Actividad Unidad 6

Universidad de Guadalajara Centro Universitario de los Valles Maestra en Ingeniera Mecatrnica

Carretera Guadalajara - Ameca Km. 45.5, C.P. 46600, Ameca, Jalisco, Mxico.

12 / Junio / 2013 Jos de Jess Flores Snchez Sistemas Lineales de Control

Unidad 6: Diseo de Controladores.

Actividad

1. Visualizar los videos sobre diseo de controladores puestos a disposicin en la pgina del curso.

2. Considere el modelo del vehculo elctrico derivado en el ejercicio II.b de la Unidad III, en el cual se ha modificado el coeficiente de friccin K(t) para capturar variaciones en el tiempo (es decir, cambios en la friccin debido al viento y condiciones del suelo). El modelo resultante es:

/T K(t)mv = m

(Parte mecnica)

e = L + Ri + k (Parte elctrica)

donde e es el voltaje aplicado al motor (entrada), v es la velocidad lineal a la que se desplaza el vehculo (salida), T = ki , = 102 D" #v y las constantes estn dadas por m=100kg, D=0.45m, R=0.24, L=18mH, kT =0.08 Nm/A. Utilizar como coeficiente de friccin variante en el tiempo Kf(t)=0.003 + 0.001*seno(t/20) (unidades N s/kg m), donde el tiempo t est dado en segundos.

3. Verifique si el modelo es controlable.

Antes que nada, hay que lograr la estabilizacin del sistema, con lo cual llevamos a dicho sistema a cero. Para esto nos apoyaremos con las siguientes ecuaciones:

$% = &$ + '(; ( = *($)

Por conveniencia utilizamos:

( = +$

Sustituyendo en la primera ecuacin tenemos que:

$% = &$ '+$ = (& '+)$; & '+ = &,-



Donde + es la retroalimentacin del estado con la cual podremos estabilizar el sistema. Para esto necesitamos que los valores propios de la matriz &,- sean negativos (visto en unidades anteriores). Para encontrar el valor o los valores de + nos apoyamos con MatLab mediante la funcin place, con la que podemos colocar los valores o polos deseados donde queramos que se encuentre funcionando el sistema. Para este caso no ser necesario esto, ya que en ejercicios anteriores comprobamos que el sistema es asintticamente estable. En ocasiones no se puede aplicar lo anterior, por lo cual recurriremos a la propiedad de controlabilidad, el cual nos dice que un sistema $% = &$ + '( es controlable si podemos enviar el sistema desde cualquier valor inicial que corresponde a un espacio en ./ a cualquier otro valor que se encuentre en ./. Un sistema controlable es equivalente a que exista una matriz + tal que en la matriz &,- pueda colocar los valores propios deseados. Para realizar lo anterior debemos construir una matriz que llamaremos matriz de controlabilidad de la siguiente manera:

0 = [', &', &', , &/4']

Esta matriz debe tener n columnas linealmente independientes, o dicho de otra forma, el rango de la matriz C debe ser igual a n, de ser as, el sistema es controlable y por consecuencia se pueden colocar los valores propios donde uno desee. Dicho lo anterior, corroboramos que el sistema dado es controlable, siendo el procedimiento el siguiente:

>> A

A =

-13.3330 -197.5300 0.0356 -0.0030

>> B

B =

55.5560 0

>> Contr=[B,A*B] %Matriz de controlabilidad

Contr =



55.5560 -740.7281 0 1.9778

>> rank(Contr) %Obtencin del rango de la matriz

ans =

2

Lo que observamos fue que el rango de la matriz de controlabilidad es del mismo orden que la matriz, por lo tanto es un sistema que puede ser controlable. Dicho de otra manera, la matriz de controlabilidad es de rango pleno.

3. Disee un controlador por retroalimentacin del estado para que el vehculo mantenga una velocidad constante de 15m/s (salida) alimentando al motor con el voltaje adecuado e (entrada), a pesar de los cambios en el coeficiente de friccin. Realizar la simulacin del sistema en lazo abierto y lazo cerrado en Simulink.

Visto lo anterior, lo que se quiere lograr es que el sistema no slo llegue a un valor deseado, sino que se mantenga en ese valor, lo que llamaremos un valor de set point. Para esto ocupo encontrar los valores o estados en el que el sistema pueda estar y mantenerse. Observemos lo que sigue. Si yo llego a un estado $6, y logra mantenerse en ese estado, su derivada es igual a cero, visto de otra forma tenemos lo siguiente:

$% = &$ + '(

0 = &$6 + '(6; ($6 , (6)78797:(;9;?798;8@7AB

Utilizando algebra, resuelvo de la siguiente manera:

[& '] C$6(6D = 0

E = 0$6 + F(6 = [0 F] C$6(6D

C& '0 FD C$6(6D = G

0E6H

Donde E6 es la salida deseada del sistema.



Entonces para llegar de un valor inicial a un valor deseado y mantenerlo, tenemos lo siguiente:

$% = &$ + '(

0 = &$6 +'(6

Restando las ecuaciones tengo que:

$% = &$ + '( &$6 '(6 = &($ $6) + '(( (6)

Ahora defino un error de estado, entre el estado inicial y el estado al que quiero llegar:

7 = $ $6

Y tambin defino uno entrada artificial:

( = ( (6

Derivando el error tenemos que:

7% = $% $6% = $%

Por lo tanto: 7% = &7 + '(

En esta ltima ecuacin cuando el error es igual a cero, tenemos el estado deseado. Ahora bien:

( = +7

( (6 = +($ $6)

( = (6 +($ $6)

Entonces la ecuacin nos muestra la entrada que debemos tener para llevar a nuestro sistema a un estado deseado y por lo tanto, a una salida deseada.



>> A

A =

-13.3330 -197.5300 0.0356 -0.0030

>> B

B =

55.5560 0

>> C

C =

0 1

>> D=[0]

D =

0

>> [A B;C D]

ans =

-13.3330 -197.5300 55.5560 0.0356 -0.0030 0 0 1.0000 0

>> rank([A B;C D]) %Obtenemos el rango de la matriz

ans =

3

>> sal=inv([A B;C D])*[0;0;15]

sal =



1.2640 15.0000 53.6360

>> xq=sal(1:2)

xq =

1.2640 15.0000

>> uq=53.6360

uq =

53.6360

>> K=place(A,B,[-10 -20]) %Valores propios deseados

K =

0.2999 97.5218

>> C*xq %Este es el valor al que quiero llegar

ans =

15



Ahora implementaremos el sistema en Simulink. Primero implemento el sistema en lazo abierto.

Al correr el modelo obtenemos lo siguiente:

En la grfica podemos observar que de estar en un valor inicial, en este caso 10, se estabiliza, es decir, llega a cero.



Y ahora, realizamos el modelo en lazo cerrado.

En la grfica podemos observar que de estar en un valor inicial, lo lleva a un valor de salida deseado, en este caso 15, y lo mantiene.

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