ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT330 Nombre Curso ... · b) ¿Cuál es el horario de...

Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I

Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001

Fecha Actualización

Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum

Carrera/s Todas N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)

Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones polinomiales.

Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones exponenciales.

Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones logarítmicas.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD

Aplicaciones de funciones (repaso de contenidos de la prueba 1)

Modalidad

□ Presencial

□ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

__________________________

Forma de trabajo:

□ Individual

□ Grupal

- Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8

Lugar:

□ Sala de clases

□ Laboratorio (especifique)_____________

□ Taller (especifique)_____________

□ Terreno (especifique)_____________

□ Otros (especifique)_____________

Recursos de información:

□ Impreso

___________________________________________

□ Tecnológico

___________________________________________

□ Informático

___________________________________________

Material de apoyo para la actividad:

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación



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I Aplicaciones de Funciones de forma algebraica.

1. Una tienda muy conocida hizo una oferta en internet de un Notebook Lenovo con

procesador Intel Core i5 de 4GB de RAM modelo G470. La tienda desea registrar

las ganancias ($) obtenidas de estas ventas, para ello modela la siguiente

función: 2990299990)( xxG , donde x representa la cantidad de Notebooks

vendidos.

a) Calcule la ganancia de la empresa al vender 75 Notebooks.

b) Si la ganancia de la empresa fue de $20.102.320. ¿Cuántos Notebooks

vendió la empresa?

2. Un negocio de venta de artículos de aseo determina que el costo (en $), al

producir x artículos de un nuevo producto es 150.1900 xxC , y los

ingresos por venta (en $) están dados por la función xxI 600.2 . Se pide:

a) ¿Cuántos artículos del nuevo producto se fabricaron, si el costo fue de

$221.650?

b) Determine la función de utilidad al vender x artículos del nuevo producto.

c) ¿Cuál es la utilidad al vender 730 artículos del nuevo producto?

3. Una fábrica de muebles tiene la capacidad para producir desde 0 a 100

comedores por día. El costo fijo diario de la planta son 5.000 dólares, y el costo

variable (mano de obra y materiales) para producir un comedor es 805 dólares.

a) Escriba la función de costo total de producir x comedores en un día.

b) Escriba la función de costo unitario (costo promedio por comedor) en un

día.

c) ¿Cuál es el número de comedores diarios para los cuales la función costo

unitario, tiene sentido dentro del contexto?

d) ¿Cuál es el intervalo en dólares en el cual fluctúa el costo unitario de los

comedores?



3

4. La temperatura mínima en una zona vitivinícola se estima mediante la función

32122

)( tttf , donde )(tf indica grados Celsius, (°C) y t pertenece a

[1,12] e indica el mes del año.

a) ¿Cuántos grados se estima que habrá en marzo?

b) ¿En qué mes comenzarán las heladas (0°C)?

5. Los registros de conexión durante las 24 horas del día en un cibercafé, permitió

establecer que la cantidad de internautas ( I ) conectados en el cibercafé en

alguna hora del día, se ajusta a la función:

264342 xxxI , donde x es la hora del día que los clientes están

conectados. Determine:

a) ¿Cuántos internautas están conectados a las 8 de la tarde?

b) ¿Cuál es el horario de atención del cibercafé?

6. En la casa de la construcción, el costo de la madera a utilizar (en cientos de

pesos) por unidad al producir x casas prefabricadas está dado por la función,

000.200180)( 2 xxxC . Encontrar la cantidad de casas prefabricadas que

minimizan el costo en madera por unidad. ¿Cuánto es el costo mínimo de madera

a utilizar?

7. El departamento de sismología de la Universidad de Chile determinó que la

magnitud R (en la escala de Richter) de un terremoto de intensidad I está dada

por la función: )10( ln

)( ln IR . Determine:

a) La intensidad del terremoto de la ciudad Muévete poco, que midió 6,8R

en la escala de Richter.

b) Si la intensidad de un temblor es de 45.800, ¿cuál es su magnitud?



4

8. Un constructor cotiza en varios lugares materiales para la fabricación de una

casa, eligiendo el más conveniente donde el valor a pagar (en miles de pesos) de

x cantidad de ladrillos está dado por la función )64(log)( 2 xxf .

a) Determine el valor a pagar si se compran 8 ladrillos.

b) Si el valor a pagar es de $10.000. ¿Cuántos ladrillos se compraron?

9. Un programador visita una empresa para formatear los computadores de sus

trabajadores. El valor total que le ofrece dicha empresa al programador (en

cientos de miles de pesos) por x computadores está dado por una función

)5(log)( 5 xxf .

a) Determine cuánto se le paga por formatear 100 computadores

b) Si la empresa le paga $400.000. ¿Cuántos computadores formateó?

10. El crecimiento del capital (en U.F.), de la empresa BAKAN está dado por la

función: 3560150

x

xC . Donde “x” representa el tiempo expresado en años.

Determine:

a) ¿Cuál es el crecimiento del capital en 3 años?

b) ¿En cuántos años el capital será de 1.650 U.F.?

11. Se ha proyectado que dentro de t años, la población de una ciudad sureña de

nuestro país será de tetP 034,065,0)( millones de habitantes

a) ¿Cuál es la población actual?

b) ¿Cuál será la población en 12 años más?

c) ¿Cuántos años deben transcurrir para que la población sea de 1.500.000

habitantes?

12. Investigaciones recientes sugieren que el riesgo R (en porcentaje) de tener un

accidente automovilístico puede ser modelado por la función kxAexR )( ,

sabemos que inicialmente el riesgo es del 6% y al suponer una concentración de

0,04 grados de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10%.

a) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

b) ¿Cuál será el riesgo para una concentración de 0,17 grados de alcohol?

c) Si el riesgo es del 20%, ¿Cuál será la concentración?.



5

II Aplicaciones de Funciones de manera gráfica.

13. El costo de construcción de una casa de ladrillo del tipo rejilla estándar Princesa,

está dada por la función 000.500.1245)( xxC , donde x es la cantidad de

ladrillos que se utilizarán. Determine el gráfico que representa a la función,

fundamente su respuesta.

14. Una automotora importa autos de varias marcas, quisieron analizar las utilidades

de la importación de la marca Hyundai. Se dieron cuenta que esta se encuentra

modelada por el siguiente gráfico:

a) ¿Cuál es la utilidad al vender 150 vehículos?

b) Si la utilidad es de $40.000.000 ¿Cuántos vehículos se han vendido?



6

15. La productividad de una parcela que cultiva frutales está dada por la función

tttf 8002

)( , donde )(tf indica el número de kilogramos producidos y t

pertenece a [0,600] e indica el número de árboles que se plantan en la parcela.

Determine el modelo que representa esta situación, fundamente su respuesta.

16. Una empresa constructora utiliza una grúa para levantar material a los distintos

pisos de una torre en construcción. La altura (medida en metros) que alcanza la

plataforma de la grúa que recoge la carga depende del tiempo (medido en

segundos) que demora esta. Según la siguiente gráfica determine la función

cuadrática que modela dicha situación, fundamente su respuesta.



7

17. Dada la presión p del aire se quiere conocer la altura H, en metros, sobre el nivel

del mar, la función: 2)ln(8,0)( ppH nos ayuda a determinar esta altura.

¿Cuál es el gráfico que modela la situación? fundamente su respuesta.

18. El PH es una medida de acidez o basicidad de una solución o del suelo, depende

de la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro, y se puede modelar a

través del siguiente gráfico

a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que

modela la situación. Considere la expresión )(log xaby

b) ¿Cuál es el PH de un suelo óptimo para la plantación de camelias, si la

concentración de iones de hidrógeno es de610 (m/l)?

c) Si el PH de un suelo muy ácido es de 4, ¿Cuál es su concentración de iones

de hidrógeno?



8

19. Una constructora se dedica a la venta de casas nuevas y usadas el valor V (en

millones de pesos) de una casa está dado por: teV 25,050 , donde t son los

años de uso de la casa ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?

Fundamente su respuesta.

20. Según estimaciones recientes de las Naciones Unidas, la población de la ciudad

de Bombay (India) evolucionó en las últimas décadas como se muestra en el

gráfico, donde “x” representa las décadas desde el año 1950 e “y” representa la

cantidad de habitantes (en millones).

a) Determine la función exponencial que modela la situación anterior.

Considere la expresión xaTy

b) ¿Cuántos habitantes tenía la ciudad de Bombay el año 1990?

c) ¿Cuántas décadas han pasado desde 1950, si hay 28.461.646 habitantes?



9

SOLUCIONES

1. a) 990.2990.299)( xxG 240.502.22299075990.299)75( G

Respuesta: La ganancia de la empresa al vender 75 Notebooks es $22.502.240.

b) 320.102.20.9902990.299 x

67

330.099.20990.299

x

x

Respuesta: Se vendieron 67 Notebooks.

2. a) 221.6501.150900 x

245

500.220900

x

x

Respuesta: Se fabricaron 245 artículos.

b) 1.1501.700)(150.1900600.2 xxUxxxU

c) 1.239.8501.150730.7001730 U

Respuesta: La utilidad es de $1.239.850.

3. a) La función costo total es; xxC 805000.5

b) La función costo unitario o costo promedio es;

805000.5

CM xx

xC(x)

c) El Dominio son los enteros desde 1 hasta 100;

1001/ xxCMDom

d) El Recorrido son los reales desde 855 hasta 5.805;

805.5855/ yyCMRec



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4. a) 32122

)( tttf 53231223)3( f

Respuesta: La temperatura en el mes de Marzo es de 5° C.

b) 032122 tt

a

cabbx

c

b

a

2

4

32

12

12

xx x 4;82

412

2

1612

21

Respuesta: Las heladas comienzan en el mes de Abril.

5. a) 16264203420202

I ; Respuesta: 16 internautas.

b) 0264342 xx

0264342 xx

a

cabbx

c

b

a

2

4

264

34

12

12 22 2

1034

12

056.1156.134

21

xxx

Respuesta: El horario de atención del cibercafé es de las 12:00 horas a las 22:00

horas.



11

6. 000.200180)( 2 xxxC

El vértice de la parábola es

a

bf

a

b

2,

2

902

180

2180

1

a

b

b

a

900.191000.2009018090)90( 2 C

Respuesta: 90 casas minimizan el costo y el costo mínimo en madera es de

$19.190.000.

7. a) 6,8)10( ln

)( ln

I Observación: yxyx lnln

6,86,8 10)10( ln)( ln

)10( ln6,8)( ln

II

I

Otra Forma

8,198,19)(ln

)10(ln6,8)(ln

eII

I

Respuesta: La intensidad es de 6,810 o

8,19e .

b) 66,4)10( ln

)800.45( lnR (aprox. 2 decimales)

Respuesta: La magnitud es de 4,66 grados en la escala Richter.

8. a) )64(log)( 2 xxf 9)864(log)8( 2 f

Respuesta: Al comprar 8 ladrillos debe pagar $9.000.

b) 10)64(log 2 x

10264 x 16102464 xx

Respuesta: Se compraron 16 ladrillos.



12

9. a) )5(log)( 5 xxf 861353,3)1005(log100( 5 f

Respuesta: La empresa paga por el formateo de 100 computadores $386.135.

b) 4)5(log5 x

455 x

1256255 xx

Respuesta: El analista formateó 125 computadores.

10. a) 4505601503 3

3

C

Respuesta: El capital a los 3 años es de 450 U.F.

b) ?x

650.1xC 650.1560150 3

x

500.1560 3

x

6 23

23 55 xx

x

Respuesta: En 6 años el capital será de 1.650 U.F.

11. a) 65,065,0)0( 0034,0 eP

Respuesta: La población actual es de 650.000 habitantes.

b) 9774746,065,0)12( 12034,0 eP

Respuesta: La población en 12 años más será 977.475 habitantes.



13

c) te 034,065,05,1

59,24034,0

65,0

5,1ln

034,065,0

5,1ln

65,0

5,165,05,1 034,0034,0

tttee xt

Respuesta: La población será 1.500.000 habitantes en aproximadamente 25 años.

12. a) xkeAxR )(

66 0 AeA k

77,1204,0

6

10ln

04,06

10ln

6

10610 04,004,0

kkkee kk

Respuesta: La función es xexR 77,126)( .

b) 597,526)17,0( )17,077,12( eR

Respuesta: El riesgo para 0,17 grados de alcohol es de 52,6%.

c) 09,077,12

6

20ln

77,126

20ln

6

20620 77,1277,12

xxxee xx

Respuesta: Si el riesgo es un 20% la concentración es de 0,09 grados de alcohol.



14

13. Se descarta el gráfico 1 porque no puede considerarse una cantidad negativa de

ladrillos.

El costo de 6.000 ladrillos es: 000.970.2000.500.1000.6245)000.6( C ,

por lo tanto, se descarta el gráfico 3 ya que indica que el costo de 6.000

ladrillos es superior a $3.000.000.

Respuesta: El gráfico 2 es el correcto.

14. )000.000.2,5(A

)000.000.3,10(B

La pendiente es: 000.2005

000.000.1

510

000.000.2000.000.3

a

La gráfica corta al eje y en 1.000.000, por lo tanto, b=1.000.000

Luego la función lineal bxay para este caso es:

000.000.1000.200 xy

a) 000.000.31000.000.1150000.200 y

Respuesta: La utilidad al vender 150 vehículos es de $31.000.000.

b) 000.000.1000.200000.000.40 x

195000.200

000.000.39000.200000.000.39 xx

Respuesta: Se deben vender 195 vehículos para que la utilidad sea de $40.000.000.



15

15. Se descarta el modelo 1 porque la gráfica queda fuera del rango de definición

de la función [0 , 600].

La productividad de 600 árboles es: 000.1206008002600)600( f , por lo

tanto, se descarta el modelo 2 ya que indica que la productividad de 600

árboles es nula.

Respuesta: El modelo 3 es el correcto.

16. 01 x 102 x

1a

a

bxx 21 10

110

b

b

La gráfica corta al eje y en 0, por lo tanto, c=0

Respuesta: Luego la función cuadrática cxbxaxf 2)( para este caso es:

xxxf 10)( 2

17. La altura para 0,2 de presión es:

71,02)2,0ln(8,0)2,0( H metros, por lo

tanto, se descarta el modelo 2 que indica para 0,2 de presión una altura

aproximada de 0,4 metros y se descarta el modelo 3 puesto que la altura que

declara para la misma presión es aproximadamente 0,8 metros.




16

18. )0,1(A

)1,10( B

A y B son puntos sobre la función, por lo tanto, satisfacen la ecuación:

)(log xaby :

a) 0)log()log(0

)1(log0 aab

ab

110 0 aa

1)10log(1)10(log1 bbab

Respuesta: Luego la función )(log xaby para este caso es: )log( xPH

b) 66)10log( 6 PH

Respuesta: El PH para una concentración de 10-6

(m/l) es de 6.

c) 410)log(4)log(4 xxx

Respuesta: La concentración de iones de hidrógeno es de410 (m/l).



17

19. El valor de una casa con un año de uso es de 9,3850 125,0 eV millones, por

lo tanto, se descartan el modelo 2 y modelo 3 que indica para un año de uso un

valor aproximado inferior a 38,9 millones.


20. )78,3;1(A

)292,5;2(B

A y B son puntos sobre la función, por lo tanto, satisfacen la ecuación: xaTy :

a) 178,3 aT

2292,5 aT

Dividiendo las ecuaciones tenemos 4,178,3

292,51

2

a

aT

aT

Reemplazando el valor de a en la ecuación 178,3 aT tenemos:

7,24,1

78,34,178,3 TTT

Respuesta: Luego la función xaTy para este caso es: x

y 4,17,2

b) Del 1950 al 1990 hay 4 décadas, por lo tanto, x=4

37232,104,17,24y

Respuesta: La ciudad de Bombay el año 1990 tenía 10.372.320 habitantes.



18

c) x4,17,2461646,28

5414,104,17,2

461646,284,1

xx

log/5414,104,1 x

5414,10log4,1log x

5414,10log4,1log x

000014,74,1log

5414,10log xx

Respuesta: Han pasado aproximadamente 7 décadas.

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