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Fundamentos del Sistema de Planos Acotados.Representacin de elementos geomtricos fundamentales.
17.1. INTRODUCCIN.El sistema de planos acotados se hace insustituible en la representacin grfica
de superficies caprichosas imposibles de controlar analticamente, tales como los
terrenos. Hoy en da, an teniendo en cuenta el avance de la informtica y la posibilidad
de representar modelos digitales de elevacin formados por redes triangulares de puntos
con distintas cotas (mallas espaciales), es difcil buscar una forma ms sencilla y eficaz
de representar sobre un papel una superficie topogrfica. Es la topografa, precisamente,
la ciencia que con ms profusin emplea este sistema de representacin que nos ofrece
la geometra descriptiva.
La ventaja del sistema de planos acotados frente al sistema didrico oaxonomtrico es que nos permite representar aceptablemente objetos tridimensionales
de gran tamao en los cuales la dimensin horizontal es mucho mayor que la vertical.
Esta es la situacin que encontramos al representar un terreno, donde las dimensiones
que definen su extensin, que pueden llegar a ser de varios kilmetros, son mucho
mayores que la que define su orografa, que normalmente ser de algunos cientos de
metros. En estos casos, la representacin en planta y alzado, como se hace en el sistema
didrico, obligara a usar escalas diferentes para obtener un nivel de detalle suficiente
en ambas proyecciones.
Sobre sta representacin grfica podemos adems realizar clculos sencillos como
son la determinacin de distancias, reas, ngulos e incluso volmenes (por ejemplo
clculos de m3 de terrapln y desmonte en movimientos de tierras). Es por tanto un
sistema de representacin muy empleado por el ingeniero, pues sobre su base pueden
estudiarse y resolverse diversas obras de ingeniera como:
- Cubiertas de edificaciones.
- Obras lineales en ingeniera (caminos y carreteras, redes elctricas, transporte de
fluidos, etc.).
- Movimientos de tierras.
- Embalses y presas.
- Ingeniera de minas (Buzamientos, afloramientos, canteras, etc.).
El sistema de planos acotados es adems un sistema muy sencillo de dominar,
pues emplea un nico plano de proyeccin que se supone horizontal, denominado plano
de referencia, plano del cuadro o plano de comparacin, sobre el cual se proyectan los
objetos que queremos representar mediante una proyeccin cilndrica y ortogonal. La
proyeccin vertical necesaria para poder reconstruir la cota de cada punto se suple
mediante anotaciones numerarias. En resumen, cada punto, como veremos a
continuacin, presenta unas coordenadas X e Y resueltas de forma grfica, mientras que
la informacin de la coordenada Z se resuelve numricamente.
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17.2. REPRESENTACIN DEL PUNTO.
En la Figura 17.1 el plano H es el plano de proyeccin o plano de referencia. Un
punto puede ocupar con respecto a este plano tres posiciones (alfabeto del punto en
geometra descriptiva): por encima de l (punto A), contenido en l (punto B), o por
debajo de l (punto C).
Figura 17.1. Alfabeto del punto en el sistema de planos acotados.
Una vez obtenida la proyeccin de un punto, y para que quede totalmente
definido, se anota entre parntesis su cota, que en el caso del punto A de la Figura 17.1
es de cinco unidades (5), el punto B tiene cota cero (0), y el C tiene cota negativa (-2) al
estar por debajo del plano de comparacin. Las unidades de cota tienen que
especificarse en cada caso (metros, centmetros, etc.).
Se llama desnivel entre dos puntos o diferencia de altitud a la diferencia
algebraica entre el valor numrico de la cota de dichos puntos. As el desnivel entre los
puntos A y C de la Figura 17.1 es de 7 unidades. Se puede conseguir que todas las cotasdel dibujo sean positivas simplemente eligiendo la cota del plano de comparacin de
forma que sea igual o inferior a la menor cota de los puntos a representar.
17.3. REPRESENTACIN DE LA RECTA.
La proyeccin de una recta se obtendr a partir de la proyeccin de dos de sus
puntos, tal y como se indica en la figura 17.2, en la que la proyeccin de la recta R se ha
obtenido a partir de las proyecciones de los puntos A y B.
H
A
A(5)
C(-2)
B=B(0)
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Figura 17.2. Representacin de la recta en el sistema de planos acotados.
Un concepto de suma importancia es el de la pendiente de una recta, lo que
podra definirse como el valor de la tangente del ngulo que dicha recta forma con el
plano horizontal. Normalmente se expresa en porcentaje, para lo cual slo hay que
multiplicar por 100 el valor de la tangente. En la figura 17.2 es el ngulo que R forma
con el plano horizontal y por tanto:
Pendiente de R (tanto por uno) = tag =(AN/BN)
lo que expresado en porcentaje dara:
Pendiente de R (%) = 100.tag =100.(AN/BN).
El mdulo o intervalo de una recta es la longitud de la proyeccin de un
segmento de dicha recta cuyos puntos extremos tienen un desnivel igual a la unidad, o
lo que es lo mismo, la distancia que hay que recorrer en horizontal para desplazarnos
una unidad en vertical.
En la figura 17.3 dos puntos contiguos de los representados sobre R tienen undesnivel igual a la unidad, por lo que la proyeccin del segmento que los une ser el
mdulo o intervalo de R.
Si calculamos la pendiente de R usando dos puntos contiguos de los
representados en R tendremos:
Pendiente R= 1/i
con lo que comprobamos que la pendiente de una recta es el inverso de su
mdulo o intervalo.
H
B
A
N
A(5)B(2)
R
r
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Figura 17.3. Representacin grfica del concepto de mdulo o intervalo.
La traza de una recta es el punto de interseccin de dicha recta con el plano de
proyeccin, al igual que en el sistema didrico. En la figura 17.3 el punto T representa
la traza de R, que siempre tendr cota cero con respecto al plano de referencia o
comparacin.
Figura 17.4. Graduacin de una recta a partir de dos puntos de cota entera.
H
T
A
B
C
T(0) A(1) B(2)C(3)
i ii1
1
1
R
x=5i
A(3) B(8) 3 4 5 6 7 8
i i i i i
mdulo=i=x/5
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Figura 17.5. Situaciones particulares de rectas en acotados.
La forma ms general de representar una recta en acotados es mediante el dibujo
de su proyeccin graduada. Graduar una recta consiste en sealar sobre su proyeccin
una serie de puntos de cota entera. Para llevar a cabo la graduacin de una recta, a partir
de dos de sus puntos de cota entera, se deducir el mdulo, y una vez conocido ste,
ser inmediato conocer la posicin de cualquier otro punto de cota entera, pues bastacon llevar, a partir de la posicin de uno conocido y en un sentido u otro, el intervalo
tantas veces como sea necesario.
En la figura 17.4 se ha graduado la recta R a partir de los puntos A(3) y B(8)
pertenecientes a ella.
Algunas posiciones particulares en que nos podemos encontrar a una recta en el
sistema de planos acotados pueden observarse en la figura 17.5:
a) Recta perpendicular al plano de proyeccin.
Todos sus puntos se proyectan en uno solo. El mdulo de estas rectas vale cero y
su pendiente infinito. Se suelen representar por dos de sus puntos. Este es el caso de la
recta R en la figura 17.5.
b) Recta paralela al plano de proyeccin.
Todos sus puntos tienen la misma cota. La pendiente de este tipo de rectas es
nula y el mdulo infinito. Se suelen representar por una lnea en la que se sealan dos
puntos cualesquiera pertenecientes a la recta. La recta S de la figura 17.5 es paralela alplano horizontal de proyeccin.
T
H
R
SA B C
B(2) C(2)
T(0) A(1)=r
B(2) C(2)
s
r s
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17.4. REPRESENTACIN DEL PLANO.
Un plano queda determinado en geometra descriptiva por tres puntos no
alineados, por un punto y una recta, por dos rectas que se cortan o por dos rectas
paralelas. En la figura 17.6 se tiene un plano P que corta al plano horizontal segn sutraza T, que es una horizontal de plano de cota cero respecto al plano de referencia. Las
rectas que estando contenidas en P sean paralelas a T, sern horizontales de plano
situadas a diferentes cotas.
Por otra parte, una recta contenida en P y perpendicular a las horizontales de
plano es una lnea de mxima pendiente de las infinitas que tiene el plano P, la cual se
representar en lo sucesivo por dos lneas paralelas muy prximas.
Figura 17.6. Lnea de mxima pendiente y traza de un plano en acotados.
En la figura 17.7 se indica la forma de representar un plano en sistema acotado,lo cual suele hacerse dibujando una de sus lneas de mxima pendiente debidamente
graduada.
H T
0
1
2P
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Figura 17.7. Representacin acotada de un plano.
En la figura 17.7 se ha obtenido tambin el ngulo que el plano P forma con el
plano horizontal, abatiendo sobre el plano de referencia la lnea de mxima pendiente.
Para ello, se han medido cuatro unidades desde el punto de cota 4 de la lnea de
mxima pendiente, perpendicularmente a la misma, y el punto obtenido se ha unido con
el punto de cota 0 de la lnea de mxima pendiente. La tangente de este ngulo es la quedefine la pendiente del plano. Es decir, para hallar la pendiente de un plano basta con
hallar la pendiente de una de sus lneas de mxima pendiente.
Tambin podemos definir un plano por las proyecciones acotadas de dos
horizontales de plano cualesquiera.
Podemos destacar las siguientes posiciones particulares de planos:
a) Plano horizontal.
Un plano horizontal tiene todos sus puntos a la misma cota. Se suelen representar
por la lnea de mxima pendiente, en este caso de pendiente nula, con una cifra que se
coloca en la parte interrumpida de las dos paralelas y que indica la cota del plano. Estos
planos no tienen traza con el plano horizontal de proyeccin.
b) Plano de perfil.
Es un plano perpendicular al plano horizontal de proyeccin. Se representa por una
recta, que coincide con su traza, y una letra. Este plano tambin se llama plano
proyectante sobre el horizontal.
t
0
1
2
3
4
P
1und.
2unidades
3unidades
4unidades
Horizontales de plano
