Actividad Entregable 1 Investigacion Operativa

Nombre de la asignatura: Investigación Operativa I

Parcial de estudio: Primero

Introducción La programación lineal (PL) es una clase de modelos de programación matemática destinados a la

asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las

metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los

modelos de PL es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales, es

decir; inecuaciones o ecuaciones de primer grado.

La PL tuvo sus orígenes a raíz de la Segunda Guerra Mundial, cuando George Dantzin, realizó

investigaciones y aplicaciones en distintos casos de operación aéreo-militar.

Leonfiel aportó principalmente en relaciones interindustriales a través de su matriz de insumo-

producto.

Koopmans incursionó profundamente en aplicaciones microeconómicas resolviendo casos de

producción, asignación de recursos, maximización de beneficios, minimización de costos, entre otras

aplicaciones.

La PL es un modelo sistemático y matemático de enfocar determinado problema para lograr una

solución óptima o la mejor posible, empleando una ecuación objetivo (propósito del problema), un

conjunto de restricciones lineales y una condición de eliminar valores negativos (condición de no

negatividad).

Asesoría didáctica

A partir del presente semestre para la asignatura de Investigación de Operaciones I en el

Departamento se ha decidido optar por el texto �Investigación de Operaciones�, 9na. Edc., 2010,

del autor Hamdy A.TAHA. En lo personal considero que este texto a través de sus capítulos

presenta una secuencia lógica para el estudiante llevándolo a través de los métodos matemáticos de

la investigación de operaciones, iniciando con una importante introducción sobre �Que es la

investigación de operaciones?�, además de constituirse de mucha utilidad para la segunda parte de la

asignatura, a aquellos estudiantes que conforme a su programa de tercer nivel les corresponda

Investigación de Operaciones II.

Como mencionado fuere, importante es la revisión analítica por parte del estudiante del Capítulo 1,

�Que es la investigación de operaciones?�, esta parte introductoria le permite hacer conocer de

manera integral la programación lineal, los modelos matemáticos, términos específicos que serán

utilizados a lo largo del recorrido del texto y en detalle las fases de un estudio de Investigación de

Operaciones.

A partir del Capítulo 2 entraremos directamente en materia con el Modelado a través de la

programación lineal y los términos y conceptos empleados, así como la metodología de solución

grafica de la programación lineal, objetivo específico del primer parcial de nuestra asignatura.

Veremos la metodología de solución de los dos modelos y los aplicativos informáticos que pueden

apoyar nuestras actividades.

A través de los conceptos emitidos en el capítulo 3, podremos comprender la metodología de solución

empleando el método simplex y su correspondiente análisis de sensibilidad, actividad final del primer

parcial e inicio del segundo parcial respectivamente.

Para poder detenernos en cada uno de los temas expuesto en los capítulos del 1 al 3, deberemos ir

resolviendo ejercicios que nos permita comprender de manera práctica la metodología expuesta por el

autor, con lo que obtendremos las competencias necesarias para resolver gráfica, analítica y

algébricamente los métodos sugeridos, con ello nos será más fácil comprender el procedimiento de los

aplicativos informáticos que ahora están disponibles para facilitar la solución de los ejercicios

planteados, pues las áreas de aplicación a donde se orienta es la industria en general y dentro de esta

con mejores opciones en la industria química, hierro y acero, papel y cartón, petróleo, farmacéuticos,



alimenticios y textil. Con aplicaciones también en la agricultura, construcción, aviación, sistemas

hidroeléctricos, transporte, etc.

Estimado estudiante recuerde de realizar una revisión detallada de los índices que el autor

presenta antes del Capítulo 1, donde recomienda el material disponible en el sitio web del

libro y la categorización por herramienta de los archivos en el sitio web, que le será de

mucha utilidad y emplearemos en el presente semestre.

Conceptos básicos

Linealidad

Todo proceso, actividad o relación lineal utilizada se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de

los factores con respecto a los demás y a las cantidades de cada uno de los productos.

Divisibilidad

Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se dispongan de recursos.

Finitud

Tanto el número de procesos identificados cuanto los recursos disponibles, deberán corresponder a

cantidades finitas, esto es, conocidas y cuantificadas en forma determinística.

Algoritmos o iteraciones

Como se dijo anteriormente, la Investigación de Operaciones en lo que a PL se refiere utiliza métodos

matemáticos con aproximaciones sucesivas, ensayos, intentos que reciben el nombre de algoritmos o

iteraciones, y según los cuales se determinan pasos o etapas hasta obtener el meta planteada.

El problema general de la PL

Los problemas de la PL se presentan por la limitación de recursos que se tratan de distribuir de la

mejor forma. Los recursos a la vez que son limitados en términos �per se� (por sí mismo) pueden ser

distribuidos en tantas formas como combinaciones matemáticas permitan relacionarlos a un mismo

objetivo, de allí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre

los factores que intervienen en el problema, a fin de encontrar las mejores alternativas de uso,

cumpliendo con el propósito fijado.

Un problema de PL trae implícitamente el sentido de función, propósito o meta, recursos disponibles y

habilidad o forma para seleccionar, comparar y decidir la mejor alternativa (decisión).

Los problemas de PL planteados y resueltos por cualquiera de los métodos deberán cumplir cuatro

condiciones necesarias y suficientes:

1.ª Función objetivo

Planteamiento de la función objetivo, es la ecuación que expresa la cantidad que va a ser maximizada

o minimizada según sea el propósito del problema planteado y es de la forma:

nnXCXCXCXCXCZ ......................44332211

Z(MAX) para los casos de maximización

Z(MIN) para los de minimización



DONDE:

nCCCCC .............,,, 4321 Son los coeficientes de la función objetivo, que pueden

ser márgenes de beneficios, precios, costos unitarios,

etc.

nXXXXX ............,,, 4321 Son las variables del problema, lo que queremos lograr.

2.ª Limitaciones y restricciones

Determinación del conjunto de inecuaciones o ecuaciones que expresan las condiciones finitas del

problema, denominadas también COEFICIENTES TÉCNICOS de producción, tecnológicos, de

transporte, etc., según sea el caso de estudio. Su planteamiento responde a una expresión matricial.

nnnmnmmm

nn

nn

nn

bTXAXAXAXA

bTXAXAXAXA

bTXAXAXAXA

bTXAXAXAXA

..............

......................................................................................

......................................................................................

...............

...............

...............

332211

333333232131

222323222121

1113132121.11

Donde:

mnmmm

n

n

n

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

.........

............................

............................

..........

..........

..........

321

3333231

2232221

1131211

Son los coeficientes técnicos

nXXXX ..........,, 321 Son las variables o incógnitas del problema

nTTTT .............,, 321 Son los signos o límites del sistema

Igual o menor que

Mayor o igual que

Igual

3.ª No negatividad

Condición de la resolución de los problemas de PL, que indica que en ningún caso se aceptará

resultados negativos en las respuestas, pues, no se concibe producción negativa, gastos negativos,

tendrán que ser por lo menos igual o mayor que cero.

Xn 0



4.ª Condiciones de optimización

Esto es parte del desarrollo del modelo, donde se van obteniendo por aproximaciones sucesivas, hasta

llegar a la solución factible, aquella que satisface las limitaciones y restricciones planteadas del

problema.

Entonces, solución básica factible, es aquella que satisface tanto las limitaciones o restricciones, como

la función objetivo del problema (optimización).

Para su solución se emplea un procedimiento muy eficiente llamado, método Simplex, Capítulo 3, se

fundamenta en el álgebra, pero es necesario comprender inicialmente conceptos geométricos, sobre la

forma en que opera el método y las razones de su eficiencia, tanto en problemas de maximización

como de minimización.

Por ello la necesidad de inicialmente revisar y trabajar en ejercicios del Capítulo 3, donde nos

centramos en la solución grafica de problemas de PL, trabajando paso a paso en la formulación del

modelo y en la solución de ejercicios planteados solo a través de solución de ecuaciones.

Posterior a ello, analizaremos y trabajaremos en el método Simplex, que es un proceso repetitivo

numérico que permite alcanzar la solución óptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir,

partiendo de una solución básica; si esta solución básica factible tomada como punto de partida no

satisface, es necesario tomar otra solución que nos da un valor para Z mayor o menor y así

sucesivamente hasta llegar a la solución final.

Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas), fue ideado por George Dantrig (1947) quien

realizó investigaciones basado en relaciones matemáticas de carácter lineal.

Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex.

a) Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones.

b) El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo.

c) Todas las variables están restringidas a valores no negativos.

Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 1.1

Planteamientos

Del texto enunciado, lea con detenimiento el capítulo 1, introducción para el

planteamiento de ejercicios de Programación Lineal.

Del capítulo 2, a partir de la página 13 lea detenidamente y siga las lecciones del

autor de este capítulo completo. De su trabajo analítico, requiero que del Conjunto

de Problemas 2.1 A (a partir de la página 15), resuelva el ejercicio 2.

Lea analíticamente a partir de la página 16 el numeral 2.2 en adelante, le será de

mucha utilidad para la solución de ejercicios usando el método gráfico. Del Conjunto

de Problemas 2.2 A (a partir de la página 20) resuelva el ejercicio 3 solamente el

literal a) por el método gráfico y analítico.

Del Conjunto de Problemas 2.2 B (a partir de la página 26), resuelva el ejercicio 2

(modelo dieta página 24), resuélvalo por el método gráfico y analítico.

Además, los ejercicios resueltos anteriormente, el 3 a) del Conjunto de Problemas

2.2 A y el 2 del Conjunto de Problemas 2.2 B, con el apoyo de las herramientas



informáticas sugeridas por el autor y que sea de su preferencia, resuélvalos usando

herramientas informáticas, y documéntelos (en Word, como fotografías, print

screen, etc.), y junte a su trabajo.

El interés de la actividad es que usted resuelva paso a paso la metodología gráfica y

matemática de los pedidos, obtenga los conocimientos del tema, pero con el apoyo

de las herramientas informáticas apoye su actividad y gane experiencia en la

solución de los mismos problemas.

Recuerde que tanto la solución gráfica y analítica, como la solución informática

serán paso a paso calificadas.

Objetivos

1. Comprender la metodología de la PL, empleando inicialmente el planteamiento y

la geometría, para llegar a determinar las soluciones óptimas a los problemas.

2. Comprender los criterios pesimista, optimista y de valor esperado.

Orientaciones

didácticas

Solución gráfica

El método gráfico permite una comprensión visual de la resolución de un problema.

De acuerdo con las condiciones deberá cumplir con los cuatro requisitos básicos.

1. Función objetivo

2. Conjunto de limitaciones o restricciones

3. Condición de no negatividad

4. Condiciones u optimización

4.1. Solución factible

4.2. Solución básica factible

4.3. Solución óptima factible

Mediante el método gráfico se trata de resolver por aproximaciones o interacciones

gráficas las posibilidades de mejorar las soluciones de conformidad a la función

objetivo determinada.

Maximización

2211)( XCXCMAXZ

Cuando se trata de problemas de maximización, la solución está determinada por la

región interior formada por el polígono convexo.

Para este caso se utilizarán las expresiones (menor o igual) lo que indica que la

empresa no podrá utilizar más recursos de los que dispone (Finitud) y los coeficientes

de X1 y X2 corresponden a las necesidades técnicas de producción.

Las restricciones o limitaciones serán:

3232131

2222121

1212111

bXAXA

bXAXA

bXAXA

0, 21 XX



La función objetivo puede representarse mediante un conjunto de rectas paralelas

con pendiente.

2

1

C

CM

Donde C1 es el coeficiente de X1 y C2 el coeficiente de X2. Cada recta indica un

conjunto de puntos que proporcionan un beneficio idéntico.

Criterios de

evaluación

Desarrollo de ejercicios y la evaluación de los mismos.

Actividad de aprendizaje 1.2.

Planteamiento

Del texto guía, de manera comprensible analice el capítulo 3 (a partir de la página

69), y como comprobación de su aprendizaje del Conjunto de Problemas 3.1 A

(página 70), resuelva el problema 1, por el método simplex.

Del Conjunto de Problemas 3.3 B (página 85), resuelva el problema 8, sin considerar

ningún literal en particular solo resuelva empleando el método simplex.

Objetivos

1. Resolver manualmente problemas de PL empleando el método SIMPLEX.

2. Explicar detalladamente por qué el método simplex encuentra soluciones óptimas

para problemas de programación lineal.

Orientaciones

didácticas

Procedimiento

Cualquiera que sea el número de inecuaciones y de incógnitas de un sistema, este

por sí mismo se ajusta a un tratamiento de identificación que nos dé una idea de que

sea sujeto de solución.

Cuando el sistema reúne a un número de ecuaciones inferior al número de

incógnitas, existen muchas soluciones. Justamente este es el caso más frecuente de

los problemas de programación lineal, de allí que es necesario introducir (+)

variables de Holgura en los casos de la expresión (igual o menor), restar (-)

variables de holgura e introducir variables artificiales en los casos de (mayor o

igual) y en los casos de = se introducen variables artificiales con signo más.

+ VARIABLE DE HOLGURA

- VARIABLE DE HOLGURA + VARIABLE ARTIFICIAL

= + VARIABLE ARTIFICIAL

Cada caso se comprenderá con un ejemplo y así podremos establecer su similitud y

diferencias.

MAXIMIZACIÓN MEDIANTE SIMPLEX

En problemas de matización (Ej. Producción) se debe tomar en cuenta.

PLANTEAMIENTO

Identificación de Producto I = X1

Variables Producto II = X2



Producto III = X3

Producto IV = X4

Función objetivo

Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + C3X3+ ------------ + CnXn

Limitaciones o restricciones

A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----------------- + A1nXn b1

A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----------------- + A2nXn b2

A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----------------- + A3nXn b3

...................................................................................

Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----------------- + AmnXn bn

No negatividad

Xj 0

SOLUCIÓN

Cuando se trata de un sistema de inecuaciones, no existe solución única, si no que

implica muchas posibilidades, razón por la cual el método simplex va generando

soluciones básicas.

Introducción de variables de holgura

Como el primer miembro de la inecuación es inferior al otro, es necesario introducir

una variable denominada de HOLGURA que cubra imaginariamente el valor faltante,

para convertirlo en igualdad.

S1, S2, S3, ..... Sn = Variables de Holgura

A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----- + A1nXn + S1 = b1

A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----- + A2nXn + S2 = b2

A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----- + A3nXn + S3 = b3

...............................................................................................

Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----- + AmXn + ---------------+ Sn = bn

Al convertir el sistema de desigualdades en un sistema de ecuaciones mediante la

introducción de variables de holgura, se ha logrado un importante punto de partida.

Estas variables en la función objetivo irán antepuestas de un coeficiente cero de

beneficio.

Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + ---- + CnXn + 0S1 + 0S2 + ---- + 0Sn

Generación de una solución básica factible

En el caso de un ejemplo de producción, el primer supuesto o alternativa del método

simplex es no fabricar nada de los productos reales (variables fundamentales), esto

quiere decir dar respuesta al sistema manteniendo inutilizados los recursos

existentes, es decir:

X1 = 0 S1 = b1

X2 = 0 S2 = b2

X3 = 0 S3 = b3

......................................

Xn = 0 Sn = bn



Proceso iterativo

En función de los criterios del método simplex se van obteniendo ensayos,

interacciones o algoritmos hasta lograr la respuesta ideal.

El objetivo es ir eliminando las variables de holgura e irlas reemplazando por

alternativas en función de variables fundamentales, propósito del problema.

El proceso se lo desarrolla por cuadros o etapas. Cada una de ellas nos representará

una mejor combinación de producción y un mayor beneficio, para lo cual se necesita

aplicar el método matricial de coeficientes.

Cj = Coeficiente de la función objetivo

Xj = Solución básica de cada etapa: es la base vectorial que da solución al sistema.

* = Elemento Pivote

°

= Elementos semipivotales

bn = Parámetros; datos conocidos, nos indican la cuantificación de recursos.

Zj = Valores que va tomando la función objetivo en cada posición.

Se la conoce como el "Criterio del simplex�; permite continuar o no con la

generación de alternativas.

Cuando la expresión Cj - Zj corresponde en todas las posiciones a valores

NEGATIVOS O CEROS habrá terminado el problema de maximización.

Pasos para formar la nueva tabla

Se elige el elemento (Cj - Zj) de mayor valor positivo, la variable que le corresponde

debe entrar a la base de la nueva tabla para mejorar la solución.

Para determinar que fila sale, se obtiene el elemento pivote, el que es la intersección

de la columna que ingresa y la fila que sale, para lo cual se dividen los elementos de

la columna de bn para los elementos de la columna que ingresó, se escoge el menor

cociente que representará al pivote, los restantes elementos de la columna son los

semipivotes. No se toma en cuenta la división para números negativos o

cero.

Formar los nuevos elementos de la fila de la variable de holgura que es reemplazada

por la variable fundamental, basándose en el elemento PIVOTE, que se encuentra en

la intersección de la columna que entra y la fila que sale.

Los restantes elementos de la columna que entra se denominan SEMIPIVOTES (°)

Los elementos de las demás filas se obtienen restando los elementos anteriores de

dicha fila menos los elementos de la nueva fila que ingresó, multiplicados por el

semipivote correspondiente.

�Elementos de otra fila Zj se obtiene multiplicando el coeficiente de la variable

fundamental que ingresó por todos los elementos de dicha fila.

PIVOTE

ANTERIORESELEMENTOSFILANUEVALADEELEMENTOS ""



Obtenemos la fila Cj - Zj, restando los elementos de la fila de Cj menos los

elementos de la fila Zj, si todos sus elementos son negativos o ceros el proceso ha

terminado, esto quiere decir que la tabla es óptima, caso contrario construimos una

nueva tabla, eliminando el mayor positivo que exista y realizar el mismo proceso

anterior.

El máximo beneficio está dado por el valor del elemento de Zj de la columna bn.

EL MÉTODO SIMPLEX EN LOS CASOS DE MINIMIZACIÓN

Los casos de minimización se resuelven empleado también la metodología conocida

�Simplex�, con algunas variaciones.

En los problemas de minimización se introduce variables de holgura con signo

negativo y las variables artificiales con signo positivo.

Sj = Variables de holgura

mj = Variables artificiales

Las variables artificiales tienen un coeficiente (M) que es un valor indeterminado.

Cuando hay variables de holgura y artificiales, primero se eliminan las artificiales,

luego las de holgura.

Si la restricción es una igualdad, entonces se introduce solamente variables artificiales

con signo positivo.

Maximización () + SJ

Minimización () � Sj + mj

Igualdad (=) + mj

Para resolver un problema de minimización, se empieza eliminando los mayores

valores positivos M de la fila Cj - Zj.

El proceso habrá concluido cuando en la fila Cj � Zj queden valores negativos o ceros.

La función objetivo se representará por Z(MIN) y las variables artificiales llevarán en

esta función un coeficiente M.

Z(MIN) = ?X1 + ?X2 ---- + 0S1 + 0S2 + ------ + Mn1 + Mm2 --- Mmn

Restricciones, variables de holgura y artificiales

A11X1 + A12X2 - S1 + m1 = b1

A21X1 + A22X2 - S2 + m2 = b2

A31X1 + A32X2 -S3 + m3 = b3

------------------------------------------------------------------

Xj 0

Criterios de

evaluación


Actividad de aprendizaje 1.3.

Planteamiento

Como se había manifestado uncialmente, el interés también es introducir al

estudiante en la experiencia del empleo de las herramientas informáticas para la

soluciones de este tipo de ejercicios, en consecuencia, y empleando las herramientas



de software sugeridas por el autor en el texto, o el programa explicado a

continuación en la presente actividad, resuelva:

- Del capítulo 3, del Conjunto de Problemas 3.3 B (pagina 88), resuelva el

problema 11; la pregunta (a) y en lugar de la pregunta (b) planteada por el

autor, Sr. Estudiante resuelva el mismo ejercicio empleando el método simplex.

Objetivo

Emplear las herramientas de software sugeridas por los autores del texto guía para

resolver problemas básicos de PL.

Orientaciones

didácticas

PROGRAMA EXCEL SOLVER

En su programa de EXCEL deberá incluir las herramientas y complementos para resolver

los pedidos. De manera que cuente con las instrucciones superiores que a continuación

de la pestaña VISTA en Excel se presenta, como en el grafico siguiente.

UTILIZACION DEL PROGRAMA QM for windows

EJERCICIO

Un fabricante produce tres modelos I, II y III de cierto producto utilizando materias

primas A y B. La siguiente tabla proporciona los datos para el problema.

Requerimientos por unidad

Materia prima I II III

Disponibilidad

A 2 3 5 4.000

B 4 2 7 6.000

Demanda mínima 200 200 150

Unidad por unidad ($) 30 20 50

El tiempo de mano de obra por unidad del modelo I es el doble del II y el triple del



III. Todos los trabajadores de la fábrica pueden producir el equivalente de 1.500

unidades del modelo I. Los requerimientos del mercado especifican las proporciones

de 3:2:5 para la producción de los tres modelos respectivos.

a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima.

b) Supongamos que el fabricante puede comprar unidades adicionales de la

materia prima A a 12 dólares por unidad. ¿Sería aconsejable hacerlo?

c) ¿Recomendaría usted que el fabricante comprara unidades adicionales de la

materia prima B a 5 dólares por unidad?

Función objetivo

321 502030)(

º

XXXMAXZ

producidasunidadesdeNXJ

Restricciones y limitaciones

ORIGINALES TRANSFORMADAS

0

150

200

2005

1

2

12

1

3

1

15003

1

2

1

6000724

4000532

3

2

1

32

1

321

31

321

JX

X

X

X

XX

XX

XXX

XXX

XXX

0

150

200

200

025

032

9000236

6000724

4000532

3

2

1

32

21

321

31

321

JX

X

X

X

XX

XX

XXX

XXX

XXX



Puntaje por actividad

EL TUTOR DE LA ASIGNATURA

Para regresar a los datos de clic en Solve

Criterios de

evaluación


Formato de

entrega Archivo de Microsoft Office 2003.

Enviar a

Envíe las actividades de aprendizaje a través de la plataforma, mediante la sección

Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:

Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura

Preguntas o

dudas

Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar

correo y marque el nombre de su tutor.

Actividades de aprendizaje

Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1 (Capitulo 1, un punto; Capitulo 2, 2 puntos cada

ejercicio).

10

Actividad de aprendizaje 1.2 (tres puntos cada ejercicio). 6

Actividad de aprendizaje 1.3. 4

TOTAL DE LA ACTIVIDAD DEL PRESENTE PERIODO 20

�En caso de que el examen sea estrictamente

necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o

gráficos, estos serán incluidos como parte del examen

o en un anexo�.

EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA.

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