act d
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josemartinez -
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ACTIVIDAD 5D.Seleccionecon su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construyauna transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luegoexplicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica):a) El vector genrico TX.b) El ncleo de esta TL.c) Los autovalores de la TL.d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.Adems:e) Grafiquecada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado.f) Analicesi A es diagonalizable. En caso de serloconstruyaP y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?h) Planteela transformacin inversa.
Matriz seleccionada:
La matriz como TX:
3 2X 3x + 2yA11 = 1 4Y = 1x + 4yNcleo de la transformacin:
3x + 2y = 01x + 4y = 0
Por tanto el ncleo es:
0
0
Auto valores de la transformacin:
AX = kX
3 2X X 1 4 Y = k Y3X + 2Y = kX
X + 4Y = kY X (3 k) + 2y = 0
X + Y (4 k) = 0detA=A11
A12
A21
A22
=
=A11A22-A12A21
=(3 - k)(4 - k)-21
= 12 + (-3k) + (-4k) + k2 -2= k2 -7k +10
Resolviendo nos queda:
Por lo tanto el valor de k puede ser 5:
O 2:
Base de autovectores:
Si k es igual a 5:
(A 5I)X
3210
14 - 5 01 x
3250
14 - 05 x
-22
1-1
Por lo tanto:
X1 = X2
X2 = X2
El autovector asociado ser:
1
Y =1
Si k es igual a 2:
(A 2I)X
3210
14 - 2 01 x
3220
14 - 02 x
12
12
Por lo tanto:
X1 = -2X2
X2 = X2
El autovector asociado ser:
-2
Y =1
Transformacin inversa:Solucin:A=3
2
1
4
B=0
0
X=x
1
x
2
AX=B
significa que
X=A-1B
Calculemos el determinante de la matriz
detA= 10
Para calculacin de matriz invertible calculemos matriz de cofactores para los elementos de la matrizC1,1= (-1)1+14
=4
C1,2= (-1)1+21
=-1
C2,1= (-1)2+12
=-2
C2,2= (-1)2+23
=3
C=4
-1
-2
3
CT=4
-2
-1
3
Calculemos la matriz invertibleA-1=
CT=
detA
0.4
-0.2
-0.1
0.3
Obtengamos la resolucinX=A-1B=0.4
-0.2
-0.1
0.3
0
0
=0
0
Resultado:x1=0,x2=0.
Por lo tanto, la matriz es invertible.
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