ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO

CASCANTE

DEBER #6

TRANSFORMACIONES LINEALES, NUCLEO, IMAGEN, MATRIZ ASOCIADA

1.- Defina: 1.1.- Transformación Lineal1.2.- Núcleo de una transformación lineal.1.3- Nulidad de una transformación lineal1.4.- Recorrido de una transformación lineal1.5.- Rango de una transformación lineal1.6.- Transformación lineal inyectiva1.7.- Transformación lineal sobreyectiva1.8.- Isomorfismo1.9- Espacios isomorfos1.10 Matriz asociada a una transformación lineal1.11- Operador lineal

2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique apropiadamente su respuesta.

2.1.- Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, dim V=n, T:VW una transformación lineal, entonces se cumple que (T)+(T)=n .

2.2.- Sea T:VW una transformación lineal. Si {v1, v2, v3, … ,vn} es linealmente independiente en V, entonces {T(v1), T(v2) , T(v3) , … , T(vn)} es linealmente independiente en W.

2.3.- Sea T:VW una transformación lineal. Si {T(v1), T(v2) , T(v3) , … , T(vn)} es linealmente independiente en W, entonces {v1, v2, v3, … ,vn} es linealmente independiente en V.

2.4.- Sea T:VW una transformación lineal. T es inyectiva sí y sólo si (T)=0 (Nu(T)={0V}).

2.5.- Sea T:VW una transformación lineal. Si dimV=dimW=n y T es inyectiva, entonces T es sobreyectiva.

2.6.- Sea T:VW una transformación lineal .Si dimV=dimW=n y T es sobreyectiva, entonces T es inyectiva.

2.7.- Sea T:VW una transformación lineal .Si dimVdimW entonces T no es inyectiva.2.8.- Sea T:VW una transformación lineal .Si dimVdimW entonces T no es sobreyectiva.2.9.- Sea T:VW una transformación lineal. Si T es un isomorfismo y V=L{v1, v2, v3,

… ,vn} entonces W=L{T(v1), T(v2) , T(v3) , … , T(vn)} 2.10.- Sea T:VW una transformación lineal. Si T es un isomorfismo. Si {v1, v2, v3,

… ,vn} es linealmente independiente en V entonces {T(v1), T(v2) , T(v3) , … , T(vn)} es linealmente independiente en W.

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2.11.- Sea T:VW una transformación lineal. Si T es un isomorfismo y si {v1, v2, v3, … ,vn} es una base de V, entonces {T(v1), T(v2) , T(v3) , … , T(vn)} es una base de W.

2.12.- Sea T:VW una transformación lineal. Si T es un isomorfismo y V es de dimensión finita, entonces W es de dimensión finita y dimV=dimW.

2.13.- Determine si las siguientes funciones son transformaciones lineales

2.1.- T:R2R ;

2.2.- T:M3x2R3 ;

2.3.- T:P2M2x2 ;

2.4.- T:R3R ;

2.5.- T:M2x2 R; T(A)=det(A)2.6.- T:M2x2 R; T(A)=traza(A)2.7.- T:M2x2 M2x2; T(A)=A-1

2.8.- T:C[0,1] R; T(f)=f(1/2)

2.9.- T:P2R4;

2.10.- T:M2x2 M2x2; T(A)=AAT

2.14.- Sean V y W dos espacios vectoriales. Si se denota como L(V,W) al conjunto de transformaciones lineales de V en W y se define que para todo T1 y T2 que están en L(V,W) , (T1+T2)v=T1v+T2v ; para todo c elemento de los Reales (cT1)v=c(T1v). Demuestre que L(V,W) junto con las operaciones definidas es un espacio vectorial y determine la dimensión de L(V,W).

3.- Sea T una transformación lineal de P2 en R3 definida

a.- Determine una base para el Núcleo de T, una base para el Recorrido de T, rango de T y nulidad de T.b.- Determine la matriz asociada a T con respecto a las bases canónicas de P2 y R3.c.- Determine la matriz asociada a T con respecto a y

.

4.- Sea T : P2M2x2 una transformación lineal definida :

Determine : Pag 2

a.- Nulidad de T, Rango de T y Bases para el Núcleo de T e Imagen de T . b.-[ T ] 12 , si se conoce que 1 = { x+1, x-1, (x-2)(x+1) } y

5.- Sea T un operador lineal en M2x2 definida por T(A)=A-AT

a.- Determine [T]Bc, donde Bc es la Base canónica de M2x2

b.- Determine si T es un isomorfismo.c.- Determine una base para el Nu(T), una base Im(T), rango y nulidad de T

6.- Sea T un operador lineal de V en V, siendo B={v1, v2, … , v5} una base de V; definida de la siguiente manera:

; i=2,…,5; w1=T(v1)=0

a.-) Determine la matriz asociada a la transformación con respecto a la base B.b.-) Determine el núcleo e Imagen de Tc.-) Encuentre la nulidad y rango de Td.-) Determine si T es un isomorfismo.

7.- Considere la transformación lineal T:P1P3 dada por T[p(x)]=(x2+x+1)p(x).a.-) Determine su representación matricial respecto a las bases canónicas.b.-) Determine su representación matricial respecto a las bases:

B1’={1,1+x}B2’={2,2+x,(2+x)2,(2+x)3}

c.-) Encuentre las matrices que permiten relacionar las dos matrices que obtuvo en los literales anteriores.

8.- Sea T:P2P3 tal que T[p(x)]=(x-3)p(x)Sean B1={1+2x2, 3-x, x-2x2} una base de P2 y B2={1,x,x2,x3} una base par P3.a.-) Demuestre que T es linealb.-) Calcule AT con respecto a las bases dadas.c.-) Halle T(2x2-x+3)d.-) Encuentre Ker(T) y Rec(T)e.-) Determine si T es un isomorfismo

9.- Sea T un operador sobre P3 tal que:T(1-x)=T(1+x)=x2

T(x2+x3)=T(3x3)=6-3x+9x3

Determine:a.-) El núcleo y el Recorrido de T con sus respectivas dimensiones.b.-) La matriz asociada a T con respecto a la base canónica de P3

10.- Dados los siguientes vectores de P2 y de R3:p(x)=1+x+x2 , q(x)=1+2x2 , r(x)=x+x2

v1=(2,0,1) , v2=(3,1,0) , v3=(1,-2,3)Considere la transformación lineal T:P2R3 definida por:T[p(x)]=v1 , T[q(x)]=v2 , T[r(x)]=v3

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a.- Encuentre la representación matricial de T con respecto a las bases canónicas de cada espacio.b.- Halle una base B1 para P2 y otra base B2 para R3 de modo que la representación matricial de T con respecto a B1 y B2 sea la matriz identidad.

11.- Sea T:VW una función, tal que T(x)=ex, xV. Donde V=R, con las operaciones convencionales de multiplicación por escalar y suma vectorial.

W={x/xR+} con las operaciones:

a.-) Probar que T es una transformación lineal.b.-) Encuentre una base para el Nu(T).c.-) Determine si T es un isomorfismo.d.-) Determine si 3 pertenece al Rec(T)

12.- Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 y U un espacio de dimensión 4. Sean B1={v1,v2,v3} y B2={u1,u2,u3,u4} bases de V y de U respectivamente.Sea T:VU la transformación lineal tal que:T(v1)=2u1-3u2+u3-u4 T(v2)=u1+u2+u3+u4 T(v3)=u1-2u3

a.-) Determine la matriz de T respecto de las bases B1 y B2

b.-) Determine la matriz de T respecto de la bases:B1’={v1+v2+v3, 3v1-2v2+2v3, v3}B2’={u1-u2, u1+2u2+3u4, u3-2u4, u2+u3+u4}

13.- Construya una transformación lineal T de M2x2 a C[0,1] tal que cumpla con:i. Ker(T)={A/ai2+ai1=2a11}ii. Rec(T)= L {Senx+ex ,Cosx }

14.- Construya , de ser posible , una transformación lineal T de R3 a P3 tal que se cumpla:i.-NuT ={ (a,b,c) / 2a=b=c} ii.-T[(0,1,-1)] = x3-x2+x+1iii.- ImT= L { x3+2x+1 , x2+x }

15.- Construya, de ser posible, una transformación lineal T:R3R2 tal que el Núcleo de T sea el plano W que contiene a (1,2,3) y a(-1,1,1) ; y el recorrido de T sea la recta que contiene al origen y es perpendicular a la recta t=3-0.25x.

16.- Sea V=L{Senx,Cosx,3x,5}, construya de ser posible un operador T:VV tal que se cumplan las dos condiciones siguientes:i.-)Nu(T)={fV/ f es par}ii.-) (5x+1) y (x-Senx) pertenecen al Rec(T)

17.- Sea T:P2P2 una transformación lineal definida por :

[T(v)] =

1 -1 -1

[ v ]1 0 1

0 1 2

Donde ={ x2, x2-1 , x2+x}

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Determine la regla de correspondencia de T, el Núcleo deT e Imagen de T.

18.- Construya de ser posible una transformación lineal T:P2R4 tal que T sea inyectiva

y

19.- Construya de ser posible, una transformación lineal de M3x2 en P3 tal que satisfaga las dos siguientes condiciones:i.-) Nu(T)={AM3x2/ aij=0, i>j}ii.-) Recorr(T)={p(x)P3/ 2p(0)=p(1)}

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