Agrimensura. Levantamientos con cinta

Apuntes de Topografía I para la Carrera de Ingenierio Civil de la Universidad de Sonora

9

d

a a

d

2.1. PROBLEMAS DE CAMPO QUE SE RESUELVEN

CON CINTA, EXCLUSIVAMENTE.

2.1.2. PERPENDICULARES. El levantamiento y/o trazo de

perpendiculares con cinta, se puede realizar a través de diferentes

procedimientos como los que a continuación se describen.

LEVANTAMIENTO DE PERPENDICULARES.

1) MÉTODO DEL 3, 4, 5.

Utilizando el Teorema de Pitágoras se forma un triángulo con la

longitud de cinta necesaria; apoyando uno de los catetos en el

terreno sobre la línea de referencia se ubica el punto por donde sube

la perpendicular en la intersección de la hipotenusa y el otro cateto.

Para esto se necesitan tres personas.

2) MÉTODO DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES. Para este método

se requiere fijar dos puntos auxiliares equidistante (a) al punto

donde se pretende levantar la perpendicular, después con la ayuda

de tres personas, se toma la longitud de cinta necesaria y se divide

en dos partes iguales (d). Apoyando los extremos de la cinta en las

dos marcas auxiliares equidistantes se estira la cinta y la

perpendicular sube por el punto medio.

3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS.

Este método es sumamente útil cuando se tiene algún obstáculo

que no permita trazar con facilidad la perpendicular.

Primeramente se forma un triángulo isósceles “ABC” cuyos lados

iguales sean de una distancia “d” y la suma sea lo más cercano a

lo longitud total de cinta. La base del triángulo se apoya en la

línea de referencia y se coloca una baliza en el punto “B”. cuando

la cinta esté bien estirada la persona ubicada en “C”, se mueve

hacia “arriba de la línea” hasta un punto “D” y alinearse

perfectamente con el balicero localizado en “B”. La perpendicular

se levanta del punto “C”, hasta el punto “D”.

UNIDAD TEMÁTICA 2. USO DE LA CINTA EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS TOPOGRÁFICOS

5K3K

90°

4K K5c

K25c

K16K9c

)K4()K3(c

22

222

222


10

COMPROBACIÓN DE LA PERPENDICULAR

TRAZO DE PERPENDICULARES.

1) MÉTODO DE LA DISTANCIA MÁS CORTA.

2) MÉTODO DE BISECCIÓN DE LA CUERDA.

Bd

d

A

90°

d

C

D

Perpendicular

Punto móvil

ç ç

90°-ç

2ç

180°-2çd

d

d

Distancia más corta

Cero de la cinta

A (punto dado)

90

90180

190


11

B'

d/2

A'

A

d/2

d/2

B

d/2

d

B'

A'

A

d 90°

B

90°

A

B

Q 90°90°

P

90.30125.50

152.10

224.00

217.60

++

A

B

C D

3) MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN DE TRIÁNGULOS

ISÓSCELES.

2.1.2. LEVANTAMIENTO Y/O TRAZOS DE PARALELAS .

Existen problemas de campo que se resuelven con paralelas. Se

pueden trazar paralelas a otra línea de dos formas diferentes, a

saber:

a). Tomando como referencia la línea base se levantan

perpendiculares equidistantes en dos puntos auxiliares A y B. La

paralela será aquella que una los puntos A’ y B’ de las

perpendiculares.

b)

II ) MEDICIÓN DE LAS DISTANCIAS DE DOS PUNTOS

INACCESIBLES PERO VISIBLES .

II ) OBTENCIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

INACCESIBLES E INDIVISIBLES ENTRE SÍ, PERO VISIBLE

DESDE PUNTOS EXTERNOS .

dd

A

C

B

Punto móvil

Perpendicular

D

d

BQ*PQ

BPBA

BA

PQ

BA

BP

BTANATAN

B.ANGA.ANG

BQ*PQ

BPAB


12

b=156.70

b = 307.12

A

a =

312.

30

C2

c2 B

d = 307.92

d = 312.30

C1

c1=

226.5

0

D

B

a=156.70

C D

A

c

A

c = 450.30

B a C

b c² = a² + b² 2 a.b.Cos C

Cos C = a² + b² - c²

2ab

Cos C1 = b² + d² - c1²

2bd Cos C1 = (156.70)² + (312.30)² - (226.50)²

2 (156.70) (312.30) Cos C1 = 0.7232

C1 = 43.67°

Cos C2 = a² + b² - c2²

2ab

Cos C2 = (312.30)² + (307.92)² - c2²

2 (312.30) (307.92)

Cos C2 = 192346.0164 - c2²

192326.832

C = C1 + C2 C2 = C – C1

C2 = 149.79° - 43.67°

C2 = 106.11°

C2² = 192346.0164 + (Cos C2) (192326.832)

c2² = 295730.921

c2 = 495.71 m = AB

Cos C = a² + d² - c²

2ad Cos C = (156.70)² + (307.92)² - (450.30)²

2 (156.70) (307.92) Cos C = - 0.8642

C = 149.79°


13

Cos D = c² + b² - d²

2cb Cos D = (226.50)² + (156.70)² - (312.30)²

2 (226.50) (156.70) Cos D = - 0.6053

D = 107.77°

d1 = 307.92

b = 450.30

A

B

D2

d2

a=226.5

0a = 156.70

D1C

b = 156.70

d = 312.30

A

C

c = 450.30

c = 226.50

D

B

Cos D1 = a² + c² - d1²

2ac Cos D1 = (156.70)² + (450.30)² - (307.92)²

2 (156.70) (450.30) Cos D1 = 0.9389

D1 = 20.12°

D = D1 +D2 D2 = D – D1

D2 = 107.77° - 20.12°

D2 = 87.65°

Cos D2 = a² + b² - d2²

2ab Cos D2 = (226.50)² + (450.30)² - d2²

2 (226.50) (450.30) Cos D2 = 254072.34 – d2²

203985.9

d2 = 254072.34 - 203985.9 Cos(87.65°)

d2 = 245730.921

d2 = 495.71 m = AB


14

Se miden lados y diagonales.

LEY DE COSENOS:

Cos A = b² + c² - a²

2bc

Cos B = a² + c² - b²

2ac

Cos C = a² + b² - c²

2ab

Conocido el ángulo A tenemos:

Sen A = h1 / c h1 = c.Sen A

Sen A = h2 / b h2 = b.Sen A

Conocido el ángulo B tenemos:

Sen B = h2 / a h2 = a.Sen B

Sen B = h3 / c h3 = c.Sen B

Conocido el ángulo C tenemos:

Sen C = h1 / a h1 = a.Sen C

Sen C = h3 / b h3 = b.Sen C

B

h1

b

A

C

h3

c

h2a

b

A

c

C

a

B

III

I II

ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS INDIVISIBLES ENTRE

SÍ, PERO VISIBLES DESDE 2 PUNTOS INTERMEDIOS .

ALINEAMIENTO ENTRE 2 PUNTOS LEJANOS E

INDIVISIBLES ENTRE SÍ .

3.1 MÉTODOS DE LEVANTAMIENTO CINTA

EXCLUSIVAMENTE .

Poligonal:

3.2.1. POR TRIANGULACIÓN .

Polígono Cerrado


15

180° - ø

Q

P

ø Sen (180° - ø) = Sen ø

2 PQ Sen (180° - ø) / 2 = Sen (180° - ø)

Área = PQ Sen ø

|| P X Q || = PQ Sen ø

a = 209.72

b = 263.35

C

A

c = 291.50

B

Área = (Producto de 2 lados) X (Seno del ángulo que forman)

2

Área = Base X Altura

2

Área = b.h1 = b.c.Sen A = a.b.Sen C

2 2 2

Área = c.h2 = a.b.Sen A = a.b.Sen B

2 2 2

Área = a.h1 = a.c.Sen B = a.b.Sen C

2 2 2

b.c.Sen A = a.b.Sen C = a.c.Sen B

2 2 2

c Sen A = a Sen C Sen A = Sen C

a c

b Sen C = c Sen B Sen B = Sen C

b c

Sen A = Sen B = Sen C

c b c

EJEMPLO:

Calcular los ángulos interiores y el área del triángulo con la

Ley de los Cosenos.

Poligonal 1:

Cos A = (263.35)² + (291.50)² - (209.72)² = 0.71869

2 (263.35) (291.50)

A = 44.054°

Cos B = (291.50)² + (209.72)² - (263.35)² = 0.48747

2 (291.50) (209.72)

B = 60.826°

Cos C = (209.72)² + (291.50)² - (263.35)² = 0.25678

2 (209.72) (291.50)

C = 75.121°

Area = (263.35) (209.72) Sen C

2

= 26 688.96

Area = 26 689 u²


16

c = 550.65

B1

a = 435.70

A1

b = 510.30

I

C1

576.86

550.65

488.32

F

A

IV

C

510.3

0

B I

435.70

III E

600.78479.8

5

II

266.57D

372.41

Poligonal 2:

I )

Cos A1 = (550.65)² + (510.30)² - (435.70)² = 0.66511 A1

= 48.309°

2 (550.65) (510.30)

Cos B1 = (550.65)² + (435.70)² - (510.30)² = 0.48484 B1

= 60.998°

2 (550.65) (435.70)

Cos C1 = (435.70)² + (510.30)² - (550.65)² = 0.33063 C1

= 70.693°

2 (435.70) (510.30)

Area = (435.70) (510.30) Sen C1 = 104 916.7

Area = 104 917 u²

2

II )

Cos C2 = (510.30)² + (266.57)² - (479.85)² = 0.37201

C2 = 68.160°

2 (510.30) (266.57)

Cos A2 = (510.30)² + ( 479.85)² - (266.57)²

2 (510.30) (479.85)

= 0.85680

A2 = 31.041°


17

Cos D2 = (266.57)² + (479.85)² - (510.30)² = 0.15991 D2

= 80.798°

2 (266.57) (479.85)

Area = (510.30) (266.57) Sen C2 = 63 133.6

Area = 63 134 u²

2

III)

Cos D3 = (479.85)² + (372.41)² - (600.78)² = 0.02241 D3

= 88.716°

2 (479.85) (372.41)

Cos E3 = (600.78)² + (372.41)² - (479.85)² = 0.60198 E3

= 52.988°

2 (600.78) (372.41)

Area = (479.85) (372.41) Sen D3

Area = 89 328 u²

2

IV )

Cos E4 = (600.78)² + (576.86)² - (488.32)² = 0.656797

E4 = 48.944°

2 (600.78) (576.86)

Cos F4 = (488.32)² + (576.86)² - (600.78)² = 0.37326 F4

= 68.083°

2 (488.32) (576.86)

Area = (600.78) (576.86) Sen E4

Area = 130 667 u²

2

600.78

A3

372.41

479.85III

D3

E3

Cos A3 = (479.85)² + (600.78)² - (372.41)²

2 (479.85) (600.78)

= 0.78482

A3 = 38.296°

IV

488.32

A4

F4

576.86

600.78

E4

Cos A4 = (600.78)² + (488.32)² - (376.86)²

2 (600.78) (488.32)

= 0.45441

A4 = 62.973°


18

B

60°5

9'1

9"

138°51'10"

C

101°55'35"

F

68°04'59"A

180°38'08"

169°30'50"E

D

Suma de ángulos interiores:

A = 48.309° + 31.041° + 38.296° + 62.993° = 180.619°

B = 60.998°

C = 70.693° + 68.160° = 138.853°

D = 80.798° + 88.716° = 169.514°

E = 52.988° + 48.944° = 101.932°

F = 68.083°

Suma = 719.999°

Suma de ángulos teórica:

180° (n – 2) = 180° (6 – 2) = 720°

Suma de áreas:

Área1 = 104 917

Área2 = 63 134

Área3 = 89 328

Área4 = 130 667

Suma = 388 046 u²

Área Total = 38 - 80 - 46 Ha.

Dibujo de la poligonal


19

576.86

550.65

488.32

F

A

IV

C

510.3

0

B I

435.70

III E

600.78

479.8

5

II

266.57D

372.41

FÓRMULA DEL SEMIÁNGULO

EJEMPLO:

Encontrar los ángulos internos y el área del

polígono con la fórmula del semiperímetro.

I )

s = 435.70 + 510.30 + 550.65

2

s = 748.325 m

SenAl/2=((748.325–550.65)(748.325 – 510.30) / (550.65)(510.30))1/2

A1 = 48.309°

SenBl/2=((748.325–435.70)(748.325 – 550.65) / (550.65)(550.65))1/2

B1 = 60.998°

SenCl/2=((748.325–435.70)(748.325 – 510.30) / (437.70)(510.30))1/2

C1 = 70.693°

Área=(748.325(748.325-510.30)(748.325-435.70)(748.325-

550.65))1/2=104916.5u2

Área = 104 917 m²

s = a + b + c

2

s = Semiperímetro

ab

)cs)(bs(

2

ASen

ac

)cs)(as(

2

BSen

ab

)bs)(as(

2

CSen

c)-b)(s-a)(s-s(sÁrea


20

II )

s = 266.57 + 479.85 + 510.30

2

s = 628.360 m

SenAl/2=((628.360–479.85)(628.360 – 510.30) / (479.85)(510.30))1/2

= 0.26759

A2 = 31.041°

SenC2/2=((628.360–266.57)(628.360–510.30) / (266.57)(510.30))1/2

= 0.56035

C2 = 68.160°

SenD2/2=((628.360–266.57)(628.360–479.85) / (266.57)(479.85))1/2

= 0.64811

D2 = 80.798°

Área=(628.36(628.36 - 266.57)(628.36 - 479.85)(628.36-510.30))1/2

= 63133.8m2

Área = 63 134 m²

III )

s = 372.41 + 600.78 + 479.85

2

s = 726.520 m

SenA3/2 =((726.52 - 600.78)(726.52 - 479.85) / (600.78)(479.85))1/2

= 0.320801

A3 = 38.296°

SenD3/2 =((726.52 – 372.41)(726.52 - 479.85) / (372.41)(479.85))1/2

= 0.69914

D3 = 88.716°

SenE3/2 =((726.52 – 372.41)(726.52 – 600.78) / (372.41)(600.78))1/2

= 0.44611

E3 = 52.988°

²m4.89075)78.600520.726)(85.479520.726)(41.372520.726(520.726Área


21

a (Lado de Liga)

A A

k

k

Cos A = k² + k ² - a² = 2k² - a² 2 (k) (k) 2k²

= 2k² - a² 2k² 2k²

Cos A = 1 - a² 2k²

Sen (A/2) = a / 2 K = a 2k

Área = 89 075 m²

IV )

s = 576.86 + 488.32 + 600.78

2

s = 832.98 m

SenA4/2 =((832.98-488.32)(832.98-600.78) / (488.32)(600.78))1/2

= 0.52230

A4 = 62.973°

SenE4/2 =((832.98-576.86)(832.98-600.78) / (576.86)(600.78))1/2

= 0.41425

E4 = 48.944°

SenF4/2 =((832.98-576.86)(832.98-488.32) / (576.86)(488.32))1/2

= 0.55980

F4 = 68.084°

Área=(832.98(832.98-576.86)(832.98-488.32)(832.98-600.78))1/2

= 130666.8m2

Área = 130 667 m²

3.2.2. MÉTODO DEL LADO DE LIGA .

Se recomienda para levantamientos preliminares.

Donde a y k son conocidos.


22

D

C3

E3

9.20 m

E E1

E2

C

C2

B

B2

B1

A1

11.50 m

k = 20 m

A

EJEMPLO:

Se pretende levantar un terreno de 5 lados y el

arroyo crecido no permite medir las distancias AE y AB; pero

ayudándose de las prolongaciones de las líneas se midieron los

lados de liga en los vértices E y B. Calcule los datos faltantes y el

área del terreno. Sugerencia: considere la suma de los ángulos

interiores del triángulo AEB forzada a 180° para obtener el ángulo

A.

EST. P.V. DISTANCIA ANG. INTERIOR

A B 119° 59’ 24”

B C 345.60 81° 32’ 53”

C D 175.50 133° 51’ 21”

D E 263.60 90° 00’ 00”

E A 114° 36’ 00”

B E 415.20

E C 316.68

Sen B1/2= (11.50)/(2(20)) = 0.2875

B1 = 33.42°

Sen E1/2= (9.2)/(2(20)) = 0.23

E1 = 26.59°

A1 + B1 + C1 = 180°

A1 = 180° - 33.42° - 26.59°

A1 = 119.99°

Aplicamos la Ley de los Senos:

Sen 119.99° = Sen 33.42° = Sen 26.59°

415.20 AE AB

AE = (415.20) Sen 33.42° AB = (415.20) Sen 26.59°

Sen 119.99° Sen 119.99°

AE = 264.01 m AB = 214.60 m

A1

E E1

415.20

264.01

B1 B

214.60

A

Área = (264.1) (214.60) Sen 119.99° 2

Área = 24 535 m²


23

D 175.50

C3

C

263.60 d

E3

E

)²50.175( ² (263.60) d

e² c² ² d

d = 316.68 m

316.68 345.60

C

C2

415.20

E2

E

B2

B

Cos E3 = (263.60)² + (316.68)² - (175.50)² = 0.83239 E3

2 (263.60) (316.68)

E3 = Tan-1 (175.50/263.60) = 33.655°

E3 = 33.655°

Cos D3=(263.60)² + (175.50)² - (316.68)² = 1.0942X10-5

2 (263.60) (175.50)

D3 = 90.000°

Cos C3 = (175.50)² + (316.68)² - (263.60)² = 0.55420

2 (175.50) (316.68)

C3 = Tan-1 (263.6/175.50) = 56.345°

C3 = 56.344°

Area = (175.50) (263.60) Sen D3 = 23 130.9

Area = 23 131 m²

2

Cos E2 = (316.68)² + (415.20)² - (345.60)² = 0.58272 E2

2 (316.68) (415.20)

E2 = 54.358°

Area = (415.20) (345.60) Sen B2 = 53 427.4

2

Area = 53 427 m²

Cos B2 = (415.20)² + (345.60)² - (316.68)² 2 (415.20) (345.60) = 0.66743 B2 = 48.131°

Cos C2 = (316.68)² + (345.60)² - (415.20)² 2 (316.68) (345.60) = 0.21625 C2 = 77.511°


24

b'2

Bb

c 3

C f

Aa

E

D d

F f

a1 f d' 4

Ángulos:

A = 119.99°

B = 33.417° + 48.131° = 81.548°

C = 77.511° + 45.345° = 133.856°

D = 90°

E = 26.59° + 54.358° + 33.655° = 114.60°

Suma = 539.994°

180° (n – 2) = 180° (5 – 2) = 540°

Área:

A1 = 24 535 m²

A2 = 53 427 m²

A1 = 23 131 m²

AT = 101 093 m²

3.2.3. MÉTODO DE RADIACIONES .

3.2.4. MÉTODO DE PROLONGACIÓN DE

ALINEAMIENTOS .

3.3. LEVANTAMIENTO DE DETALLES DE

REFERENCIACIÓN .


25

A

Cadenamiento @30 m, (excepto r = 25 m)

A7

r

A8

y6

7y

Ay

73.50 m

5

6

3A

AA

5

4

2A

1

Ø

Ø = 24.37°

2y

3

y4

yA

0

0y

1

yA

LEVANTAMIENTO DE ÁREAS IRREGULARES .

A0 = (yo + y1) d A3 = (y3 + y4) d

2 2

A1 = (y1 + y2) d An-2 = (yn-2 + yn-1) d

2 2

A2 = (y2 + y3) d An-1 = (yn-1 + yn) r

2 2

suma A = A0 + A1 + A2 + A3 + ... + An-2 + An-1

2 AT = (y0 + y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + y4 + ... + yn-2 + yn-1) d +

(yn-1 + y0) r

r)yy(d)yy(y2 A2 n1n1n0

2n

1iiT

2

r)yy(

2

d)yy(yA n1n1n0

2n

1i

iT

2 AT = (y1 + y1 + y2 + y2 + y3 + y3 + ... + yn-1 + yn-1 + yn + yn) d

2 AT = 2 d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d

AT = d (y1 + y2 + y3 + ... + yn-1 + yn) d

n

1iiT ydA

EJEMPLO:


26

la cintaCero de

b

A

c

Línea de referencia

a

Línea que pretende trazarse

A0 = (70.00) (73.50) Sen (24.37°) = 1061.4 m² A0

2

= 1061 m²

A1 = (y1 + y2) d = (70.00 + 65.30) (30.00) = 2029.5 m²

2 2

A1 = 2030 m²

A2 = (y2 + y3) d = (65.30 + 59.90) (30.00) = 1878 m²

2 2

A2 = 1878 m²

A3 = (y3 + y4) d = (59.90 + 56.20) (30.00) = 1741.5 m²

2 2

A3 = 1742 m²

A4 = (y4 + y5) d = (56.20 + 43.80) (30.00) = 1500 m²

2 2

A4 = 1500 m²

A5 = (y5 + y6) d = (43.80 + 35.20) (30.00) = 1185 m²

2 2

A5 = 1185 m²

A6 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m²

2 2

A6 = 920 m²

A7 = (y7 + y8) d = (35.20 + 26.10) (30.00) = 919.5 m²

2 2

A7 = 920 m²

A8 = (15.00) (25.00) = 187.5 m²

2

A8 = 188 m²

Área Total = 11 120 m²

TRAZO DE ÁNGULOS CON CINTA .

Datos conocidos ángulo A y k (largo de la cinta).

a + b + c = k

Sen A = a c . Sen A = a

c

Cos A = b c . Sen A = b


27

c

c . Sen A + c . Cos A + c = k c = k______

c (Sen A + Cos A + 1) = k Sen A + Cos A + 1

EJEMPLO :

y 30.00 m

Marca de cero Marca de 8.786 m

45°

Marca de 17.573 m

A = 45°, k = 30 m c = 30 = 12.4264 m Sen (45°) + Cos (45°) + 1

a = 12.4264 Sen (45°) = 8.786 m

b = 12.4264 Cos (45°) = 8.786 m

COMPROBACIÓN: a + b + c = k 2(8.7867) + 12.4264 = 30 m a² + b² = c²

c = 12.426 m

Agrimensura. Levantamientos con cinta

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