HISTORIA DEL CÁLCULO

Principales Autores que intervinieron en el Cálculo Integral:

- Arquímedes

- Nicolás Oresmo

- Galileo Galilei

- Johannes Kepler

- René Descartes

- Pierre de Fermat

- Isaac Newton

- Gottfried Leibniz

¿Cómo el Cálculo nos puede ayudar a solucionar en la vida cotidiana?

El Cálculo está contenido en todo nuestro entorno, tanto en tecnología, como en los elementos que vemos, la fabricación de estos elementos y tecnologías implica un análisis matemático y el uso del Cálculo para su óptima elaboración y desarrollo. Además de esto nos ayuda a solucionar problemas matemáticos y físicos, formulando leyes y conceptos que son base para las disciplinas que contengan un análisis de este tipo. Los grandes procesos de desarrollo que ha tenido la raza humana se deben al Cálculo, ya que con esta herramienta se ha ido modelando el entorno para una mejor calidad de vida.

HISTORIA DEL CÁLCULO

El Cálculo es una culminación de muchas ideas y análisis matemáticos, sus indicios datan desde el antiguo Egipto, con la implementación del Cálculo y la geometría para la medición de la tierra y las áreas de las superficies planas. Los griegos también implementaron el Cálculo para así hallar el área de las superficies planas, sin embargo tuvieron dificultades a la hora de hallar áreas con superficies curvas, así mismo idearon un “método” para intentar hallar el área de superficies curvas, mediante el método de los polígonos inscritos en la circunferencia. Arquímedes pudo calcular la cuadratura de un segmento de una parábola con la expresión (At=1/3t^3).

En los años de 1600 Kepler calculó el área y volumen de 92 figuras diferentes, el reconocido Pierre de Fermad consiguió obtener la derivada para determinar el punto máximo y mínimo de las funciones y junto con René Descartes lograron combinar el álgebra con la geometría para así dar resultado a las ecuaciones algebraicas. Años más tarde en la 2da mitad del siglo XVII Isaac Newton y Gottfried Leibniz crearon el Cálculo como lo conocemos.

Isaac Newton un erudito británico que se destacaba en los procesos matemáticos y físicos teóricos, quien propuso la teoría la ley universal gravitatoria, planteo el método matemático de las fluxiones, afirmando que la pendiente genera una nueva función, esta llamada derivada. Por otro lado Gottfried Leibniz matemático y lógico Alemán, miembro de la prestigiosa British Royal Society, quien había creado una calculadora para resolver las raíces empezó a desarrollar su propio método para calcular, este fue llamado Integración, y definió que el símbolo que mejor podría representar la integral era ʃ, que venía del latín “ Summa”. El Cálculo resuelve el problema de la cuadratura en general, ya que la integración y la derivación son procesos inversos. Al resolver el problema de la cuadratura se obtiene la 2da ley de los fundamentos del Cálculo, que plantea que una función es igual a la integral de su derivada más una constante.

Leibniz publicó su obra llamada “Diferenciales e Integrales”, 3 años más tarde Newton publicó su obra llamada “Principios matemáticos de la filosofía natural”, la obra de Leibniz tenía una mejor notación matemática, por lo cual es la usada

en la actualidad. Siendo la integral el área de la región bajo la curva y al mismo tiempo una anti derivada.

PROBLEMAS DE INTEGRALES

1) Integral

F(x)= 6x91 – 2x31 + 4x32∫6 x91−¿2x3

1++4 x32 ¿

6∫ x91−¿2∫ x31+4∫ x32¿

6 x91+119+1 −¿ 2 x31+11

3+1 +¿ 4 x32+12

3+1 + c

275x910 – 3

2x34 + 12

5x35 + c

2) Método de Sustitución ∫3 x2 3√2 x3+9 dx (*)Sea µ = 2 x3+9dµ = 6 x2 dxdµ2

= 3x2dxSustituyendo (*)∫ 3√µ dµ2∫ µ3

1 12dµ

12 ∫ µ31dµ 12 µ31+113+1 = 12 (2 x3+9)31+11

3+1 = 12 (2 x3+9)344

3 = 12 ¿ 34 (2 x3+9)34) + c

38 (2 x3+9)34 + c = 3

8 3√(2 x3+9)4 +c

3) Integrales Indefinidas: Exponenciales y Logarítmicas∫48 x2+48 x8 x3+5+12x2

(*)Sea µ = 8 x3+5+12x2dµ = 24 x2+24 x dx2dµ = 48 x2+48 x dxSustituyendo (*)∫2dµµ

2 ∫dµµ

2 lnµ +c2 ln (8 x3+5+12x2 ¿ + C

4) Integrales Trigonométricas ∫Csc2( 89 + 8x2) dx (*)Sea µ = 89 + 8x2dµ = 16 x2 dxdµ16

= xdxSustituyendo (*)∫Csc2 (µ ) dµ16

116∫ Csc2 (µ ) dµ

116∫ Ctg (µ)+C

116∫ Ctg ( 89+8 x2)+C 5) Integración Doble

∫4 x−3√2x+6dx (*)

Sea µ = 2 x+6 µ−62 = xdµ = 2 dxdµ2

= dxSustituyendo (*)∫4 x−3√µ dµ

2

∫ 4 µ−62 – 3 (µ¿¿−12 dµ2

12 ∫(2(µ−6¿ -3 ¿ dµ12 ∫(2µ−12−3 ¿ dµ12 ∫(2µ¿¿

12 - 15樨

−12 dµ

12¿ - 15 121

2

) + c23µ32 - 15µ 12 + c

23(2x+6)

32 - 15(2 x+6)12 + c

6) Integración por partes∫ x3Sec2 x dx Sea µ = x3 Dv= Sec2 xdµ=3 x2 v= Tan x-x3 (Tan x) - ∫(Tan x) (3 x2) dx-x3 (Tan x) - 3 ∫ x2 Tan x dxSea µ = x2 Dv= Tan xdµ=2x v= Sec2xx3 (Tan x) - 3¿ x - ∫ Sec22 x-x3 (Tan x) – 3 x2 Sec2 x – 2 ∫ Sec2 x-x3 (Tan x) – 3 x2 Sec2 x – 2 Tan x + c

JORGE FELIPE GAR´ZON MONTOYA

COD: 443386