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ACADEMIA DE ÁLGEBRA

1

ACADEMIA DE

ÁLGEBRA

PROBLEMARIO DE

ÁLGEBRA I

EL PRESENTE MATERIAL

TIENE EJERCICIOS

REFERENTES A LOS

TEMAS VISTOS EN EL

CURSO DE ÁLGEBRA I

I. Sistemas numéricos

II. Operatividad con

Polinomios

III. Productos Notables y

Factorización

IV. Expresiones

Racionales

V. Ecuación y

desigualdad de primer

grado

MATERIAL DEL ALUMNO


2

U I; SISTEMAS NUMÉRIOCOS

A. Realizar las siguientes operaciones y comprueba tu resultado con la calculadora

1. 5363 + 198 + 4652 + 2534 + 987 + 3425 =

2. 92153.987 − 67851.01 =

3. 234 × 654 × 123 =

4. 87645.987 ÷ 82.6 =

5. 2 + 3 × 4 + 23 =

6. 2 × 6 + 1 − 2 × 4 + 2 =

7. 1 + 2 × 3 × 4 − 5 × 6 × +4 =

8. 21 × 5 − 3(2 + 4) + 26 − 4 × 5 =

9. 15 ×3+15

2∙3+ 35 × 3 + 1 =

10. 0.25 + 11.5 − 3(13.1 − 2 × 20.1 − 10.1) + 10.5 =

B. Simplifica cada una de las fracciones siguientes. Comprobar con calculadora

1. 6

8=

2. 4

8=

3. 3

9=

4. 4

6=

5. 10

15=

6. 4

12=

7. 21

35=

8. 25

−50=

9. −27

81=

C. Realizar las siguientes operaciones y comprueba tu resultado con la calculadora

1. 4

3+

1

3+

5

6=

2. 25

2+ 7

1

3+ 3

5

6+ 6

1

4=

3. 7

2−

4

3=

4. 3

2×

5

6×

10

4×

1

3=

5. 7

4÷

2

3=

6. 1 ½ − 2 ¾ + 2 ½ + 3 =

7. 2

3× (

1

2+

3

4) +

2

3× (

3

4+

1

4) =

8. 4 +1

2− (4

3

4+ 3

1

2) +

4

5× (

3

4−

2

3) =


3

D. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Una persona compró un par de zapatos en $425.00, un traje en $2850.00 y una camisa en $375.00. ¿Cuánto gastó?

2. Un estudiante recibió una beca de $2525, con este dinero compró: un radio en $875,

un pantalón en $245, un par de tenis, de zapatos y unas sandalias por los tres pares pagó $1350. ¿Cuánto dinero le quedó?

3. En un edificio de 15 pisos hay 7 departamentos por piso. El dueño cobra una renta

mensual de $1900 por departamento. Si todos los departamentos están rentados, ¿cuánto dinero obtiene mensualmente el dueño por la renta?

4. Mauricio ahorra $110 diarios. ¿Cuántos días tiene que ahorrar para comprarse un

auto que cuesta $48750?

5. Una alberca de 84882 litros, recibe 1278 litros de agua por hora y descarga 375 litros en ese mismo tiempo, ¿Cuánto tardará en llenarse?

6. ¿Cuantas botellas de ¾ de litro se necesitan para envasar 60 litros de aceite?

7. María tiene $350,000 y utiliza las tres quintas partes de este para comprar un auto.

¿cuánto le quedó?


4

UNIDAD II. OPERATIVIDAD CON POLINOMIOS

I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

A. Simplifica las siguientes expresiones, realizando las operaciones indicadas

1. 9𝑎 − 2𝑎 − 3𝑎 =

2. 10𝑏 − 3𝑏 − 4𝑏 =

3. 12𝑥 + 2𝑥 − 7𝑥 =

4. 2𝑥 − 5𝑥 − 8𝑥 =

5. 5𝑎 + 2𝑏 − 7𝑎 − 𝑏 =

6. 12𝑦 + 3𝑎 − 5𝑦 − 𝑎 =

7. 7𝑥 + 3𝑥 − 2𝑦 − 8𝑦 =

8. 7𝑝 + 8𝑞 − 𝑝 + 𝑞 =

9. 3

4𝑥 +

5

2𝑦 −

1

2𝑥 + 3𝑦 =

10. −3

5𝑥 +

5

2𝑦 +

1

3𝑥 +

1

3𝑦 =

11. 3

4𝑥 +

3

2𝑦 +

1

3𝑥 +

1

5𝑦 =

12. 11

4𝑥 −

11

2𝑥 +

1

2𝑦 + 3𝑦 =

B. Determine la suma de las siguientes expresiones.

1. 2𝑠 − 3𝑎 + 4𝑤, 2𝑤 + 2𝑎 − 3𝑠, 5𝑎 − 2𝑤;

2. 2𝑏 + 5𝑢 + 7𝑡, 2𝑡 − 4𝑢 − 4𝑏, 2𝑢 − 6𝑏;

3. 4𝑛 − 3𝑎 + 6𝑡, −3𝑡 + 2𝑎 − 5𝑛, 3𝑎 − 4𝑛 + 3𝑡;

4. 2𝑏 − 4𝑢 + 2𝑠, 9𝑠 − 3𝑢 − 5𝑏, 6𝑢 − 2𝑠;

5. 3

4𝑎2 −

1

8𝑎𝑏 +

1

6𝑏2; −

1

8𝑎2 −

7

8𝑎𝑏 +

1

12𝑏2;

6. 2

3𝑎2 +

5

4𝑎𝑥2 −

1

3𝑥3; −

3

7𝑎2 −

5

3𝑎𝑥2 −

1

9𝑥3;

7. 2

3𝑚3 +

3

4𝑚2𝑛 −

1

5𝑚𝑛2 +

1

2𝑛3 ; −

3

5 𝑚3 −

3

4𝑚2𝑛 −

1

15𝑚𝑛2 +

3

8 𝑛3;

8. 3

4𝑥2 −

1

2𝑦2; −

2

5𝑥𝑦 +

1

6𝑦2;

1

10𝑥𝑦 +

1

3𝑦2;

9. 1

2𝑏2𝑚 −

3

5𝑎𝑛 − 5;

3

5𝑏2𝑚 −

1

7𝑎𝑛 + 3; −

1

4𝑏2𝑚 +

2

3𝑎𝑛 − 15;

4

5𝑏2𝑚 + 4𝑎𝑛 −

5

3

10. 𝑥𝑦 + 𝑥2; −7𝑦2 + 4𝑥𝑦 − 𝑥2; 5𝑦2 + 6𝑥𝑦 − 𝑥2; −4𝑥𝑦 − 𝑥2 + 𝑦2

C. Reste la segunda expresión de la primera

1. 2𝑎 − 𝑡; 𝑎 + 𝑡;

2. 5𝑎 – 3𝑠; −2𝑎 – 2𝑠;

3. 2𝑠 + 3𝑎 + 5𝑦; 𝑠 + 3𝑎 − 2𝑦;

4. 𝑎3 − 9𝑏3 + 6𝑎2𝑏 − 8𝑎𝑏2; 14𝑎𝑏2 − 21𝑎2𝑏 + 10𝑎3 − 25;

5. 𝑝6 + 𝑝4𝑞2 − 9𝑝2𝑞4 + 17; −13𝑝3 𝑞3 + 16𝑝𝑞5 − 30𝑝2𝑞4 − 31


5

6. 2

3𝑚3 +

3

4𝑚2𝑛 −

1

5𝑚𝑛2 +

1

2𝑛3; −

3

5 𝑚3 −

3

4𝑚2𝑛 −

1

15𝑚𝑛2 +

4

8 𝑛3;

7. 2

3𝑎2𝑥 +

5

4𝑎𝑥2 −

1

3𝑥3; −

3

7𝑎2𝑥 −

5

3𝑎𝑥2 −

1

9𝑥3; 𝑆𝑜𝑙.

23

21𝑎2𝑥 +

35

12 𝑎𝑥2 −

2

9𝑥3

8. 𝑦7 − 60𝑥4𝑦3 + 90𝑥3𝑦4 − 50𝑥𝑦6 − 𝑥2𝑦5; 𝑦7 − 3𝑥5𝑦2 + 35𝑥4𝑦3 − 8𝑥3𝑦4 + 60

D. Elimine los símbolos de agrupación en las expresiones siguientes y combínense los términos semejantes.

1. 4𝑏 − (3𝑎 − 2𝑐) − (2𝑏 − 3𝑐) =

2. 4𝑠 − [2𝑠 − (3𝑠 −𝑡

2) +

2𝑡

3] =

3. 2𝑏 − [5𝑎 − (2

3𝑎 − 3𝑏) −

𝑎

2] =

4. 2𝑥 − (3𝑥 − 𝑦) + (2𝑥 + 𝑦) =

5. 5𝑐 + (4𝑎 − 2𝑏) − (2𝑎 − 2𝑏 − 𝑐) =

6. 2𝑎 − ⌊𝑦 − (2

3𝑎 + 3𝑦) −

𝑦

5⌋ =

7. 5𝑠 − [2

3𝑡 + (

3

4𝑠 − 4𝑡) − 𝑠] =

8. 𝑎 − {2𝑎 − [2𝑎 − (2𝑎 − 𝑏) − 𝑏] − 𝑏} − 𝑏 =

9. 3𝑥 − {2𝑥 + [3𝑥 − 2𝑦 − (5𝑥 − 4𝑦) − 2𝑥] − 5𝑦} =

10. 7𝑎𝑏 + 𝑏 − 3𝑎𝑐 + 3𝑏𝑐 − 𝑐 − {(8𝑎 + 9𝑎𝑏 − 4𝑏) − (−5𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 − 3𝑐)} =

E. Aplicando leyes de los exponentes simplificar dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos.

1. (𝑥2)3 =

2. (𝑎−2)4 =

3. (2𝑎2𝑏3)3 =

4. (5𝑥3𝑦)4 =

5. (4𝑥4𝑦3)4 =

6. (5𝑥3𝑦−1)4 =

7. 𝑏5𝑏2 =

8. 𝑏2𝑏2 =

9. 𝑎4𝑎5 =

10. (3𝑎2)(2𝑎3) =

11. (2𝑥3)(4𝑥5) =

12. (2𝑎2𝑏3)(3𝑎−2𝑐)(𝑏2𝑐3) =

13. (5𝑎2) (3𝑏1

2𝑐3) (2𝑎𝑏𝑐2)

14. (5𝑏4)(4𝑏5) =

15. (2𝑎3𝑏2)(3𝑎4𝑏3) =


6

F. En los problemas siguientes, elimine los símbolos de agrupación y reduzca los términos semejantes.

1. 𝑎(𝑎3 − 𝑏) + 𝑏(𝑎𝑏 − 𝑏) − 𝑎(𝑎3 − 2𝑏2) =

2. 2𝑚[3𝑚 − 𝑛(3𝑚 − 𝑛) − 3𝑚 − 𝑛2] =

3. −{−(−𝑎)} − [+(−𝑎)] + {−[−𝑏 + 𝑐] − [+(−𝑐)]} =

4. 𝑎(2𝑎 − 𝑏) − 2𝑏(𝑎 − 𝑏) + 𝑎𝑏(𝑎 + 3) =

5. 2𝑥(𝑥 + 2𝑦) − 3𝑦(2𝑥 − 𝑦) + 𝑥𝑦(2 − 𝑦) =

6. 𝑥𝑦(𝑥 − 3𝑦) − 𝑥(𝑦2 − 3𝑥) − 𝑦(𝑥2 − 𝑦) =

7. 𝑎(𝑎2 − 𝑏2) + 𝑏(𝑎𝑏 − 𝑏) − 𝑎2(𝑎 − 2𝑏) =

8. 2𝑎[3𝑎 − 𝑏(3𝑎 − 𝑏) − 3𝑎 − 𝑏2] =

9. 3𝑥[4𝑎 − 2𝑥(𝑎 − 𝑥) − 3𝑎(𝑥 + 2𝑎) + 6𝑎2 + 5𝑎𝑥] =

10. 2𝑟 − 2{4𝑟 − 2[𝑠 − 𝑡 + 4(𝑟 − 𝑠 + 2𝑡) − 3𝑟] + 2𝑠} =

G. Encuentre el producto de cada pareja de expresiones

1. 𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 − 𝑏;

2. 2𝑥 + 3𝑦, 3𝑦 − 𝑥;

3. 4𝑥 − 𝑎, 2𝑥 + 3𝑎;

4. 2𝑎 + 5𝑏, 3𝑎 − 4𝑏;

5. 8𝑚𝑛 − 2𝑘, 5𝑛𝑚 + 3𝑘;

6. 𝑥2 + 3𝑥 + 5, −𝑥2 − 𝑥 + 1;

7. 2𝑥(3𝑥 + 1)(𝑥 + 2) =

8. 2𝑥𝑦(𝑥 + 3𝑦)(5𝑥 + 𝑦) =

9. 𝑥(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)(2𝑥 − 𝑦) =

H. Efectúe las divisiones indicadas

1. 𝑥7

𝑥2=

2. 𝑦5

𝑦3 =

3. 𝑤5

𝑤8 =

4. 𝑡5

𝑡7 =

5. 8𝑥8

2𝑥2=

6. 9𝑥9

3𝑥3 =

7. 5𝑥5

10𝑥8=

8. 6𝑥2

3𝑥6 =

9. 𝑎5𝑏9

𝑎3𝑏5 =

10. 15𝑥2𝑦5𝑧7

5𝑥𝑦3𝑧4 =

11. 6𝑎𝑏6𝑐5

24𝑎5𝑏7𝑐9=

12. 24𝑎3𝑏3𝑐2

18𝑎2𝑏7𝑐4 =


7

I. Divida la primera expresión entre la segunda e indica cuál es el cociente y cuál es el residuo

1. 2𝑥2 − 7𝑥 + 6, 𝑥 − 2;

2. 2𝑎2 − 3𝑎𝑏 − 2𝑏2, 2𝑎 + 𝑏;

3. 4𝑥3 − 9𝑥2 + 14𝑥 − 5, 4𝑥 − 1;

4. 2𝑎2 + 5𝑎𝑦 − 3𝑦2, 𝑎 + 3𝑦;

5. 3𝑥3 − 5𝑥2 − 7𝑥 − 3, 𝑥2 − 3𝑥 + 1;

6. −𝑎+2𝑎2−15

2𝑎+5;

7. 2𝑥3−𝑥2−8𝑥−2

2𝑥+3;

8. 2𝑦3−7𝑦2+9𝑦−3

𝑦2−3𝑦+3;

9. 11𝑦+2𝑦3−9𝑦2−6

𝑦−3;

10. 3𝑥3−5𝑥2−3𝑥−1

−1+𝑥2−𝑥;


8

UNIDAD III. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

I. PRODUCTOS NOTABLES

Aplicando la regla correspondiente, encontrar los productos indicados.

A. Cuadrado de un Binomio

1. (𝑎 + 3𝑏)2 =

2. (4𝑎 − 𝑏)2 =

3. (6𝑧 − 5𝑤2)2 =

4. (2 − 3𝑚2𝑛3)2 =

5. (1 −1

3𝑠2)

2= 6. (

2

3𝑎𝑏2 − 3𝑐3)

2

=

7. (3

5𝑥2𝑦3𝑧 +

1

5𝑢𝑣2)

2

=

8. (5𝑎

𝑏− 4

𝑐

𝑑)

2

=

9. (2𝑥2

3𝑧3 −3𝑦

4𝑤2)2

=

10. (−3𝑥2

𝑧3 +2𝑚3

𝑛)

2

=

B. Producto de binomios conjugados

TAREA

1. (𝑥 + 9)(𝑥 − 9) =

2. (𝑥𝑦 + 3)(𝑥𝑦 − 3) =

3. (𝑎 + 5𝑏)(𝑎 − 5𝑏) =

4. (24)(36) =

5. (4𝑥𝑦 + 5𝑤)(4𝑥𝑦 − 5𝑤)

6. (2𝑥2 + 𝑦𝑧2)(2𝑥2 − 𝑦𝑧2)

7. (3𝑥

4+

𝑦

5) (

3𝑥

4−

𝑦

5) =

8. (2𝑚2

4+

2𝑛4

3) (

2𝑚2

4−

2𝑛4

3)

9. (𝑚2

3+

2

5𝑚) (

𝑚2

3−

2

5𝑚) =

10. (6𝑎𝑏𝑐2

𝑥𝑦+

𝑗𝑘

2𝑏) (

6𝑎𝑏𝑐2

𝑥𝑦−

𝑗𝑘

2𝑏) =

C. Producto de binomios con un término en común

1. (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) =

2. (2 + 13𝑎)(2 + 𝑎) =

3. (7𝑥 − 1)(7𝑥 + 2) =

4. (𝑎2 + 10)(𝑎2 − 11) =

5. (𝑏2 + 5)(𝑏2 − 9) =

6. (𝑦2 − 𝑧)(𝑦2 − 7𝑧) =

7. (7𝑎𝑏2 − 1)(7𝑎𝑏2 − 9) =

8. (𝑎𝑏𝑐2 + 13𝑑)(𝑎𝑏𝑐2 − 2𝑑) =

9. (𝑚2𝑛3 − 1)(𝑚2𝑛3 − 2) =

10. (2𝑥𝑦3 − 10)(2𝑥𝑦3 − 2) =


9

D. Producto de binomios

1. (3𝑥 − 1)(𝑥 + 2) =

2. (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) =

3. (4𝑏 + 𝑎)(𝑏 + 2𝑎) =

4. (3𝑐 − 2)(2𝑐 + 3) =

5. (8𝑚 − 5)(2𝑚 + 4) =

6. (5ℎ + 3)(4ℎ − 5) =

7. (4𝑎 − 7)(5𝑎 + 2) =

8. (2𝑚 − 3𝑛)(4𝑚 − 2𝑛) =

9. (12𝑥 − 3𝑦)(6𝑥 − 5𝑦) =

10. (6𝑐 − 3𝑑)(2𝑐 − 7𝑑) =

E. Cubo de un binomio

1. (2𝑦 + 3)3 =

2. (2 + 𝑧)3 =

3. (3𝑘 − 1)3 =

4. (2𝑎2 − 𝑦4)3 =

5. (2𝑥 − 3𝑦)3 =

6. (4𝑚4 + 4𝑛2)3 =

7. (𝑝2𝑞 + 𝑎𝑏3𝑐)3 =

8. (2𝑟4𝑡 − 5𝑥𝑦)3 =

9. (𝑎2

3−

2

5𝑏)

3

=

10. (𝑦

𝑎𝑏−

𝑧2

2)

3

=

II. FACTORIZACIÓN

A. Factor Común

1. 3𝑚2𝑛 − 6𝑚𝑛2 + 9𝑚3𝑛2 =

2. 2𝑎3𝑏2 + 8𝑎2𝑏3 − 12𝑎3𝑏3 =

3. 6(2𝑚 + 1)2 − 2(2𝑚 + 1) =

4. (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 𝑏)𝑏 =

5. (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) =

6. (𝑧 − 2)(2𝑧 + 1) − (𝑧 − 2)(2𝑧 − 3) =

7. (5 + 2𝑤)(𝑤 − 3) − (7 − 𝑤)(3 − 𝑤) =

8. 2𝑢(2𝑢 − 3)2 + 𝑢2(3 − 2𝑢) =

9. (6𝑎 − 3𝑏)(𝑎 + 𝑏) + (6𝑎 − 3𝑏)(𝑎 + 2𝑏) − (6𝑎 − 3𝑏)(2𝑎 + 𝑏) =

10. −28𝑥4 + 14𝑥3 + 56𝑥2 =

B. Diferencia de cuadrados

1. 𝑚2 − 16𝑛2 =

2. 36𝑥2 − 4𝑦2 =

3. 4𝑚2 − 9𝑛2 =

4. 𝑎2 − 64𝑏2 =

5. 𝑐2 − 49𝑑2 =

6. 16𝑥4 − 4𝑦6 =

7. 9𝑟4ℎ2 − 25𝑘2 =

8. 36𝑎2𝑏2 − 49𝑥4𝑦2 =

9. 81ℎ8 − 16𝑘6 =

10. 9

16𝑟4 −

4

25𝑠4 =


10

C. Trinomio cuadrado perfecto

1. 𝑎2 + 4𝑎 + 4 =

2. 𝑧2 + 10𝑧 + 25 =

3. 9ℎ2 + 6ℎ + 1 =

4. 4𝑘2 + 4𝑘 + 1 =

5. 9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 =

6. 16𝑎2 + 24𝑎𝑏 + 9𝑏2 =

7. 64𝑟2 + 64𝑟𝑠 + 16𝑠2 =

8. 𝑐2

16−

1

2+

1

𝑐2 =

9. 𝑚2

4+

3𝑚

𝑛2 +9

𝑛4 =

10. 25𝑎8 − 30𝑎4𝑏5 + 9𝑏10 =

11. 36𝑥6 + 60𝑥3𝑦2 + 25𝑦4 =

D. Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

1. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 =

2. 𝑥2 − 9𝑥 + 20 =

3. 𝑥2 − 13𝑥 + 30 =

4. 𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 63𝑦2 =

5. 𝑥2𝑦2 − 14𝑥𝑦 + 24 =

6. 𝑥2𝑦2 + 16𝑥𝑦 + 60 =

7. 𝑥4 + 7𝑥2 − 8 =

8. 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 =

9. (𝑥 + 𝑦)2 + (𝑥 + 𝑦) − 2 =

10. (𝑢 − 𝑣)2 − 3(𝑢 − 𝑣) − 10 =

E. Trinomio general

TAREA

1. 15𝑦2 + 19𝑦𝑧 + 6𝑧2 =

2. 3𝑎2 + 26𝑎𝑏 + 16𝑏2 =

3. 12𝑢2 − 16𝑢𝑣 + 5𝑣2 =

4. 7ℎ2 + 4ℎ − 3 =

5. 6𝑦2 + 3𝑦 − 3 =

6. 9𝑚2 + 62𝑚 − 7 =

7. 6ℎ2 + 29ℎ𝑘 − 5𝑘2 =

8. 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 15𝑦2 =

9. 3𝑐2 + 𝑐𝑑 − 4𝑑2 =

10. 14𝑥2 + 13𝑥𝑦 − 12𝑦2 =

11. 12𝑎4 + 13𝑎3 − 35𝑎2 =

F. Suma y diferencia de cubos

1. 𝑐3 − 27𝑑3 =

2. 𝑗3 − 8𝑘3 =

3. 64𝑝3 − 125𝑞3 =

4. 8𝑥3 + 216𝑦3 =

5. 64𝑚3 + 8𝑛3 =

6. 40𝑡5 + 5𝑡2 =

7. 81𝑚3 + 24𝑛3 =

8. 54𝑝4 − 2𝑝 =

9. 3𝑥3𝑦6 + 81 =

10. 𝑥6 − 𝑦6=


11

G. Factorización por agrupación 1. 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥𝑦 − 𝑦 =

2. 𝑟𝑠 + 6𝑠 − 𝑟 − 6 =

3. 𝑐2 − 3𝑐𝑑 + 𝑐 − 3𝑑 =

4. 2𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 5𝑥 − 15𝑦 =

5. 𝑚𝑐 + 𝑐𝑛 + 𝑑𝑚 + 𝑑𝑛 =

6. 6𝑥𝑦 − 15𝑦2 + 2𝑥𝑧 − 5𝑦𝑧 =

7. 10ℎ2 − 15ℎ𝑘 − 4ℎ𝑗 + 6𝑗𝑘 =

8. 6𝑎2 − 3𝑎𝑏 − 36𝑎𝑐 + 18𝑐𝑏 =

9. 𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 9𝑛2 − 4𝑝2 − 8𝑝𝑧 − 4𝑧2 =

10. 9𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 𝑏2 − 𝑐2 + 4𝑐𝑑 − 4𝑑2 =


12

UNIDAD 4. EXPRESIONES RACIONALES

A. Convierta las fracciones en fracciones equivalentes cuyo denominador sea la segunda expresión dada en cada problema

1. 𝑎𝑏2

𝑎𝑏, 𝑏,

2. 2𝑎

𝑎2 , 𝑎,

3. 𝑎

𝑡, 𝑠𝑡,

4. 𝑐

𝑑, 𝑐𝑑,

5. (𝑎+2)(𝑎−1)

(𝑎+3)(𝑎−1), 𝑎 + 3,

6. (𝑎+5)(2𝑎−1)

(𝑎+5)(𝑎−2), 𝑎 − 2,

7. (𝑥−3)(𝑥−1)

(𝑥−1)(𝑥+3), 𝑥 + 3,

8. 𝑥−2

𝑥−3, 𝑥2 − 9,

9. 𝑎+1

𝑎−2, 𝑎2 − 4,

10. −𝑎−3𝑏+𝑐

2𝑎−𝑏−𝑐, 𝑐 + 𝑏 − 2𝑎,

11. 𝑥+2

𝑥−4, 𝑥2 − 3𝑥 − 4,

12. (2𝑥−1)

(3𝑥+2), 3𝑥2 + 5𝑥 + 2, ,

B. Simplifica a su mínima expresión las fracciones siguientes

1. 𝑥−𝑥𝑦

𝑥=

2. 4𝑝2(𝑝+𝑞)2

8𝑝(𝑝+𝑞)=

3. 27𝑚3+9𝑚2

27𝑚3+81𝑚4 =

4. 𝑎𝑏+2𝑎+3𝑏+6

𝑏2−4=

5. 𝑥2+4𝑥+3

𝑥2+𝑥−6=

6. 𝑏2−5𝑏+6

𝑏2−4=

7. 𝑎3−𝑏3

𝑎2−𝑏2 =

8. 3𝑥2−11𝑥+6

3𝑥2+4𝑥−4=

9. 2𝑥2+𝑥−1

2𝑥2+5𝑥−3=

10. (𝑥+2)(𝑥+3)

𝑥(𝑥+2)+(𝑥+3)𝑥+2=

11. (2𝑎−𝑏)(𝑎2−3𝑎𝑏+2𝑏2)

(2𝑎2+𝑎𝑏−𝑏2)(𝑎−2𝑏)=

12. 𝑥6−𝑦6

𝑥3−𝑦3 =

C. Realiza las siguientes multiplicaciones, simplifica tu resultado

1. 27𝑎3𝑏2

8𝑥2𝑦×

16𝑥3𝑦

81𝑎2𝑏3 =

2. 5𝑎2𝑥3𝑡

3𝑎𝑥𝑡0 ×8𝑎4𝑥𝑡2

13𝑎3𝑥2𝑡3 =

3. 7𝑥3𝑦

2𝑥𝑦5·

3𝑥𝑦2

5𝑥3𝑦3=

4. 4𝑥−8𝑦

𝑏𝑥+𝑏𝑦×

𝑎𝑥+𝑎𝑦

3𝑥−6𝑦=

5. 𝑎−3𝑏

𝑎+2𝑏×

3𝑎+6𝑏

2𝑎−6𝑏=

6. 6𝑥2−5𝑥+1

3𝑥2−10𝑥+3×

𝑥2+5𝑥+6

2𝑥2+3𝑥−2=

7. 6𝑥2+𝑥−1

2𝑥2+5𝑥+2×

𝑥2−𝑥−6

3𝑥2−7𝑥+2=

8. 𝑠2−4𝑠𝑡+4𝑡2

2𝑠2−𝑠𝑡−6𝑡2×

4𝑠2+4𝑠𝑡−3𝑡2

𝑠2−3𝑠𝑡+2𝑡2×

2𝑠+𝑡

2𝑠−𝑡=


13

9. 𝑥2−9𝑦2

𝑥2−2𝑥𝑦−3𝑦2 ×𝑥2+2𝑥𝑦−3𝑦2

𝑥2−3𝑥𝑦+2𝑦2 ×𝑥+𝑦

𝑥+3𝑦=

10. (𝑥−4)𝑥+3

𝑥−3×

(𝑥−1)𝑥−2

𝑥2−4(𝑥−1)=

11. (𝑥−3)𝑥−4

(𝑥−4)𝑥+4×

(𝑥−1)𝑥−2

(𝑥−3)𝑥+2=

D. Realiza las siguientes divisiones, simplifica tu resultado.

1. 7𝑎2𝑥2

3𝑎𝑥3 ÷14𝑎3𝑥

9𝑎𝑥3 =

2. 5𝑎2𝑥𝑡0

2𝑎𝑥2𝑡÷

10𝑎3𝑥𝑡

6𝑎2𝑥3𝑡2=

3. 15𝑎3𝑏0𝑡

14𝑎𝑏2𝑡3 ÷6𝑎2𝑏𝑡2

21𝑎2𝑏2𝑡=

4. 𝑥2−9

𝑥+4÷ (2𝑥 − 6) =

5. 4𝑧3

3𝑧2−3𝑧𝑤÷

𝑧2

𝑧2−𝑤2 =

6. (𝑥2 − 3𝑥 + 2) ÷𝑥2−1

𝑥=

7. 𝑢2+2𝑢−8

𝑢2−3𝑢−4÷

𝑢2−4𝑢+4

𝑢2−6𝑢+8=

8. 𝑣2−2𝑣+3

𝑣2−3𝑣+2÷

𝑣2+8𝑣+16

𝑣2+2𝑣−8=

9. 2𝑤2+3𝑤+1

2𝑤2+5𝑤+3÷

2𝑤2+13𝑤+6

2𝑤2+11𝑤+12=

10. 2𝑦2−7𝑦+6

2𝑦2−3𝑦−2÷

2𝑦2+3𝑦−9

4𝑦2+11𝑦−3=

E. Efectúa las operaciones combinadas, reduce tu resultado a la mínima expresión.

1. 𝑎3𝑏4

𝑤4𝑧÷ (

𝑎2𝑏3

𝑤𝑧2 ×𝑎4𝑏

𝑤2𝑧3) =

2. 32

25𝑘3 ÷16𝑘2

50𝑘4ℎ×

𝑘

ℎ3 =

3. (2𝑥2+3𝑥

𝑦2−2𝑦×

𝑥𝑦2−2𝑥𝑦

4𝑥2−9) ÷

𝑥

2𝑥𝑦−3𝑦=

4. 𝑎2+3𝑎+2

𝑎2−1×

𝑎2+6𝑎+9

𝑎2+3𝑎+2÷

𝑎+3

𝑎−1=

5. 𝑠2+2𝑠−3

𝑠2−4𝑠+4×

𝑠2−4

𝑠2+𝑠−2÷

𝑠+5

𝑠−2=

6. 𝑏2+6𝑏+9

𝑏2+𝑏−2×

𝑏2−4

𝑏2+5𝑏+6÷

𝑏+3

𝑏−1=

7. (𝑠−2)𝑠−3

𝑠2−9×

𝑠(𝑠+3)−2(𝑠+3)

(𝑠−2)(𝑠−3)÷

𝑠+1

𝑠−3=

8. (3𝑎−4)𝑎−4

(𝑎−4)𝑎+4×

(𝑎−2)𝑎+1

(3𝑎−4)(3𝑎+2)÷

𝑎−1

𝑎−2=

F. Realiza las siguientes SUMAS y/o RESTAS de fracciones algebraicas, simplifica tu resultado.

1. 2𝑥

3𝑥−5+

5

3𝑥−5=

2. 𝑚2

4𝑚2−1−

𝑚−𝑚2

4𝑚2−1=

3. 3𝑥𝑦

(𝑥+𝑦)(𝑥−2𝑦)+

𝑥2−3𝑥𝑦

(𝑥+𝑦)(𝑥−2𝑦)−

2𝑥𝑦

(𝑥+𝑦)(𝑥−2𝑦)=

4. 9𝑥−20

𝑥2+𝑥−12−

6𝑥−13

𝑥2−𝑥−6=

5. 18

18𝑥2−21𝑥−4−

2

3𝑥−4+

10

6𝑥+1=


14

6. 𝑥+2

2𝑥2−𝑥−1−

3𝑥−2

2𝑥2+9𝑥+4+

5

4−3𝑥−𝑥2=

7. 4𝑥𝑦+4𝑦2

(2𝑥−𝑦)(2𝑥−3𝑦)−

15𝑥𝑦

(𝑥+3𝑦)(2𝑥−3𝑦)+

4𝑥+𝑦

2𝑥−𝑦=

8. 5𝑥−4

2𝑥2−11𝑥−6+

3𝑥+4

2𝑥2+7𝑥+3−

3𝑥

𝑥2−3𝑥−18=

9. 4

𝑥4+𝑥2+1+

𝑥2+𝑥−1

𝑥2−𝑥+1−

𝑥2−𝑥−1

𝑥2+𝑥+1=

10. 2𝑟

𝑟2−𝑠2 −4𝑟𝑠

(𝑟+𝑠)2(𝑟−𝑠)−

𝑟−𝑠

(𝑟+𝑠)2 =

G. Reduce a su mínima expresión las siguientes fracciones complejas

1. 1 +

1

3

2 − 1

3

=

2. 3 +

1

2

2 − 1

2

=

3. 2 −

1

𝑥1

𝑥

=

4. 4 −

1

𝑥2

2 + 1

𝑥

=

5. 1 −

3

𝑥 +

2

𝑥2

1

𝑥 −

2

𝑥2

=

6. 2 −

7

𝑥 +

3

𝑥2

2 + 3

𝑥 −

2

𝑥2

=

7. 1 −

𝑏

2𝑎 − 3𝑏

1+ 𝑏

𝑎 − 3𝑏

=

8. 1 −

2𝑏

𝑎 − 𝑏

2 − 𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏

=

9. 𝑥 + 1 +

𝑥 + 1

𝑥 − 1

𝑥 − 2

𝑥 − 1

=

10. 1 +

4𝑏

𝑎 − 𝑏

3 + 8𝑎𝑏

𝑎2 − 𝑏2

=


15

UNIDAD V. ECUACIÓN Y DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO.

I. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

A. Demuestre, mediante sustitución directa, que el número (o letra) dado a la derecha, es una raíz de la ecuación propuesta en cada problema.

1. 9𝑥 − 2 = 12𝑥 + 4, − 2

2. 20𝑥 + 5 = 29 − 12𝑥, 3

4

3. 3𝑥 − 2 = 2𝑥 + 1, 3

4. 6𝑥 + 3 = 18𝑥 − 1, 1

3

5. 3(𝑥 + 5) = −(𝑥 + 1) , − 4

6. 3(𝑥 − 6) − 2(𝑥 + 3) = 5, 29

7. 3𝑥−4

4−

2𝑥−1

3= −

1

6, 6

8. 3𝑥+2

6𝑥−2+ 1 =

5

𝑥+1,

2

3

9. 2𝑥−4

2+

𝑥+3

4= 𝑥 − 5, − 15

10. 2𝑥+1

4+

𝑥

3=

18𝑥−24

2,

3

2

B. Resuelva las ecuaciones siguientes.

1. 4𝑥 = 𝑥 + 9

2. 7𝑥 + 2 = 3𝑥 + 14

3. 9𝑥 − 4 = 3𝑥 − 16

4. 7𝑥 − 2 = 2𝑥 + 1

5. 2(𝑥 + 1) − (𝑥 − 1) = 0

6. 6(4𝑥 − 7) − 5(2𝑥 + 5) = 3

7. 2 (1

2𝑥 −

1

4) =

1

2(3𝑥 − 7)

8. 3 (2

3𝑥 +

1

6) −

3

4(2𝑥 + 18) = −4

9. 2

3𝑥 −

3

4+

1

4𝑥 =

2

3𝑥 −

5

4

10. 5

6𝑥 +

7

9−

2

3𝑥 =

2

9𝑥 −

5

9

11. 3𝑥+5

4−

2𝑥−3

3= 3

12. 3

5𝑥 − 5 =

1

2𝑥 − 4

13. 1

5𝑥 + 1 =

2

3𝑥 −

4

3

14. 4𝑥+6

6= 12 − 3𝑥

15. 3𝑥+5

5= 2𝑥 − 6

16. 3𝑥−2

4+ 3 = 𝑥 −

1

2

17. 2𝑥−3

3+ 4 =

3𝑥−4

2

C. Resuelva las ecuaciones siguientes para la letra indicada a la derecha de cada ejercicio.

1. 𝑃 = 2𝑙 + 2𝑤, 𝑤

2. 𝐼𝑅 + 𝐼𝑟 = 𝐸, 𝑅

3. 𝐼𝑅 + 𝐼𝑟 = 𝐸, 𝐼

4. 𝐹 =𝑘𝑚1𝑚2

𝑑2 , 𝑚2

5. 𝑚 =3

𝑛−𝑎, 𝑎

6. 1 =3(𝑑+𝑏)

2+𝑑, 𝑏


16

7. 𝑆 =𝑙𝑟−𝑎

𝑟−1, 𝑟

8. 𝑆 = 𝑣𝑡 +1

2𝑎𝑡2, 𝑎

9. 𝐿2 = 𝐿1(1 + 𝛼𝑡), 𝑡

10. 𝐴 =1

2(𝑎 + 𝑏)ℎ, 𝑏

II. PROBLEMAS RELACIONADOS CON ECUACIONES

DE PRIMER GRADO

A. NUMÉRICOS

1. Si al doble de un número se le resta la mitad del mismo número, la diferencia

vale 33. ¿Cuál es ese número?

2. La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero

y el tercero supera en 3 unidades al segundo. Determinar los números.

3. Tres medios de un número superan a cinco sextos del número en 4 unidades.

Obtenga el número.

4. En dos exámenes Carlos tiene de promedio 78 puntos. En el primero tiene

12 puntos más que en el segundo. Determinar cuántos puntos tiene en cada

examen.

B. DE PRECIOS

1. Pedro y María tienen un total de $599 en sus cuentas bancarias. Si Pedro

tiene $213 más en su cuenta que María, ¿cuánto hay en cada cuenta?

2. De tres compras; en la segunda se gastó $16 más que en la primera; en la

tercera, la mitad de lo que se gastó en las otras dos. Si el gasto total fue de

$180. ¿Cuánto gastó en cada compra?

3. La entrada a un baile cuesta $40.00 para hombres, las mujeres pagan

$15.00. Si se obtuvieron $12,770.00 al vender 363 boletos. ¿Cuántas

mujeres pagaron boleto?

4. Un parque de diversiones cobra $180.00 por persona, pero tiene boletos con

descuento de $155.00. Si se obtuvieron $63,590.00 al vender 363 boletos,

¿cuántos boletos, con descuento, fueron vendidos?


17

C. PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Algunos conocimientos para resolver estos problemas

El Perímetro de un polígono, es la suma

de sus lados, ejemplo,

𝑃 = 3 + 5 + 4.5 + 4 = 16.5

Áreas

Área de un rectángulo, 𝐴 = 𝑏𝑎

𝐴: Área, 𝑏: base, 𝑎: altura

El área de un triángulo es, 𝐴 =𝑏𝑎

2

Ejemplo: El área del triángulo es 𝐴 =5∙7

2= 17.5

Figuras Semejantes son las que las figuras tienen la misma forma

Ejemplo estas dos copas son semejantes,

tienen la misma forma, 6 es el diámetro

de la primera boca la segunda mide 18.

Dividir 18

6= 3, o 18 = 3 ∙ 6, significa que

18 es tres veces más grande que 6, es

decir el segundo diámetro es tres veces

más grande que el primero. Todas las

partes homólogas de la segunda copa

son tres veces más grandes que la

primera.

Por ejemplo: una parte de la primera

mide 5, su homóloga de la segunda mide

15.

Problema. Hallar el valor de 𝑥


18

Teorema de Pitágoras

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Ejemplo,

Cateto 𝑎 = 4, Cateto 𝑏 = 3, hipotenusa

𝑐 = 5

42 + 32 = 52

16 + 9 = 25

1. Los lados de un rectángulo miden 30 y 40 metros respectivamente. Calcular

los de otro, semejante al primero cuyo perímetro mide 350 metros.

2. Hallar la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que si se aumenta ésta

en 4 𝑚 su área se incrementa en 64 𝑚2.

3. Un terreno tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 𝑚 y el

ancho se aumenta en 4 𝑚 la superficie del terreno no varía. Hallar las

dimensiones del terreno.

4. La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 𝑚. Si la longitud

se disminuye en 20𝑚 y el ancho se aumenta en 15𝑚, el área se disminuye en

150 𝑚2. Hallar las dimensiones del campo.

D. DE MOVIMIENTO

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

Si 𝑑 es la distancia, 𝑣 es la velocidad (o tasa) y 𝑡 es el tiempo, con sus unidades

consistentes, es decir, si la velocidad son 𝑘𝑚

ℎ la distancia debe estar en 𝑘𝑚 y el

tiempo en ℎ.

La relación entre estos tres conceptos es: 𝑑 = 𝑣𝑡 o 𝑣 =𝑑

𝑡 o 𝑡 =

𝑑

𝑣, siempre que sea

posible hay que trabajar con la primera (sin denominador).

1. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. El

primer auto hace un promedio de 45 𝑘𝑚/ℎ y el segundo, tiene uno de 50 𝑘𝑚/ℎ.

¿En cuántas horas se encontrarán a 570 𝑘𝑚 entre sí?


19

2. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 𝑘𝑚/ℎ y de regreso a una de

35 𝑘𝑚/ℎ. Su viaje redondo duró 6 ½ ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. ¿Qué distancia recorrió?

3. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 km de distancia y regresó a casa en

su bicicleta. El autobús viajó al doble de la velocidad de la bicicleta y el viaje

redondo duró 4 ½ horas. ¿A qué velocidad viajó Samuel en su bicicleta?

4. En una hora un estudiante recorre dos tramos para llegar a su escuela, uno de

6 km en camión y el otro de 28 km en automóvil. La velocidad media del

automóvil es el doble de la velocidad media del camión. Determinar ambas

velocidades y los minutos que tarda en recorrer cada tramo.

E. TRABAJO

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

En estos problemas hay que pensar la fracción de trabajo que se hace en una

hora, por ejemplo si una pared se pinta en 11 horas, se pinta a una tasa de 1

11 de

pared cada hora, en 8 horas se pinta 8 ∙1

11=

8

11 de pared.

Si una alberca se llena con una bomba en 7 horas, se llena a una tasa de 1

7 de

alberca por hora, en 3 horas se tiene 3 ∙1

7=

3

7 de alberca llena.

Establecidas las fracciones, la suma debe ser uno, para el trabajo completo o para

la alberca llena.

1. Un hombre requiere 12 horas para arar un campo mientras que su hijo puede

hacerlo en 15 horas. ¿Cuánto tiempo les tomará hacer el trabajo entre los dos?

2. Una mujer puede limpiar un cuarto en 24 minutos y su hija en 36 minutos.

¿Cuánto tiempo emplearían si limpian el cuarto las dos?

3. Marta y María trabajaron juntas armando un rompecabezas durante 3 horas.

Entonces Marta se fue y María terminó en 30 minutos. Marta había armado

rompecabezas similares en 6 horas, ¿cuánto tiempo hubiera tomado María para

armar sola el rompecabezas?


20

4. Un tanque se puede llenar en 6 horas y se puede vaciar en 8 horas abriendo la

válvula del tubo de drenaje. ¿En cuánto tiempo se llena el tanque si por descuido

la válvula del tubo de drenaje permanece abierta 3 horas?

F. MEZCLAS

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas.

Significado de multiplicar por una fracción o decimal.

(1

2) (8) quiere decir, la mitad de ocho, (

1

2) (8) = 4 (compruébalo en tu

calculadora)

(1

5) (20) quiere decir, la quinta parte de veinte, (

1

5) (20) =

20

5= 4

(3

4) (20) quiere decir, las tres cuartas partes de veinte, (

3

4) (20) = (

20

4) (3) =

(5)(3) = 15

(1

10) (450) quiere decir, la décima parte de 450, (

1

10) (450) =

450

10= 45

(0.1)(450) Dice, la décima parte de 450, (0.1)(450) =450

10= 45 (compruébalo

en tu calculadora).

(15

100) (300), es, quince centésimos de 300, o quince por ciento de 300,

(300

100) (15) = 45

(0.15)(300), también quiere decir, quince centésimos de 300, también quiere

decir quince por ciento de 300.

Cuando se dice que una jarra de naranjada contiene 30% de jugo de naranja, se considera que el total de naranjada son 100 partes, de las cuales 30 partes

son de jugo y 70 son agua. Por definición 30% =30

100= 0.30, 𝑥% =

𝑥

100.

En la naranjada al 30%, si se tienen 4 litros, para calcular cuántos litros hay de jugo de naranja, se dividen los 4 litros en 100 partes, 0.04 litros contiene cada una de las 100 partes, y se multiplica por 30, 0.04 ∙ 30 = 1.2 litros de jugo. La manera algebraica de expresar “treinta por ciento de 4”es: 30% ∙ 4 = 1.2,

también 30

100∙ 30, o, 0.30 ∙ 4 = 1.2.

Si 𝑥% es el porcentaje (30%), 𝑇 el total de mezcla (4 litros naranjada) y 𝑃 (la parte de jugo), se tiene, 𝑥% ∙ 𝑇 = 𝑃, si se saben dos variables se puede calcular

la tercera. Si se conocen 𝑇, 𝑃 entonces 𝑥% =𝑃

𝑇 . Si se conocen 𝑥%, 𝑃 entonces

𝑇 =𝑃

𝑥%.


21

1. ¿Qué cantidades de leche al 3% de nata y de leche al 6.2% de nata se necesitan

para hacer 100 litros de leche al 4%?

2. ¿Cuántos litros de una solución de sal al 30% deben agregarse a 10 litros de

igual solución al 16% para producir una al 20%?

3. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro de

60% para hacer un fertilizante con 34% de nitrógeno. Si hay 36 kg menos del

fertilizante de 60% que del de 20%, ¿cuántos kilogramos hay en la mezcla total?

4. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1200 litros de mermelada con 55% de azúcar. Si disponen de una mermelada con 30% de azúcar y otra

con 70%, ¿qué cantidad de cada clase de mermelada deben utilizar?

III. DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO.

A. Resolver las siguientes desigualdades. Graficar el conjunto solución en la recta de los

reales y expresarlo en notación de intervalos.

1. 𝑥 + 1 > 3

2. 2𝑥 + 17 ≤ 3

3. 𝑥 − 1 < 1

4. 5𝑥 + 2 > 3𝑥 + 3

5. 3𝑥 + 4 ≥ 𝑥 + 2

6. 3𝑥 − 1 < 𝑥 + 3

7. −𝑥 + 2 < 3𝑥 − 7

8. 7𝑥 − 4 ≤ 3𝑥 + 2

9. 4𝑥 − 5 < 𝑥 − 2

10. 2𝑥 + 7 > 3𝑥 + 5

11. 2𝑥−1

3+ 1 >

𝑥+1

2

12. 𝑥+3

4− 2 ≥

𝑥−1

3

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