2 4 2 −−
1 2 1 − 0 El polinomio factorizado es igual a: )1x2x)(2x)(1x(2x5xx3x)x(P 2234 −++−=+−−+=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
35
3. Factorizar 3xx20x12)x(P 23 −++=
Solución
Posibles raíces o ceros: PRR
±±±±±±±±
=12 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1
3 , 1
PRR
±±±±±±±±±=
4
3 ,
2
3 , 3 ,
12
1 ,
6
1 ,
4
1 ,
3
1 ,
2
1 , 1
2
1−
3 1 20 12 − 3 7 6 −−
3
1
6 4 1 2 1 − 0 6 4
2
3−
18 2 1 0 18−
12 0
El polinomio factorizado es igual a )2
3x)(
3
1x)(
2
1x(123xx20x12)x(P 23 +−+=−++=
También llegamos a factorizarlo de la siguiente manera:
Como )2
1x( + es factor de )x(P
Tenemos )6x14x12( )2
1x2()x(P 2 −+
+= )3x2)(1x3)(1x2()3x7x6(2 )
2
1x2( 2 +−+=−+
+=
4. Factorizar xx2xx2)x(P 245 −+−=
Solución Factorizamos x en el polinomio y lo expresamos como )1x2xx2(x)x(P 34 −+−=
Utilizamos la Regla de Ruffini para factorizar en el paréntesis
Posibles raíces o ceros: PRR
±±±
= 2 , 1
1
PRR
±±=
2
1 , 1
2
1
1 2 0 1 2 −− 1 0 0 1
1− 2 0 0 2 0 2 2 2 −−
2 2 2 − 0
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
36
El polinomio factorizado es igual a
)2x2x2)(1x)(2
1x(x)1x2xx2( xxx2xx2)x(P 234245 +−+−=−+−=−+−=
También llegamos a factorizarlo de la siguiente manera:
Como )2
1x( − es factor de )x(P
Tenemos )2x2x2(1)(x )2
1x(x)x(P 2 +−+−= )1x2(x 1)(x )
2
1x2(x 2 +−+
−=
)1xx(1)(x )1x2(x)x(P 2 +−+−=
E. Método de los artificios: a) Cambio de variable o agrupaciones convenientes Mediante transformaciones u operaciones adecuadas se pueden lograr expresiones iguales para luego proceder a un cambio de variable, de tal manera que se obtenga una forma de factorización mas simple por los métodos ya estudiados. Ejemplos 1. Factorizar 3)3x)(2x)(1x)(2x(F +++−−=
Solución Agrupando adecuadamente y efectuando en la forma indicada se tiene
[ ][ ] 3)1x)(2x( )3x)(2x(F +−++−=
3)2xx)(6xx(F 22 +−+−+=
Haciendo: mxx 2 =+ 3)2m)(6m()m(F +−−=
)5m)(3m()15m8m()m(F 2 −−=+−= Reemplazando y escribiendo en términos de x )5xx)(3xx()x(F 22 ++−+=
2. Factorizar )3x)(2x)(1x(x1F ++++=
Solución Agrupando adecuadamente y efectuando en la forma indicada se tiene
[ ][ ])2x)(1x( )3x(x1F ++++=
)2x3x)(x3x(1F 22 ++++=
Haciendo: ax3x 2 =+
22 )1a(1a2a)2a(a1)a(F +=++=++=
Reemplazando y escribiendo en términos de x
22 )1x3x()x(F ++= 3. Factorizar 1)1x3x()6x5x)(xx(F 2222 +++++++=
Solución Expresando en su forma de factores al primer sumando
1)1x3x()3x)(2x)(1x(xF 22 +++++++= Agrupando y efectuando en la forma indicada
1)1x3x()2x3x)(x3x(F 2222 +++++++=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
37
Haciendo: mx3x 2 =+
2222 )1m(2)1m2m(22m4m21)1m()2m(m)m(F +=++=++=++++=
Reemplazando y escribiendo en términos de x 22 )1x3x(2)x(F ++=
4. Factorizar 1)yx(10)yx(5)1yx()y,x(F 24 −+−+−++=
Solución Haciendo: 1myx m1yx −=+⇒=++
1)1m(10)1m(5m)m(F 24 −−−−−=
)4m)(1m(4m5m110m105m10m5m)m(F 222424 −−=+−=−+−−−−=
)2m)(2m)(1m)(1m()m(F +−+−= Reemplazando y escribiendo en términos de x e y
)21yx)(21yx)(11yx)(11yx()y,x(F +++−+++++−++=
)3yx)(1yx)(2yx)(yx()y,x(F ++−++++= b) Quita y pon o reducción a diferencia de cuadrados Consiste en sumar y restar una misma expresión en forma conveniente de modo tal que al hacer agrupaciones, el objetivo, sea llegar a una diferencia de cuadrados. Ejemplos
1. Factorizar 4x)x(F 4 += Solución
Sabemos que: 4x4x)2x( 2422 ++=+
Quitando y poniendo 2x4 224 x4x44x)x(F −++=
224 x4)4x4x()x(F −++=
El paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto 222 x4)2x()x(F −+=
Por lo tanto la expresión factorizada es:
)2x2x)(2x2x()x(F 22 +++−=
2. Factorizar 4x11x25)x(F 24 ++= Solución
Sabemos que: 4x20x25)2x5( 222 ++=+
Quitando y poniendo 2x9 2224 x9x94x11x25)x(F −+++=
224 x9)4x20x25()x(F −++= El paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto
222 x9)2x5()x(F −+=
Por lo tanto la expresión factorizada es:
)2x3x5)(2x3x5()x(F 22 +++−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
38
3. Factorizar 1yxy4x4)y,x(F 424 +−+= Solución
Sabemos que: 1x4x4)1x2( 2422 ++=+ y 42222 yxy4x4)yx2( +−=−
Quitando y poniendo 2x4 22424 x4x41yxy4x4)y,x(F −++−+=
Agrupando en forma adecuada
)yxy4x4()1x4x4()y,x(F 42224 −+−+++=
)yxy4x4()1x4x4()y,x(F 42224 +−−++=
Factorizando ambos paréntesis ( trinomio cuadrado perfecto) 2222 )yx2()1x2()x(F −−+=
Por lo tanto la expresión factorizada es:
)y1x2x2( )y1x2x2()x(F 2222 −++++−= c) Sumas y restas especiales Consiste en sumar y restar una expresión en forma conveniente de modo tal que se obtenga por lo general )1xx( 2 ++ o )1xx( 2 +− ambos componentes de una diferencia o suma de
cubos; en otros casos se puede buscar otro tipo de expresiones que conduzcan a la factorización del polinomio. Ejemplos 1. Factorizar 1xx)x(F 5 ++=
Solución Sumamos y restamos 2x
225 xx1xx)x(F −+++= Agrupamos en forma adecuada y factorizamos
)1xx()xx()x(F 225 +++−=
)1xx()1x(x)x(F 232 +++−=
)1xx()1xx)(1x(x)x(F 222 +++++−=
Extrayendo factor común )1xx( 2 ++ la expresión queda factorizada
][ 1)1x( x )1xx()x(F 22 +−++=
)1xx)(1xx()x(F 232 +−++= 2. Factorizar 1aa)x(F 5 −+=
Solución Primera forma
Sumamos y restamos 2a 225 aa1aa)x(F −+−+=
Agrupamos en forma adecuada y factorizamos
)1aa()aa()x(F 225 −+−++=
)1aa()1a(a)x(F 232 +−−+=
)1aa()1aa)(1a(a)x(F 222 +−−+−+=
Extrayendo factor común )1aa( 2 +− la expresión queda factorizada
][ 1)1a(a )1aa()x(F 22 −−+−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
39
)1aa)(1aa()x(F 232 −++−= Segunda forma Completando el polinomio sumando y restando: 234 aaa ++
2342345 aaaaaa1aa)x(F −−−+++−+=
Ordenando convenientemente y factorizando tenemos
)a1a()aaa()aaa()x(F 2324345 −−+−+++−=
)1aa()1aa(a)1aa(a)x(F 22223 +−−+−++−=
)1aa( )1aa()x(F 232 −++−=
3. Factorizar 1xx)x(F 810 ++= Solución
Primera forma
Haciendo mx 2 = ⇒ 1mm)m(F 45 ++=
Sumando y restando 2m y luego agrupando 2245 mm1mm)m(F −+++=
)1mm()1m(m)m(F 2432 +++−=
Factorizamos 1m3 − y 1mm 24 ++ ( Identidad de ARGAND)
)1mm)(1mm()1mm)(1m(m)m(F 2222 +−+++++−=
Luego, la expresión factorizada es
)1mm)(1mm()m(F 32 +−++= Reemplazando el valor de m y escribiendo en términos de x
)1xx)(1xx()x(F 2624 +−++=
)1xx)(1xx)(1xx()x(F 2622 +−+−++= Segunda forma
Completando con: 246 x ,x ,x 246246810 xxxxxx1xx)x(F −−−+++++= 246246810 xxx1xxxxx)x(F −−−+++++=
)1xx(x)1xx()1xx(x)x(F 24224246 ++−+++++=
)1xx)(1xx)(1xx()x1x)(1xx()x(F 26222624 +−+−++=−+++= Ejercicios 06: Factorización Factor común y/o agrupación de términos
1. 3223 y2xyyx2xF −+−=
2. zy)xzyx(xF 222 −+−=
3. 3467 x2xx2xF −+−=
4. 223223 yxyyxxyxF −+−+−=
5. )b2a)(zyx()ba2)(yxz(F +−+−−−−=
6. pmpmpnpn yxyyxxF ++ +++=
7. )nm)(nm(m)nm()nm(3)nm()nm(3F 22 −+−−+−+−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
40
8. )pr(q)rq(pF 2222 +++=
9. )nm(xy)yx(mnF 2222 −+−=
10. )4m()4m)(3m()4m)(3m)(2m(F ++++++++=
11. 1x1yxy yxxyyxF ++ +++=
12. bpapbnnabmam yzxzyyxyxxF +++++= ++
Identidades
13. 22 )xy3()yx3(F −−+=
14. 22 )a3bx()b3ax(F −−−=
15. 16x8xxF 26 −−−=
16. 734437 axaxaxF −−+=
17. 32 aa3a31F −−+=
18. 5232323 yzxzyyxF −−+=
19. 1nmnm2mF 2 ++++=
20. 22 )xm()mx1(F +−+=
21. 642 aa6a128F +−−=
22 22 y4x2y4xy4xF ++++= Aspa simple 23. 3x10x8F 2 −+=
24. 8x2x15F 24 −+=
25. 3x14x5F 36 −−=
26. 32234 ba24ba4ba4F −−=
27. 4)yx(13)yx(12F 2 −−+−=
28. 22 y15xy19x6F ++=
29. 44a4a2 x50x5xF −+= ++
30. 6)1x()1x(F 24 −−+−=
31. 22m2m2 x3x4x4F −−= ++
32. 3033F 1x2x2 −−= ++ Regla de Ruffini 33. 3xx3xF 23 +−−=
34. 2xx2xF 23 −−+= 35. 6x11x6xF 23 +++=
36. 4x3x3x3xF 234 −+−+=
37. 6xx10x4xF 245 +−−+=
38. 14x15x6xF 23 +++=
39. 3x4x5x2F 23 +−−=
40. 1x7x16x12F 23 +++=
41. 4x8x5x10xx2F 2345 −++−−=
42. 1xx9x13x8x12F 2345 −++−−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
41
43. 65x6x12x8F 23 −+−=
44. 1x19x30F 23 −+= Cambio de variable o agrupaciones convenientes 45. 12)2x)(1x)(2x)(3x(F −++−−=
46. 1)4x)(3x)(2x)(1x(F +++++=
47. 3)1x)(2x)(3x)(2x(F +−++−=
48. 63)5x)(3x()1x(F 2 ++−+=
49. )1x)(2x)(3x(x10F +−−+−=
50. 24)4x)(3x)(2x)(1x(F +−+−+=
51. 15x3x3)1xx(F 222 −++++=
52. 1x28x7)6x)(3x)(2x)(1x(F 2 +−+−−+−=
53. 15)6x4x()2x(F 22 −+−−=
54. 1)1x3x()6x5x)(xx(F 2222 +++++++= Quita y pon o reducción a diferencia de cuadrados 55. 1xxF 24 ++= 56. 4224 nnmmF ++= 57. 4224 n9nm2mF ++=
58. 16x12xF 48 +−=
59. 4224 yyx3x4F ++=
60. 9x2xF 24 ++=
61. 44 y4xF +=
62. 444 c64baF +=
63. 4224 y49yx5xF ++=
64. 2244 yx27yxF −+= Sumas y restas especiales 65. 1aaF 5 ++=
66. 1xxF 5 −+= 67. 1xxF 57 −+=
68. 2a)1a(F 5 +++=
69. m)1m(F 5 ++=
70. 1xxF 45 ++= 71. 1xxF 210 ++= 72. 1mmF 810 ++= 73. 1xxF 8 +−= 74. 1xxF 210 −+= Factorizar y simplificar
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
42
75. 33
44
xy8yx8
)yx()yx(E
+
−−+=
76. 44
3333
yx
)yx)(yx()yx)(yx(E
−
+−+−+=
77. )32x4x
64x12x)(
128x24x
64x(E
2
2
2
2
−−
−−
+−
−=
78. 1yx2xyx
1yxyxE
2
2
++−−
−−−=
79. bc2cba
cbab2aE
222
222
−−−
−++= x
222
222
acbc2b
bcac2a
−+−
−+−
80. babcacab
bacbbacaE
2222
322322
+++
−−+=
81. yxyxx
2xxE
34
36
+−−
−+=
82. )4x3)(2x3(
9x27)1x3(E
3
−++−−
=
83. )1x)(xxx(
)1x)(x3x3(E
2234
33
−++
−−=
84. 2
22
x1
)yx()xy1(E
−
+−+=
85. 4242
2442
x)xx1(
)x1()x1(E
−++
−++=
86. 22
222222
y)y2x(xz
)yxz(y)xzy(xE
−−−
−++−+=
87. )nm(xy)yx(mn
)yx()nm()yx()nm(E
2222
2222
+++
−−−++=
88. 22
4224
baba
bba3aE
−−
+−=
89. ][
222222
2222 22
)mn()nm(
)nm(4 )nm()nm( E
−−+
−−−++=
90.
−
−++=2
22
2
22 ) a
b ( -)
b
a ( 4)
a
b
b
a()
a
b
b
a( E
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
43
1.5. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales en donde al menos una letra o variable figura en el denominador.
Notación: Q
P , donde P y Q son polinomios enteros
Ejemplos
cba
1a ,
zx
y3x2 ,
z
yx ,
x
3 ,
yx
yx 42
++−
−++
−+
Clases de fracciones Existen las siguientes clases de fracciones algebraicas: A. Fracción propia Se caracteriza porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador
Ejemplos: , 1x
3x4
3
+
−
1x
3x4
3
+
− y
23
3
yx
2xy
+
+ ( respecto de x )
B. Fracción impropia Se caracteriza porque el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador .
, 2x
xx2
35
+
+
5x4
1x2x3
3
+
+− y
3yx
yx
22
4
−
+ ( respecto de y )
Observación Toda fracción algebraica racional impropia se puede convertir en la suma de un polinomio (cociente) con una fracción la cual es propia a través de la división.
Así: Sea Q
P es una fracción racional impropia
RC . QP += ⇒ Q
RC
Q
P+= , donde
Q
R es fracción propia
Ejemplo 1x
1x3)2x3(
1x
3x2x322
23
−
−++=
−
−+
C. Fracciónes Homogeneas Son fracciones que tienen el mismo denominador
)x1(
x ,
)1x)(1x(
1x5x2 ,
1x
x4 ,
1x
3x2
23
22 −−+−+−
−−
+
D. Fracción Heterogeneas Son fracciones que tienen diferente denominador
4x
2x ,
2x3
5x2 ,
1x
x5 ,
1x
3x22
23
2 +
++−
+−+
P Q
R C
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
44
E. Fracciones equivalentes Son aquellas que teniendo formas diferentes se caracterizan porque siempre tendrán los mismos valores numéricos, para cualquier valor asignado a sus variables, a excepción de aquellos que hagan cero el denominador
Ejemplo 4,3x ; 4x
1
12x7x
3x2
−−≠∀+
≡++
+
Así por ejemplo para 4
1
12
30x =⇒=
para 5
1
20
41x =⇒=
F. Fracciones complejas o compuestas Se caracterizan porque en su numerador o denominador, o en ambos, aparecen otras fracciones algebraicas.
Ejemplos: ,
x
y1
x
y
y
x
,
3
x4
2x
,
5x2
1x2x
x
,
2x
1x3
x5 ,
x3
2x
1x
+
−−
+−+
+−
++
1x
x1x
7x
1x
2
2
−
+−
+
+
G. Fracciones continuas Es un caso particular de las fracciones complejas, que se caracterizan porque en el numerador de cada fracción siempre esta la unidad.
Ejemplo
1x
1x
1x
1
+−
−
H. Fracción irreductible Son aquellas fracciones que se caracterizan porque en el numerador y denominador aparecen expresiones que no tienen ningún factor común( el numerador y denominador son primos entre sí) es decir no admiten simplificación.
Ejemplos 2
3x ,
x
5 ,
1x
3x
++
Signos de una fracción Toda fracción posee tres signos : signo del numerador, signo del denominador y signo de la fracción. El cambio de dos signos de una fracción no altera el signo total de la fracción Ejemplos
1. Q
P
Q
PF
−−
==
2. Q
P
Q
P
Q
PF
−=
−=−=
3. Q
P
Q
P
Q
P
Q
PF
−−
+=−+
−=+−
−=++
+=
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45
4. Q
P
Q
P
Q
P
Q
PG
−+
+=+−
+=++
−=−−
−=
5. 1)ba(
ba
ab
)ab(
ab
baH −=
−−
−=−−
−=−−
=
6. 1)ca)(ab(
)ca)(ab(
)ca)(ab(
)ca)(ab(
)ac)(ab(
)ca)(ba(J =
−−−−
=−−−−−−
=−−−−
=
7. 03x
5
3x
5
x3
5
3x
5K =
−−
−=
−+
−=
Observaciones - En toda fracción podrán efectuarse tres formas de jugar con los signos y tendremos como resultado otras fracciones equivalentes.
Ejemplo
(3) (2) (1)
7x
2x
7x
x2
x7
2x
x7
x2
−−
−=−−
+=−−
+=−−
−
- Si a los componentes de una fracción se les multiplica o divide por una expresión diferente de cero tendremos como resultado otras fracciones equivalentes.
Ejemplo 0m ,
m
bm
a
bm
am
b
aF ≠∀===
Simplificación de fracciones Simplificar una fracción es transformarla en otra equivalente e irreductible. Para simplificar una fracción se sugiere descomponer, tanto numerador y denominador en sus factores primos(factorizarlos) para luego eliminar sus factores comunes. Ejemplo
Simplificar: 1x
1xx
)1xx)(1x(
)1xx)(1xx(
1x
1xxF
2
2
22
3
24
+++
=+−+
+−++=
+
++=
Operaciones con fracciones - Para sumar o restar fracciones es necesario hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplos
1. Efectuar y simplificar: 6xx
7x4
2x
3
3x
2M
2 −−
−−
++
−=
Solución
)2x)(3x(
7x4
2x
3
3x
2
6xx
7x4
2x
3
3x
2M
2 +−−
−+
+−
=−−
−−
++
−= el m.c.m. es )2x)(3x( +−
3x
1
)2x)(3x(
2x
)2x)(3x(
7x49x34x2
)2x)(3x(
)7x4()3x(3)2x(2M
−=
+−+
=+−
+−−++=
+−−−−++
=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
46
2. Efectuar y simplificar: 1x
x3
1x
x4
1x
1M
3
2
2 −+
−−
−=
Solución
)1xx)(1x(
x3
)1x)(1x(
x4
1x
1
1x
x3
1x
x4
1x
1M
2
2
3
2
2 ++−+
+−−
−=
−+
−−
−=
el m.c.m. es )1xx)(1x)(1x( 2 ++−+
)1xx)(1x)(1x(
1x2x
)1xx)(1x)(1x(
x3x3x4x4x41xxxxxM
2
2
2
2323223
+++−
+−=
+++−
++−−−+++++=
)1xx)(1x(
1x
)1xx)(1x)(1x(
)1x)(1x(M
22 +++−
=+++−
−−=
3. Efectuar y simplificar: 2x22
1
4x4
1
2x2
3M
−−
−−
+=
Solución
2x2
1
4x4
1
2x2
3M
2 −+
−−
+=
)1x)(1x(2
1
)1x(4
1
)1x(2
3
)1x(2
1
)1x(4
1
)1x(2
3M
2 +−+
−−
+=
−+
−−
+=
el m.c.m. es )1x)(1x(4 +−
)1x(4
5
)1x)(1x(4
)1x(5
)1x)(1x(4
5x5
)1x)(1x(4
21x6x6
)1x)(1x(4
2)1x()1x(6M
+=
+−−
=+−
−=
+−+−−−
=−+
++−−=
4. Efectuar y simplificar: 222 x28
1
)xx44(4
5
x3x1212
4M
−+
++−
+−=
Solución
)4x(2
1
)4x4x(4
5
)4x4x(3
4M
222 −−
++−
+−=
)2x)(2x(2
1
)2x(4
5
)2x(3
4M
22 +−−
+−
−=
el m.c.m. es 22 )2x()2x(12 +−
22
222
22
222
)2x()2x(12
24x6)4x4x(15)4x4x(16
)2x()2x(12
)4x(6)2x(15)2x(16M
+−
+−+−−++=
+−
−−−−+=
22
2
22
222
)2x()2x(12
28x124x5
)2x()2x(12
24x660x60x1564x64x16M
+−
++−=
+−
+−−+−++=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
47
- Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y denominadores entre si. Ejemplos
1. Simplificar )50x10
7x7)(
14
25x5(M
+++
=
Solución
4
1x
)5x)(10(14
)1x(7 )5x(5
)50x10(14
)7x7)(25x5()
50x10
7x7)(
14
25x5(M
+=
+++
=+
++=
+++
=
2. Simplificar )4x2
25x)(
30xx
x6)(
15x3
6x5x(M
2
2
2
−−
−−−+−
=
Solución
6x
)3x(x
))2x( 2( )5x)(6x)(5x(3
)5x)(5x)(x6)(2x)(3x(
)4x2)(30xx)(15x3(
)25x)(x6)(6x5x(M
2
22
−−
=−+−−+−−−
=−−−−
−+−=
3. Simplificar )4x
52x)(
1x
53x(M
++−
−−+=
Solución
)4x)(1x(
)3x2x)(8x2x()
4x
3x2x)(
1x
8x2x()
4x
52x)(
1x
53x(M
2222
+−−+−+
=+
−+−
−+=
++−
−−+=
)3x)(2x()4x)(1x(
)1x)(3x)(2x)(4x(M +−=
+−−+−+
=
- Para dividir fracciones, se invierte la fracción del divisor y se procede como en la multiplicación. Ejemplos
1. Simplificar 6x2
x5x5
x6x2
xxM
2
2
3
+−
÷+
−=
Solución
)1x(x5 )3x( x2
)3x(2 )1x(x
)x5x5)(x6x2(
6)x)(2x-x()
x5x5
6x2)(
x6x2
xx(
6x2
x5x5
x6x2
xxM
2
22
3
22
32
2
3
−++−
=−+
+=
−
+
+
−=
+−
÷+
−=
x5
)1x(
)1x(x5 )3x( x2
)3x(2 )1x)(1x(xM
+=
−+++−
=
2. Simplificar 56xx
x25x5x
64x
125xM
2
23
2
3
−+
+−÷
−
+=
Solución
)x25x5x)(64x(
)56xx)(125x()
x25x5x
56xx( )
64x
125x(
56xx
x25x5x
64x
125xM
232
23
23
2
2
3
2
23
2
3
+−−
−++=
+−
−+
−
+=
−+
+−÷
−
+=
)8x(x
)7x)(5x(
)25x5x(x )8x)(8x(
)7x)(8x)(25x5x)(5x(M
2
2
−++
=+−+−
−++−+=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
48
3. Simplificar )x
1x1x( )
2x
1x2x(M 2
2
−−+÷
+
−−=
Solución
)x
1x()
2x
1x()
x
1xxx()
2x
1x2x2x()
x
1x1x( )
2x
1x2x(M
3
2
33
2
32
2
+÷
+
+=
+−+÷
+
+−+=
−−+÷
+
−−=
2x
x
)1x)(2x(
x )1x()
1x
x)(
2x
1x(M
232
3
32
3
+=
++
+=
++
+=
Simplificación de fracciones complejas Regla - Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fracción compleja - Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador. Ejemplos
1. simplificar
x
31
3
x
x
3
M
+
−=
Solución
Efectuando en el numerador: x3
x9
3
x
x
3 2−=−
Efectuando en el denominador: x
3x
x
31
+=+
Dividiendo tenemos
x3
x3
)3x(x3
)x3)(x3(
)3x( x3
x )x9(
x
3xx3
x92
2
−=
++−
=+
−=
+
−
2. simplificar
2x
166x
2x
121x
M
−++
−−−
=
Solución Efectuando en el numerador y denominador tenemos:
)4x4x(
)10x3x(
)2x)(4x4x(
)2x)(10x3x(
2x
4x4x
2x
10x3x
2x
16)2x)(6x(2x
12)2x)(1x(
2x
166x
2x
121x
M2
2
2
2
2
2
++
−−=
−++
−−−=
−++
−−−
=
−+−+
−−−−
=
−++
−−−
=
2x
5x
)2x)(2x(
)2x)(5x(M
+−
=+++−
=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
49
3. simplificar
x
11
11
1M
−+
=
Solución Este tipo de fracciones se efectúa de abajo hacia arriba, como veremos en el desarrollo
1x2
1x
1x
1x2
1
1x
x1x
1
1x
x1
1
x
1x
11
1
x
11
11
1M
−−
=
−−
=
−+−
=
−+
=
−+
=
−+
=
Fracciones parciales Hemos estudiado que dada una suma o resta de fracciones algebraicas racionales se pueden reducir a una sola fracción, cuyo denominador es el mínimo común múltiplo de las fracciones dadas. Así tenemos:
(1) )2x)(3x(
7x6
)2x)(3x(
)3x()2x(5
2x
1
3x
5
+−+
=+−−++
=+
+−
(2) 222 )1x(
3x2
)1x(
x)1x(3
)1x(
x
1x
3
−−
=−
−−=
−−
−
(3) )1xx)(1x(x
2x3x
)1xx)(1x(x
)1xx)(1x(2)1x(x)1xx(x2
x
2
1xx
1
1x
22
2
2
22
2 +−+
−+−=
+−+
+−+−+++−=−
+−+
+
En algunos casos es necesario realizar el proceso inverso, es decir dada una fracción algebraica racional escribirla como una suma de fracciones parciales o simples, a este proceso se le llama descomposición de una fracción en suma de fracciones parciales. Para descomponer una fracción en fracciones parciales, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones: (1) La fracción dada debe ser una fracción propia, es decir, el grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador, si no lo fuera, se efectúa la división, de modo que se obtenga un polinomio entero más una fracción propia.
Así: 4x
7x42x
4x
1x2x22
23
−
+++=
−
−+
(2) La fracción debe ser una fracción irreductible, si no lo fuera, se realiza la simplificación.
Así: 6xx
2x
)6xx)(1x(
)2x)(1x(
)6xx)(1x(
2xx222
2
−+
+=
++−
+−=
−+−
−+
(3) La fracción dada debe tener como denominador un polinomio que pueda ser factorizado. Por lo general el número de factores del denominador da el número de fracciones simples o parciales en que se descompone la fracción dada.
Así: )3x)(1x)(1x(
5x3x4
3xx3x
5x3x4 2
23
2
+−+−+
=−−+
−+ debe tener tres fracciones parciales
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
50
En la descomposición de fracciones parciales se presentan los siguientes casos: Primer caso: Denominador con factores de primer grado no repetidos. Para cada factor de primer grado diferente de la forma )ax( ± en el denominador, corresponde una fracción parcial de la forma:
ax
A
± , donde A es una constante a determinar.
Segundo caso: Denominador con factores de primer grado repetidos.
- Para cualquier factor lineal )ax( ± que se presenta dos veces ][ 2)ax( ± en el denominador,
corresponde dos fracciones parciales de la forma:
ax
A1
± y
2
2
)ax(
A
± , donde 1A y 2A son las constantes a determinar.
- Si )ax( ± se presenta tres veces ][ 3)ax( ± en el denominador, corresponde tres fracciones
parciales de la forma:
ax
A1
± ,
2
2
)ax(
A
± y
3
3
)ax(
A
±, donde 1A , 2A y 3A son las constantes a determinar
- Si )ax( ± se presenta n veces ][ n)ax( ± en el denominador, corresponde n fracciones parciales de la forma:
ax
A1
± ,
2
2
)ax(
A
± ,
3
3
)ax(
A
±, … ,
n
n
)ax(
A
± , donde 1A , 2A , 3A , … , nA son las constantes
a determinar Tercer caso: Denominador con factores de segundo grado no repetidos.
Para cada factor cuadrático diferente de la forma )baxx( 2 ++ en el denominador, corresponde
una fracción parcial de la forma:
baxx
BAx2 ++
+ , donde A y B son constantes a determinar.
Cuarto caso: Denominador con factores de segundo grado repetidos.
- Para cualquier factor cuadrático )baxx( 2 ++ que se presenta dos veces ][ 22 )baxx( ++ en el
denominador, corresponde dos fracciones parciales de la forma:
baxx
BxA2
11
++
+ y
22
22
)baxx(
BxA
++
+ , donde 1A , 2A , 1B y 2B son las constantes a determinar.
- Si )baxx( 2 ++ se presenta tres veces ][ 32 )baxx( ++ en el denominador, corresponde tres fracciones parciales de la forma:
baxx
BxA2
11
++
+ ,
22
22
)baxx(
BxA
++
+ y
32
33
)baxx(
BxA
++
+ , donde 1A , 2A , 3A , 1B , 2B y 3B son las
constantes a determinar. - Si )baxx( 2 ++ se presenta n veces ][ n2 )baxx( ++ en el denominador, corresponde n
fracciones parciales de la forma:
baxx
BxA2
11
++
+ ,
22
22
)baxx(
BxA
++
+ ,
32
33
)baxx(
BxA
++
+ , … ,
n2
nn
)baxx(
BxA
++
+
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
51
donde 1A , 2A , 3A , …, nA , 1B , 2B , 3B , …, nB son las constantes a determinar, cuyos valores
se calculan utilizando las condiciones de los polinomios idénticos ( dando valores adecuados a la variable) Observación - Los factores lineales que aparecen en el denominador de las fracciones a descomponer pueden ser de la forma )bax( ± con 1a ≠ .
- Los factores cuadráticos que aparecen en el denominador de las fracciones a descomponer pueden ser de la forma )cbxax( 2 ++ con 1a ≠ . Ejemplos
1. Descomponer en fracciones parciales: 6xx
7x62 −−
+
Solución Factorizando el denominador
)2x)(3x(
7x6
6xx
7x62 +−
+=
−−
+
Como se tiene en el denominador dos factores lineales no repetidos, a cada uno le corresponde una fracción simple, entonces:
2x
B
3x
A
6xx
7x62 +
+−
=−−
+
donde A y B son independientes de x cuyos valores debemos hallar. Efectuando en el segundo miembro
6xx
)3x(B)2x(A
6xx
7x622 −−
−++=
−−
+
Quitando denominador tenemos )3x(B)2x(A7x6 −++=+
Aplicando criterio de polinomios idénticos y dando valores convenientes a x para hallar las constantes A y B tenemos: Para 2x −= se tiene 1B B57)2(6 =⇒−=+−
Para 3x = se tiene 5A A57)3(6 =⇒=+
Luego 2x
1
3x
5
6xx
7x62 +
+−
=−−
+
2. Descomponer en fracciones parciales: 3x5x2
6x52 −+
−
Solución Factorizando el denominador
)3x)(1x2(
6x5
3x5x2
6x52 +−
−=
−+
−
Como se tiene en el denominador dos factores lineales no repetidos, a cada uno le corresponde una fracción simple, entonces:
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
52
3x
B
1x2
A
3x5x2
6x52 +
+−
=−+
−
Efectuando en el segundo miembro
1x2
)1x2(B)3x(A
3x5x2
6x52 −
−++=
−+
−
Quitando denominadores tenemos )1x2(B)3x(A6x5 −++=−
Damos valores a x para determinar A y B Para 3x −= se tiene 3B B76)3(5 =⇒−=−−
Para 2
1x = se tiene 1A A
2
76)
2
1(5 −=⇒=−
Luego 3x
3
1x2
1
3x5x2
6x52 +
+−
−=
−+
−
3. Descomponer 4x
1x2x2
23
−
−+ en fracciones parciales
Solución Por ser la fracción impropia, efectuamos la división y tenemos
4x
7x42x
4x
1x2x22
23
−
+++=
−
−+
Ahora descomponemos en fracciones parciales la fracción propia 4x
7x42 −
+
Factorizando el denominador
)2x)(2x(
7x4
4x
7x42 +−
+=
−
+
El denominador tiene dos factores lineales no repetidos, luego se tendrán dos fracciones parciales
2x
B
2x
A
)2x)(2x(
7x4
++
−=
+−+
Efectuando en el segundo miembro
)2x)(2x(
)2x(B)2x(A
)2x)(2x(
7x4
+−−++
=+−
+
Quitando denominadores tenemos )2x(B)2x(A7x4 −++=+
Damos valores a x para determinar A y B
Para 2x −= se tiene 4
1B B47)2(4 =⇒−=+−
Para 2x = se tiene 4
15A A47)2(4 =⇒=+
Luego )2x(4
1
)2x(4
15
2x
4/1
2x
4/15
)2x)(2x(
7x4
++
−=
++
−=
+−+
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
53
Finalmente )2x(4
1
)2x(4
152x
4x
7x42x
4x
1x2x22
23
−+
−++=
−+
++=−
−+
4. Descomponer en fracciones parciales: 4x3x
8x15x423
2
+−
+−
Solución Factorizando el denominador
2
2
23
2
)2x)(1x(
8x15x4
4x3x
8x15x4
−+
+−=
+−
+−
El denominador presenta un factor de primer grado no repetido y un factor de primer grado repetido dos veces, por lo cual corresponden tres fracciones parciales.
223
2
)2x(
C
)2x(
B
1x
A
4x3x
8x15x4
−+
−+
+=
+−
+−
Desarrollando en el segundo miembro
2
2
23
2
)2x)(1x(
)1x(C)2x)(1x(B)2x(A
4x3x
8x15x4
−+
++−++−=
+−
+−
Aplicando criterio de polinomios idénticos y dando valores convenientes a x , hallamos las constantes A , B y C .
Para 2x = se tiene 2C C38)2(15)2(4 2 −=⇒=+−
Para 1x −= se tiene 3A A98)1(15)1(4 2 =⇒=+−−−
Para 2x = se tiene 1B CB2A48)0(15)0(4 2 =⇒+−=+−
Luego 223
2
)2x(
2
)2x(
1
1x
3
4x3x
8x15x4
−−
−+
+=
+−
+−
5. Descomponer en fracciones parciales: 2
2
)1x(x3
5x
−
+
Solución El denominador presenta un factor de primer grado no repetido y otro repetido, entonces se establece:
−+
−+=
−
+
)1x(
C
1x
B
x
A
3
1
)1x(x3
5x22
2
También se puede escribir
2
2
2
2
)1x(x
Cx)1x(Bx)1x(A
)1x(x
5x
−
+−+−=
−
+
Eliminando denominador tenemos
Cx)1x(Bx)1x(A5x 22 +−+−=+ Aplicando criterio de polinomios idénticos y dando valores convenientes a x para hallar las constantes A , B y C tenemos: Para 0x = se tiene A5 = Para 1x = se tiene 6C C51 =⇒=+
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
54
Para 2x = se tiene 4B C2B2A54 −=⇒++=+
Luego 222
2
)1x(
2
)1x(3
4
x3
5
)1x(
6
1x
4
x
5
3
1
)1x(x3
5x
−+
−−=
−+
−−
+=−
+
6. Transformar en fracciones parciales: )3x)(1x(
1x4x2
2
−−
−−
Solución Por tener el denominador un factor de primer grado y uno de segundo grado, se originan las siguientes fracciones parciales
3x
CBx
1x
A
)3x)(1x(
1x4x22
2
−
++
−=
−−
−−
Efectuando en el segundo miembro
)3x)(1x(
)1x)(CBx()3x(A
)3x)(1x(
1x4x2
2
2
2
−−
−++−=
−−
−−
Eliminando denominadores tenemos
)1x)(CBx()3x(A1x4x 22 −++−=−−
Hallamos los valores de A , B y C de dos formas Primera forma Para 1x = se tiene 2A A24 =⇒−=− Para 0x = se tiene 5C CA31 −=⇒−−=− Para 2x = se tiene 1B CB2A5 −=⇒++=− Segunda forma
)1x)(CBx()3x(A1x4x 22 −++−=−−
CA3x)CB(x)BA(1x4x 22 −−+−++=−−
Por identidad de polinomios igualamos los coeficientes de los términos de igual grado 1BA =+ …… ) I (
4CB −=+− …… ) II (
1CA3 −=−− ….. ) III ( Resolviendo se obtiene
2A = , 1B −= y 5C −=
Luego 3x
5x
1x
2
3x
5x
1x
2
)3x)(1x(
1x4x222
2
−
+−
−=
−
−−+
−=
−−
−−
7. Transformar en fracciones parciales: )3x)(1xx(
1x6x322
3
+++
−+
Solución El denominador presenta dos factores cuadráticos diferentes, por lo tanto le corresponde dos fracciones parciales.
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
55
3x
DCx
1xx
BAx
)3x)(1xx(
1x6x32222
3
+
++
++
+=
+++
−+
Efectuando en el segundo miembro
)3x)(1xx(
)1xx)(DCx()3x)(BAx(
)3x)(1xx(
1x6x322
22
22
3
+++
++++++=
+++
−+
Eliminando denominadores
)1xx)(DCx()3x)(BAx(1x6x3 223 ++++++=−+
)DB3(x)DCA3(x)DCB(x)CA(1x6x3 233 +++++++++=−+
Por identidad de polinomios igualamos los coeficientes de los términos de igual grado. 3CA =+ …… ) I (
0DCB =++ …… ) II (
6DCA3 =++ …… ) III (
1DB3 −=+ …… ) IV (
)II( ) III ( − miembro a miembro 6BA3 =− ….. ) (α
)IV( ) I ( + : 2B2A 2DCB3A =+⇒=+++ ….. ) ( β
De ) (α y ) ( β : 2A = , 0B =
En ) I ( : 1C =
En ) II ( : 1D −=
Finalmente 3x
1x
1xx
x2
)3x)(1xx(
1x6x32222
3
+
−+
++=
+++
−+
8. Descomponer en fracciones parciales: 4x4x
7x12x3x524
23
++
−+−
Solución Factorizando el denominador
22
23
24
23
)2x(
7x12x3x5
4x4x
7x12x3x5
+
−+−=
++
−+−
El denominador tiene un factor de segundo grado repetido dos veces, por lo cual corresponde dos fracciones parciales.
22224
23
)2x(
DCx
2x
BAx
4x4x
7x12x3x5
+
++
+
+=
++
−+−
Efectuando en el segundo miembro
22
2
24
23
)2x(
)DCx()2x)(BAx(
4x4x
7x12x3x5
+
++++=
++
−+−
Quitando denominadores
)DCx()2x)(BAx(7x12x3x5 223 ++++=−+−
DB2x)CA2(BxAx7x12x3x5 2323 +++++=−+− Por identidad de polinomios igualamos los coeficientes de los términos de igual grado. Para 3x se tiene 5A =
Para 2x se tiene 3B −=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
56
Para x se tiene 2C 12CA2 =⇒=+
Para 0x se tiene 1D 7DB2 −=⇒−=+
Luego 22224
23
)2x(
1x2
2x
3x5
4x4x
7x12x3x5
+
−+
+
−=
++
−+−
Ejercicios 07: Fracciones algebraicas Efectuar y simplificar
1. 12
4x3
6
x2
3
1xF
+++
−=
2. 30
x4y
15
yx2
12
yxF
−+
++
−=
3. 22
22
yx5
xy4yx
xy3
y3xF
−+
+=
4. 2
2
x6
2x
x2
2x
5
3F
++
++=
5. x44
7
1x
2
2x2
1F
−−
−−
+=
6. 22 x3
1
x
2x
x2
x1F +
++
−=
7. ax
xa2
ya
ay
xy
yxF
−+
−+
−=
8. 1x2x
2x3x
1x
3xx2F
2
2
2
2
++
++−
−
−+=
9. 22
2
3
22
yx
yxy
xy
ay
xy
1F
++
−+=
10. )xy(3
x12y2xy4
yx
x2y
)yx(3
x7F
22
22
−
−+−
−−
−+
=
11. 6xx
7x4
2x
3
3x
2F
2 −−
−−
++
−=
12. 4m4
4m
2m2
1m
1m
3mF
2 −−
++−
+−
+=
13. 4x5x
5x
5x4x
4x
20xx
1xF
222 ++
++
−−
+−
−−
+=
14. 8a16
a2
2a7a6
a
8a12
aF
2
2
−+
+−−
−=
15. 7y8y
2
yy514
1
2yy
yF
222 ++−
−−+
−−=
16. 1x
1x
1xx
3x
1x
xF
23
3
+−
−+−
++
+=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
57
17. 33
2
22 yx
x3
yx
1
yxyx
yxF
++
+−
+−
+=
18. 25x
x
25x10x
1
5x
1F
22 −−
+−+
−=
19. 22
2
2
2
xx69
x6
xx69
x
x9
x1F
+−−
++−
−
−=
20. )1x()1x(
1x3
1x
3x
xx21
x
1x
3F
222 +−−
+−−
−+−
−+
=
21. )yz)(xz(
za
)zy)(xy(
ya
)zx)(yx(
xaF
−−+
+−−
++
−−+
=
22. )ba
x
ab
2
b
1
a
1( x)b(a )
ab
x
b
1
a
1( F
22
2
22−++÷
++−+=
23. )xyyx
yxy2x( )
yxy2x
yx( )
yxy
xyx ( F
22
22
22
22
2
2
+
+−÷
++
−÷
+
−=
24. )x1x
x2( )
1x
xx2)(x
1x
3x(F
2
−−
÷
+−−
−
+=
25. )yxy816x
y27x( )
yxy28x
y4x( )
y3xy7y2x
xy9yx6x( F
22
33
22
22
322
223
++
+÷
−−
−
++
++=
26. ))x3(x
x9x( )
x33)(x
x27( )
x-9
)x3(x ( F
22
24
2
3
2
22
+
−÷
−+
−−=
Simplificar las siguientes fracciones complejas
27.
x
11
x
1x
F
2
−
−= 28.
x
y1
x
y
y
x
F
+
−= 29.
x
21
x
44x
F
−
+−=
30.
2x
7
x
81
x
145x
F
++
−+= 31.
2
22
m
n
m
1
n
1m
n
n
m
F
++
−= 32.
)x1
x1( x1
x1
x1x
F
+−
−
+−
+=
33.
y
x
yx
yx
yx
y
yx
x
F
+−+
+−
−= 34.
yx
xy
y
x
x
1
y
x
F3
2
−−
−
+= 35.
xyx
1
)yx
x( )1
x
y
x
y(
F
2
332
2
−
−++
=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
58
36.
x1
11
11
1xF
−−
−−= 37.
a
1b
1b
ab
11
ab
1
b
1
F
+
+−
+
+= 38.
x
11
12
1x
x
11
11
1xF
−−
+÷
+−
−=
39.
)12x-y
2y( )
yx8
yy8 (
yxy2x4
xy123
F
33
33
22
−+−
+−+
= 40. ) 5m4m
42mm ( )
36m
1m
30m11m
7m8m
(F2
2
2
2
2
2
−−
−−÷
−
−+−
+−
=
Resolver
41. Reducir a su mínima expresión 1xx
1xx2x
1xx
1xxF
510
101520
510
1020
++
−+++
+−
++= dando luego la
suma de coeficientes de la expresión resultante.
42. Si 2x
y
y
x=+ hallar 432 )
y
x()
y
x()
y
x(E ++=
43. Sabiendo que 0cba =++ , simplificar la siguiente fracción : 444
2222
cba
)cba(E
++
++=
44. Si se verifica que: 0xz
1
zy
1
yx
1=
−+
−+
− la fracción
zxyzxy
zyx 222
++++
se reduce a :
45. Simplificar 1x2x2x
1)3x)(2x)(1x(xF
23 −−+
++++=
46. Luego de simplificar: )...x3m
x1)(
x2m
x1)(
xm
x1(
++
++
++ )1n( − fracciones. Indicar el
numerador de la fracción resultante. Descomponer en fracciones parciales
47. 6xx
1x82 −+
− 48.
12x4x
34x2 −−
+
49. x5x4x
12x523 −−
− 50.
2
2
)3x(x
36x10x
−
−+
51. 23
4
xx
1x2x
−
−+ 52.
)1x)(3x(
5x4x2
2
−+
−−
53. )6x5x)(1x(4
x32 +−+
54. 2xx
5xx324
23
−−
+−
55. 3
2
)1x(
3x2x
+
+− 56.
5
234
)1x(
2x4x5x2
−
++−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
59
57. 1x
13 −
58. 1xx
124 ++
1.6. TEORÍA DE EXPONENTES Tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual se define así: Potenciación Es la operación matemática que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente; al resultado de esta operación se le denomina potencia. Así: =na
444 3444 21factores n
P)a( . . . )a .( )a .( )a( = , donde a : base , n : exponente y Pa n = : Potencia
Además Rn , RPa ∈∈∧
Ejemplos: 1. 128)2)(2)(2)(2)(2)(2)(2(2
factores 7
7 ==444 3444 21
2. 625)5)(5)(5)(5(5
factores 4
4 ==43421
3. )y)(y)(y)(y)(y(y5 =
4. )m2
1)(m
2
1)(m
2
1()m
2
1( 3 −−−=−
5. 81)3)(3)(3)(3(34 −=−=−
6. 81)3)(3)(3)(3()3( 4 =−−−−=− Radicación La radicación es la operación que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cuál es único en R .
Así: ab ba nn =⇔= , 2n Nn ≥∧∈
Donde: : símbolo del radical
:n índice :a radicando o cantidad subradical :b raíz enésima
Además tener en cuenta que n a existe como número real 0a ≥⇔ y n es número par. Observación Regla de signos:
* )()a( par +=+ * )()a( impar +=+
* )()a( par +=− * )()a( impar −=− - Radicación
* )(apar +=+ * =−par
a número complejo
* )(aimpar +=+ * )(a
impar −=−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
60
Leyes de exponentes Es el conjunto de definiciones y teoremas que estudian a las diferentes relaciones, operaciones y transformaciones que se pueden realizar con los exponentes. También podemos decir, son aquellas definiciones, teoremas y notas referidas a las operaciones de potenciación y radicación. - Producto de potencias de igual base: nmnm aaa += Se escribe la misma base, y como exponente se escribe la suma de los exponentes. Ejemplos: 1. 1037 xxx = 2. 77534875348 xxxxxxx == −+−+−− 3. 81333 3 3 3 423542354 === −−+−−
4. 1111623623 5)5()5()5()5()5( −=−=−=−−− ++
5. 1212642642 x)x()x()x()x()x( =−=−=−−− ++
6. 1n43n1n23n3n1n23n 555 5 5 +++++−++− == Observación
2)x(− debe interpretarse como 2)x.1(− . Si no existe el paréntesis, el signo menos no resulta
afectado por el exponente. Así por ejemplo 2x− no significa 2)x(− , pero 3)x(− es lo mismo
que 3x− .
- Cociente de potencias de igual base: nm
n
m
aa
a −= , 0a ≠∀
Se escribe la misma base, y como exponente se escribe la diferencia de los exponentes. Ejemplos:
1. 358
5
8
xxx
x== −
2. 927)2(7
2
7
xxxx
x=== +−−
−
3. 9333
3 235
3
5
=== −
4. 162222
2
2
2
2
2.2 41x25x2)1x2(5x2
1x2
5x2
1x2
3x2x
1x2
3x2x
====== −−++−++
+
+
+++
+
++
- Potencia de exponente cero: 1a 0 = , 0a ≠∀ Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, es igual a la unidad. Ejemplos: 1. 130 =
2. 130 −=−
3. 1)3( 0 =−
4. 16444 2282 10
===
5. 3452452000 373 =−+=−+
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
61
6. 21111) 5(32)2
1( 0000 =+−+=+−+−
- Potencia de exponente negativo: n
n
a
1a =− , 0a ≠∀
Toda cantidad diferente de cero elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es igual a la misma expresión pero con exponente hecho positivo. Ejemplos
1. 3
3
x
1x =−
2. 5
5x
x
1 −=
3. 3
5
5
3
a
a
a
a=
−
−
4. 5,02
12 1 ==−
5. 2
3
22
3
3
22
a
b25,0
a 2
b
b
a2 ==
−
−−
Observación - :00 Indeterminado ó :00 no definido en R
- :0 n− no definido )Nn( ∈ - Potencia de un producto: nnn ba)b a( =
Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia Ejemplos:
1. 444 yx)y x( =
2. 3333 )z y x(zyx =
3. xxxxx 24)3 2 4(324 =⋅⋅=⋅⋅
4. 36
1
)4)(9(
1
2 3
123)2 3(
22
222 ===⋅=⋅ −−−
5. 222222 yx3yx) 3()xy 3( ==
- Potencia de un cociente: n
nn
b
a
b
a=
, 0b ≠∀
Para efectuar se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia Ejemplos:
1. 5
55
y
x
y
x=
2. n
n
n
n
24
8
4
8=
=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
62
3. 2
22
2
22
22
22222
z9
yx20
z9
yx)5(4
z)3(
yx)5()2(
z3
xy52===
- Potencia de un cociente de exponente negativo: n
nnn
a
b
a
b
b
a=
=
−
, 0b,a ≠∀
Para efectuar, se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior. Ejemplos:
1. 8
27
2
3
2
3
3
23
333
==
=
−
2. .2
2
2
2
22
2222
x32
y
x64
y2
x8
y) 2(
x8
y 2
y 2
x8===
=
−
3. 95642741
4
1
3
1
2
4
1
3
1
2
1432432
=++=
+
+
=
+
+
−−−
- Potencia de una potencia: mnmnnmnm )a(aa)a( === ⋅⋅ Para realizar esta operación se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de los exponentes. Ejemplos 1. 642)2( 623 ==
2. 5
15)5( 12/12 == −−
3. [ ] 244 32 x)x( =−− Observación
[ ]{ } q p n mqp nm a )a( =
- Raíz de una potencia: n
m
n m aa = Para extraer la raíz de una potencia se escribe la misma base, y como exponente la división del exponente de la potencia entre el índice del radical. Ejemplos
1. 3
5
3 5 xx =
2. 55 25/2
5/25 2
9
1
3
1
3
133 ==== −−
3. 16444 24
8
4 8 ===
4. 2222 2
1
6
3
6 3 ===
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
63
- Exponente fraccionario: n mn
m
aa = Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del exponente fraccionario. Ejemplos
1. 244 2/1 ==
2. 42)8(8)8( 2233 23/12 ====
3. 5 335/35/35/3 zy)yz(zy ==
- Raíz de un producto: nnn b ab a = Para efectuar se extrae la raíz de cada factor Ejemplos
1. 3/13/233 23 2 yxy xy x ==
2. zyxz y xz y xzyx 525/55/255/105 55 255 105 52510 ===
3. cbacbac b acba 42/14/42/84/24 44 84 24 482 ===
- Raíz de un cociente: n
n
n
b
a
b
a= , 0b ≠∀
Se extrae la raíz tanto del numerador como del denominador Ejemplos
1. 5
5
5
y
x
y
x=
2. 4
4/1
2/8
4/1
4 8
4
48 y
x
y
x
y
x
y
x===
3. 375
3/15
5/354/20
5 15
5 355 20
5 15
5 3520
515
3520
zyxz
yx
z
y x
z
yx
z
yx −====
4. 5
2
625
16
625
16 4
4 ==
- Potencia de una raíz: ( ) n mm
n a a = Para efectuar se eleva la cantidad subradical al exponente de la potencia Ejemplos
1. ( ) 2/14/24 22
4 xxxx ===
2. ( ) 10863/303/243/183 3024183 65436
3 543 cbacbacba)cba(cba ====
- Raíz de una raíz: n mm n aa = Para realizar esta operación se escribe una raíz cuyo índice es el producto de los índices de las raíces. Ejemplos
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
64
1. 155 3 xx =
2. 212/2412/1212 24124 3 2412 xyy xy xyx ===
3. 216/3216 3232 xxxx ===
Observación
- q p n mm n p q
xx =
- Introducción de un factor dentro de un radical: n n mnm baba = Para efectuar se eleva el factor al índice de la raíz. Ejemplos
1. 123)4(3)2(32 2 ===
2. 4 24 244 2 x243x)3)(3(x3 3 ==
3. 3 273 263 2323 22 yxxyxxy)x(xyx ===
4. 5 22195 2420155 2454535 2443 yxyxyxyx )y( )x(yxyx ===
5. 3 223 3263 48 y x yx yyxxyx ==
6. 8 238 )2(114 114 3)4(24 32 xx xx xxx xx x x ==== Observación
p m n
cp)bm a(
n m p cba xx x x
++
= Ejemplo
6/530/25)2)(3)(5(
52)4)3(2(
5 3 542 xxxx x x ===++
- Ampliación del índice de una raíz: nk mkn m aa = Para efectuar se multiplica tanto el índice de la raíz como el exponente de la cantidad subradical por un número diferente de cero. Ejemplos
1. 44 2 422 ==
2. 15 10)5(3 )5(23 2 xxx ==
3. 8 46)2(4 )2(2)2(34 23 yxyxyx ==
Observación Las ecuaciones exponenciales son igualdades relativas que se verifican para determinados valores de sus variables o incógnitas, las cuales se denominan raíces o soluciones. En estas ecuaciones la incógnita figura en el exponente o en la base. Se resuelven usando las leyes de exponentes. 1. Ley de bases iguales
yx aa yx =⇒= ; 0a ≠∀
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
65
2. Ley de exponentes iguales yx yx aa =⇒= ; 0a ≠∀
3. Ley de semejanza o analogía ax ax ax =⇒= ; 0a ≠∀ Ejemplos 1. Resolver: 2x1x 2781 +− = Solución
2x1x 2781 +− = buscando bases iguales
2x31x4 )3()3( +− = )2x(3)1x(4 33 +− =
igualando exponentes )2x(3)1x(4 +=−
6x34x4 +=− 10x = 2. Resolver: 212 )64(x =
Solución 212 )64(x =
buscando exponentes iguales 2612 )2(x =
1212 2x = igualando bases 2x =
3. hallar "x" en : 4x 5,0x =
Solución 4x 5,0x =
4
1
x
2
1x
= ; como 2
1
16
1 4
1
=
se tiene:
=
=16
14
1
4
1
x
16
1
16
1x
16
1x =⇒
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
66
Ejercicios 08: Teoría de exponentes Simplificar
1.
−++−
=
−
−− 2
100
2
13)a3(a32
1 E , 0a ≠
2. 2/77325
4
25 .
5
2 .
125
8 .
4
25 .
2
5E
−−
=
3. 5/14/13/1
32
1
16
1
8
1E
−−−
−+
+
−=
4. 7
2
7
3
7
2
7
1
) 2
1 4 ( )
4
1 2 ( ) 9 ( ) 2 ( E ++=
5.
=
23/1
6
4/1
3/23/2
a
a a E
6. 2/1
22334
5/1
3/53/2
410
1
2
1
3
1
5
1
4
1
81
2)27()27(
E−−−−−−
−−−
+
−−
−
−
−+
+−+−=
7.
3
222
232
90 x 30 x 15
52 x 10 x 18E
=
8.
2
23
323
490 x 45 x 80
75 x 98 x 12E
=
9. xy21y
1xyxyyx
5 5
5 5 5E
++
++−+
⋅
⋅⋅=
10. factores)3n(hasta ... x x
factores)3n(hasta ... x xE
1n1n
2n2n
+⋅
+⋅=
++
++
11. )2( 2
)2( 22E
3n
n4n
+
+ −=
12. 1x21x
1x1x2
24
42E
++
++
−
+=
13. 3x
1x3x
27
9 3E
+
++ ⋅=
14. )2 ( 2)2 ( 152
)2 ( 62)2 ( 5E
3xx5x
1x4x1x
++
+++
−−
+−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
67
15. )2(2)2(30)2(4
)2(2)2(6)2(5E
3x1x3x
3x1x2x
+−+
+−+
−−
−+=
16. n2m/1m/1m/n2mn/m )ba( )ab( ab abE −=
17. nmnmnm
nmnm
53
3018E +
++
++
+
+=
18. x
1x2/1
2x4
1x
55
55 E
−−
−+
=
19. . xy
xy .
)xy(
xyE 1n
n
n
nmn m
−−=
20. 2n4n
1n252n
)3(24
)3(93 E −
+
++ −=
21. 3n n3nn
31nn
)27)(4()2(8
)2)(8((3)(8) E
+−+
=−
22. ... 121212E +++=
Resolver
23. Calcular 23
32
)3(2
)2(2A
−+−
−−−= y [ ]{ } 3/12/1 3210 7 )3( .33 B = , luego hallar BA +
24. Si
2/1
42
32
)4()4(
)2(2A
−−−−−−
=−
y [ ] 3/1 ) 5 / 3 () 5 / 2 ( (32)(32)B−−− −= , hallar BA +
25. Si
+
−=
−
−−
−− 1
11
22
ba
baM y
+
−=
−
−−
−− 1
22
11
ba
baN , hallar NM ⋅
26. Determinar el valor de "x" , de manera que la expresión que sigue sea de segundo grado :
3
4 1x
7 3x2x
a
a a
+
−
27. Calcular el valor de 9x 4x 3x 2xxE = para 12 6x =
28. Simplificar
3/1
323
32833
b)(a(ab)
)ba()ba( E
−−−
= y calcular la suma de los exponentes de "a" y "b"
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
68
1.7. RACIONALIZACIÓN Es el proceso que consiste en transformar un denominador ( o numerador) irracional en otro racional a través de un factor denominado factor racionalizante. Factor racionalizante )F( r Es una expresión irracional tal que al multiplicar a otra también irracional la convierte en una expresión racional. Casos que se presentan para racionalizar A. Cuando el denominador es un monomio En estos casos el factor racionalizante estará expresado por otro radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponentes del radicando estarán expresados por la diferencia existente entre el índice original de la raíz y los exponentes que afectan a las letras o número. Ejemplo
Racionalizar 3 2x9
5
Solución
El factor racionalizante es: 3r x3F =
Luego, x3
x3 5
x27
x3 5
x3
x3
x9
5
x9
5 3
3 3
3
3
3
3 23 2===
B. Cuando el denominador presenta radicales de la forma: n2n2 ba ± Para estos casos el factor racionalizante estará expresado por la conjugada del denominador que se empleará tantas veces hasta que el denominador quede transformado en una expresión algebraica racional. Ejemplo
Racionalizar yx
5
+
Solución
El factor racionalizante es: yxFr −=
Luego, yx
)yx(5
)yx(
)yx( .
)yx(
5
yx
5
−
−=
−
−
+=
+
C. Cuando el denominador presenta radicales de índice superior Para estos casos debe tenerse en cuenta las siguientes equivalencias algebraicas * )baba)(ba(ba 2233 +−+=+
* )baba)(ba(ba 2233 ++−=−
* )babbabaa)(ba(ba 43223455 +−+−+=+
* )babbabaa)(ba(ba 43223455 ++++−=−
Ejemplo
Racionalizar 3 23 xy x 2
5
−
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69
Solución
El factor racionalizante es: =++= 3 423 233 2
r yxxy x 2x4F 3 423 223 2 yxy x 2x4 ++
Luego, ⋅−
=−
)xyx2(
5
xy x 2
5
3 233 23 )yx yx2x4(
)yxyx 2x4(
3 423 223 2
3 423 223 2
++
++
33 233
3 4233 223 2
) xy () x2 (
)yxy yx 2x4(5
−
++=
2
3 2333 2
xyx8
)yy x 2x4(5
−
++=
Ejercicios 09: Racionalización Racionalizar lo siguientes denominadores
1. 7 42 yx
3 2.
5 314 yx
5
3. 7 54 yx
3 4.
3 32
3
5. 4 53yx
3 6.
8 42 yx 2
3
7. y3x
4
+ 8.
44 yx
7
−
9. bxbx
ax
−−+
+ 10.
y3x2
x5
−
11. 84 yx
3
+ 12.
yx2
5
−
13. 5+2
3+5
14.
532
3
−+
Resolver
15. Si 1)32(a −+= y 1)32(b −−= calcular 11 )1b()1a(k −− +++=
16. Hallar el valor de 2x
2xE
2
2
−
+= para
1 2
11 2x
+++=
17. Indicar el denominador racionalizado de 3 1 21
N
−−
18. Efectuar 322
32
3 2 2
32
+−
−+
++
+
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
70
1.8. LOGARITMOS Definición Dado un número real 0b > y 1b ≠ , el logaritmo de un número real 0N > en la base "b" , es el exponente "x" al que debe elevarse "b" , para obtener dicho número. Notación:
xNLog b =
Se lee: Logaritmo de N en base "b" es igual a "x" , también "x" es el logaritmo de N en base "b" Definición simbólica
1b , 0b , 0N ; Nb xNLog x
b ≠>>=⇔=
Donde: N : número real mayor que cero b : base del logaritmo
x : exponente al cual elevamos la base para obtener el número xbN = Ejemplos: 1. 225log5 = porque 2552 =
2. 38log2 = porque 823 =
3. 813 481log 4
3 =⇔=
4. 322
1 532log
5
2
1 =
⇔−=−
5. 33
1 13log
1
3
1 =
⇔−=−
¿Cómo hallar el logaritmo de un número? Veamos un método i) Se iguala el logaritmo buscado a una letra, puede ser "x" . Es decir : xNlog b =
ii) Aplicamos la definición de logaritmo. Así: Nb x = iii) Resolvemos la ecuación exponencial que se forma Ejemplos 1. Calcular: 243log3
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x243log3 =
Por definición de logaritmo tenemos 2433x =
5x 33 = 5x =
Por lo tanto: 5243log3 =
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
71
2. Calcular: 64log4
1
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x64log4
1 =
Por definición de logaritmo tenemos
644
1x
=
Resolviendo la ecuación 3x 44 =−
3x −= Por lo tanto: 364log
4
1 −=
3. Calcular: 4
327log
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x27log 4
3=
Por definición de logaritmo tenemos
( ) 4x
273 = Resolviendo la ecuación
4
3x
2
1
33 =
4
3x
2
1=
2
3x =
Por lo tanto: 2
327log 4
3=
4. Calcular: 3
4
1 48log
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x48log 3
4
1 =
Por definición de logaritmo tenemos
3
x
4 84
1=
Resolviendo la ecuación
( ) 3.
2
3x2 222 ⋅=−
3
11
x2 22 =−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
72
3
11x2 =−
6
11x −=
Por lo tanto: 6
1148log 3
4
1 −=
5. Calcular:
25
1log
5
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x25
1log
5=
Por definición de logaritmo tenemos
( )25
15
x
=
Resolviendo la ecuación
2x
2
1
55 −=
2x2
1−=
4x −=
Por lo tanto: 425
1log
5−=
6. Calcular: 1282log22
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x1282log22
=
Por definición de logaritmo tenemos
( ) 128222x
= Resolviendo la ecuación
2
7
x2/1 22)22( ⋅=⋅
2
9x
2
3
22 =
2
9x
2
3=
3x =
Por lo tanto: 31282log22
=
7. Calcular 4
5125log
Solución
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
73
Sea "x" el logaritmo buscado
x125log 4
5=
Por definición de logaritmo tenemos
( ) 4x
1255 = Resolviendo la ecuación
4
3x
2
1
55 =
4
3x
2
1=
2
3x =
Por lo tanto: 2
3125log 4
5=
8. Calcular: 243
1log
3
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x243
1log
3=
Por definición de logaritmo tenemos
( )243
13
x
=
Resolviendo la ecuación
5x
2
1
33 −=
5x2
1−=
10x −=
Por lo tanto: 10243
1log
3−=
9. Calcular 0625,0log2
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x0625,0log2 = Por definición de logaritmo tenemos
0625,02x = Resolviendo la ecuación
16
12x =
4x 22 −= 4x −=
Por lo tanto: 40625,0log2 −=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
74
10. Calcular el logaritmo de 5
3 en base
27
125
Solución Sea "x" el logaritmo buscado
x5/3log27
125 =
Por definición de logaritmo tenemos
5/327
125x
=
Resolviendo la ecuación 2/1x3
5
3
3
5
=
2/1x3
5
3
5
3
=
−
2
1x3 =−
6
1x −=
Por lo tanto: 6
15/3log
27
125 −=
Observación Como Ud. puede notar, hallar el logaritmo de un número en una base dada, consiste fundamentalmente en saber resolver una ecuación exponencial. Ejercicios adicionales 11. Calcular "N" en : 2Nlog
32=
Solución
2Nlog32
=
Por definición de logaritmo 2)32(N =
12N = 12. Calcular "x" en : 25,0xlog
81
1 −=
Solución
25,0xlog81
1 −=
Se debe cumplir que
25,0)81
1(x −=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
75
4
1
4 )3(x−
−=
3x =
13. Calcular "b" en : 481
1log b −=
Solución
481
1log b −=
Se debe cumplir que
81
1b 4 =−
44 3b −− = 3b =
14. Calcular "b" en : 224logb =
Solución
224logb =
Se debe cumplir que
24b2 =
24b 2 = 4 32b =
15. Calcular "x" en 2)2xx(log 2
2
1 −=+−
Solución
2)2xx(log 2
2
1 −=+−
Por definición de logaritmo 2
2
2
1)2xx(
−
=+−
Resolviendo la ecuación
4)2xx( 2 =+−
02xx 2 =−− 0)1x)(2x( =+−
01x 02x =+∨=− 1x 2x −=∨=
16. Hallar "x" en 31xlog3 2 =−
Solución 31xlog3 2 =−
3
4xlog 2 =
Por definición de logaritmo
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
76
3/4)2(x =
3 42x = 3 22x =
Identidad fundamental del logaritmo Utilizando la definición de logaritmo De xNlog b = …………… (1)
Tenemos que Nb x = ……. (2) Reemplazando (1) en (2) obtenemos la identidad fundamental: Nb
Nlogb = , { }1Rb 0N −∈∧>∀ +
Ejemplos: 1. 53
5log3 =
2. :)32(5log
)32( −− no existe en R , puesto que la base )32( − es negativa
Propiedades generales de los logaritmos Estas propiedades se cumplen para los infinitos sistemas de logaritmos. 1. En el campo de los números reales sólo existen logaritmos de números positivos. Los logaritmos de números negativos existen en el campo de los números complejos. 2. La base de un sistema de logaritmos es positiva y diferente de uno. 3. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero y el logaritmo de la base es 1. Es decir: i) 01log b = ; 0b > , 1b ≠
ii) 0blog b = ; 0b > , 1b ≠
4. BlogAlog)B.A(log bbb +=
5. BlogAlog)B
A(log bbb −=
6. AlognAlog b
n
b =
7. Alogn
mAlogAlog b
n/m
b
n m
b ==
8. n
b
n
bb AlogAlogAlog nn ==
9. Alogn
1Alog bbn =
10. Alogn
mAlog b
m
bn =
11. blog1
AlogAlog
a
a
b
a −=
12. Regla de la cadena: dlogdlog . clog . alog bcab =
Para dos términos: 1blog . alog ab =
Se deduce: blog
1 alog
a
b =
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
77
13. Cambio de base: alog
AlogAlog
b
b
a =
14. alogclog bb ca =
15. Regla del intercambio: AlogBlog bb BA = Observación Tener en cuenta que: xlog)x(log n
a
n
a = y xlognxlog a
n
a ≠
Antilogaritmo Se define como la operación inversa a la logaritmación
Nb Nbxloganti xx
b =⇔== ; 0b > , 1b ≠ , Rx∈
Ejemplos:
1. 823loganti 3
2 ==
2. 16
14loganti
2
1 =
Observación Si Nxlogntia xNlog bb =⇒=
Así tenemos: Si 814loganti481log 33 =⇒=
Cologaritmo Se denomina cologaritmo de un número 0N > , al logaritmo de su inverso multiplicativo en la misma base.
NlogNlog1logN
1logNlogco bbbbb −=−=
=
luego: NlogNlogco bb −= ; 0b > , 1b ≠ , 0N >
Ejemplos: 1. 816log16logco
22−=−=
2. 5243log243logco3
1
3
1 =−=
Propiedades 1. N)N(logloganti bb =
2. N)Nloganti(log bb =
3. N
1)Nlogco(loganti bb =
4. N)Nloganti(logco bb −=
5. Nc
cb b)Nloganti(loganti =
Sistema de logaritmos De la definición de logaritmo se deduce que cualquier número positivo, diferente de la unidad, puede utilizarse como base de un sistema de logaritmos; por lo tanto, el número de sistemas de logaritmos es ilimitado. Los más utilizados son dos:
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
78
Sistema de logaritmos vulgares, decimales o de Briggs Este sistema fue implementado por el matemático inglés Henry Briggs y tiene como base al número 10 . Notación:
NlogNLog10 =
Se lee: “ Logaritmo decimal de N “ , no se escribe la base, se sobreentiende que es 10 Ejemplos: 1. 2100log100log10 ==
2. 410000log =
3. 31000
1log −=
4. 1)1,0log( −= Propiedades de los logaritmos decimales 1. Los logaritmos de números mayores que 1 son positivos y los logaritmos de los números menores que 1 ( pero mayores que cero) son negativos.
30103,02log = 52288,1)03,0log( −=
47712,03log = 69897,0)2,0log( −=
70114,1)25,50log( = 30103,3)0005,0log( −=
54407,2350log = 90309,08
1log −=
2. Todo logaritmo decimal tiene 2 partes: una parte entera llamada CARACTERÍSTICA y una parte decimal llamada MANTISA. Si: ⇒= 54407,2350log característica 2=
mantisa 54407,0=
3. La característica del logaritmo decimal de un número mayor que 1 es igual al número de cifras en su parte entera menos 1.
⇒ 3log característica: 011 =−
⇒ )25,50log( característica: 112 =−
4. La característica del logaritmo decimal de un número menor que uno es negativo e igual al número de ceros que preceden a la primera cifra significativa(diferente de cero), considerando incluso el cero de la parte entera si la hubiera.
abcde,254030,0log(−
−−=
abcde,4)4308007000,0log(−
−−−−=
5. El cálculo de la mantisa del logaritmo de un número se lleva a cabo mediante el uso de la Tabla de logaritmos. La mayoría de las mantisas son decimales ilimitados, por ello se dan sus valores sólo aproximadamente. Dado 7649,082,5log = , escribir el logaritmo de 2,58 y 58200 . Las mantisas de los logaritmos de todos estos números son iguales a la mantisa dada, la diferencia está en la característica.
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
79
7649,182,5log1)10 x 82,5log(2,58log =+==
7649,482,5log4)10 x 82,5log(58200log 4 =+==
La característica puede combinarse con la mantisa para producir una sola cantidad. Por ejemplo:
2351,17649,02)10 x 82,5log()0582,0log( 2 −=+−== −
sin embargo, es preferible expresar un logaritmo con las partes decimales positivas, por ello
escribimos: 7649,20582,0log−
= Observación Hay otra forma de calcular la característica del logaritmo decimal de un número mayor que cero. La característica depende únicamente de la posición de la coma decimal. Ejemplos: Número Característica
3 101000 3 ⇒=
2 10 x 84,6684 2 ⇒=
1 10 x 57,4457,0 1 −⇒= −
5 10x65,30000365,0 5 −⇒= −
Es decir, debemos expresar el número "N" así: n10 x aN =
Se observa que la coma decimal debe ubicarse inmediatamente después del primer número diferente de cero. Sistema de logaritmos naturales, neperianos o hiperbólico Este sistema fue implementado por el matemático escocés John Neper y tiene como base el número irracional ...7182,2e ≈ Notación:
NlnNLog e =
Se lee: “ Logaritmo natural de N “ , también “ Logaritmo neperiano de N “ Ejemplos: 1. 1eln =
2. 3)1(3eln3eln 3 ===
3. 2
1eln
2
1elneln 2/1 ===
4. 7e 7ln = Observación i) El número trascendente "e" ( épsilon) se define como:
n
1
0n)n1( lime +=
→
ii) Conversión de logaritmos naturales a logaritmos decimales o viceversa Nlog 3026,2Nln =
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
80
Nln 4343,0Nlog = Note que para transformar se multiplica por el factor de conversión según sea el caso. Ecuación logarítmica Es aquella ecuación trascendente donde, por lo menos, una incógnita está afectada del operador logarítmico.
1b , 0b , 0N , 0M ; NM NlogMlog bb ≠>>>=⇔=
Ejemplos: 1. Calcular "x" en: )12x(log)4x3(log 33 +=+
Solución )12x(log)4x3(log 33 +=+
12x4x3 +=+ 8x2 =
4x = 2. Hallar el conjunto solución de: )x8(log)2x(log xx −=−
Solución )x8(log)2x(log xx −=−
i) 0x8 02x 1x 0x >−∧>−∧≠∧> 8x 2x <∧>
V8,2x =∈⇒
ii) x82x −=− 5x =⇒ { }5S =
{ }5SVCS =∩= Inecuación logarítmica Esta inecuación se caracteriza por tener al menos una incógnita afectada del operador logarítmico. i) Cuando la base es mayor que 1, )1b( >
Si: NM NlogMlog bb >⇒>
Si: x
b bM xMlog >⇒>
ii) Cuando la base es menor que la unidad pero mayor que cero, )1b0( <<
Si: NM NlogMlog bb <⇒<
Si: x
b bM xMlog <⇒>
Ejemplos: 1. Resolver: )2x5(log)4x2(log 22 +>+
Solución Hallamos los valores de x que garantizan la existencia de los logaritmos
2x 04x2 −≥⇒≥+ , [ ∞+−= ,2S1
5
2x 02x5 −≥⇒≥+ ,
∞+−= ,5
2S2
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
81
los valores de x están en:
∞+−=∩= ,5
2SSV 21
Como 2x54x2 0b +>+⇒>
3
2x <
S3
2,x =∞−∈
para la solución calculamos:
−=∩
3
2,
5
2SV
Luego
−∈
3
2,
5
2x
2. Resolver: 0)1x(log
2
1 >−
Solución Hallamos los valores de x que garantizan la existencia de los logaritmos
0)1x(log2
1 >−
i) 01x >− 1x >
ii) Como 0
2
11x 1b
<−⇒<
11x <− 2x <
2,1CS =
Ejercicios desarrollados 1. Calcular: 81log625log64logE 352 −+=
Solución 81log625log64logE 352 −+= 4
3
4
5
6
2 3log5log2logE −+=
3log35log42log6E 352 −+=
7346E =−+= 2. Calcular: 2log12)2(log881logE 1643 −+=
Solución 2log12)2(log881logE 1643 −+=
344)4
1(12)
2
1(84E −+=−+=
5E =
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
82
3. Calcular: )001,0(log5128log427log8E2
13 +−=
Solución
)001,0(log5128log427log8E2
13 +−=
151412)3(5)2
7(4)
2
3(8E −+=−+−−=
11E =
4. Calcular: ( )25,0log9
3logE 4
3
3 ⋅
=
Solución
( )25,0log9
3logE 4
3
3 ⋅
=
)4(log3logE 1
4
23
1
3
−−
⋅
=
)4)(log1)(3(log6
5)4(log3logE 43
1
46
5
3 −−=⋅= −−
6
5)1)(
6
5(E =−−=
5. Simplificar:
−
−
=32
81log
9
5log2
16
25logE
Solución
−
−
=32
81log
9
5log2
16
25logE
12
32
81log
9
5log
16
25logE
−−
+
+
=
+
+
=81
32log
5
9log
16
25logE
2
+
+
=
4
52
2
4
2
3
2log
5
3log
2
5logE
2log352
235logE
424
542
=
⋅⋅
⋅⋅=
6. Hallar "x" en: 18log3
164log
2
1xlog +−=
Solución
18log3
164log
2
1xlog +−=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
83
10log8log64log 3 +−=
10log2log8log +−=
40log)104log(10log4log10log)2
8log(xlog =⋅=+=+=
40logxlog =
40x =⇒
7. Hallar "x" en: 27log2log824log3xlog2 −−=+ Solución
27log2log824log3xlog2 −−=+ 32/13 3log2log8)32log(3xlog2 −−⋅=+ 32/13 3log2log8)32log(3xlog2 −−⋅=+
3log32log)2
1(8)3log2(log3xlog2 3 −−+=+
3log32log)2
1(8)3log2log3(3xlog2 −−+=+
3log32log43log32log9xlog2 −−+=+
2log5xlog2 =+
100log2log522log5xlog −=−=
)100
2log(xlog
5
=
32,0100
32x ==⇒
8. Hallar "x" en: 3)11x2x3(log 2
3 =++
Solución 3)11x2x3(log 2
3 =++
Por definición de logaritmo 27311x2x3 32 ==++
016x2x3 2 =−+ 0)2x)(8x3( =−+
02x 08x3 =−∨=+
2x 3
8x =∨−=
ambos valores satisfacen la ecuación inicial
9. Si: 2qlog4 = , hallar "p" al resolver 5)16
qp(log
32
4 =⋅
Solución Transformando
5)16
qp(log
32
4 =⋅
516log)qp(log 4
32
4 =−⋅
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
84
516logqlog3plog2 444 =−+
52)2(3plog2 4 =−+
2
1plog 4 =
244p 2/1 ===⇒
10. Si: xy7yx 22 =+ , hallar )ylogx(log2R += , 0 y 0x >∧> Solución
xy7yx 22 =+
xy9xy2yx 22 =++
xy9)yx( 2 =+
xy3yx =+
xy3
yx=
+
Aplicando logaritmos
xylog)3
yxlog( =
+
)ylogx(log2
1)
3
yxlog( +=
+
[ ] )3
yxlog(4R
4
R)ylogx(log2
4
1)
3
yxlog(
+=⇒=+=
+
Ejercicios 10: Logaritmos 1. Escribir las siguientes expresiones, como logaritmo de una sola cantidad
a) 9log2
1blog23log37logalog1E 22222 +−−++=
b) 25log34log63log52log23logE −+−+=
c) alogcclogbblogazlogylogxlogE −−+++=
d) alog3
2a4logc
4
3x5log
2
1x2log2E +−−=
2. Hallar el valor de la siguiente expresión: 125log58log381logE 523 +−=
3. Hallar el valor de la siguiente expresión: 27
1log
25
1log2
16
1logE 352 −−=
4. Hallar el valor de la siguiente expresión: 55
4
2
14
3 125log52log29logE −−=
5. Hallar el valor de la siguiente expresión: 100log4 8log29
4logE 3
28/27 5 +−=
6. Hallar el valor de la siguiente expresión: 10log1000log10log4001,0logE −+−=
7. Determinar el valor de "N" : 2Nlog20log5252
=+
8. Simplificar: 2loglogloglogE289/48=
9. Calcular el valor de 0b > que satisface la ecuación: 04)9(log4)9(log b
2
b =+−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
85
10. Si 47,03log ≈ y 70,05log ≈ , hallar el valor de: 5log75log125logE +−=
11. Si 3,02log ≈ y 47,03log ≈ , hallar el valor de: 3log2log48logE +−=
12. Calcular "b" en: 424logb =
13. Calcular "N" en: 2
)2(33
3)3 (Nlog 3 =
14. Hallar "x" en: 1)2xlog()10(log 2
x =−
15. Hallar "x" en : 1)3xlog(Logx =−+
16. Hallar "x" en: 1xlog)3x5(log 22 =−−
17. Hallar "xlog" si [ ] 1)x(logloglog 32 =
18. Resolver: 02log2log . 2log64
y
16
yy =−
19. Calcular: abcE = si balog , aclog , cblog cba ===
20. Si zx
1
zy
1
yx
1
−=
−+
− , hallar
)zxlog(
)zylog()yxlog(E
−−+−
=
21. Si satisface la ecuación: )1xln(1)1xxxln( 4246 −+=−−+ el
valor de "x" es:
22. Hallar "0x" > que satisface : 5x25,0logx5,0logx2log 2
2
2
2
2
2 =++
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
86
1.9. EJERCICIOS ADICIONALES
GRADO – POLINOMIOS ESPECIALES Y VALOR NUMÉRICO
1. Hallar el valor de "n" si el monomio:
3
4 n
4 n33n
x
x xM
−
= es de segundo grado. R. 6
2. Calcular el grado absoluto del monomio:
20a bb a z y xM3 33 3
= si 0ab3ba 22 =++ R. 2
3. Hallar el número de variables que debe tener el monomio:
)...w)(z)(y)(x(M 432= para que su grado absoluto sea 231. R. 21 4. Calcular el grado relativo a "y" en el monomio:
a245aa3
3a32a21a5
zyx
zyxE
−−−
++−
= si el grado relativo a "z" es 34 . R. 14
5. Se sabe que:
5n1mm53n yx4yx4)y,x(P −+−− += es un monomio. Indicar el grado absoluto. R. 6 6. Hallar el grado absoluto del monomio:
2
2
a b
b a
y
xE = si se cumple: 8ba =− y 4ab = R. 38
7. Hallar "pnm" ++ si el monomio:
pn2m3p3n2m2p2n2m zyx7E ++++++= es de grado absoluto 180 . R. 30 8. Hallar el grado de homogeneidad del polinomio:
4n6mnnm yx5yx8)x(P +++ −= Si se sabe que el grado respecto a x es menor en dos unidades que grado respecto a y . R. 22
9. Hallar el valor de "m" para que la expresión:
3
4 2m
mm
x x
xx xE
−= reducida, sea de quinto grado. R. 10
10. Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio:
)10x)...(3x)(2x)(1x()x(P 1032 ++++= R. 55 11. Calcular "nm" + si el polinomio:
2n3m1n2m2n1m yx3yx7yx5P −+−+−+ ++=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
87
es de grado absoluto 20 y de grado relativo a "y" igual a 8 . R. 19 12. En los siguientes polinomios:
1mnm8n1m7n yx5yx6yx3P ++−+ −+= y 2n3m1n2mn1m yx4yx7yx5Q +++++ +−=
si el grado absoluto de P es 20 y el mayor exponente de "y" en Q es 10 .
Hallar el grado absoluto de Q . R. 17 13. Calcular cbaE ++= en el polinomio:
x6)xx(c)1x2(b)2xx3(aP 22 −−−−++−= si es idénticamente nulo. R. 6 14. Calcular abcE = en la identidad:
ba23 )acx()1x2(a1x8x21x18 ++≡+++ R. 6
15. Calcular n
m en la identidad:
56x3)mx(n)nx(m −≡+++ donde nm > R. -7/4 16. Si la suma de coeficientes de )x(P es 10 donde:
)2y(Py)1y(P)2y(P)y6(P ++−−=−+−
Calcular el término independiente de )x(P . R. 8 17. Si el polinomio:
...x)2a4(ax4x)2a4()x(P 8a29a210a2 +−+++= −−−
es completo y ordenado en forma creciente. Calcular "a" y el grado del polinomio P sabiendo que sus coeficientes son positivos. R. 5 y10 18. Se muestran los tres primeros términos del polinomio:
...yxyxyx)y,x(Q 1n3m2n4m3n5m +++= −+−+−+
El cual es completo y ordenado para "x" Además 10GR x = y 15GR y = . Calcular nmE += R. 13
19. Indique la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado
Ascendentemente: na
n
3a
3
2a
2
1a
1n321 xa ... xaxaxa)x(P++++ ++++= R. n−
20. Dado el polinomio: 1a2b4b1a3ba2b1a yx7yx5yxyx)y,x(P +++−+++ +−+=
Si )y,x(P es completo, homogéneo y ordenado en forma decreciente
respecto a "x" y en forma creciente respecto a "y" , calcular baE += . R. 0 21. Si el polinomio:
1nc331aban y...yx7yx5yx3...yx)y,x(P +− ++++++=
Es homogéneo. Además con respecto a "x" es completo y ordenado en forma descendente. Según ello calcular el valor de ncbaE +++= R. 17
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
88
22. Si 1)4x)(3x)(2x)(1x()x(P +++++= hallar )2
55(P
+− R. 0
23. Si se cumple que:
1x)1x(P 42 +=+ . Evaluar )2x(P)1x(P)x(Q 33 ++−= , dando como
Respuesta la suma de coeficientes de )x(Q . R. 7
24. Si n ... 321)n(P ++++= hallar )1n(P
)n(P)1n(PE
2 −
−= R. 0,5
25. Si bax)x(P 2 += y cx24x8))x(P(P 24 ++=
Calcular cbaE ++= R. 26 26. Si )x(F es un polinomio lineal tal que )y(F)x(F)yx(F +=+
hallar )0(F R. 0
27. Si 2x
x))x(f(P
−= y
x
2x)1x(P
+=+ hallar )7(f − R. -8
28. Si 1x2x)x
x1(P nn2
n
n
+−=− −− hallar )5(P − R. 25
29. Si 7x2x4)x1(F 21 −−=− − hallar )3(F R. -5
30. Si 4x4x)xx2(P ++=+
calcular )x2x(P − , 1x ≥ R. x
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1. Hallar la suma de los coeficientes del cociente en:
1x3
2xxx5x3 234
−+−++
R. 4
2. Hallar el resto al dividir : 12x
2xxx2x 234
+−
+−−+ R. 1
3. Hallar el resto de la división:
)1xx(
)2x()1x()1x2x2()1x(xE
2
2202nn
−+
+−++−+++= R. 2
4. Al efectuar la división: )1xx()m3mxxx5x2( 2234 +−÷++−+ resulta como residuo un término independiente, hallar su valor. R. 5
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
89
5. Hallar el resto de la división: )bx)(ax(
)ax(b)bx(a n2n2
−−−+−
R. x)ba( n2−
6. Si el resto de la división 1x
)x(P
+ es 4 , calcular el resto de
[ ]1x
)x(P4
+ R. 256
7. Hallar el resto de la división: )xy(2)1yx(
)xy()yx(2
2729
−++−
−−− R. 0
8. Al dividir 1x2BxAxx)x(P 234 −+++= entre un polinomio de segundo grado, se
obtuvo como cociente )1x( 2 − , y como residuo )1x2( + . Hallar el valor de B . R. 1 9. Si el polinomio )x(P de tercer grado cuyo primer coeficiente es 1 se anula para
3x = , 2x = . ¿Qué otro valor de x lo anula, si la suma de sus coeficientes es igual a 10 ? R. 4− 10. Hallar "a" para que la suma de coeficientes del cociente sea 110
y el resto 16 ; en 1x
ab2bx2axE
51
−−++
= R. 2
11. Calcular 2b
ac2E =
si la expresión: )cbxax( 24 ++ es divisible por )1x)(1x( 2 −− R. ½
12. Al dividir )2x()nmxx2x( 23 −÷++− el resto es 3 y al dividir
)1x()nmxx2x( 23 +÷++− el resto es 9 . Hallar el valor de nm + . R. 6
13. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir: 1nx
3nx3xnx 34
−−+−
R. 4
14. Dado el polinomio: BxAxx)x(P 23 ++= divisible por 4x3x 2 −+ .
Entonces calcular el valor de "k" si la división: 2x
k)x(P
−+
es exacta. R. -12
15. Hallar el cociente, al dividir: abxax
abxx)ba2(x)ba(ax2
234
+−
−−+++− R. 1xx 2 +−
16. Hallar "m" si la división es exacta : 4x3
mx9x16x12 2930
++++
R. 12
17. Hallar el resto al dividir : 2xx4
5x8x13x13x42
234
++
++++ R. 1
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
90
18. Calcular el resto al dividir : 2x2x
)4x)(8x()1x(2
3n4
+−
−+− R. -20
19. ¿Cuanto se le debe restar al dividendo de manera que la división sea
exacta? 3x2x
2x15x5xxE
2
234
+−
++−+= R. 8x2 +
20. Si a un polinomio )x(P lo dividimos entre )3x( + el resto es 5 ; si al
cociente obtenido lo dividimos entre )2x( + el resto es 4 . Hallar el resto
de dividir )x(P entre )2x)(3x( ++ . R. 17x4 + 21. Si a un polinomio )x(P lo dividimos entre )5x( + el resto es 24− ; si al
cociente obtenido lo dividimos entre )5x( + el resto es 5 . Hallar el resto
de dividir )x(P entre 25x10x 2 ++ . R. 1x5 + 22. Los restos de las divisiones de )x(P por los binomios )2x)(1x( +− son
respectivamente 5 y 7− .
Hallar el resto al dividir )x(P por 2xx 2 −+ R. 1x4 +
PRODUCTOS NOTABLES
1. Si 1yx =+
Hallar )yx(4)yx(6E 3322 +−+= R. 2
2. Si )dc)(ba(4)dcba( 2 ++=+++ hallar )ba(
)dc(3E
++
= R. 3
3. Reducir: 6 64224 b)bbaa)(ba)(ba( +++−+ ; 0a > R. a
4. El área de un cuadrado de lado "ba" + es 8 veces el área de un triángulo de base a y altura b .
Calcular 222222
44
)ba4()ba4(
)ba()ba(E
−−+
−−+= R. 1
5. Si 05x5x2 2 =++ hallar )2x)(3x2)(1x)(1x2(3E ++++= R. 18
6. Si ax19x)3x)(bx)(5x( 3 +−=−++ calcular baE −= R. 32
7. Si se cumple que: 0dacbcab 2 =+++ ; da ≠
Reducir da
)ca)(ba(E
−++
= R. da +
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
91
8. Si : 32
1m
−= y
32
1n
+=
Hallar 356n7mn11m7E 22 −−+= R. 11
9. Reducir: 1458)27a()9a3a)(9a3a)(9a( 23222 +−−+++−− R. 3a54
10. Calcular 22 x4xE −+= si 2)2x( 2 =− R. 12
11. Sabiendo que: 3nm =+ y 2mn = , hallar 22
33
nm
nmE
+
+= R. 9/5
12. Si se cumple que: 3ba =+ y 2ab = , hallar 33 baE −− += R. 9/8
13. Si 22222 yyxyx =−++ hallar el valor de 2222 yxyxE −−+= R. 2
14. Si: 24zyx 333 =++ , 12zyx 222 =++ y 12xyxzxy =++
Hallar xz
1
yz
1
xy
1E ++= R. 3/4
15. Reducir 4)aa(E 2xx +−= − R. xx aa −+
16. Simplificar: 22
22
66
yxyx
yxE +
−
−= R. 22 yx +
17. Calcular 8 248 )3)(12)(12)(12(1E ++++= R. 4
18. Si 62a
b
b
ann
=
+
reducir 3
nn
nn
ba
baE
+= R. 2±
19. Si 21y1x =+=− calcular )y3x)(yx3(E ++= R. 28
20. Si 4yx =+ y 2xy = hallar 55 yxE += R. 464
21. Si z
1
y
1
x
1+= y 2zyx ++= hallar 222 zyxE ++= R. 4
22. Si 331 xx)xx(F −− +=− hallar )1(F − R. 52±
23. Si 3xx 1 =+ − calcular 33 xxE −−= R. 58±
24. Si 22 )x
1x(2)
x
1x( −−=+ hallar 44 xxE −+= R. 4
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
92
25. Si xy5yx =+ hallar 33 )1x
y()1
y
x(P +++= R. 50
26. Si 7a
x
x
a 9
9=+ hallar 4
9
49 a
x
x
aE += R. 5±
FACTORIZACIÓN
1. Factorizar 1x6x3 262 ++− y calcular el valor numérico de los factores para 3/2x = R. 30 2. Factorizar xy4)1y2(y)1x2(x ++++ , luego hallar
la suma de los factores R. 1y3x4 ++ 3. Hallar el coeficiente que aparece al factorizar :
222 )ac()cb()ba(E −−+++= R. 2
4. Si el polinomio: cbxacxax)x(P 23 ++−= ; 0abc ≠
tiene como factor a cx)x(f −= . Calcular el valor de b . R. 1−
5. Hallar el número de factores de: 1377 abba64 − R. 12
6. Hallar el coeficiente de "x" en un factor de : 1xx2x 25 −−− R. 1 7. Hallar la suma de los coeficientes de los factores primos de:
)yx(z)xz(y)zy(x)z,y,x(P 222 −+−+−= R. 0 8. Hallar la suma de los factores primos de:
y12x9)y8x6()y4x3()y,x(P 23 +++++= R. 4y12x9 ++
9. Factorizar : 2x3x8x12)x(F 23 −−+= ; luego indicar el número de factores lineales. R. 3
10. Al factorizar el polinomio : 9x3x3x)x(P 246 −−+=
se obtiene: )bxbxb)(axaxa()x(P 3
2
2
4
132
2
1 ++++=
Calcular: 321
321
bbb
aaaE
++
++= R. 2−
11. Hallar la suma de coeficientes de los factores primos de :
81x9x)x(P 24 ++= R. 20 12. Hallar la suma de coeficientes de los factores primos de :
6xx7xx)x(R 234 ++−−= R. 3
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
93
13. Luego de factorizar : 1)4x(6x)x(P 24 +−−= , hallar la suma de los términos lineales de los factores primos. R. 0 14. Hallar la suma de los factores primos de: x32)yx1)(2x3()1yx)(2x3(E −−+−++−++= R. 1y2x3 ++
15. Factorizar y hallar la suma de los factores primos:
)zx(y)zy(xyx)z,y,x(P 22 +++++= R. zy2x2 ++
16. Factorizar : )2x(3)1x(x4x)x(P 24 +−++= e indicar la menor Suma de coeficientes de un factor primo. R. 0
17. Factorizar : 20x9x21x9x)x(P 234 +−+−=
Si )x(F representa la suma de los factores primos de )x(P . Hallar
la suma de los factores primos de )x(F . R. 2x2 +
18. Hallar la suma de los coeficientes de los factores primos de:
)yx(z)xz(y)zy(x)z,y,x(P 222 −+−+−= R. 0 19. Factorizar e indicar la suma de sus factores de:
yz2zzyyxxE 222 +−−+−+= R. 1x2 +
20. Factorizar e indicar la suma de coeficientes del factor cuadrático 1xxE 225 ++= R. 3 21. Factorizar e indicar la suma de sus factores
)ba)(cba()ba2)(bac()ba(cE 22 +−+−−−−++−= R. c2a3 + 22. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de sus factores
)4x(x)1x(E 2223 +−+= R. 0
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. Efectuar y simplificar: 1x
x4
1x
1x
2x2
1x
2x2
1xE
22
2
−−
−
++
+−
−−+
= R. 1x
1x
+−
2. Efectuar y simplificar: 1x
)xy1()yx(E
2
22
−
+−+= R. 2y1−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
94
3. Efectuar y simplificar :
+
+
=yx
y2x2
a
b
b
a
a
b
b
a
E ÷
+
+
yx
y2x2
b
a
a
b
b
a
a
b
R. yx
b
a−
4. Efectuar y simplificar : )bc)(ac(
1
)cb)(ab(
1
)ca)(ba(
1E
−−+
−−+
−−= R. 0
5. Efectuar y simplificar : )zy)(xz(
z
)yx)(zy(
y
)xz)(yx(
xE
−−+
−−+
−−= R. 0
6. Si se cumple que: a2wzyx =+++ , reducir la fracción:
2222
2222
)wz()wz()yx()yx(
)wa()za()ya()xa(E
−+++−++
−+−+−+−= R. ½
7. Suponiendo que: 2)ba()bx2a)(bx2a( −=+−++
reducir la expresión: ab
x
bx2a
)bx)(ax(E
3
−++++
= R. 0
8. Efectuar y simplificar : 22
22
22
22
22
22
x)zy(
)yx(z
z)yx(
)zx(y
y)zx(
)zy(xE
−+
−−+
−+
−−+
−+
−−= R. 1
9. Simplificar : c)ba(x)cb(a
)bcac(x)ac(bx)cb(aE
2
−−−−+−+−
= R. 1x −
10. Efectuar : 4x2x
4x2x
4x2x
4x2xE
2
2
2
2
−++
−−++
−−+
−++= R. x
11. Simplificar : 22
222
)xx1(
)x1)(1x(xE
++
+++= R. 1
12. Reducir :
+
+−
−
+−
+=
x
1x
x2
x1
x11
x1
x11
R
2
R. x
13. Simplificar : 22
322222
cbacab
babcbcab2caacbaE
−++
++−++−= R. ba −
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
95
14. Efectuar y simplificar : 3x4x
15x8x
2x3x
6xxE
2
2
2
2
++
+++
++
−−= R. 2
15. Hallar "ba" + , si la fracción: 22
22
y)1b(7xy10x)b2a(
y)1a2(3xy5x)ba4(F
+−+−
−+++= R. 3−
16. Efectuar y simplificar: 1y
1
y1
1
1y
y
1y
yF
nnn
n2
n
n3
++
−+
+−
−= R. 2y n2 +
17. Hallar "n" en: 100
199
)1n(n
1 ...
20
1
12
1
6
1
2
11 =
+++++++ R. 99
18. Si ba
abx
+= , calcular:
22 b4x
ab4
b2x
xa2
xb2
a2xE
−+
+
−−
−
+= R. 0
19. Reducir: 1xx
1xx2x
1xx
1xxE
510
101520
510
1020
++
−+++
+−
++= R. 510 x2x2 +
20. Hallar el valor de: cb
ca
ba
ca
ca
cb
ba
cb
ca
ba
cb
baE
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
+=
sabiendo que: 0cba =++ R. 3−
TEORÍA DE EXPONENTES
1. Si: 753 zyx ==
Simplificar 3
5
y
xzE = R. 9 x
2. Si Nn∈ , simplificar:
n
n
nn
8
8
2881
88
88E
+
+=
⋅+
R. 8
3. Simplificar: a-c c)-(b
ab )cb(ba )ca(
1-
11
x
x xE
− −− − −−
= R. 1
4. Hallar la relación entre “m y n ” si
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
96
m
nnmnm
nmnm
n
m
n
m
m
n
m
n
n
m
=
−+
−+
, 0n,m > R. mn2 =
5. Calcular yxE += al resolver:
y y1y xx yy x 9 33 8 324 −=∧= , 0y,x > R. 2
6. Sabiendo que: 2x y = ; 2
1y x =
Calcular el valor de 2xy )yx(Ey1x1 −+
+= R. 9/2
7. Si: 4
x
2
1x = , hallar el valor de 2
1
4
1
xxE−−
+= R. 6
8. Si: +∈Zz,y,x talque 2xy ≥− .
Calcular el valor mas simple de xyyx2xy2
xyxyyx
x.yy.x
x.yy.xE −
++
+
+= R. x/y
9. Si: 3404444 1xx1x2x =+++ +−− , halle 2x4E −= R. 4
10. Si: nmn 10b.a =
mnm 10b.a =
Calcular [ ]10)ba( 1
)ab(E−
= R. 10
11. Efectuar: 5
5
43
23
83
22
x
1
yx
xy2
yx2
yxE ÷
÷
=
−
−−
−
−
R. 0,25
12. Simplificar la expresión:
+
++
+
+= n
nn
nn
nnn
nn
4515
30103
2814
14714E R. 9
13. Efectuar:
−−
−=
++
−+
n1n2n
n
n
1n2n
222
)2(5
)7(11
)7(357E R. 20
14. calcular:
2
342
53
35 . 6 . 30
15 . 14 . 48M
= R. 2
15. Reducir: ac bacb acba cb x x x E − −− −− − ⋅⋅= R. 1
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
97
16. Si 0a > y xyzzyx =++ .
Calcule: xzyzxy
z xyy zxx zy
aaa
aaaE
++
++=
+++
R. a/1
17. Reducir:
1)3n2(
3nn25
n24
25)5(4
225E
−+
++
+
+= R. 45
18. Halle 2xE −= si : 2)1x( 1x2x2
=− +− R. 1
19. Sea 0a ≠ y 120183192201 )a( ... )a.()a.()a(a =α . Hallar ""α R. 1540
20. Si: x xx baba −+=∗ ; 0x ≠
Calcule 16
)32()23(E
∗∗+∗
= R. 5/6
21. Hallar el valor numérico de: n nn
n nnn nn
y)zx(
x)yz(z)xy(E
−
−−
+
+++=
si 286x += ; 2y = ; 286z −= R. 3
22. Simplificar la expresión: ... xxxM 8 115 85
= R. 6 x
23. Calcular "xy" al resolver:
32).yx( xy =+ −
32yxyx =+− R. 35
24. Si nyx xy AA =+ , mzx xz AA =+ y pzy yz AA =+
Hallar el valor de yzxzxy
xyz
4 pnm 111
AE++++
=
−−−
R. 2/1A
LOGARITMOS
1. Hallar el valor de la siguiente expresión: 36427
2 4log8243logE −= R. 2/9
2. Hallar el valor de la siguiente expresión: 16log.log2log3E228
+= R. 7
3. Hallar el valor de la siguiente expresión: 25glog . 8log . 2logE25
= R. 24log2
4. Hallar el valor de la siguiente expresión: 10log . 3logE3
= R. 1
5. Calcular "x" en: 2)b(log)x(log 1
x
1
b bb =+ −− R. b b
6. Hallar "x" en: 16xlog)xlog(E xlog =−= R. 1000 y 0,01
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
98
7. Resolver: 3)x(log
x
8log
2
8
28
= R. ½ y 8
8. Resolver: 2log2log . 2log64
y
16
yy = R. 8 y 4
9. Hallar "x" en: n)1xlog()1x2log( nn =−+− R. 3
10. Si 1
bbb bxloglogcologanti −=
calcular: 2
)bantilologco(logE xbb −= R. 1
11. Resolver: x
e)xlogcolog(colog(anti −=− R. e
12. Calcular "x" en: 813logantilogantiloganti 22x 4 = R. 3
13. Resolver el sistema:
12y
ylog
5
10x
73xlog 3
=
=+
y dar como respuesta yxE += R. 129 y 628 14. Resolver el sistema y hallar el valor de "yx" +
1)yx(log)yx(log 22 =+−+
2yx 22 =− R. 2
15. Calcular el cociente entre 1x y 2x , siendo ambas raíces de la ecuación:
0x100x xlog =− , donde 21 xx > R. 1000 16. Hallar las raíces de la siguiente ecuación:
xlogxlog = R. 1 y 10000
17. Si se verifica que: n)1n(n
1...
4x3
1
3x2
1
2x1
1log
n
10
11 =
+++++
−
Calcule: )n10nlog( 2 + R. 2log2 +
18. Dados c,b,a y d +∈R , si 4xlog m = tal que
xlog
1
xlog
1
xlog
1
xlog
1m
dcba
+++=
calcule el menor valor de: dcba +++ R. 40
19. Resolver: )4x2(log)3x5(log 22 +<+ R.
−=
3
1,
5
3CS
20. Resolver: 0)1xxlog( 2 >++ R. 0,1CS −=
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
99
1.10. PREGUNTAS DE ÁLGEBRA EN LOS EXÁMENES DE ADMISIÓN Algunas preguntas de álgebra, aplicadas en los exámenes de admisión de tres universidades del País. Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo(UNPRG) Preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo, durante los años: 2000 – 2011 1. POLINOMIOS Y VALOR NUMÉRICO UNPRG 2000 – II
1. Si cp38pq2q3p2 xyxyx3)y,x(P +−= −+− , es un polinomio homogéneo,
calcular cq9p6E +−=
A) 22 B) 16 C) 18 D) 24 E) 20 R. B
2. Calcular M , si:
...1
61
61
61
6M
++
++
=
A) 4 B) 2 C) 5,3 D) 5,2 E) 3 R. B UNPRG 2001 – I 1. De las siguientes proposiciones:
a) 3 3xy8− es una expresión algebraica irracional.
b) 24yx5
4− es una expresión algebraica racional fraccionaria
c) 3x2 xx − no es una expresión algebraica Su valor de verdad es:
A) VVV B) VFV C) FFV D) FVV E) FVF R. C UNPRG 2003 – II 2. Dados los polinomios: )1x)(1x(c)2x)(1x(b)1x)(2x(a)x(P +−+−++−−=
8x7x3)x(Q 2 ++−=
Tal que )x(Q)x(P = , para todo Rx∈ , entonces hallar 2)cba( ++
A) 64 B) 49 C) 25 D) 81 E) 36 R. B UNPRG 2004 – II 1. Dadas las afirmaciones:
I. 3yx7 es una expresión algebraica irracional.
II. 6yx5 −+ es una expresión algebraica racional fraccionaria.
III. 1x8
y 3
− es una expresión algebraica racional fraccionaria.
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
100
Entonces se cumple que: A) Sólo I y II son verdaderas B) Sólo II y III son verdaderas C) Todas son verdaderas D) Sólo I y III son verdaderas E) Sólo II es verdadera R. C 2. Los grados de homogeneidad de )x(P y )x(Q son 4 y 8 respectivamente. Hallar el grado de:
[ ] [ ]
2
32
x
)x(Q)x(P)x(H =
A) 12 B) 16 C) 24 D) 30 E) 32 R. D 3. Hallar el valor de:
∩∩
∩∩∩∩
+
+++=
33,0 3,0
3333,0 3333,0 333,0 33,0F
A) 1 B) 2 C) 4 D) 3/2 E) 3/4 R. B UNPRG 2005 – I 1. Determinar nm + , si el polinomio:
mn215m21nm3nm22nm4nm2 x7yx5yx3)y,x(P −+++−+++−+ −+= es de
grado 10 y la diferencia entre los grados relativos de "x" e "y" es 4 .
A) 2− B) 1− C) 1 D) 2 E) 4 R. D UNPRG 2005 – II 1. Se definen la operaciones:
)nm()nm(nm 2 ↔−=→
b.ab)ba( =↔−
Calcular: 52E →= A) 315 B) 450 C) 81 D) 270 E) 360 R.A UNPRG 2006 – II
1. Si el polinomio: ...x8x7x5x3)x(W cbacba2ba ++++= +++− Es completo y ordenado en forma descendente calcule el valor de:
cb222 )cba(A +++=
A) 2744 B) 196 C) 14 D) 12 E) 10 R. C UNPRG 2007 – I 1. Si 12x25))x(P(P += , la suma de coeficientes de )x(P es:
A) 8 B) 9 C) 5 D) 6 E) 7 R. E
2. Los dos monomios 15ba yx + ; b2a64 yx − son semejantes. El valor
de b3a2 + es: A) 11 B) 6 C) 7 D) 9 E) 5 R. D
3. Si p)kx(3x5x 22 +−=+− ; el valor de p es:
A) 4/13− B) 4/37− C) 4/13 D) 4/37 E) 4/1 R. A
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
101
UNPRG 2007 – II 1. Dado 5x2)x(f += ; nx2)x(g += , encuentre "n" de tal manera
que 10))x(f(g))x(g(f =− .
A) 10 B) 15 C) 12 D) 20 E) 8 R. B UNPRG 2008 – I
1. Dada 1x)x(f 2 −= , además )2x(x))x(g(f +=
Calcule: )2(f)3(g +
A) 10 B) 11 C) 7 D) 8 E) 9 R. C UNPRG 2008 – II
1. Dada la función polinomial: 9999x10002x10000x)x(F 23 +−−=
Calcular el valor de )10001(F
A) 2− B) 3− C) 1− D) 0 E) 1 R. A UNPRG 2009 – I
1. Si 22 baba −=∗ y 398 =∗θ , hallar θ si se sabe que es positivo A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 R. D 2. Se define 5x2)5x(P −=− . Además 5x4))x(f(P −= : Hallar )5(f
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6 R. A
3. Hallar el valor de: 4 ...111,0)3
1082)(
3
2362(P +−=
A) 19 B) 51 C) 137 D) 251 E) 361 R. A 4. Encontrar el polinomio cuadrático )x(F que verifica:
5x8x6)2
1x(F)
2
1x(F 2 ++=−++ para luego indicar la suma
de sus coeficientes. A) 7 B) 8 C) 6 D) 9 E) 5 R. B UNPRG 2010 – I 1. Calcular )nm( − ; si la fracción F ; es independiente de x e y .
22
22
y)1n(7xy10x)n2m(
y)1m2(3xy5x)nm4(F
+−+−
−+++=
A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 R. A 2. Determine el grado del producto
factores 10 ... )5x)(3x)(1x()x(P 963 +++=
A) 30 B) 90 C) 120 D) 150 E) 165 R. A
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
102
UNPRG 2011 - I
1. Sea [ ][ ]17 2
12 2
81,0)9,0)(2,0()1,0(
64,0)8,0)(4,0()2,0(K
++
++= y k5NK −= , hallar KN +
A) 5/4 B) 5/6 C) 5/7 D) 5/8 E) 5/1 R. B
2. Efectuar 1
...8
3
4
3
2
3
1536...241263Q +
∞+++
+++++=
A) 1 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128 R. C
3. A partir de 01x3x 2 =+− , calcular 5
357
x
xxx +−
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 R. C 4. ¿Cuales son los valores de m y n respectivamente para que la fracción sea independiente de x e y .
12y2x5
n4y)1m2n(x)2m(
++++−+−
A) 3y1 B) 3/1− y1 C) 3/1 y 1− D) 3− y1 E) 1− y 3/1 R. C UNPRG 2011 – II 1. Se define 5x2)5x(P −=− además [ ] 5x4)x(fP −= , hallar )5(f
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6 R. A
2. Si 75,0x = hallar x1 x1M −−+=
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 R. B 3. Hallar un polinomio de primer grado tal que la suma de sus coeficientes sea 20 y verifica que 45)2(p)1(P −=−+− . Obtener )6(P .
A) 100 B) 102 C) 105 D) 108 E) 110 R. C 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS UNPRG 2001 – II
1. El producto de dos polinomios es: 81x18x 22 +−
y el cociente de su M.C.M. y su M.C.D. es: 9x6x 2 +− Determinar el M. C.D. de dichos polinomios
A) 9x 2 − B) 1x + C) 1x − D) )3x)(1x( ++ E) 3x + R. E
2. Se cumple que: mba =+ , 2nab = y 3
1
)ba(ab3
ba 33
=+
+
Hallar n
m
A) 1 B) 2 C) 2 D) 4 E) 3 R. B
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
103
UNPRG 2002 – II 1. En la división inexacta se cumple que: a) El resto por defecto dividido entre el resto por exceso es igual al dividir. b) El resto por defecto más el resto por exceso es igual al divisor. c) El resto por exceso multiplicado por el resto por defecto es igual al divisor. d) El resto por exceso menos el resto por defecto es igual al divisor. e) El resto por defecto menos el resto por exceso el igual al divisor. R. B UNPRG 2005 – I 1. Al simplificar:
1...)yx()yx()yx(
1....)yx()yx()yx(404244
434445
++−+−+−
−+−+−−− se obtiene:
A) 1yx ++ B) 1yx −− C) 1yx +− D) 1yx −+ E) 1 R. C UNPRG 2005 – II 1. Hallar el número de términos irracionales en el desarrollo de:
4834 )xx( +
A) 44 B) 24 C) 39 D) 49 E) 54 R. A UNPRG 2006 – II 1. Un polinomio )x(P de cuarto grado en "x" , cuyo coeficiente principal es 2 ,
es divisible por )4x( 2 − y )3x( − , y al dividirlo por )1x( + da como residuo 12 .
Halle el residuo al dividir )x(P por )1x( − .
A) 26 B) 28 C) 29 D) 30 E) 25 R. D
2. En el binomio 723 )y2x( + , señale el cociente del coeficiente del quinto término del desarrollo entre el número de términos. A) 35 B) 60 C) 8/35 D) 70 E) 35/8 R. D
3. Si 24t yx es el término central del desarrollo del cociente exacto 2b
a75
yx
yx
−
−
el valor de bat2R −−= , es: A) 89− B) 125 C) 17 D) 11 E) 19 R. E UNPRG 2008 – I
1. Halle )nm( + si la división 3x
2xnxmxx2
235
−
−−+− tiene
por residuo 7x2)x(R += .
A) 3 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12 R. B
2. Si bb)ba( 22 +=+ , calcular: 33 ba +
A) 0 B) 3a2 C) 3b2 D) ab E) a R. A UNPRG 2009 – II
1. Calcular el valor de "a" para que el trinomio baxx 7 ++ sea divisible
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
104
entre 2)1x( +
A) 5− B) 4− C) 6− D) 7− E) 8− R. D 2. Si: 0SLG =++ )z8yx)(z10yx(G −+++=
)y8zx)(y10zx(L −+++=
)x8zy)(x10zy(S −+++=
Calcular: 222 zyx
yzxzxyH
++
++=
A) 13 B) 26 C) 7/39− D) 52 E) 65 R. A UNPRG 2010 – I
1. Calcular "ba" + si el polinomio 1x2x11bxax)x(P 234 ++++= tiene raíz cuadrada exacta. A) 30 B) 30− C) 35 D) 35− E) 15 R. C
2. Si 0cba =++ , calcular: 222
222
cba
)a2cb()b2ca()c2ba(E
++
−++−++−+=
A) 0 B) abc3 C) 3 D) 6 E) 9 R. E
3. Reducir: 44 62236223E +++−+=
A) 32 B) 4 2 C) 4 32 D) 4 23 E) 4 3 R. C UNPRG 2011 – I
1. Efectuar
−
−
++
x2x
1
8x
x1
x
2
x
4
2
32
A) x1+ B) x1− C) 1 D) 2x1+ E) 2x1− R. C
2. Simplificar )1mm)(1m(
)1m)(1m(242
6
++−
+−
A) 3m2 + B) 5m − C) 1m + D) 5m3 2 + E) 7m + R. C 3. FACTORIZACIÓN UNPRG 2000 – I
1. Al simplificar la expresión )!1!!n(
!!!n)!1!!n(R
−−+
= donde "n" es un número
natural mayor o igual que tres, se tiene:
A) !!nR = B) !nR = C) 2)!n(R = D) 2)!!n(R = E) nR = R. D UNPRG 2002 – II 1. La suma de coeficientes del MCD de los polinomios:
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
105
18x12x36x16)x(P 23 −−+= y 3x2x8)x(Q 2 −−= es:
A) 3 B) 1 C) 2 D) 1− E) 0 R. B UNPRG 2003 – I
1. Al factorizar la expresión: nmmnnmnm yyxyxx ++ +++ Uno de los factores es:
A) nmn yx + B) mn yx + C) nm yx + D) mm yx + E) nn yx + R. E UNPRG 2006 – II 1. Indique el número de factores primos cuadráticos de:
345878 xyxx2yx2xyx +++++
A) 0 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2 R. E UNPRG 2007 – I
1. la suma de los tres factores del polinomio 6x5x2x 23 +−− es: A) 3x2 − B) 2x + C) 2x − D) 2x3 − E) 2x3 + R. D UNPRG 2008 – I 1. La suma de coeficientes de M.C.D. de los polinomios
1xxx)x(P 23 +++= y 3x5x3x)x(Q 23 +++= es:
A) 6 B) 4 C) 2 D) 2− E) 4− R. C UNPRG 2008 – II 1. Hallar el M.C.M. de los polinomios:
9xx9x)x(P 23 −+−= ; 9x10x)x(Q 24 +−=
3x4x)x(R 2 ++= ; 3x4x)x(S 2 +−=
A) )1x)(9x( 22 +− B) )1x)(9x( 2 +− C) )1x)(9x( 22 −+
D) )1x)(9x( 22 −− E) )1x)(9x( 42 −+ R. D UNPRG 2009 – I
1. Factorizar: 2244 ba7ba)b,a(T −+= , indicando el número de factores primos cuadráticos. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 R. B 2. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de:
39)6x(x5)3x()x(P 4 ++++=
A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6 R. B UNPRG 2010 – I 1. Indicar el número de factores primos cuadráticos en
333242243 cbacbacba)c,b,a(M ++=
A) 1 B) abc3 C) 3 D) 4 E) 5 R. A UNPRG 2011 – II 1. Calcular el M.C.D. de los polinomios
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
106
4334 yyxxyx)y,x(A +++= 3223 yxyyx5x5)y,x(B +++= 3434 xyy3yx3x)y,x(C +++=
A) 22 yx + B) yx2 + C) yx + D) 22 yx − E) 2)yx( + R. C 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS UNPRG 2004 – II
1. Si: 5x
C
2x
B
x
A
)5x)(2x(x
5x3x2 2
−+
−+=
−−+−
entonces, el valor de CBA ++ , es: A) 3/13− B) 0 C) 2 D) 3/13 E) 2− R. C UNPRG 2008 – I
1. Después de descomponer la fracción 23 xx
1x3
−
+ en una suma de
fracciones parciales, indique una de ellas.
A) 2x
1 B)
x
1 C)
1x
1
− D)
x1
4
−−
E) 2x
4 R. D
UNPRG 2009 – I
1. Si la fracción algebraica: 6xx
x52 −+
se descompone en dos
fracciones parciales de numeradores A y B , hallar BA + . A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 R. A UNPRG 2010 – I
1. Reducir: 842 a1
8
a1
4
a1
2
a1
1E
−−
++
++
+=
A) 1a
1
− B)
1a
1
+ C) 1 D)
1a
12 −
E) 1a
12 +
R. A
2. La suma de los numeradores de las fracciones parciales en las que
se descompone la fracción 1x
1x52 −
+ es:
A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 6 R. B 5. TEORÍA DE EXPONENTES UNPRG 2000 – II
1. Resolver: 36333333 4x103x102x101x10x10 =++++ −−−− A) 2/1 B) 10/1 C) 3/1 D) 9/1 E) 6/1 R. A
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
107
2. El valor de: 2
1
1123
10
1
23
4
5
2
3
1
+
+
+
−−−−
es
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 R. E UNPRG 2002 – II
1. hallar el valor de "x" en: ( ) 1x275x
3 9 82−
=+
A) 2 B) 11 C) 1 D) 9 E) 15 R. B UNPRG 2003 – I
1. Dado: 8)x2( 1x2 =− , la suma de las cifras de )x(24 es:
A) 3 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11 R. A
2. Si 2x x = , entonces el valor de 1xxxxP
++= es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 R. C 3. Determinar la suma de A y B
Si: 3 81 31222A ++= y 48375B 3 −−=
A) 233 + B) 3 242 + C) 3 342 +
D) 332 − E) 233 − R. C 4. Determinar el valor de "n" para el cual la expresión:
( )
)x()x(
)x(x)x(E
n921n
5n351n2
−
−
= es de sétimo grado.
A) 5 B) 3 C) 2 D) 7 E) 4 R. C UNPRG 2005 – II 2. Si abba =+ , el valor de:
ba
a bb a
22
22W
+
+= es:
A) 3/1 B) 2/1 C) 3 D) 4/1 E) 2 R. B UNPRG 2006 – I 1. Indique el exponente final de "x" en A
3 4 53
4 3 58
x x
x xA =
A) 1 B) 2 C) 4 D) 0 E) 5 R. A UNPRG 2006 – II
1. Si mnppnm =++ , entonces: p.np.mn.m
p n.mn p.mm p.n
xxx
xxxW
++
++= es
A) p.nx B) p.mx C) 1 D) p.n.mx E) n.mx R. C
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
108
UNPRG 2008 – I
2. La simplificación de: 1)2,0()25,0(E11 )25,0()2,0( +−=
−− −− es:
A) 1 B) 4 C) 9 D) 15 E) 20 R. E UNPRG 2008 – II
1. Simplificar: n3
n3
1n3
81
3
364
+
A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 9 R. C UNPRG 2009 – I
1. Si 7805555 4n3n2n1n =+++ ++++ , hallar el valor de n . A) 1 B) 0 C) 2 D) 5 E) 3 R. A UNPRG 2009 – II
1. Efectuar: 5xx5x5
5x5x
37
37E −
−−
−−
+
+=
A) 21 B) 7 C) 35 D) 53 E) 28 R. A
2. Conociendo que: 642x xxx)x(P2
++= , hallar )2(P .
A) 10 B) 4 C) 14 D) 8 E) 2 R. C 6. LOGARÍTMOS UNPRG 2000 – I 1. Si d ,c ,b ,a y f son números naturales mayores que uno y todos ellos diferentes entre sí, entonces simplificar la expresión: alog. flog . dlog . clog. blogE fdcba=
A) 1E = B) 2E = C) 3E = D) 4E = E) 5E = R. A UNPRG 2001 – I
1. Si: a2n = y b4n = , donde 0n ≠ . El valor de alogb es:
A) 3/1 B) 4/1 C) 1 D) 2 E) 2/1 R. E UNPRG 2003 – I
1. Si x216log x = , el valor de 2log
xlogE
x
2= es:
A) 1 B) 1− C) 2 D) 2− E) 0 R. A 2. Al resolver la ecuación: [ ] 2)3x(logLog 23 =−
El valor de x es: A) 512 B) 525 C) 521 D) 515 E) 518 R. D
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
109
UNPRG 2005 – II
1. Siendo { }7A = y :R conjunto solución de: 340xlog
)11xlog(co3
=−
++−
La suma de los elementos de RA∪ es: A) 42 B) 83 C) 13 D) 90 E) 55 R. E UNPRG 2006 – I 1. Determinar el valor de "y" del sistema
12e yx =+ ….. )I(
3e yx =− ….. )II(
A) 4Ln B) 2Ln C) 3Ln D) 6Ln E) 5Ln R. B UNPRG 2006 – II
1. Calcule 2x en: xy
yy
15yy
xlogco)xloganti(logco
)y(loglog=
−
A) 49 B) 25 C) 4 D) 5 E) 16 R. B UNPRG 2007 – I
1. Si satisface la ecuación: )1xln(1)1xxxln( 4246 −+=−−+ el
valor de "x" es:
A) 1 B) 1e +− C) 1e − D) 1e + E) e1− R. C
UNPRG 2007 – II 1. Calcular "x" de: 2)7x(log )1x2( =+−
A) 0 B) 2 C) 2− D) 4 E) 3 R. B UNPRG 2008 – I
1. Si se verifica que: n)1n(n
1...
4x3
1
3x2
1
2x1
1log
n
10
11 =
+++++
−
Calcular: )n10nlog( 2 +
A) 2log3 B) 2log2 C) 2log3+ D) 2log2 + E) 3log2 + R. D UNPRG 2008 – II
1. Resolver: 5x25,0logx5,0logx2log 2
2
2
2
2
2 =++
A) 16 B) 4 C) 2 D) 8 E) 32 R. C UNPRG 2011 – I
1. Si 110b −= , hallar el valor de ∑=
+99
1k
bk
1klog
A) 1 B) 1− C) 0 D) 2− E) 2 R. D
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
110
Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) Preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, durante los años: 2000 – 2010 1. GRADO, POLINOMIOS Y VALOR NUMÉRICO UNMSM 2003
1. Si 184!n
)3!n(!n=
+−
, determine el valor de 7n3nK 2 ++=
A) 47 b) 17 C) 33 D) 35 E) 61 R. D UNMSM 2004 – I
1. Hallar el valor de 8 478 48 38 28 2...22221E ++++++=
A) 2
2 63 8
B) )12(63 − C) 12
638 −
D) 63
12 − E)
63
128 − R. C
UNMSM 2004 – II
1. Halle el valor de la expresión: ...222,2
...)666,1...)(4545,2(22E =
A) 2
29 B) 2/9 C)
4
29 D)
4
9 E) 29 R. A
2. El polinomio:
17n217n321n3n2 )1x5)(n7x5()3x2)(9xn()1x2()3x7()x(P −−+− −−++−+−−=
tiene como término independiente 112 . Halle n . A) 13 B) 18 C) 16 D) 20 E) 12 R. C UNMSM 2005 – II
1. Si kab = y 222 bac += halle 2
2
2
2
2
2
c
b
a
b
c
aE ++=
A) 2k5 + B) 2k31+ C) 2k21+ D) 2k1+ E) 2k2 + R. D UNMSM 2009 – II
1. Si el polinomio ...x)2n(x)1n(nx)x(P 7n6n5n +++++= +++ es ordenado
y completo, calcule )1(P)1(P −− .
A) 15− B) 12− C) 12 D) 5 E) 15 R. B
2. Si ...1111,0...8888,0
...121212,0...9999,0f
++
= es una fracción irreductible, halle la suma de los
dígitos del numerador. A) 6 B) 10 C)8 D)9 E) 11 R. B
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
111
2. OPERACIONES CON POLINOMIOS UNMSM 2001
1. Si el cociente notable 2n
m30
yx
yx
−
− tiene 10 términos, halle el valor de )nm( +
A) 23 B) 21 C) 25 D) 35 E) 50 R. A UNMSM 2004 – I
1. El resto de la división de un polinomio )x(P entre 2x3x 2 ++ es 3x2 + ; y entre
3x2x 2 −+ es 2x − . Halle el resto de la división de )x(P entre 1x 2 − .
A) 2x +− B) 5x3 +− C) x− D) 1x2 − E) 3x2 − R. C UNMSM 2004 – II
1. Si 0a > , al simplificar la expresión )a1a)(aa)(aa( x4x4xxxx ++−+ −− se obtiene:
A) x6x6 aa −+ B) 3x2x2 )aa( −− C) x6x6 aa −−
D) 6xx )aa( −− E) 2x3x3 )aa( −− R. C 2. La diferencia de los cubos de dos números impares consecutivos es 602 . ¿Cuál es su suma? A) 20 B) 18 C) 14 D) 16 E) 12 R. A UNMSM 2005 – I
1. Se divide el polinomio 3223 a2ax7ax2x +−+ entre ax − . ¿Cuál debe ser
el valor de 2a de modo que el residuo sea 1?
A) 2
43
B) 3
43
C) 2
23
D) 4
23
E) 2
33
R. C
UNMSM 2005 – II
1. Si [ ]2222 z)x2y(2)zyx2()zyx2( +−=+−−−− ,
Halle z2
yx2
yz2
zx2E
2
−+
−−
=
A) 2/3 B) 1 C) 2/3− D) 2/1 E) 2/1− R. D 2. Si x es un número real tal que el término central en el desarrollo
de 12
2
x3
3
2
− es 924 , halle el valor de 642 xxx1 +++
A) 4 B) 8 C) 6 D) 16 E) 2 R. A
3. ¿Qué término en el desarrollo de 932 )xy2yx( −− carece de la variable x ?
A) El º5 término B) El º6 término C) El º3 término D) El º7 término E) El º8 término R. D
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
112
UNMSM 2008 – I
1. Al dividir un polinomio )x(P entre 1x 2 − se obtiene 4x2 +− de residuo, y al
dividirlo entre 2xx 2 −− se obtiene 14x8 + de residuo. Determine el residuo
que se obtendría al dividir )x(P entre 2x2x 23 +− .
A) 6x2x10 2 −− B) 6x2x10 2 ++ C) 6x2x10 2 +−−
D) 2x6x10 2 −+− E) 2x6x10 2 −+ R. A UNMSM 2009 – I
1. Si el polinomio )x(P se divide entre )2x( − , el cociente es 1x2x 2 ++ y el
residuo es r . Pero si )x(P se divide por )4x( − , el residuo es )r(− . ¿Cuál es el valor de r ? A) 25 B) 25− C) 20 D) 20− E) 0 R. B UNMSM 2009 – II
1. Halle el coeficiente de 3x en el desarrollo del binomio 111))x2(x2( −+ .
A) 330 B) 660 C) 1320 D) 2640 E) 5280 R. D 3. FACTORIZACIÓN UNMSM 2005 – I
1. Si 0abcxyzczbyax =+++ , calcule el valor de )1cz)(1by)(1ax(
)1cz)(1by)(1ax(E
−−−+++
=
A) 1− B) 5 C) 2− D) 5− E) 2 R. A UNMSM 2007 – I
1. Con respecto a las raíces del polinomio 5x4x3x2x)x(P 234 +−+−= , marque la alternativa correcta. A) No tiene raíces negativas. B) Solo tiene dos raíces negativas. C) Tiene cuatro raíces negativas. D) Solo tiene tres raíces negativas. E) Solo tiene una raíz negativa. R. A 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS UNMSM 2002
1. Si se verifica la identidad: 3x
c
1x
b
b
a
x3x2x
x223 −
++
+=−−
−
para todo número real, x distinto de 0 , 1− y 3 . Halle el valor de cba ⋅⋅
A) 24/1− B) 24/1 C) 8/3 D) 8/3− E) 6/1 R. B
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
113
5. TEORÍA DE EXPONENTES UNMSM 2000
1. Si x
2x4x
5
55A
++ −= y
y
3y5y
3
33B
++ −= , calcule
=B
A36E
A) 10E = B) 100E = C) 36/100E = D) 216E = E) 600E = R. B UNMSM 2004 – I
1. Si x2x2 43 816 = entonces x es:
A) 3/1 B) 3 C) 2 D) 4/1 E) 2/1 R. E UNMSM 2004 – II
1. Halle el valor de E si 222 bccaba += y ba
2
c
c ba
c ba
b ac
b ac
a cb
a cb
x
x
x
x
x
xE +
−
+
−
+
−
+
⋅⋅=
A) 3x B) 4x C) 2x D) 1x − E) x R. E UNMSM 2005 – I.
1. Al simplificar la expresión xx
xx
44
22−
−
−
− se obtiene:
A) 24
2x
x
− B)
xx 22
1−−
C) 14
2x
x
+ D)
x2
x
21
2−+
E) x
x
41
2
− R.C
UNMSM 2005 - II
1. En la ecuación x 23x x517x mm m =+ . Con 0m > , el valor positivo de x es A) 2 B) 1 C) 3 D) 6 E) 5 R. B UNMSM 2006 - I
1. Resuelva la ecuación exponencial 24822222 2x1xx1x2x =++++ −−++
Calcule 1xx1x 222E −+ ++= A) 5 B) 15 C) 2 D) 112 E) 115 R. D UNMSM 2007 – I
1. Si 777
77 8
1
34n
n15
=
−
−−
halle la suma de las cifras de n .
A) 9 B) 8 C) 1 D) 3 E) 2 R. E UNMSM 2009 – I 1. Hallar el valor de m para que se verifique la igualdad
10001,0)01,0()1,0( m2m =−−
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
114
A) 12
11 B)
15
11− C)
8
11 D)
11
12 E)
12
11− R. A
UNMSM 2009 – II 1. Si x es un número positivo, tal que
1
a
4
3 23 xxxx
−
= y b3)3(29
)3(7b21b
1b
=−+
−
Halle la suma de ba + A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 7 R. C 6. LOGARITMOS UNMSM 2002
1. Si 4)2x(4log)2x(log )2x()2x( =+++ ++ , halle 1x12x 2 ++
A) 4 B) 0 C) 2 D) 3 E) 1 R. E UNMSM 2003 1. Si 4x −> , halle el valor de x que resuelve la ecuación:
)20x9xlog(1)16x8xlog()5xlog( 22 +++=++++
A) 1 B) 10 C) 4 D) 2 E) 6 R. E UNMSM 2004 – I
1. halle el producto de las soluciones de 12xlogxlog 7 −=
A) 910 B) 610 C) 710 D) 310 E) 510 R. C 2. Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: 3010,02log = , 4711,03log = , calcule
2880log con cuatro cifras decimales.
A) 4116,1 B) 7236,1 C) 2236,2 D) 7060,1 E) 0103,2 R. B
UNMSM 2004 – II
1. Si para 0a ≠ y 0b ≠ , definimos ab logba 2=∗ , halle el conjunto solución
de la ecuación 4)14()41(x ∗∗−=∗∗
A) { }4,4− B) { }2,2− C) { }4 D) { }2 E) { }8 R. A
2. Si x es solución de la ecuación: 070log)46log()25log( 2x1x =++−− ++ ,
entonces el valor de 1232 x...xxx1 +++++ es A) 12 B) 13 C) 11 D) 1 E) 4 R. B
3. Resuelva la ecuación: 32)1x(log8 =+
A) 15 B) 9 C) 26 D) 21 E) 63 R. C UNMSM 2005 – I 1. El valor de x en la expresión: 32xlog4xlog2xlog3 842 =++ es
A) 32 B) 16 C) 64 D) 8 E) 36 R. C
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
115
2. Sean 1b > , 0senx > , 0xcos > y a)senx(logb = . Halle )x(coslogb .
A) ( )a2
b b1log2
1+ B)
− 2
a
b b1log2 C) )1b(log2
1 a2
b −
D) )b1(log2 a2
b − E) )b1(log2
1 a2
b − R. E
3. Si n
ba
1A
= , xaB = donde 0a > y 0x ≠ ,
calcule el valor de )A(logx B
A) bn − B) nb C) xnb − D) nb− E) xbn +− R. D 4. El valor absoluto de la diferencia de las soluciones de la ecuación
16log243
1logx
3
123
xlog2 3
−=
+
−
es
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 R. D .
5. Las soluciones de la ecuación: ba x2x2
=+ con 1a > , 1b > , son
A) )aln(
)abln(1±− B)
)aln(
)abln(1± C)
)aln(
)abln(±
D) )bln(1±− E) )aln(
)abln(2 ± R. A
Universidad Nacional Nacional de Ingeniería (UNI) Preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería, durante los años: 2000 – 2010 1. GRADO, POLINOMIOS Y VALOR NUMÉRICO UNI 2000 – I 1. Sean Q,P dos polinomios dados por:
dcxbxax)x(P 23 +++= y 1x3xx2)x(Q 33 ++−=
Si )1x(Q)x(P −≅ determine el valor de dcba +++ .
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 R. B
2. Sean los polinomios: dcxbxax)x(P 23 +++= , dax)x(Q 2 += y bax)x(R += .
Si 2)0(P = , 1)2(R)1(Q == , halle x talque 0)x(R =
A) 3− B) 1− C) 0 D) 1 E) 3 R. E UNI 2001 – I
1. Dada la función polinomial: 999 9x020 10x000 10x)x(P 23 +−−= .
Calcule el valor de )001 10(P
A) 3− B) 2− C) 1− D) 0 E) 1 R. B
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
116
UNI 2001 – II
1. Sabiendo que d
D
b
B
a
A== y además 3M)dD)(bB)(aA( =+++
Calcule 32D
AB DE = + 3
2d
ab d
A) M B) 3 M C) 3
2
M D) 3M E) 2M R. A
UNI 2004 – II 1. Dados los siguientes polinomios )x(P de grado 2 y término independiente uno, y
1x3)x(P)1x()x(Q ++−= . Si 7)2(Q = y 2)1(P = ,
halle la suma de raíces de )x(Q .
A) 0 B) 3/8 C) 3/10 D) 4 E) 5 R. B UNI 2007 – I
1. Sea cbxax)x(p 2 ++= tal que 2)1(p −= , 3)2(p = y 34)5(p = .
Determine un valor de x de modo que 0)x(p =
A) 8
343− B)
8
2173+− C)
8
173+−
D) 8
3217 + E)
8
3217 + R. B
UNI 2007 – II 1. Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros
que tenga como raíces a los números reales 32 − y 23 − . Dé como respuesta la suma de sus coeficientes. A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84 R. E UNI 2008 – I
1. Halle el valor numérico de:
1
33
33
nm
mnP
−
−−
−−
⋅
+=
si 33 18 2mn , 12nm ==+
A) 24− B) 12− C) 24
1− D)
24
1 E)
12
1 R. C
2. OPERACIONES CON POLINOMIOS UNI 2000 – II 1. Cuatro números enteros positivos d,c,b,a están relacionados en la siguiente forma:
dcba
ba
c
b
b
a 2
2
2
=+++
==
Si kab = , entonces dcba +++ es igual a:
A) 1kkk 23 −++ B) 1kkk 23 ++− C) 1kk 3 −+ D) 1kk 3 +−
E) 1kkk 23 −−+ R. C
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
117
2. De los siguientes enunciados: I. Todo número impar es la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos. II. El cuadrado de un número entero positivo par n , es igual a la suma de los n primeros números pares positivos. III. La diferencia de los cubos de dos números enteros consecutivos disminuido En una unidad, es divisible por 6 . Podemos afirmar que: A) FFF B) FFV C) FVF D) VFV E)VVV R. D UNI 2003 – I
1. Calcule el valor de ca
5caK
−−+
= ; si la división 1xx
caxx2
21
+−
+− es exacta.
A) 10 B) 8 C) 2 D) 6 E) 4 R. C UNI 2003 – II 1. Un número n es múltiplo de 3 . Entonces podemos afirmar que el residuo
de dividir 54n55n3 222 ++ ++ entre 7 es: A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 R. D UNI 2007 – II
1. Al simplificar: )n,m(R)bbaa(
)bnbmanam()bnbmanam(Q
3/43/23/23/4
22
+−
−−−+−++=
donde ∞∈ ,0n,m y )nmmn2)(nmn2m()n,m(R +++−=
Entonces obtenemos:
A) )ba(2 + B) )ba(2 − C) 3/23/2 b2a2 + D) 3/23/2 b2a2 − E) 3/23/2 ba + R. C UNI 2010 – II 1. ¿Qué condición deben cumplir los números reales b y c para que el polinomio
cbxx 2 ++ sea divisible por 1x − ? A) 1cb =− B) 1cb =+ C) 2bc =− D) 1cb −=− E) 1cb −=+ R. B
2. Si )0x( , 0xx 1 ≠=− − , entonces los valores de 22 xx −+ y 33 xx −− son:
A) 3 y 4 B) 2 y 3 C) 2 y 2
1 D) 3 y
3
1 E) 4 y
4
1 R. A
3. FACTORIZACIÓN UNI 2000 – II 1. Si 0bdabbcadac =++++ , determine el valor de x , de modo que: )dca(x)dcb( ++=++
A) 22 a/b B) 22ba C) 22 ba + D) 22 ba − E) b/a 2 R. A
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
118
4. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES UNI 2001 – I
1. Sean z ; y ; x números naturales, donde 4375,116
z
4
y
2
x=++ .
¿Cuántas ternas )z,y,x( solución se obtienen, en las cuales 3z = ?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 R. D UNI 2002 – I 1. Con tres números enteros ax1 = , 2ax 2 += , 4ax 3 += se forman las
seis posibles fracciones i
k
x
x , para 1k ≠ .
Para que la suma de dichas fracciones sea un número entero, será necesario que ix valga.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 R. B UNI 2003 – II 1. Halle el menor entero positivo n tal que las 73 fracciones
93n
91 ; ... ;
23n
21 ;
22n
20 ;
21n
19
++++
sean todas irreductibles. A) 93 B) 95 C) 97 D) 101 E) 103 R. B 5. TEORÍA DE EXPONENTES UNI 2008 – II
1. Para los enteros positivos a y b se define: 1b2aba −=∗ . Si x e y son enteros
positivos y , 32yx =∗ ¿cuál de los siguientes números podrían ser el valor de y?
I. 1 II. 2 III. 3 A) solo I B) solo III C) I y III D) II y III E) Todas R. C UNI 2010 – II
1. Si a64 a2 = y b54
)b3(3 = , halle b2a3 +
A) 48 B) 96 C) 66 D) 94 E) 44 R. C 6. LOGARITMOS UNI 2000 – II
1. Halle las raíces en la siguiente ecuación: xlogxlog =
A) 4
21 10x ; 1x == B) 2
2
2
1 10x ; 10x == − C) 3
2
1
1 10x ; 10x == −
D) 2
2
1
1 10x ; 10x == − E) 5
21 10x ; 1x == R. A UNI 2002 – I 1. Del sistema:
1123 y1x =−+
4123 1yx =+ +
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
119
Halle xlog y
A) 2/1 B) 3/2 C) 2/3 D) 2 E) 4 R. A UNI 2003 – II
1. Las soluciones reales de la ecuación 3)x20x(log 2
5 =− son:
A) no existen B) únicamente 25x = C) únicamente 5x = D) 5x1 = ; 25x 2 = E) 5x1 −= ; R. E UNI 2004 - I
1. Dada la siguiente ecuación: n)1xlog()1x2log(n log10n =−+−
Halle x , sabiendo que n es cualquier entero positivo y log es el logaritmo
en base 10 . A) 6 B) 3 C) 4 D) 2 E) 2/3 R. B UNI 2004 – II
1. Determine la base a tal que 2
127loga
−=
A) 243
1 B)
81
1 C)
27
1 D)
9
1 E)
3
1 R. C
UNI 2007 – II 1. ¿Cuántos números enteros positivos b tienen la propiedad de que 531441Log b
sea un número entero. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 R. C 2. La suma de los cuadrados de dos números es 29 y la suma de sus logaritmos (en base 10 ) es 1. Dichos números son: A) 2− y 5 B) 4 y 5 C) 2 y 5− D) 2 y 5 E) 3 y 20 R. D 7. RACIONALIZACIÓN UNI 2000 - I
1. Sea 532
1E
++= , entonces la expresión racionalizada es:
A) 12/)301812( −+
B) 18/)301815( −+
C) 12/)301812( +−
D) 18/)301815( +−
E) 12/)301512( −+ R. A
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Allen, A. (1997). Álgebra intermedia (4ª ed.). México: Prentice Hall.
- Barnett, R., Ziegler, M. y Byleen, K. (2000). Algebra ( 6ª ed.). México: McGraw – Hill.
- Bello, I. (1999). Álgebra elemental. México: International Thomson Editores.
- Gustafson, D. ( 2003). Álgebra Intermedia. México: International Thomson Editores.
- Instituto de Ciencias y humanidades. (2008). Álgebra y principios del análisis, Tomo I y II.
Lima: Lumbreras editores.
- Instituto de Ciencias y humanidades. (2009). Admisión UNI 2000 - 2008. Lima: Lumbreras
editores.
- Instituto de Ciencias y humanidades. (2010). Admisión UNMSM 2000 – 2010-I. Lima:
Lumbreras editores
- Kaufmann, J. y Schwitters, K. (2000). Álgebra Intermedia (6ª ed.). México: International
Thomson Editores.
- Mikhaild, M. (2005). Álgebra teoría y práctica. Lima: Editorial San Marcos.
- Quijano; J. (1991). Álgebra teoría y problemas:Tomo I. Lima: Editorial San Marcos.
- Rodriguez, M. (1989). Álgebra. Lima: Editora Algorítmo.
- Rubiños, L. (2001). Razonamiento matemático moderno. Lima: Editorial Moshera
- Sobel, M. y Lerner, N.(1996). Álgebra (4ª ed.). México:Prentice Hall Hispanoamericana.
- Torres, C. (2000). Álgebra teoría y práctica. Lima: Editorial San Marcos.
- Villon, M. (1995). Álgebra: Tomo I (10ª ed.). Lima: FAVAL.
- Zill, D. y Dewar, J. (2003). Álgebra y Trigonometría (2ª ed.). Bogota: McGraw – Hill
RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios 01: Grado de un polinomio y polinomios especiales 4. 5m = y 3n = 6. 19/39 8. 5 10. 8 12. 3 14. 1 16. 2 18. 16
20. 8 y 8− 22. 5 Ejercicios 02: Valor numérico de expresiones algebraicas 2. 8/11 4. 25/74 6. 2/23 8. 6/5 10. 18/25 12. 1 14. 11/7
16. 20− 18. 1 20. x 22. 2/1 24. b 26. 4 28. 5 Ejercicios 03: Adición y sustracción de polinomios enteros
2. 3223 y5x2xy3yx5x −−−−− 4. 2x8
9xx
6
1x
5
2 234 +−−+
6. x10
9x
8
1x
2
1x
3
2x2 2345 ++−−− 8. 54322345 y
2
3xy
4
3yx
6
5yx
2
1yx
5
7x
9
8−−−−+
10. 8y6y4y6y2 234 −−++ 12. 31y19y11y14y40y 4235 −+++−
14. 4322355 xy21yxyx8x20y28 −+−−− 16. 2
21xy
8
3yx
6
7x
36
55 223 −++−
18. b9a14x9 −+ 20. 4
3y
18
37xy3 2 ++
Ejercicios 04: Multiplicación de polinomios enteros- Productos notables
2. 20m11m8m 246 ++− 4. 1x8 3 + 6. 432234 yxy6
7yx
60
17yx
10
1x
5
3−+−+
8. 443223 ax4
3xa
18
23xa
12
19ax +−−+ 10. 2n3n4n5n xx3xx ++++ +++−
12. 1a22a23a24a25a2 x2x4x3x2x +++++ +−−+ 14. 1x16 − 16. 396− 18. y6y6 xx −−
20. 1x 6 − 22. 612 yx − 24. 1x 6 − 26. 0 28. ab4 30. 1xx1nn
22 ++−
32. 34 34. 168 36. 2− Ejercicios 05: División de polinomios enteros- Cocientes notables
2. x4x5x2 35 −− 4. 22 n2
3mn
3
8m +− 6. 1zx
5
3xyz
5
4x
10
9 232 −++−
8. 23 x5
3x
8
3x −− 10. 25)x(R,13x5x4x2)x(C 23 =+++=
12. 8
15)x(R,
8
1x
4
5x
2
5x2)x(C 23 −=−+−= 14.
4
21x
8
21)x(R,
8
17x
4
1x
2
1x 23 +=+++
16. 8
31x
8
43x
8
19)x(R,
8
15x
4
5x
2
1 22 −+=−− 18. 8m = y 12n = 20. 6 22. 1 24. 40
26. 22 28. b) 81x27x9x3x 234 ++++ d) 32 m5xy4 − f) 6324 y49yx28x16 ++
h) 15123966931215 bbabababaa −+−+− j) 1...)1x()1x()1x( 3n2n1n +++++++ −−−
l) 222222 )2y()2y)(3x()3x( −+−−−−
Ejercicios 06: Factorización
2. )yx)(yx)(zx( +−+ 4. )yx)(yx)(1yx( +−++ 6. )yx(yx( mnpp ++
8. )rpq)(qp( 2++ 10. )10m6m)(4m( 2 +++ 12. )zyx)(yx( pnmba +++
14. )3x)(3x)(ba)(ba( +−+− 16. )ax)(ax)(ax)(aaxx)(ax( 2222 ++−+−+
18. )yxyx)(zy)(zy)(yx( 22 +++−− 20. )1m)(1m)(1x)(1x( +−+−
22. )2y2x)(y2x( +++ 24. )2x3)(4x5( 22 −+ 26. )b2a)(b3a(ba4 2 +−
28. )y3x2)(y5x3( ++ 30. )1x2x)(4x2x( 22 −−+− 32. )53)(63( 1x1x +− ++
34. )2x)(1x)(1x( +−+ 36. )1x)(4x)(1x( 2 ++− 38. )7x4x)(2x( 2 +++
40. )1x3)(1x2)(1x2( +++ 42. )1x)(1x)(1x3)(1x2)(1x2( +−+−−
44. )1x5)(1x3)(1x2( −++ 46. )5x5x)(5x5x( 22 ++++ 48. )6x2x)(8x2x( 22 −+−+
50. )8xx)(2x)(3x( 2 −−+− 52. )5x4x)(7x4x( 22 +−−− 54. )1x3x)(1x3x(2 22 ++++
56. )mnnm)(mnnm( 2222 ++−+ 58. )4x2x)(4x2x( 2424 −+−−
60. )3x2x)(3x2x( 22 +++− 62. )abc4c8ba)(abc4c8ba( 222222 ++−+
64. )xy5yx)(xy5yx( 2222 +−−− 66. )1xx)(1xx( 232 −++−
68. )1aa2a)(3a3a( 232 +++++ 70. )1xx)(1xx( 32 +−++
72. )1mm)(1mm)(1mm( 2622 +−+−++ 74. )1xx)(1xx( 4624 −++− 76. 2
78. )1x/()1x( −+ 80. ba + 82. 1x3 − 84. )y1)(y1( +− 86. yx +
88. abba 22 +− 90. 16 Ejercicios 07: Fracciones algebraicas
2. 60
yx5 + 4.
2
2
x15
5x15x19 ++ 6.
2
2
x6
14x9x3 ++− 8. 1 10.
3
1 12.
)1m)(1m(4
10m3m3 2
+−
+−
14. )1a2)(2a3(4
)3a(a
−−−
16. )1xx)(1x(
4x2x32
2
+−+
++ 18.
2)5x)(5x(
30x4
−+
+−
20. 1x
1
− 22. ab 24. 1x + 26. )3x(x2 − 28.
y
yx − 30.
1x
)2x(x
+
− 32. 1
34. 2
22
xy
yxyx +− 36. 0 38. 2x − 40.
)1m)(5m(
)7m)(6m(2
+−−+
42. 3 44. 1 46. xm
nxm
+
+
48. 2x
4
6x
5
+−
− 50.
2)3x(
1
3x
5
x
4
−+
−+
− 52.
1x
2
3x
1x32 −
−+
− 54.
1x
2x
2x
1x222 +
−+
−
+
56. 5432 )1x(
2
)1x(
1
)1x(
1
)1x(
3
1x
2
−+
−+
−+
−+
− 58.
)1xx(2
1x
)1xx(2
1x22 +−−
−++
+
Ejercicios 08: Teoría de exponentes
2. 1 4. 2
9 6. 1 8. 16 10. 3nx − 12. 3 14. 6 16. m ab 18.
x 4/155 20. 3
22. 4 24. 10 26. 7 28. 7
Ejercicios 09: Racionalización
2. yx
xy53
5 2
4. 4
23
6. xy2
yx38 46
8. yx
)yx)(yx(7 44
−
++ 10.
y9x4
)y3x2(x5
−
+
12. yx4
)yx2(5
−
+ 14. )532(6
4
1++ 16. 21+ 18.
3
6439182 −+
Ejercicios 10: Logaritmos
2. 7 4. 2− 6. 2
9− 8.
3
1− 10. 58,0 12. 8 32 14. 2 16. 1 18. 4 y 8
20. 2 22. 2
Diseño y diagramación: Carlos Gamonal Torres
Consultas y sugerencias al e-mail del autor: [email protected]