(M-1) Ideas Bsicas de lgebra

(M-1) Ideas Bsicas de lgebraSon solo tres ideas bsicas y las reglas para manejar las relaciones ("ecuaciones") que implican cantidades desconocidas, cuyos valores est intentando hallar.

En la mayora de los clculos intentamos encontrar un nmero. Por ejemplo, el rea de un terreno rectangular de 25 metros de longitud y 40 metros de anchura (o yardas o pies) es

25 x 40 = 1000 m2Hasta que llevemos a cabo la multiplicacin, podemos representar la respuesta por alguna letra, normalmente la x, y escribir

25 x 40 = xPodemos decir que "x simboliza una cantidad desconocida". La idea fundamental del lgebra es muy simple:

La cantidad desconocida x es un nmero como cualquier otro. Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir de la misma forma que los nmeros comunes.A la relacin matemtica que implica a nmeros conocidos (como 25 o 40) y a desconocidos (como x) se la conoce como una ecuacin. A veces no tenemos x de una forma tan clara como anteriormente, sino que est dentro de alguna expresin complicada. Par obtener una solucin, deberemos reemplazar la susodicha ecuacin (o ecuaciones) por otras que contengan la misma informacin pero de forma ms clara. El objetivo final es aislar la incgnita, para que parezca aparte, para proporcionar a la ecuacin la entedicha frmula, a saber

x = (expresin conteniendo solo nmeros conocidos)Una vez alcanzado esto, el nmero que representa la x puede calcularse rpidamente.

Por ejemplo:

"Cual es el nmero que si lo dobla, luego le suma 5 y luego divide esa suma por 3, obtiene 3?"Llame a ese nmero x. La declaracin hecha mediante palabras puede tambin escribirse por medio de una ecuacin:

(2x + 5)/3 = 3

El parntesis encierra las cantidades que se manejan como un nmero nico, y 2x significa "2 veces x". En lgebra, los smbolos (o parntesis) colocados junto a otros se sobreentiende que estn multiplicados. Si sigue esta regla, nunca se confundir por la similitud entre la letra x y el signo de la multiplicacin. Los programas de computadora, en cambio, normalmente representan la multiplicacin mediante *, colocado un poco ms bajo que aqu.

Una segunda idea fundamental en lgebra es:

Si tiene una ecuacin y modifica ambos lados de la misma exactamente igual, lo que obtiene tambin es una ecuacin vlida.Puede sumar, restar, multiplicar o dividir cualquier nmero que desee; si lo hace de forma igual en ambos lados de la igualdad, el resultado sigue siendo vlido. Asimismo la nueva ecuacin sigue conteniendo la misma ecuacin que antes. (Pero no multiplique ambos lados por 0 y obtenga 0 = 0; el resultado es correcto, pero toda su informacin se ha desvanecido en el aire.)

Por ejemplo, la ecuacin dada anteriormente:

(2x + 5)/3 = 3

Multiplique ambos lados por 3:

(2x + 5) = 9

Reste 5 en ambos lados:

2x = 9 - 5 = 4

Divida ambos lados por 2:

x = 4/2 = 2

Y se obtiene el resultado, x = 2. El lgebra de bachillerato contiene un montn ms, pero las reglas simples anteriores, ms el objetivo bsico de "aislar el nmero desconocido", le dar buenos resultados.

Frecuentemente se salta un ltimo paso, pero no se debe hacer. Para estar seguro de que no ha cometido un error por el camino, tome la ecuacin original

(2x + 5)/3 = 3

y reemplace en ella la cantidad desconocida x por el valor que ha calculado, en este caso el nmero 2, y compruebe si los dos lados son iguales. Si lo son, puede estar seguro de que su respuesta es correcta.

Un tercer elemento es la sustitucin:

Si sabe que una cantidad o expresin desconocida se puede expresar de forma diferente, puede sustituirla por la forma alternativa de expresarla. Esto proporciona una nueva ecuacin, que algunas veces lleva a la solucin.Suponga que tiene dos cantidades desconocidas, x e y, y dos ecuaciones asocindolas (hacen falta dos para obtener una solucin nica, ya que con solo una, existe un nmero infinito de pares de x e y que lo satisfacen):

x + 2y = 7 (1)

2x + y = 5 (2)

Reste 2y a ambos lados de (1):

x = 7 - 2y (3)

y sustituya esto por x en (2)

2(7 - 2y) + y = 5Luego

14 - 4y + y = 5Reste 14

- 4y + y = 5 - 14

-3y = -9Multiplique ambos lados por (-1)

3y = 9 y = 3Luego de (3)

x = 7 - 2y = 7 - 6 = 1Como prueba final, coloque x=1, y=3 en las ecuaciones (1) y (2) y asegrese de que esas soluciones satisfacen los requisitos. Si no lo hace, probablemente haga algn error durante el clculo.

Otro tipo de sustitucin, particularmente la sustitucin de ecuaciones completas se pospone al final de la seccin (M-3), que es sobre frmulas.

(M-2) Al-Khorezmi y el amanecer del lgebraLa palabra "lgebra" proviene del ttulo de un libro rabe "Kitab al muhtasar fi hisab al gabr w'al muqubalah." Esto ha sido traducido como "Una (libro) introduccin compacta al clculo usando reglas de terminacin y reduccin", pero Solomon Gandz sugiri que "al gabr" proviene del babilonio "gabru" que significa solucin de una ecuacin y que "muqubalah" (la q se lee como k) era su equivalente en rabe. El libro trata de ecuaciones simples como las de la seccin precedente, tambin cuadrticas que implican a x2, as como otras reas como la geometra y la divisin de herencias.

Su autor, Mukhammad ibn Musa Al-Khorezmi (que vivi aprox. en 780-850) fue el matemtico jefe de la "Casa de la Sabidura", una academia de ciencias fundada en Bagdad por el Califa Al Ma'mun, hijo de Harun Al Rashid famoso por las "Mil y Una Noches". La "Casa de la Sabidura" estuvo en la expedicin de Al Ma'mun para medir el tamao de la Tierra, que despus estim Al-Khorezmi que tena una circunferencia de 21000 millas rabes. (No estamos seguros de cual era la medida de la milla rabe, los clculos actuales dan un valor de 25000 de nuestras millas; para saber ms sobre estos clculos, aqu).

La familia de Al-Khorezmi (y posiblemente tambin l) al parecer proviene del oasis de Khorazem, al sur del Mar de Aral, en lo que es ahora Uzbekistan. Tambin est acreditado como el ayud a establecer entre los rabes el sistema numrico indio, usando la notacin decimal y el cero. Los sistemas previos de escritura de nmeros usaban letras, como el sistema romano o los ms toscos de los griegos y hebreos. Cuando el libro de Al-Khorezmi sobre el nuevo sistema alcanz Europa, los europeos llamaron a su uso "algorismo" o "algoritmo," una desviacin del nombre del autor. Hoy en da "algoritmo" significa mtodo de clculo, y el alza de las computadoras ha llevado a un extenso trabajo sobre el desarrollo de algoritmos eficaces para ordenador.

Ms sobre el trabajo de, aqu.

Nota

Este material est tomado de una largo y encantador artculo sobre Al-Khorezmi, su trabajo y su tiempo, de Heinz Zemanek de Vienna, Austria. En Setiembre de 1979, en el que era (con un error de un ao o dos) el 1200 aniversario del nacimientos de Al-Khorezmi, los matemticos sealaron la ocasin convocando una conferencia en el lugar del oasis de Khorazem "Algoritmos en las Matemticas Modernas y en la Ciencia de la Computacin." El artculo del Dr. Zemanek abri los actos que precedieron a la conferencia, editado por A.P. Ershov y D.E. Knuth y publicado en 1981 por Springer Verlag como el volumen 122 de las "Discursos en la Ciencia de la Computacin."

Exploracin AdicionalOtro gran contribuyente musulmn al desarrollo del lgebra fue Omar Khayyam (1044-1123), autor de los famosos poemas "Rubaiyat", magistralmente traducidos en 1839 al Ingls por Edward Fitzgerald. De acuerdo a la fuente arriba citada ("el hacedor de tiendas," su "takhallus" o nombre potico) fue autor de Maqalat fial-Jabr wa al-Muqabila el cual, entre otras cosas, utiliz cnicos para obtener soluciones de las ecuaciones cbicas. Para un inventario general de los sitios de la red relativos a la historia de la matemticas, vea aqu.