UNIVERSIDAD CATÓLICA DE COLOMBIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

AJUSTE LINEAL_EJERCICIO N°1

Elaboró: Alberto Rodríguez

DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE ELASTICIDAD “k” DE UN RESORTE

Al extremo libre de un resorte se le aplica la fuerza “F” y se mide su elongación “x” con el fin de

determinar el valor de su constante de elasticidad. El experimento se repite 9 veces y se organiza

la siguiente tabla de datos:

x(m) F(N)

0,24±0,01 5,75±0,05

0,37±0,01 9,00±0,05

0,42±0,01 10,20±0,05

0,51±0,01 12,60±0,05

0,66±0,01 16,30±0,05

0,74±0,01 18,25±0,05

0,83±0,01 21,00±0,05

0,90±0,01 22,75±0,05

1,02±0,01 26,00±0,05

Si se sabe que la relación funcional entre la fuerza aplicada al extremo libre del resorte y la

deformación que ésta produce obedece a la ley de Hooke (F=kx), realice el siguiente

procedimiento:

a) Calcular la constante de elasticidad “k” del resorte con cada par de datos registrados para

la fuerza “F” y la elongación “x”.

b) Expresar el valor experimental de la constante de elasticidad “k” del resorte, obtenida

mediante el promedio, con su respectiva incertidumbre.

c) Elaborar la gráfica de “F” vs “x” y obtener la ecuación de la recta observada por el método

de mínimos cuadrados; expresando dicha ecuación en términos de las variables del

problema.

d) Calcular el error porcentual asociado al valor de la constante de elasticidad “k” obtenido

por promedio.

e) Calcular el error porcentual asociado al valor de la constante de elasticidad “k” obtenido

por mínimos cuadrados.

f) Determinar cuál de los valores reportados para la constante de elasticidad “k” es más

preciso; el valor obtenido por promedio? El valor obtenido por mínimos cuadrados?

g) Si el fabricante reporta un valor de 25 N/m para la constante de elasticidad del resorte,

determine cuál de los valores hallados es más exacto; el valor obtenido por promedio? El

valor obtenido por mínimos cuadrados?

Solución:

a) Calcular la constante de elasticidad “k” del resorte con cada par de datos registrados

para la fuerza “F” y la elongación “x”.

Para cada par de datos de fuerza y elongación es posible calcular el valor de la constante de

elasticidad; por ejemplo, con el primer par de datos se tiene:

F=5,75 N X=0,24

Entonces

k=F/x k=5,75 N / 0,24m k= 23,96 N/m (valor de “k” para el primer par de datos de Fuerza “F” y elongación “x”) Para calcular la incertidumbre del valor de “k” empleamos la propagación de errores, ya que el valor de “k” se ha obtenido como una medida indirecta, a partir de las medidas directas de “F” y “x”. Recordemos que:

En nuestro caso:

Igualmente debemos tener en cuenta que los valores de la fuerza “F” y la elongación “X” con los cuales estamos realizando el cálculo de la incertidumbre de “k” solo fueron tomados una sola vez y no son el resultado de un promedio de datos (No hay dispersión de datos por tanto no aparecerán ni la raíz cuadrada ni los cuadrados)

Donde:

Por tanto

(Incertidumbre del valor de “k” el primer par de datos de Fuerza “F” y elongación “x”) CONCLUSIÓN: El valor experimental obtenido para la constante de elasticidad del resorte “k”, obtenido a partir del primer par de datos de fuerza “F” y elongación “x” será: (Nótese que deberá ser reportado con sus respectivas unidades e incertidumbre) Si repetimos el procedimiento para cada par de datos obtendremos los siguientes valores:

x(m) F(N) k(N/m)

0,24±0,01 5,75±0,05 23,96±1,21

0,37±0,01 9,00±0,05 24,32±0,79

0,42±0,01 10,20±0,05 24,29±0,70

0,51±0,01 12,60±0,05 24,71±0,58

0,66±0,01 16,30±0,05 24,70±0,45

0,74±0,01 18,25±0,05 24,66±0,40

0,83±0,01 21,00±0,05 25,30±0,37

0,90±0,01 22,75±0,05 25,28±0,34

1,02±0,01 26,00±0,05 25,49±0,30

b) Expresar el valor experimental de la constante de elasticidad “k” del resorte, obtenida

mediante el promedio, con su respectiva incertidumbre.

Recordemos que el promedio del conjunto de datos (en este caso los valores de “k” obtenidos en

el literal anterior) se obtiene mediante la suma de datos dividida entre el número de datos:

La incertidumbre para dicho promedio será:

El valor experimental de la constante de elasticidad “k” del resorte, obtenida mediante el

promedio, con su respectiva incertidumbre es : .

c) Elaborar la gráfica de “F” vs “x” y obtener la ecuación de la recta observada por el

método de mínimos cuadrados; expresando dicha ecuación en términos de las variables

del problema.

GRÁFICA “F vs x”

Recordemos que al elaborar la gráfica la variable independiente, en este caso la elongación “x”, irá en el eje horizontal y la variable dependiente irá en el eje vertical, en este caso la fuerza “F”. La pendiente de la recta y su respectiva incertidumbre será:

**Recuerde que las unidades de la pendiente permiten asignarle un sentido físico; estas unidades de la pendiente corresponden al cociente entre las unidades de la variable dependiente divididas entre las unidades de la variable independiente. En este caso N/m.

El intercepto con el eje vertical y su respectiva incertidumbre será:

y = 25,941x - 0,6394 R² = 0,9995

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

F (m

)

x (m)

**Recuerde que las unidades del intercepto con el eje vertical permiten asignarle un sentido físico; estas unidades del intercepto corresponden a las unidades de la variable dependiente. En este caso N. Siendo la ecuación de la recta

Con los valores obtenidos tendríamos

Volviendo a las variables originales del problema (elongación “x” en el eje horizontal y fuerza “f” en el eje vertical) la ecuación se transforma en:

Al comparar con la relación teórica (ley de Hook) Podemos establecer por comparación que la pendiente de la recta obtenida en la gráfica de “F”

vs “x” corresponde a la pendiente de la recta, siendo su valor de

d) Calcular el error porcentual asociado al valor de la constante de elasticidad “k” obtenido

por promedio.

Recordemos que el valor de la constante de elasticidad obtenido mediante promedio es de

; por tanto el error cometido al considerar dicho valor para la

constante de elasticidad, será:

e) Calcular el error porcentual asociado al valor de la constante de elasticidad “k” obtenido

por mínimos cuadrados.

Recordemos que el valor de la constante de elasticidad obtenido mediante mínimos cuadrados es

de

; por tanto el error cometido al considerar dicho valor para la constante de

elasticidad, será:

f) Determinar cuál de los valores reportados para la constante de elasticidad “k” es más

preciso; el valor obtenido por promedio? El valor obtenido por mínimos cuadrados?

El dato más preciso será aquel de menor error porcentual, en este caso resulta ser menor el error

porcentual para la constante de elasticidad calculada mediante el promedio (0,69%), que el error

cometido al calcular la constante de elasticidad por mínimos cuadrados (0,89%). En conclusión es

más preciso el dato de la constante de elasticidad obtenido mediante promedio.

g) Si el fabricante reporta un valor de 25 N/m para la constante de elasticidad del resorte,

determine cuál de los valores hallados es más exacto; el valor obtenido por promedio?

El valor obtenido por mínimos cuadrados?

Para determinar cuál de los dos valores obtenidos es más exacto debemos calcular el valor del

error relativo para cada uno de ellos, con el fin de establecer cuál se encuentra más cercano al

valor teórico.

El valor del error relativo para la constante de elasticidad obtenida mediante promedio es:

El valor del error relativo para la constante de elasticidad obtenida mediante promedio es:

El valor más exacto es el obtenido por promedio, pues su error relativo es el menor (1,04%), lo

cual se puede observar cuando apreciamos que 24,74 N/m se encuentra más cercano al valor

teórico de 25 N/m, que el valor reportado de 25,94 N/m por mínimos cuadrados. En el primer caso

la diferencia con el valor teórico es de 0,26 N/m, mientras que en el segundo caso la diferencia es

de 0,94 N/m.