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7/21/2019 Ajuste PID.pdf

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Apuntes desarrollado por Profesor Claudio Ayala B.

Los Controladores PID y su Sintona

Prcticamente todos los controladores continuos usados en la industria son del tipo PID. Cadauna de las acciones de control proporcional (P), integral (I) y derivativa (D), se pueden ajustar enforma independiente, pudindose obtener combinaciones entre ellas estableciendo controladores PI,PID, PD u otras.

Un controlador del tipo PID ideal, matemticamente queda expresado como sigue:

biasdic mdt

tdeTdtteTteKtm +

++=

)()()/1()()( (ec. 4.8)

En donde:

m(t) = Salida de controle(t) = Error dinmico del sistemaKc = Ganancia proporcional del controladorTi = Constante de integracin (reset time)Td = Constante derivativa.

mbias = Valor de m(t) para el cual la salida se encuentra en su punto de operacin previo a cerrarel lazo de control

Adems se acostumbra definir:

Tc= 1/Ti = tasa de reposicin (rate time)

La ganancia proporcional Kc suele ser reemplazada por la banda proporcional, PB. Este parmetroes adimensional, porcentual y se define como:

PB = (y/ Rmax)x100(%) ec. (4.9)

En donde:

R max= Valor mximo posible de la referenciay = Rango de variacin de salida

La banda proporcional y la ganancia Kc estn relacionadas a travs de la expresin:

PB = 100 / Kc ec. (4.10)

4.4.1 Propiedades de los Controladores Continuos.

Una correcta seleccin de un controlador para un proceso determinado depende

fundamentalmente del efecto que ste producir sobre el proceso. En un controlador PID ello pasapor conocer el efecto que producen los distintos modos de control.

4.4.1.1 El modo de control proporcional

Se caracteriza por aplicar una seal de control proporcional al error generado:

m(t) = (100 / PB) e(t) = Kc e(t) ec.(4.11)


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O, en trminos de la transformada de Laplace:

Gc(S) = M(S) / E(S) = Kc ec.(4.12)

Del anlisis de la ec.(4.12) se puede observar que la accin proporcional es relativamenterpida pues entrega una seal de control instantnea. Su principal desventaja est en que frente auna perturbacin esta accin no asegura que el sistema retorne al punto de trabajo original sino que

el sistema se establecer con un cierto error de estado estacionario. En efecto, en referencia a Figura4.9, si KLes la ganancia estacionaria de GL(S), entonces para una perturbacin de magnitud L, lasalida del sistema sufrir una desviacin cuya magnitud es igual a:

cp

LLssKK

KC+

=1

1 (ec. 4.13)

Figura N 4.9: Lazo de control con una perturbacin

Claramente, a manos que Kc tenga valor infinito, el error producido nunca ser cero.Si aumenta Kc disminuye la desviacin causada por la perturbacin; desde este punto devista lo deseable seria utilizar Kc tan grande como fuera posible. Sin embargo, a medida queaumenta Kc se compromete tambin la estabilidad del lazo (respuesta ms rpida del

sistema con tiempos de subida ms cortos), llegndose a una cierta ganancia critica Kcrdespus de la cual el sistema se torna inestable. La eleccin de Kc implica entonces uncompromiso entre la velocidad de respuesta del lazo, el error de estado estacionario y laestabilidad relativa del sistema.

El Modo de Control Integral

Esta accin est representada matemticamente por la expresin:

= dtteT

tmi

)(1

)( (ec. 4.14)

O, en trminos de la transformada de Laplace

sTsG

i

s

1)( = (ec. 4.15)


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La accin I por su caracterstica integrativa es ms lenta que la accin proporcional. De igualforma, puesto que introduce un polo en el origen, tiende a inestabilizar un tanto el sistema,logrndose lazos algo ms oscilatorios con menor estabilidad relativa. La ventaja de esta accinreside en que, tericamente, asegura que el error de estado estacionario frente a una perturbacinsera siempre igual a cero. Si se considera nuevamente la Figura 4.9, la desviacin de la salida frentea una perturbacin L estar dada por:

0)/)(1(

1lim =

+

=sTsG

KCip

LLss (ec. 4.16)

Accin de Control Tipo Derivativo

Matemticamente esta dada por la ecuacin:

m(t) = Td de(t)/dt ec.(4.17)

Esto es, en trminos de la transformada de Laplace:

Gc(S) = Td S ec.(4.18)

Este modo solo tiene efecto en la parte transiente de la respuesta (en estado estacionariom(t)=mbias). Por su carcter anticipativo la accin derivativa suele ser fuertemente sensible a losruidos, razn por la cual nunca este modo de control se aplica en forma aislada sino que siempre vaacompaado de una o ms acciones de control, formando combinaciones tipo PD o PID. En estoscasos, puesto que introduce un cero en el lazo, se le utiliza para estabilizar lazos demasiadooscilatorios.

En la prctica suelen combinarse las diferentes acciones de control a modo de obtener en unasola configuracin las ventajas de los distintos modos de control. As, un controlador PI, por ejemplo,

asegura que el error de estado estacionario ser cero frente a cualquier perturbacin tenindoseadems una respuesta ms rpida que una accin integrativa individual. En la Figura 4.10 se muestraun conjunto de respuestas tpicas de distintos tipos de controladores frente a una perturbacin demagnitud L.

Figura 4.10: Respuesta comparativa de controladores a una perturbacin L


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Del anlisis de la figura anterior se desprenden las siguientes conclusiones:

a) Sin control (curva 1): Cuando el sistema no tiene controlador la salida crece en KLL,salindose el sistema de su punto de operacin.

b) Control P (curva 2): La salida queda con un error permanente igual al dado por laecuacin 4.9. La correccin se consigue en un tiempo razonable.

c) Control PI (curva 3): Elimina el error de estado estacionario con sobreimpulso ytiempo de establecimiento razonables, aunque mayores a los del caso P.

d) Control PID (curva 4): Tambin lleva el error estacionario a cero pero con sobreimpulso y tiempos de establecimientos menores que en el caso de PI.

Calibracin y Sintona de Controladores

El trmino calibracin de controladores, instrumentos y vlvulas automticas, debe serentendido como la demostracin prctica de dar respuesta esperada frente a perturbacionesconocidas.

El hecho de calibrar un controlador significa verificar la correcta accin de alguna accin de

control, sea proporcional, integral o derivativo.

Frente a una seal de entrada representando a la variable medida y simulada debeobservarse la respuesta correspondiente a un conjunto de valores adoptados para las acciones:proporcional, integral o derivativo.

Cualquier desvo del comportamiento ser debido exclusivamente al controlador. Losmanuales de instruccin del fabricante determinaran en detalle las medidas correctivas. Estaoperacin ser realizada independientemente del proceso a que se destina el controlador.

l trmino sintona de controladores, se refiere al hecho de encontrar un conjunto de valorespara las acciones PI y PD que posibiliten a un controlador operar de manera eficiente y armoniosa

con un dato particular de proceso. Si, por ventura, el mismo controlador fuese removido para operarotro proceso diferente, su calibracin podra persistir, pero la sintona debe hacerse nuevamente.

La sintona de controladores es un asunto de lo menos comprendidos y de lo msprobablemente practicados, aunque sea extremadamente importante en la aplicacin decontroladores automticos.

El objetivo a seguir es presentar diversos procedimientos que conducen al ajuste decontroladores, ya que no hay un consenso unnime sobre el mejor mtodo. Por otro lado, el asuntono debe ser tratado de manera puramente emprica como suele acontecer.

Sintona de controladores continuos PID

Existe una gran variedad de tcnicas de sintona y ajuste de los parmetros de un controlador(Kc, Ti, Td); la gran mayora de ellas estn basadas en procedimientos experimentales. En estaseccin se discutirn algunos de los procedimientos de ajuste empricos ms comunes.


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A.- AJUSTES EMPIRICOS DEL TIPO CUARTICO.

Uno de los criterios mas utilizado para el ajuste de los controladores es el de una razn dedecaimiento especificada para la variable controlada. La mayora de las tcnicas de ajuste queutilizan este criterio estn desarrolladas para proporcionar una razn de decaimiento 1/4, razn por lacual se les suele llamar Mtodos Curticos. La idea tras este criterio es hacer que la atenuacinentre dos mximos sucesivos de la respuesta sea igual a 1/4 (ver Figura 4.11 ).

Figura N 4.11: Curva respuesta con razn de decaimiento 1/4.

Algunos autores han trabajado en proposiciones para la sintona de controladores mediantecriterios de decaimiento 1/4. Algunas de estas metodologas, la de Cohen y Coon por ejemplo, hanllegado a ser muy populares y suelen tener un amplio uso en la industria. A continuacin seanalizarn algunos de los mtodos ms representativos. Independientemente del mtodo a utilizar, ydel autor a considerar, resulta conveniente considerar los ajustes propuestos por estos mtodos comouna primera buena aproximacin. Siempre ser conveniente algunas pruebas en torno a estosvalores, en la mayora de los casos se lograr alguna mejora.

(a) Mtodos de Ziegler-Nichols.

Los ajustes proporcionados por los mtodos de Zlegler-Nichols han pasado a ser pseudo-standard en el campo del control automtico. Se caracterizan por ser fciles de aplicar, adems deproporcionar un comportamiento razonable para la mayora de los lazos de control.

Primer Mtodo de Ziegler-Nichois (razn de decaimiento 1/4): Considera que cualquier sistemareal se puede aproximar de buena manera por un sistema de primer orden ms tiempo muerto. As,si Kp es la ganancia del sistema, el retardo y la constante de tiempo (Ziegler-Nichois proponen unmtodo emprico para calcularlos), entonces si se define =/, Ziegler-Nichois proponen los ajustesde la Tabla 4.1 para un mximo sobreimpulso entre 10 % y 60 % para la respuesta escaln (enpromedio el sobreimpulso mximo aproximado es de 25 %). Este mtodo tiene sus limitaciones y noes aplicable a plantas con integradores (1/s) y que no posean una curva de reaccin en forma de S o

sigmoidal. Adems es necesario agregar que el mtodo es aplicable para

comprendidos entre 0.1 y0.5.

Controlador KcKp Ti (min) Td (min)PPI

PID

1.0/0.9/1.2/

3.32.0 0.5

Tabla 4.1 Ajuste del Controlador, primer mtodo de Ziegler-Nichols.


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Segundo Mtodo de Ziegler-Nichois, en lazo cerrado (razn de decaimiento 1/4) : Con laacciones D e I desconectadas, el mtodo consiste en encontrar la ganancia crtica, Kcr, para la cual ellazo se encuentra en el limite de la estabilidad. De la salida oscilante se rescata el valor del Perodode Oscilacin, Pu (en minutos), para luego determinar los ajustes de acuerdo a los valorespropuestos en la tabla Tabla 4.2. No todos los sistemas son posibles de llevarlo a la inestabilidad conlo cual no siempre es aplicable el mtodo.

.Controlador Kc Ti (min) Td (min)

PPI

PID

0.50 Kcr0.45 Kcr0.60 Kcr

-Pu/l.2Pu/2

--

Pu/8

Tabla 4.2 Ajuste del controlador, segundo mtodo de Ziegler-Nichols.

(b) Mtodo de Cohen-Coon y las 3C

Considera el hecho de que la mayora de los procesos pueden aproximarse por una o dosconstantes de tiempo ms un retardo. Al igual que el primer mtodo de Ziegler-Nichols suponen

conocidos los parmetros de la planta. As, se define:

= / Planta de primer orden= /(1+2)Planta de segundo orden

Entonces los ajustes para razn de decaimiento se consiguen con la ayuda de las tablas 4.3 y 4.4.

Controlador KcKp Ti (min) Td (min)

P1 + 0.333

- -

PI0.9 + 0.082 3.33

+0.5

2

1+ 2.2-

PID1.35 + 0.270

2.5+0.52

1+ 0.60.37

1+ 0.2

Tabla 4.3: Ajuste de controlador, mtodo de Cohen-Coon

Controlador KcKp Ti /

Td /

P 1.205 -0.956 - -PI 0.928 -0.946 0.928 -0.583

PID 1.350 -0.950 0.740 -0.738 0.365 -0.950

Tabla 4.4: Ajuste de controlador, Mtodo las 3-C (modelo de primer orden)

Uno de los inconvenientes de este mtodo que es que la razn de decaimiento de noconsidera el tiempo en que ocurrir esta razn, es decir para una misma razn de decaimientopueden existir distintos tiempos de establecimiento.

En general el uso de los mtodos curticos de ajuste de los controladores da buenosresultados en la gran mayora de las aplicaciones. La dificultad aparece cuando hay tiempos muertos


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significativos, en comparacin con las constantes de tiempo del proceso; estos tiempos muertossignificativos son sinnimo de grandes sobreimpulsos, largos perodos de oscilacin y grandestiempos de establecimiento. Lo anterior indica un control bastante pobre sobre el sistema, nopudiendo el controlador PID normal resolver en forma satisfactoria el problema de control. En estascircunstancias es necesario utilizar tcnicas especiales de compensacin del tiempo muerto.

B.- METODOS DEL TIPO CRITERIO INTEGRAL

El propsito de un sistema de control realimentado es, frente a una perturbacin, minimizar elerror en la salida. Ello indica que tanto la magnitud del error como el tiempo en que este error existeson parmetros que deben considerarse en el momento de ajustar un controlador. Parece lgicopensar, por tanto, introducir en la resolucin del problema de la sintona de los controladores tcnicasde optimizacin. Una Funcin Objetivo que interpretara lo anterior podra postularse como:

[ ]dttteFJ = )),( (ec. 4.19)

Evidentemente la funcin J as planteada no ser nunca cero (solo lo sera si e(t) fuese cero

para todo tiempo, hecho el cual es imposible). En consecuencia, es posible pensar en un ajuste delos parmetros del controlador de modo de minimizar la funcional J. Es decir, el comportamientoptimo ser aquella respuesta que proporcione un valor mnimo de J en comparacin con todas lasotras respuestas que pudieran haberse obtenido para el mismo estimulo con otros parmetros delcontrolador.

Puesto que el error es funcin de los parmetros del controlador Kc , Ti y Td el mnimo valorde J se encontrara resolviendo:

J / Kc =0J / Ti =0 (ec. 4.20)J / Td =0

Existen muchas funciones que cumplen con los requisitos planteados para la funcional J. En lapractica, sin embargo, suelen considerase las siguientes tres:

Los parmetros de ajuste determinados mediante la minimizacin de estos criterios decomportamiento dependen directamente de la planta a controlar. Se acostumbra por tanto a asumir

que los procesos reales se pueden aproximar por un modelo de primer orden ms retardo; estaaproximacin permite desarrollar mtodos generalizados de estas tcnicas de ajuste.

La minimizacin planteada se puede enfocar desde el punto de vista del comportamiento delsistema frente a una perturbacin o frente a un cambio en la referencia. En la mayora de los casosresulta mas realista enfocar el estudio desde el punto de vista del efecto de una perturbacin.

2ISE = e(t) dt

IAE = ABS(e(t))dt

ITAE= tABS(e(t))dt

ec. 4.21


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Escapa de los objetivos de este texto realizar el estudio de la optimizacin. Es por ello que sepresentaran aqu solo los resultados obtenidos de la aplicacin de estas tcnicas a los diferentescriterios de comportamiento. Los resultados son obtenidos en formas de curvas de ajuste, curvas lascuales mediante tcnicas de aproximacin de mnimos cuadrados pueden resumirse en:

Kc Kp = A B

/ Ti = C

D

Td / = E F

En donde =/y el valor de las constantes A, B, C, D, E, F depende del criterio y del tipo decontrolador a utilizar. Los valores a utilizar para estas constantes estn indicados en la Tabla 4.5.

Tabla 4.5:Tabla de ajuste para controladores de acuerdo a criterios de Comportamiento.Ajuste para perturbacin.

Siguiendo un mtodo similar Rovoira hizo un estudio para determinar los parmetros ptimosde ajuste de los controladores para cambios en la referencia. .

Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 4.6

Con el fin de poder definir el uso de uno o de otro tipo de sintona, conviene discutirbrevemente los efectos que tendra el usar sintona tipo ISE, IAE o ITAE en la respuesta del sistema.

El mtodo ISE est basado en la minimizacin de la integral del error dinmico, e(t), alcuadrado. Puesto que este error es mayor al comienzo, el nfasis se hace en minimizar el efecto deesta parte de la respuesta. Esto es, si se sintoniza con un ISE es deseable esperar sistemas conbajos sobreimpulsos y cortos tiempos de subida. De igual forma, puesto que los errores sonpequeos al final de la respuesta y por tanto no contribuyen mayormente a la suma de la integral, lasintona con ISE se caracteriza tambin por largos tiempos de establecimiento. En resumen, convieneutilizar una sintona ISE si existe la necesidad de bajar sobreimpulsos excesivos, o acortar los

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Tabla 4.6: Tabla de ajuste de Rovoira para cambios en la Referencia.

tiempos de respuesta. Lo anterior en el entendido de que el alargamiento del tiempo deestablecimiento que acompaa a este tipo de sintona no constituye un problema.

En el otro extremo esta el mtodo ITAE. Puesto que en este caso aparece explcitamente eltiempo, el mtodo centra su atencin en la parte final de la respuesta del sistema, ello en el entendido

de que si bien los errores son pequeos en esa zona, al estar estos multiplicados por tiempos de granvalor, su contribucin a la integral es importante. Una sintona con ITAE en consecuencia es sinnimode cortos tiempos de establecimiento. Dado que esta metodologa desatiende el comienzo de larespuesta, el tiempo es demasiado pequeo, es dable tambin en estos casos obtener respuestascon mayores sobreimpulsos. Esto es, la sintona con ITAE es recomendable cuando se requiere bajarlos tiempos de establecimiento del sistema, aceptando algn perjuicio en el sobreimpulso y el tiempode subida.

La sintona con IAE arroja resultados intermedios entre los extremos planteados por losmtodos de ISE e ITAE, esto es, afecta en forma razonable a todos los parmetros de la respuestasin que se produzcan cambios dramticos en ninguno de ellos.

Limitaciones en un controlador PID

Hasta ahora el controlador PID ha sido tratado en forma idealizada. Resulta apropiado portanto analizar sus limitaciones y la forma en que estas limitaciones afectan la operacin del sistema.

La accin derivativa debe ser limitada en ganancia si se quiere evitar inestabilidades y lapropagacin del ruido. Ganancias limites del orden de 10 a 20 son tpicas en estos casos. De igualforma, dada la sensibilidad de la accin D a los ruidos, es usual acompaar la accin derivativa conun filtro de primer orden cuya constante de tiempo toma valores entre 10 a 20 veces ms chica queTd.

La accin derivativa es aplicada a la seal de error. Ello implica que en el fondo realmente es

aplicada a la referencia y a la variable controlada. Cuando la accin D es aplicada a la variablecontrolada C, por encontrarse esta accin dentro del lazo, ella tiende a contribuir a la estabilizacindel lazo de control. Por otra parte, la aplicacin de la accin D a la referencia, hace que la accin decontrol quede fuera del lazo; ello tiende a inestabilizar el proceso. Esto ltimo es especialmente ciertocuando se producen cambios en la referencia, cambios que se producen generalmente en forma deescaln. El cambio escaln se interpreta como un cambio con pendiente infinita, ello hace que laaccin derivativa tome su lmite mximo, subiendo bruscamente de valor la seal de control. Estasubida brusca de la seal de control causa un sobreimpulso en el sistema. Es por ello que en la


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mayora de los controladores se aplica la accin derivativa solo a la variable controlada. La accin Dqueda establecida en estos casos por la expresin:

m(t) = -Tddc(t)/dt ec.(4.23)

De ser necesario la accin D sobre la referencia, es posible aplicarla con ayuda de otrocontrolador conformando un lazo de control tipo cascada.

Transferencia Manual-Automtico

Muchos de los controladores permiten la transferencia entre los modos de operacin Manual yAutomtico. En el modo Automtico, el regulador manual suele seguir la salida de control m(t), as, enel momento de la transferencia a la accin Manual, este cambio se produce con el ultimo valor dem(t). Situacin similar ocurre cuando la transferencia se hace de modo manual a automtico. En esteltimo caso, el cambio se hace normalmente de modo que la accin integrativa comience los clculosdesde el ltimo valor de m(t): Ello debe hacerse desconectando por un instante la accinproporcional. Esta prctica resulta til cuando se quiere cambiar la referencia. Al estar inhabilitada laaccin P, la seal de control subir linealmente hacia el punto de trabajo, evitndose as oscilacionesinnecesarias.

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