ALGEBRA 6
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CONCEPTO:Es una multiplicación repetitiva de un mismo número, una cantidad limitada de
veces.
DEFINICIÓN:a = a . a . a . . . am
"m " factores; m 1; m N
El resultado: am = se denomina potencia
De donde:
onenteexpmbasea
* Ejemplos:
a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 d. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
b. 43 = 4 . 4 . 4 = 64 e. 63 = 6 . 6 . 6 = 216
c. 52 = 5 . 5 = 25 f. 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
A) Expresa lo siguiente:
* Seis elevado al cuadrado : ___________* Ocho elevado al cuadrado : ___________* "x" elevado al cuadrado : ___________* Cuatro elevado al cubo : ___________* Cinco elevado al cubo : ___________* Nueve elevado al cubo : ___________* Tres elevado a la cinco : ___________* Cinco elevado a la seis : ___________* "x" elevado a la cuatro : ___________
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ALGEBRA
EXPONENTE NULO (Definición):a = 10 ; a 0
* 30 = 1 *17
5 0
*2 3 = 20
¿por qué?
* 1)22( 0 * (1001)0 = 1
B) Completar, desarrollando las potencias.Recuerda :
Las siguientes po tencias son las m á s u tilizadasen el curso. P or lo que reciben e l nom bre
de "notables".
20 = ____ 21 = ____ 22 = ____ 23 = ____ 24 = ____
25 = ____ 26 = ____ 27 = ____ 28 = ____ 29 = ____
210 = ____ 30 = ____ 31 = ____ 32 = ____ 33 = ____
34 = ____ 35 = ____ 40 = ____ 41 = ____ 42 = ____
43 = ____ 44 = ____ 50 = ____ 51 = ____ 52 = ____
53 = ____ 54 = ____ 60 = ____ 61 = ____ 62 = ____
63 = ____ 70 = ____ 71 = ____ 72 = ____ 73 = ____
COLEGIO TRILCE Página 2
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ALGEBRA
C) Reduce cada ejercicio según el ejemplo:
1. A = 34 + 23 + 40 + 5 2. B = 22 + 32 + 42
= 81 + 8 + 1 + 5
= 95
3. C = 500 + 30 + 20 + 1 4. D = 63 - 27 + 32
PROPIEDADES:
1. Producto de potencias de igual base:a . a = am n m + n "Resu lta la m ism a base y el exponente
final es la de los exponentes in icia les".
sum a
*243 = 3 = 3 . 3 . 3 . 3 . 35
= 3 = 3 . 3 = 35 3 2 3 + 2 3 . 3 = 33 2 5
Completa:
* 43 . 42 = 45 * 73 . 72 = 75
* 29 . 212 = ______ * 78 . 78 = ______
* 32 . 37 = ______ * 113 . 116 = ______
COLEGIO TRILCE Página 3
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ALGEBRA
* 39 . 310 . 312= ______ * 25 . 23 . 24= ______
2. División de potencias de igual base:
aa
m
n"Resu lta la m ism a base y e l exponente
final es la de los exponentesin icia les".
diferencia= am - n ; a 0
*325
25
5555
*4
6
99
*3
7
44
*1
3
88
Observa el siguiente ejemplo:
16444
44
4.44.4.4D 2
1315
762310
762310
Ahora reduce lo siguiente:
991234
5.55.5.5G
PARTE PRÁCTICA
1. Expresar como potencia cada caso:
a.
veces306.......6.6.6
b.
factores18m......m.m.m
c.
factores204........4.4.4
d.
veces132............2.2.2
2. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:
COLEGIO TRILCE Página 4
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ALGEBRA
a. 3]4457123[E 0 b. F = 40 + 30 + 20 + 10
c. G = 32 + 3 + 30 d. A = 20 + 21 + 22 + 23
e. B = 15 + 32 + 23 f. B = 15 + 32 + 23
f. C = 43 + 42 - 4 + 1 g. X = 53 + 43 - 33 - 23
H. W = 63 - 72 + 32 - 52
3. Expresar como potencia indicada cada caso:
a. A = 43 . 42 . 45
b. B = (13)3 (13)6 (13)0
c. C = (3)0 (3)1 (3)2 (3)3 . . . . . (3)10
4. Reducir cada caso:
a. 157905020
44.4.4X
b. 16886424
2.22.2.2.2.2Y
c.610792
6.66.6.6Z
COLEGIO TRILCE Página 5
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ALGEBRA
1. Potencia de un producto:(ab) = a . bn n n
a. 83 = [4(2)]3 = 43 . 23
b. 63 . 73 = {6(7)}3 = 423
c. x5 . y5 = (xy)5
2. Resolución de ecuaciones exponenciales:Usaremos el criterio de "igualdad por comparación".
COLEGIO TRILCE Página 6
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ALGEBRA
Ejemplos:
a. Hallar "x" en: b. Hallar "x" en:
3x = 34 . 32 . 35 1551010x
5.55.52
3x = 34 + 2 + 5 1551010x
552
3x = 311 x = 11 2020x
552
2x = 50 2x = 1 x = 0
c. Indicar el valor de "x" en:
513 = 33 . 17x
(3 . 17)3 = 33 . 17x
33 . 173 = 33 . 17x x = 3
PARTE PRÁCTICA
1. Hallar "x" en cada caso:
a. 10235
x4
4.4.48
b. 91032
22.2.2x
c. (24)2 = (12)2.2x
d. 543210
x5
5.5.5.5.55
e. 8x = 43
f. 2x = 102 + 102 - 142
COLEGIO TRILCE Página 7
"S i las bases so n igualeslo s exponentes tam bién
son iguales".
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ALGEBRA
g. x5 = (18)5 . (6)5
h. x20 = 54 . 56 . 510
i. 72x = 73 . 710 . 77
j.
120
2.5.3.5.225.1.8.5.311 037826
2037103x
2. Reducir en cada caso:
a. 15710
14105
1820
33.3
44.4
77E
b. F = (17)2 - (13)2 + 83 - 52 + 150
c. G = (20027 - 19805)0 + ()0 + 1; ( = 3,14159.....)
d.8
)11(15105)531(H
7
2232
Raíz enésima de un númeroDados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a".
a = xn si: x = an ; n 2
de donde:
radicaloperador)realnúmero(raízx
índicenradicandoobasea
COLEGIO TRILCE Página 8
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ALGEBRA
81 = 34raíz
radicando
índice
operador m atem áticoradical
La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81.
Ejemplos:
* 51253 53 = 125
* 3273 debido a que: 33 = 27
* 2164 debido a que: 24 = 16
* 2325 debido a que: 25 = 32
* 2102410 debido a que: 210 = 1024
* 14196 debido a que: 142 = 196
"La rad icación es la o peración inversaa la potenciación".
"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobre entiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".
9 raíz cuadrada de 9 = ______
3 512 raíz cúbica de 512 = ______
5 3125 raíz quinta de 3125 = ______
COLEGIO TRILCE Página 9
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ALGEBRA
PROPIEDADES
1. Raíz de un producto: 2. Raíz de un cociente:
n n n n BAn
BA
• 63.2
27.8)27)(8( 333
• 224
16256
16256
4
44
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Hallar cada una de las raíces:
COLEGIO TRILCE Página 10
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ALGEBRA
B. En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión:
COLEGIO TRILCE Página 11
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ALGEBRA
• Exponente fraccionario:x
mn = x mn ; m n ; n 2N
* 4 343
xx
* 2888 33 131
* 4161621
COLEGIO TRILCE Página 12
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ALGEBRA
* 9333 250100
50 100
* 444 2020
20 20 nn x = x x > 0
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Representa cada raíz usando exponente fraccionario:
a. 3 54
b. 72
c. 4 3x
B. Representa cada expresión mediante radicales:
a. 71
2
b. 52
3
c. 112
x
C. Considerando la definición del exponente fraccionario y lo estudiado en Radicación I, desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. 16919636100A
2.3 362366B
3.7 73 32 235C 4. 50 10040 12030 60 432D
5. 33
3
812544927E
6. 2519636F
7. 36563G 8.53
33
326427125H
COLEGIO TRILCE Página 13
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ALGEBRA
9. 97100
4647
3032
33
66
55I
10.3
4 441625121225J
D. Efectuar los siguientes ejercicios:
1. Si: 61
51By5
431
21A
indicar el valor de "x", si: BAx
2. Si: 33 512y;729x
indicar el valor de: 022 )xy(yxE
E. Hallar "x" en:
1486395x
2.82.8.2.864
POTENCIACIÓN - RADICACIÓN
Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto poseen la misma jerarquía.
Hay que respetar las siguientes reglas:
1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación.
COLEGIO TRILCE Página 14
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ALGEBRA
2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando.
3º Luego se reducen las sumas y restas, respetando los signos.
4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde los más internos hacia los más externos.
5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha.
Ejemplo:
27753
2421481
1213E
44791127E
5
8181616E 5
5
3981E
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Reduce en tu cuaderno cada caso:
COLEGIO TRILCE Página 15
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ALGEBRA
11. 648043K 3
222
12. 23223
31000542L
13. 1662006125121M 003
14. 51
41
51
41
N
COLEGIO TRILCE Página 16
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ALGEBRA
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