ACTIVIDAD 5_Segunda Parte_UNIDAD 4.pdf
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Instituto Universitario Aeronáutico Facultad Ciencias de la Administración INGENIERÍA DE SISTEMAS Matemática II programa 2010 Tutora Lic. Zulema Placereano Nombre y apellido: Orlando Andrés Herasimovich Curso: Z41Cor ACTIVIDAD 5_Segunda Parte_UNIDAD 4. Fecha: 17/05/2015 Análisis de la función () ( ) Dominio Df = Rango rango = Grafica con Winplot de la función f(x) Extremos relativos: puntos máximos: ( ) ( ) ( ) () ( ) () Se observa que en [-10, 15]
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Instituto Universitario Aeronutico Facultad Ciencias de la Administracin
INGENIERA DE SISTEMAS Matemtica II programa 2010
Tutora Lic. Zulema Placereano
Nombre y apellido: Orlando Andrs Herasimovich
Curso: Z41Cor ACTIVIDAD 5_Segunda Parte_UNIDAD 4.
Fecha: 17/05/2015
Anlisis de la funcin
( ) (
)
Dominio
Df =
Rango
rango =
Grafica con Winplot de la funcin f(x)
Extremos relativos:
puntos mximos:
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
Se observa que en [-10, 15]
-
x = 6,90 y x = 15 son dos puntos de mximos relativos, y que x = 15 es punto de mximo absoluto de f en [-10, 15]. El valor de
mximo relativo es: ( ) y el valor de mximo absoluto es: ( )
puntos mnimos:
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
x = -10, x = -6,90 y x = 11,94 son puntos de mnimos relativos, y que x = -6,90 es punto de mnimo absoluto de f en [-10, 15]. Los
valores de mnimos relativos es: ( ) y ( ) , el valor de mnimo absoluto es: ( ) .
Comprobamos puntos mximos y mnimos con Wolfram
Anlisis de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Calculemos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Para ello calculamos en primer lugar su derivada primera:
-
( ) (
)
( )
(
)
Grafica con Winplot de la funcin f(x)
Teora: y= Acos(Bx+C)+D
A = amplitud = 1/3
P= periodo = 2/B = 6
C=desfase=0
D=desplazamiento vertical=2/9
Calculamos f(x)=0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
Realizamos clculos para obtener los valores de las races de f(x)
(
) Valor positivo de las [-10;15]
(
) Por ser simtrica al eje y valor negativo de las [-10;15]
(
) A le sumamos el periodo 6, nos da [-10;15]
(
) A le sumamos el periodo 6, nos da [-10;15] no lo tenemos en cuenta
Construimos intervalo para determinar crecimiento y decrecimiento de la funcin f(x)
Remplazamos valores de los intervalos en ( )
(
)
si ( ) crece ( ) decrece
-
( )
(
)
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( ) ( ) ( )
-10 15
F(x) Decrece Crece Decrece Crece
Anlisis de posibles puntos de inflexin
Para ello calculamos en primer lugar su derivada segunda:
( )
(
)
( )
( (
)
)
(
)
Calculamos f(x)=0
Realizamos clculos para obtener los valores de las races de f(x)
(
) (
) [-10;15]
Si tomamos la mitad del periodo P= 6 nos queda 3, con este valor nos desplazamos en el eje x para obtener
otros puntos de inflexin dentro del intervalo.
n es la interseccin con el eje de las x, tomamos n=-1 y n=1
( ) [-10;15]
( ) [-10;15]
Posibles puntos de inflexin en
Calculemos sus intervalos de concavidad y convexidad.
Remplazamos valores de los intervalos en ( )
(
) si ( ) cncava ( ) convexa
( )
(
) ( ) ( ) ( )
( )
(
) ( ) ( ) ( )
es punto de inflexin dentro del intervalo, en este punto cambia de convexa a cncava.
-
( )
(
) ( ) ( ) ( )
es punto de inflexin dentro del intervalo, en este punto cambia de cncava a convexa .
( )
(
) ( ) ( ) ( )
es punto de inflexin dentro del intervalo, en este punto cambia de convexa a cncava.
-10 15
F(x) concava concava
Grafica con Winplot de la funcin f(x)
Aplicamos teorema
Teorema de Rolle:
f(x) es continua en el intervalo cerrado [-10, 15] y derivable en el abierto (-10, 15) pero f(a) f(b) Teorema del valor medio:
f(x) es continua en el intervalo cerrado [-10, 15] y derivable en el abierto (-10, 15)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
)
( )
( ) ( ) (
) ( )
-
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
[(
) ]
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Obtenemos la ecuacin de la recta tangente:
( )
( ) ( ) (
)
( )
( ) ( )
Grafica con Winplot del teorema del valor medio de Lagrange
