MATRICESUna matriz real es un conjunto de nmeros reales arreglados en filas y columnas en forma de rectngulo.

Ejemplos:

A = ; B = ; C = ; D = Notacin.-Columnas

M = Filas

Columna j (j = 2)

N = Fila i (i = 3)

Fila 1 : 3, -2, 0, 2, 1Fila 3 : -1, 4, -5, 3, 4Columna 1 : 3, 2, -1, 5Columna 3 : 0, -2, -5, 3

El 4 es el elemento que pertenece a la tercera fila y a la segunda columna esto se denota por:

Nmero de columnasNmero de filasLetra de la matriz (minscula)

n34 = 3n25 = ___n12 = ___n11 = ___n43 = ___n44 = ___

El elemento de la fila i, columna j, se representa por Una matriz en general, se escribe:

A = =

Observacin:a.Sin una matriz tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden m x n. b.En el ejemplo anterior A es un matriz de orden 3 x 4.c.Si el nmero de filas es igual al nmero de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es n.

Ejemplo:M = es una matriz cuadrada de orden 2.

d.Si A es una matriz cuadrada, la diagonal principal de A, est formada por los elementos. Diag(M) = {2; -4}e.Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. Traza (M) = 2 + (-4) = -2

Matrices Iguales.- Dos matrices A y B son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir: j, para todo i, j.Ejemplos:

a. =

b. Para que: = se debe verificar que: a = 2, x = -2, y = 3, b = -1.

Matrices Especiales.-a. Matriz Nula.- Todos sus elementos son ceros. Se denota por O.

Ejemplo:O2 = b. Matriz opuesta.- La matriz opuesta de una matriz A = [aij] es otra matriz del mismo orden cuyos elementos son los de la matriz A multiplicados por -1.-A = -[aij]=[-aij]

Ejemplo:A = ;-A =

c. Matriz Diagonal.- Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:A = d. Matriz Escalar.- Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:M = e. Matriz Identidad.- Es la matriz escalar en la que sus elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Ejemplo:I = f. Matriz Transpuesta.- Se obtiene permutando las filas por las columnas.

Ejemplo:Si OPERACIONES CON MATRICESSuma de Matrices.- Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A + B es la matriz en la que cada elemento es la suma de los elementos de la misma fila y columna de A y B.

Ejemplo: Resta de Matrices.- Se procede de la misma forma que la suma.

Ejemplo: Multiplicacin por un Escalar.- Se obtiene multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar.

Ejemplo: Producto de Matrices m x r por r x n.- Para efectuar esta operacin se debe cumplir que el nmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nmero de filas de la segunda matriz.Ejemplos:a. b.

Sea: A = ; B =

A . B=

DETERMINANTESDETERMINANTE DE UNA MATRIZEs el valor de una matriz cuadrada y est compuesta de filas y columnas, se dice que es de orden n cuando tiene n filas y n columnas.

Determinante de orden 2: Se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal y a ello se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Ejemplo:

A = | A | = (15) (11) (12) (17) =39

B = | B | = (m) (m) (5) (n) = m2 + 5n

Determinante de orden 3: Se calcula aplicando la regla de Sarrus (por filas o columnas), si es por filas se coloca las dos primeras debajo del determinante y luego se multiplican en diagonales de izquierda a derecha sobre las que van hacia arriba son (-) y hacia abajo (+).

Regla de Sarrus (por filas)

P= a1 b2 c3 + a2 b3 c1+a3 b1 c2a3 b2 c1 a1 b3 c2a2 b1 c3

Ejemplo:

R = (4)(1)(4) + (3)(3)(2) + (2)(5)(1) (2)(1)(2) (4)(3)(1) (3)(5)(4)

R = 16 + 18 10 + 4 + 12 60 R = 52

Regla de Sarrus (por columnas)

P=a1 b2 c3+a1 b2 c3+ a1 b2 c3 a3 b2 c1 a1 b3 c2 a2 b1 c3

Ejemplo:

Q = (3)(0)(4) + (-4)(-3)(1) + (5)(-2)(2) (1)(0)(5) (2)(-3)(3) (4)(2)(4)

Q = 0 + 12 20 0 + 18 32 Q = 22

Para calcular determinantes de orden mayores que se utiliza generalmente la Regla de Laplace o de los menores complementarios.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES1) Si en un determinante todos los elementos de una fila o columna son ceros el valor de ste es nulo.Ejemplo.

2) Si todos los elementos de una fila o columna tienen factor comn este se puede factorizar:Ejemplo.

3) Si en un determinante se cambian entre si dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.Ejemplo.

4) Si en un determinante se cambian las filas en columnas y las columnas en filas, el determinante no cambia de valor. Ejemplo:

5) En un determinante se le puede sumar o restar n veces a una fila otra fila o a una columna otra columna y el valor de este no vara.Ejemplo.

Generalmente se usa esta propiedad en un determinante para provocar la mayor cantidad de ceros y aplicar el mtodo de menores complementarios.Ejemplo. Calcular

R = Hacemos: F2 3F1F3 4FF4 7F1

R = 1

R = = R = 1

6) Si en un determinante se tiene dos filas o dos columnas iguales entonces su valor es cero.

DETERMINANTE DE WANDERMONDE

W = W = (b a)(c a) (c b) (d a) (d b)(d c)

PRACTIBLAISE

1. Si en la matriz A= se verifica que a11 = 4; a21 = 1; entonces el valor de: E = a12 + a22 a) 4b) 2c) 3d) -5e) -32. Sean las matrices: La suma de las variables es:a) 3b) c) d) 0e) 83. Determinar x. y, de modo que se tenga:

a) 3b) 0c) 8d) 15e) -64. Sea A matriz de orden 2, tal que:A = [aij], donde aij = 2i (1)j , y adems At = ; luego el valor de y es:a) -1b) 0c) 2d) 1e) -25. La suma de los elementos de la segunda fila de la matriz X, si se tiene la ecuacin:X + ; es:a) 8b) 34c) -11d) -8e) -76. Del problema anterior hallar la suma de los elementos de 2X.a) 14b) 16c) 24d) 104e) 607. Dadas las matrices A y B:A = B = El producto de los elementos de la diagonal secundaria de A x B es:a) 0b) 134c) -52d) -134e) 528. Sea la matriz A = , calcular A . A = A2 a) 2Ab) Ic) 2Id) Ae) 3I9. El elemento a22 de A4, si A = , es:a) 116b) 48c) 81d) 243e) 12010. Sea A = entonces la suma de los elementos de la primera fila de At es:a) 0b) 4c) 3d) 6e) 111. La traza de la matriz A = (aij)3x3 / aij = (-2)i j a) 1b) 3c) -6d) -1e) 612. Para qu valores de a la matriz tiene determinante cero?a) 4;2b) 4;-3c) 1;-3d) -3;-3e) -4;313. Calcular la suma de valores de t, tales que:

a) 2b) -2c) -3d) 8e) -814. Si: A= y B = el determinante de A.B es:a) -2b) 2c) 0d) 1e) -115. El determinante de B = es:a) -1b) 1c) 0d) 2e) 316. Sean las matrices: M = y N = ; si: A = M N; el det (A) es:a) 1b) 2c) 0d) 10-e) 4 17. Dadas las matrices A = y B = . La suma de elementos de A. B es:a) 12b) -5c) -12d) 0e) 518. Determine para qu valores de X la matriz es singular. (matriz singular, det = 0)a) 8;-2b) -2;6c) 8;1d) 6;2e) -8;-219. Sea A = una matriz tal que Tr(A) = 72, entonces el valor de x es:a) 3b) -3c) -2d) 2e) -920. Si A y B son dos matrices de orden 2x2 tales que det (A) = 5 y det (B) = 7. Calcular: det (2A x B).a) 35b) 70c) 140d) 120e) -70

ENTRETENIMIENTO BLAISE

1. Sean las matrices:

Hallar: I. A + BII. 3A 2B III. A + 2B + 3C2. Hallar el valor del determinante de: a) 0b) 2xc) x 1 d) 8e) 4x3. Calcular: a) xb) 4xc) x2 d) 4x2e) N.A.4. Calcular:

a) b) c)

d) e) N.A.5. Indicar el valor de:

a) a3 b3b) a2 + b2c) ab2d) a + be) N.a.6. Siendo:

Si: A = B. Indicar: a) 3b) 6c) 5d) 10e) 87. Simplificar:

a) xyzb) 2xyzc) 3xyzd) 4xyze) 6xyz

8. Sean las matrices M = y N = ; si se cumple que: M + N = I; donde I = ; halle el valor de: x + y + 2z9. Sean las matrices: A = y B = ; halle: Tr (AB BA)a) 3b) 6c) 5d) 0e) 810. Sean: A=; B= y C=; si AB = C; entonces: a + b + c + d; es:a) -3b) 8c) 5d) 1e) 3PRODUCTOS NOTABLESSin lugar a dudas los Productos Notables son importantes, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones.

A continuacin mencionaremos un resumen de las principales identidades algebraicas donde identificaremos los ms importantes productos notables:1.Binomio al cuadrado:

;

2.Suma por diferencia:

(a + b)(a b)=3.Binomio al cubo:

4.Binomio por trinomio:

5.Multiplicacin de binomios con un trmino comn:(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab6.Producto de binomios:(ax + b)(cx + d)=acx2+(ad + bc)x + bd7.Trinomio al cuadrado:

*

*8.Trinomio al cubo:* (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3a2b + 3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc*(a+b+c)3 = a3+b3+c3 + 3(a+b)(a+c)(b+c)

9.Identidades de Legendre:* (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)* (a + b)2 - (a - b)2 = 4abCorolario: (a + b)4 - (a - b)4 = 8 ab(a2 + b2)

10.Identidades de Lagrange:*(a2+b2) (x2+y2) = (ax+by)2+(ay - bx)2*(a2+b2+c2) (x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2 + (ay - bx)2+(az - cx)2+(bz - cy)2

11.Identidad de Argan:(x2 + x + 1) (x2 x + 1) = x4 + x2 + 1

Identidades auxiliares:*a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c)(a2+ b2+c2 - ab - ac - bc)

*a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c) [(a-b)2+(c-a)2+(b-c)2*(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b+c) (ab+ac+bc) - 3 abc*(a+b+c)3+2(a3+b3+c3)=3(a+b+c)(a2+b2+c2)+6 abc

Identidades condicionales:I.Si a + b + c = 0; se demuestra que:*a2+b2+c2 = -2(ab+bc+ac)*a4+b4+c4 = 2(a2b2+a2c2+b2c2)*a3+b3+c3 = 3 abc*(ab+ac+bc)2 = a2b2+a2c2+b2c2*(a2+b2+c2)2 = 2(a4+b4+c4)

PRACTIBLAISE

1. Efectuar A = (a+ b)(a-b) (a2+b2)+b4a) a b) a2 c) a8 d) a4 e) N.a.

2. Reducir: a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

3. Reducir:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

4. Reducir: a) 1b) 2 c) 0d) x + ye) N.a.

5. Reducir E = (a+b)2 (a+b)(a b) 2b2 a) ab b) 2abc) 0d) a+be) N.a.

6. Efectuar L = 2x + y2 + x y2 4x2 a) x - y b) 2x c) 4yd) x+ye) N.a.

7. Hallar el valor de

a) b) c) d)e) N.a.

8. Hallar el resultado de

a) b) c) d) e) N.a.

9. Simplificar E=(a+b+c)(a+bc)-(a+b)2

a) ab) bc) - c d) 6abce) N.a.

10. Reducir Q=(1+x)(1x)(1+x2)(1+x4)+x8

a) 0b) 1c) 2d) 2x8e) N.a.

11. Simplificar:

a) 1 b) 0 c) 2d) x4 e) N.a.

12. Reducir

a) 1 b) 0 c) 2d) 4 e) N.a.

13. Simplificar

a) 1 b) 0c) 2d) 4 e) N.a.

14. Reducir

a) 1 b) 0c) 2d) 5 e) N.a.

15. Efectuar: (x + 2)2 2(x + 1)2 + x2

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 1

ENTRETENIMIENTO BLAISE

1. Efectuar

a) 2b) 2xc) -2xd) xe) xy

2. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Calcular:

a) 2 b) 2 c) 2d) e)

4. Reducir:

a) a b) b2 c) a2 d) b e) ab

5. Hallar:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Efectuar:(x2+5x+5)2 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

7. Reducir:(a+b+c)3 (a+b)3 3(a+b+c)(a+b)c

a) a3b) b3c) c3d) 2a3e) 2b3

8. Efectuar: (a+b+c)(a+b+d) + (b+c+d)(a+c+d) (a+b+c+d)2

a) ab+cdb) ac+bdc) ad+bcd) a2+b2+c2+d2e) (a+b) (c+d)

9. Hallar la raz cuadrada de:(a+b+c)44(ab+bc+ac)(a2+b2 + c2+ab+ac+bc)

a) a2+b2+c2b) ab+bc+ca c) a2+bcd) b2+ace) c2+ab

10. Sabiendo que:a+b+c = 4a2+b2+c2 = 6Hallar : ab+ac+bca) 3 b) 4c) 5d) 6 e) 7

FACTORIZACINFactorizar es el proceso que consiste en transformar un polinomio entero y de coeficiente racionales, en un producto indicado de potencias de sus factores primos tambin racionales enteros y de coeficientes racionales.Factorizando

FACTOR O DIVISOREl factor de una expresin es aqul que la divide exactamente. Ejemplos:

A.B. = C A y B son factores de C5x11 = 55 5 y 11 son factores de 55

(x) y (x+2) son

Factores de

FACTOR PRIMOEs aquel que slo acepta descomponerse en dos factores (divisores); la unidad y el propio factor; se dice tambin que es una expresin no factorizable.Ejemplos:

NMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIODado el polinomio P, factorizado totalmente se expresa as:

Siendo A, B y C sus factores primos; el nmero de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

a)NMERO DE FACTORES PRIMOSEn los racionales el nmero de factores primos se calcula contando los factores de la base.

# Factores Primos = 3Ejemplos:

1. Nmero de Factores primos = 2

2Tiene 3 factores primos.

b)NMERO DE FACTORES COMPUESTOSLos factores compuestos resultan de la combinacin de los factores primos. Ejemplos:

Determina el nmero de factores de .Desagregando a la expresin en cada uno de sus factores, se tendr:

Se observa: Existen 2 factores primos: x e y Existen 9 factores : ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) = 6

Ejemplos:

1.F(x) = Nmero de Factores = (2 + 1) (3 + 1) = 12Nmero de Factores Primos = 2Nmero de Factores Compuestos = 9

2.Factorizando el 10 se tiene:

N de Factores = 2 x 2 x 2 x 3 = 24N de Factores primos = 4N de Factores compuestos = 19

CRITERIOS DE FACTORIZACINFACTOR COMNEl factor comn se extrae de cada trmino, elevado a su menor exponente.

Ejemplo (1): Factorizar:

Ejemplo (2): Factorizar:

Resolucin:Extraemos factor comn monomio de la agrupacin indicada:

Extraemos el factor comn polinomio:

Expresin factorizada

CRITERIO DE LAS IDENTIDADESEn este caso utilizaremos las identidades que se obtuvieron en las multiplicaciones notables.a)FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

OBSERVACIN: El trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado, se caracteriza porque el doble producto de la raz de dos de sus trminos es igual al tercer trmino.Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.Ejemplo: Factorizar:

4x 5

Es necesario tener en cuenta que donde aparecen trinomios con dos trminos cuadrados perfectos existe la posibilidad de encontrar trinomio cuadrado perfecto.b)FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS:

Ejemplo (1): Factorizar: Resolucin:

=

2b

Ejemplo (2): Factorizar: Resolucin:

Luego:

c)FACTORIZAR UNA SUMA DE CUBOS Y DIFERENCIA DE CUBOS

Ejemplo: Factorizar Resolucin:

CRITERIO DEL ASPAa) ASPA SIMPLE:Se utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquellas que adoptan la forma:

Ejemplo 1:

Factorizar = (x 3y)(x + 2y)

Ejemplo 2: Factorizar

x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

b)ASPA DOBLE:Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ejemplo: Factorizar

La expresin factorizada es: (x + y 9) (x + y + 7)CRITERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIALSe utiliza para factorizar polinomios de cuarto grado de la forma general.

Pasos a considerar:1Se aplica un aspa simple en los trminos extremos: (Ax4 E)2El resultado se resta del trmino central: Cx23Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del trmino central.4Luego se aplican dos aspas simples, y se toman los factores horizontalmente.

Ejercicio explicativo:01. Factorizar: A(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6Resolucin

Se observa que:I. (2) (x2) + (x2)(3) = 5x2 Luego: 9x2 (trmino cuadrtico) 5x2 = 4x2 Se descompone 4x2 en 2 factores: (4x) (x)II. x2(4x) + x2(x) = 5x3III. 4x (2) + x (3) = 11xFinalmente:

PRACTIBLAISEFactorizar:FCM1. a4b4c3 + a3b5c3 + a2b5c4 + a3b4c42. ax + by +cz + bx +cy +az +cx + ay +bz3. mn+p + mnnp + nmmp + nm+p4. x3+y3 + z3 +x2y +x2z +y2x +y2z +z2x +z2y5. (x y + z)a + (y x z)b

TCP-DC-SC-DC6. (x+1)2 (y 2)27. (a b) (a2 c2) (a c)(a2 b2)8. (ax 3b)2 (bx 3a)29. a10 a2b8+ a9b ab9+a8b2 b1010. 4x2y2 (x2+y2 z2)211. a2 b2 c2+a+b c+2bc 12. x3+ 9y3 + 3(x2y + xy2)13. m3 + m2 + m 314. x6 x2 8x 1615. a(a2+bc) + c(a2+b2) b3

ASPA SIMPLE16. 8x2 22x + 1517. 7x2 + 29x 3618. 12(x y)2 + 7(x y) 12 19. (x+1)4 5(x+1)2 + 420. 4x2n+2 4xn+2 3x2

ASPA DOBLE21. 7x2 + 4xy 3y2 + 12x + 2y + 522. 6x2 + 19xy + 15y2 11x 17y + 423. x2 5xy + 6y2 2x + 8y 8 24. 2x2 + 7xy 15y2 6x + 22y 825. 15a2 +151ab+10b2+301bc+45ac +30c2

ASPA DOBLE ESPECIAL26. x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 127. 2x4 + 7x3 + 9x2 + 5x + 128. 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 629. x4 x3 3x2 + 5x 2 30. x4 + 2x3 + 5x + 2

1. Dar un factor primo luego de factorizar:ac + ad acd bc bd + bcda) b c b) c d c) a b d) 1 a e) a c

2. Uno de los factores de: (1 + ab)2 (a + b)2, es:a) 1 ab) b+ ac) b a d) abe) N. A.

3. Dar la cantidad total de factores que se obtiene: x3(y z) y3(x z) + z3(x y)a) 15b) 16c) 17d) 14e) 10

4. Seale la cantidad total de factores primos de: (a+ d)4 2(b2+ c2) (a+ d)2 + (b2 c2)2a) 4b) 3c) 2d) 1e) N. A.

5. Uno de los factores de: x4 + 2x2 + 9.a) x2 3b) x2+3c) x22x+3d) x22x23 e) x+1

6. Indique un factor primo de:6x2 + 7xy 5y2 + 6xz + 23yz 12z2 + 5x 22y + 37z 21 a) 3x 5y + z 3 b) 3x + 5y 3z + 7c) 2x y + 2z + 1d) 2x + 4y z + 7e) N. A.

7. Factorizar: P(x; y) = (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31 e indique un factor primo:a) x+ y+ 3b) x+ y+ 5c) x+ y 5d) x+ 4 8e) x+ y+1

8. Factorizar: (a + b + c)(ab + bc + ac) abc. Dar la suma de los factores primos a) a + b + cb) a + 2bc) 2a +b +cd) abce) 2(a + b + c)

9. Indique un factor primo del polinomio: (x+1)3 + 27 a) xb) 3x + 4c) x2x+7d) x-9e) -x

10. Indique el nmero de factores algebraicos del polinomio P(x; y) = x2ya) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

ECUACIONES CUADRTICASToda ecuacin completa de segundo grado o cuadrtica con una incgnita, adopta la siguiente forma:

Donde: ax2 Trmino cuadrtico bx Trmino lineal c Trmino independiente

FORMAS INCOMPLETAS DE UNA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO.

1. Si: b = 0se tiene:ax2 + c = 02. Si: c = 0se tiene:ax2 + bx = 03. Si: b = c = 0se tiene:ax2 = 0

RESOLUCIN DE UNA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO:Al estar un miembro igual a CERO se procede as:

I.POR FACTORIZACION:Ejemplo: x2 5x + 6 = 0 x - 3 x -2

x -3 = 0yx -2 = 0 x = 3 y x = 2Conjunto solucin: {3; 2}

II.POR FRMULA:Dada la ecuacin: ax2 + bx + c = 0. Se puede obtener las races aplicando la siguiente frmula:

Ejemplo: 2x2 + 9x 5 = 0

De donde: a = 2; b = 9; c = - 5

Nota: Una ecuacin de segundo grado tiene como mximo dos soluciones o races.

PROPIEDADES DE LAS RAICES:Dada la ecuacin: ax2 + bx + c = 0 podemos enunciar las siguientes propiedades:

1.Suma de Races (S):

2.Producto de Races (P):

3.Diferencia de Races (D):

Ejemplo: Dada la ecuacin:

4x2 12x + 5 = 0 donde a = 4 ; b = 12 ; c = 5

Suma de Races (S)

Productos de Races (P)

Diferencia de Races (D)

NATURALEZA DE LAS RA CES DE UNA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO:Para conocer la naturaleza de las races se analiza el valor de la cantidad subradical (discriminante): = b2 4acSe presentan los siguientes casos:1.-Si: > 0. Existen dos races reales y diferentes. CS = {x1; x2}2.- Si: = 0. Existen 2 races reales e iguales.CS = {x1}3.- Si: < 0. Existen 2 races complejas conjugadas. CS = {x1; x2}FORMACION DE UNA ECUACION CONOCIENDO SUS RAICES

Primer Mtodo:Ejemplo:Formar la ecuacin de segundo grado si esta tiene como races: x = 7 y x = 3 se forman binomios y se efecta el producto igualando a CERO, es decir:(x 7) (x 3) = 0

Entonces la ecuacin pedida ser:x2 10x + 21 = 0

Segundo Mtodo:Consiste en calcular la Suma (S) y el producto (P) de las races, los resultados se sustituyen en la frmula:

Ejemplo:Formar la ecuacin de segundo grado si esta tiene como races: x = 7 x = 3Entonces: S = 7 + 3 = 10; P = (7) (3) = 21 Sustituyendo en la frmula tendremos:x2 10x + 21 = 0

PRACTIBLAISE

1. Resolver:

a)

b)

c)

2. Resolver:

a) b)

c) d) x4 - 10x2 + 21 = 0

3. Dada la ecuacin x2 3x 5 = 0, si sus races son r y s, halla:

a) r2 + s2b) c) r s d) (2r+3s+1) (2s+3r+1) 4. Seale la suma de las inversas de las races de: 2x2 6x + 5 = 0a) 1b) 2c) 3d) 6/5e) 5/2

5. Indicar el producto de las inversas de las races de: 3x2 + 4x = 12 a) 4/3b) -4/3c) 1/4d) 4e) 4

6. Calcular la diferencia de las races de:x2 6x + 5 = 0 a) 2b) 2c) 4d) 4e) 3

7. Si la suma de sus races de la ecuacin:(m 2) x2 + mx + 1 = 0; es 2. Hallar ma) 4/3b) 3/4c) 4d) 1/4e) 2

8. Si el producto de las races de la siguiente ecuacin:(m1)x2+(2m+2)x+m+4=0; es 9/4. Indicar lo correcto.a) m + 1= 3b) m2 = 9c) m 1= 6

d) e) m 1 = 10

9. Hallar el valor de K para que la ecuacin 9x2 kx + 1 = 0 tenga races iguales. (k < 0)a) 6b) 6c) 6; 6d) 1e) 12

10. Hallar la suma de los cuadrados de las races de la ecuacin: , sabiendo que las races son recprocas.a) 49/3b) 3c) 9d) 82/9e) 100/9

ENTRETENIMIENTO BLAISE1. Si las races de la ecuacin cuadrtica: (m + 3) x2 + 6x 2 = 0 son reales y diferentes. Indique el menor valor entero de m.a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) N.A.

2. Resolver las ecuaciones:a) x2 = 7 b) (x + 1) (x 3) = 12 c) 15x2 34x + 15 = 0d) (x + 3) (x + 5) = 13x2e) x(x - 1997) = (x - 1997)Indicar la ecuacin que posee la menor raz:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Si y son las races de la ecuacin: x2 2x 5 = 0, encontrar una ecuacin cuadrtica cuyas races sean: 2 y 2.a) x2 +14x + 25=0b) x2 +14x +15= 0c) x2 2x 1= 0d) x2 14x 25= 0e) x2 14x + 25= 0

4. Si la ecuacin: x2 + px + q = 0; tiene por conjunto solucin {r, s} si: r s = 4 y r3 s3 = 208; entonces p/q es:a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5 d) 2/7 e) 1/7

5. Si la ecuacin: x2 nx + 36 = 0, admite como races a : x1 x2, tal que:

; encontrar el valor de n.a) 25b) 18c) 12d) 24e) 15

6. Calcular m para que la ecuacin:6x2 + (2m + 3) x + m = 0 tenga una raz solamentea) 3 b) 3/4 c) 1/2 d) 3/2 e) 5/3

7. Para qu valor de n el discriminante de la ecuacin: x2 8x + n = 0, es igual a 20?a) 44b) 11c) 33d) 22e) 17

ECUACIONES CON RADICALES DE SEGUNDO ORDENLas ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionalesson aquellas que tienen la incgnita bajo el signo radical.Para resolver una ecuacin que comprende radicales se siguen los siguientes pasos: 1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los dems trminos.2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuacin obtenida y se igualan entre s (depende del ndice de la raz involucrada). 3. Si la ecuacin obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene uno o ms radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuacin sin radicales. Luego se resuelve esta ltima ecuacin. 4. Se sustituyen en la ecuacin original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las soluciones extraas.

PRACTIBLAISEResolver:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.