ACTIVIDAD 5 GHIONE
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ACTIVIDAD 5
ALUMNO: SANTIAGO GHIONE
Parte A.
Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático.
Los datos del ejercicio de la actividad 2C se muestran en la siguiente tabla:
% vitamina A % vitamina B % vitamina CComprimido 1 2 3 0Comprimido 2 3 0 2Comprimido 3 0 1 2
Cantidad diaria de:
- Vitamina A = 19%- Vitamina B = 21%- Vitamina C = 18%
Conformando el siguiente SEL
2x+3y+0z=19 3x+0y+1z=21 0x+2y+2z=18
Este SEL puede plantearse en términos de vectores-. Llamamos A1,A2,A3 cada columna de la Matriz A:
AX=B (Ecuación matricial)
2 3 0 x 19 3 0 1 y = 21 0 2 2 z 18
Su Ecuación vectorial será:
xA1+yA2+zA3=B
Siendo:A1: Vector Composición del Comprimido 1A2: Vector Composición del Comprimido 2A3: Vector Composición del Comprimido 3Cada vector posee 3 componentes:
1ra: porcentaje de Vitamina A2da: porcentaje de Vitamina B3ra: porcentaje de Vitamina C
Los datos son 3 vectores en el espacio tridimensional (A1,A2,A3)Queremos determinar si el vector B es Combinación Lineal de los otros.
2 3 0 19x 3 + y 0 + z 1 = 21 0 2 2 18
x: cantidad de comprimidos del tipo 1 que se deben consumir diariamentey: cantidad de comprimidos del tipo 2 que se deben consumir diariamentez: cantidad de comprimidos del tipo 3 que se deben consumir diariamente
Resolviendo obtenemos:
x= 5y= 3z= 6
El vector B es Combinación Lineal de los vectores A1, A2, A3 (por lo tanto también es solución al SEL) y su formulación matemática es:
2 3 0 195 3 + 3 0 + 6 1 = 21 0 2 2 18
Gen {A1,A2,A3} =
2 3 0 Gen 3 , 0 , 1 0 2 2
={xA1+yA2+zA3/x,y,z Ɛ R}
Base:
Tomo A1, es obviamente LI.
Ahora agrego A2.
Son LI.Por último agrego A3
Son LI
Por lo tanto, la base tiene dimensión 3 y es el conjunto formado por los vectores:
2 3 0 3 , 0 , 1 0 2 2
Para identificar un Vector que pertenezca al espacio generado asigno valores a x,y,z.Por ejemplo x=1, y=2, z=0
8 x A1 + y A2 + z A3 = 3 A1 + 2 A2 + 0 A3 = 3 =W 4
Un vector W esta en Gen{A1,A2,A3} si el SEL, cuya matriz aumentada es [A1 A2 A3 W], es consistente (tiene solución única)
Además {A1,A2,A3}es LI porque su determinante es distinto a cero
Parte B.
Retome el SEL de la Actividad 4B.
Un colegio -de pequeña capacidad de alumnos y personal- cada tres meses realiza un estudio de sus gastos en papelería, tizas y otros útiles. De ese estudio resultó: en marzo se gastó $240, en abril $1240, en mayo $520 y en junio $20. Al notar la gran diferencia entre mes y mes, quisieron averiguar el precio por unidad ¿cómo hacen para saberlo? La tabla muestra las unidades consumidas por mes.
marzo abril mayo junio
papelería 5 80 15 1
tizas 10 65 25 1
Otros útiles 15 55 55 1
Datos:
Gasto en el mes de Marzo: $240
Gasto en el mes de Abril: $1240
Gasto en el mes de Mayo: $520
Gasto en el mes de Junio: $20
Sean
x: precio unitario de papelería en pesos
y: precio unitario de tizas en pesos
z: precio unitario de otros útiles en pesos
AX=B (Ecuación matricial)
5 10 15 x 240 80 65 55 y = 1240 15 25 55 z 520 1 1 1 20
Su Ecuación vectorial será:
xA1+yA2+zA3=B
Siendo:A1: Vector gastos en papeleríaA2: Vector gastos en tizasA3: Vector gastos en otros útilesCada vector posee 4 componentes:
1ra: gastos en marzo2da: gastos en abril3ra: gastos en mayo4ta: gastos en junio
Queremos determinar si el vector B es Combinación Lineal de los otros vectores.
5 10 15 240 80 65 55 1240 x 15 + y 25 + z 55 = 520 1 1 1 20
x: precio unitario de papelería en pesosy: precio unitario de tizas en pesosz: precio unitario de otros útiles en pesos
NO tiene solución. Por lo tanto el vector B no es Combinación Lineal de los otros vectores.
5 10 15 80 65 55Gen {A1,A2,A3} = 15 , 25 , 55 1 1 1
Base:Tomo A1, es obviamente LI.
Ahora agrego A2.
Son LI
Agrego A3.
Son LI
Para identificar un Vector que pertenezca al espacio generado asigno valores a x,y,z.Por ejemplo x=1, y=0, z=2
35 x A1 + y A2 + z A3 = 1 A1 + 0 A2 + 2 A3 = 190 = W 125 3
Un vector W esta en Gen{A1,A2,A3} si el SEL, cuya matriz aumentada es [A1 A2 A3 W], es consistente (tiene solución única)
Compruebo:
Un vector W no estará en Gen{A1,A2,A3} si el SEL, cuya matriz aumentada es [A1 A2 A3 W], no tiene solución.
Por ejemplo: 35 190W = 126 3
Se comprueba fácilmente que no tiene solución:
Parte C. Individual.
Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su posición en el plano multiplicando matrices, y cambie el modelo matemático. Lo pensará como una transformación lineal:
1. Identifique la primera transformación lineal que identificaremos por T.
2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.
La dimensión de la matriz T nos indica que tanto el espacio de salida como el de llegada son de dimensión 2. Entonces se trata de R² y vale la notación:
T:R²R²
3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
x Ɛ Gen 1 0 y 0 ,1
4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.
X 2 0 T y Ɛ Gen 0 , 1 , más aún, es de la forma
2 0x 0 + y 1
5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.
S:R²R²
x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1
x 0 1
S y Ɛ Gen 1 , 0 , más aún, es de la forma
0 1x 1 + y 0 en el espacio de llegada
6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos por .
=
: R²R²
x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1
x 0 1 S o T y Ɛ Gen 2 , 0 , más aún, es de la forma
0 1x 2 + y 0
7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos por .
T o S =
T o S: R²R²
x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1
x 0 2 T o S y Ɛ Gen 1 , 0 , más aún, es de la forma
0 2x 1 + y 0
8. Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.
Llamaré M a la inversa de T para facilitar la escritura
M:R²R²
x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1
x 1/2 0 M y Ɛ Gen 0 , 1 , más aún, es de la forma
1/2 0x 0 + y 1 en el espacio de llegada
Parte D Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):
Matriz del Punto 5:
1 3A= 0 1
a) El vector genérico TX.
T:R² →R²
X ↦AX
x 1 3 x x+3yy ↦ 0 1 y = yx 1 0y Ɛ Gen 0 , 1 en el espacio de salida,
x 1 3 1 3A y Ɛ Gen 0 , 1 , más aún es de la forma x 0 + y 1 en el espacio de llegada
b) El núcleo de esta TL.
NulA= 1 3 x 0 0 1 y = 0 x 0 Admite sólo la solución nula X= y = 0
0NulA = Gen 0
c) Los autovalores de la TL.
Planteamos det (A-kI)=0
Para k=1
El determinante es cero
Si k=1, planteo AX=1X
x+3y x y = y x+3y=x sólo se cumple para y=0
No se plantean restricciones para x, luego, todo vector de la forma: x 0Es un vector propio o autovector. x puede asumir cualquier valor real 1 1X 0 = Gen 0
En particular:
1 7 10 0 , 0 , 0Son vectores propios de la transformación dada (Es la recta x de coordenadas)
d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.
Si k=1
x 1y = x 0
es la recta sobre el eje de coordenadas x
Además: e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.
f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?
A no es diagonizable ya que sólo posee 1 autovector LI. No es 2x2
h) Plantee la transformación inversa.
A es cuadrada de determinante distinto de cero. Es invertible
T:R² →R²
X ↦A X
x 1 -3 x x-3yy ↦ 0 1 y = y
-1