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88

Preguntas propuestasPreguntas propuestas

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6

PRÁCTICA POR NIVELES

NIVEL BÁSICO

1. Resuelva la siguiente inecuación exponencial.

76 x – 5 ≥ 78 x – 9

A) ⟨2; +∞⟩

B) ⟨–∞; 2⟩

C) [2; +∞⟩

D) ⟨–∞; 2]

E) [0; 2]

2. El intervalo ⟨a; b⟩ es el conjunto solución de la

siguiente inecuación.

1

3

1

27

7 2

<

− x

Halle a b.

A) 1/4

B) 27

C) 4

D) 1/9

E) 8

3. Halle el rango de la función f si

f ( x)=22 x+3; x ∈ ⟨– 1; 2⟩

A) ⟨1; 7⟩

B) ⟨2; 128⟩

C) ⟨1; 64⟩

D) ⟨2; 256⟩

E) ⟨0; 64⟩

4. Determine el dominio de g si

g( x)=(0,5)3 x+1

Además su rango es1

84;

.

A) −

1 2

3; B) −

1 2

3; C) −

1

2

3;

D)2

32; E)

2

32;

5. Esboce la gráfica de la función f si

f ( x)=21 – x+1

A)

3

Y

X

B) Y

X 3

C) Y

X

3

D) Y

X

3

E) Y

X

2

6. Sean dos funciones

f ( x)=a x+2+1

g( x)= – 3 x

cuyas gráficas son

f

g

Y

X – 1

Halle f (a).

A) 5 B) 2 C) 28

D) 9 E) 17

NIVEL INTERMEDIO

7. El conjunto de la inecuación

3 277 13 x x−

>

es ⟨–∞; a⟩ ∪ ⟨ b; +∞⟩.

Halle ab.

A) 2 B) 13 C) 6

D) 4 E) 12

2

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Derechos reservados D. LEG Nº 822

Álgebra Funciones exponenciales

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7

Anual San Marcos Álgebra

8. Resuelve la siguiente inecuación.

0 25

1

2

2 1 2 1

,

x

x

x− −

≥

A) ⟨0; 2] B)1

2

2;

C) 0

1

2

;

D) [0; 2⟩ E)1

22;

9. Sea la función

f ( x)=3 x2 – 8 x+17; x ∈ ⟨3; 5⟩ y cuyo rango es [a; b⟩.

Halle ab.

A) 16 B) 27 C) 1

D) 8 E) 9

10. Sea la función

f x

x x

( ) =

− +1

2

2 2 3

cuyo rango es1

64

1

4;

. Halle el dominio más

amplio de f .

A) [– 1; 3] B) [– 3; 3] C) [– 1; 1]

D) [0; 3] E) [– 3; 1]

11. Esboce la gráfica de la función

f

x

x

( ) = −

−1

3 3

1

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

12. Resuelva la siguiente inecuación.

2

1 3

2

1 3

3 2 5 6

x x

x x

+ +

<

+ +

+ −

A) ⟨–∞; 4⟩ B) ⟨0; 4⟩ C) [– 1; 4⟩

D) [1; 4⟩ E) ⟨4; +∞⟩

NIVEL AVANZADO

13. Determine la suma de las soluciones enteras de

la siguiente inecuación.

3 1

23 1

2

5−

≥ +( ) x

x

A) – 15 B) 15 C) 10

D) – 10 E) 0

14. Resuelva la siguiente inecuación.

6 216

1

3

2 7

3

+−

≥

x

x

A) ⟨–∞; – 8] B) [– 8; +∞⟩ C) [–∞; – 8⟩

D) ⟨– 8; +∞⟩ E) ⟨0; – 8⟩

15. Sean las funciones

f ( x)=2 x – n – 3

cuya gráfica es

2 4

Y

X

f

Determine el área de la figura sombreada.

A) 18 B) 9 C) 7

D) 12 E) 8

Álgebra

3

rohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.


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11


NIVEL BÁSICO

1. Halle el dominio de la siguiente función.

f ( x)=log2(3 x+12)+log1/2(– x)

A) ⟨0; 4⟩ B) ⟨– 4; 0⟩ C) ⟨–∞; 0⟩

D) ⟨–∞; – 4⟩ E) φ

2. El dominio de la función

g( x)=log x – 3(10 – 2 x)

es ⟨a; b⟩ – {c}. Halle abc.

A) 30 B) 60 C) 45

D) 90 E) 40

3. Determine el rango de la función

f ( x)=log3(9 – 3 x)

si x ∈ ⟨– 6; 2].

A) [1; 3⟩

B) ⟨1; 3]

C) [1; 3]

D) ⟨1; 3⟩

E) ⟨0; 3⟩

4. El rango de la función

f

x x

x( ) ( )= −

−log ; ;1/2

7

1657 5

es ⟨a; b⟩. Halle ab.

A) 6 B) – 6 C) 3

D) – 3 E) – 2

5. Si ⟨ m; n⟩ el conjunto solución de la siguiente

inecuación logarítmica

log log5 5

2 7

37

x −

<

halle el valor de mn.

A) 98 B) 49 C) 56

D) 42 E) 63

6. Esboce la gráfica de la función

f ( x)=log2( x – 2)+1

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

NIVEL INTERMEDIO

7. Determine el dominio de la función

f x

x x x( ) log=

−+

−1

6

5

A) ⟨–∞; 6⟩ – {2} B) ⟨0; 6⟩ – {2} C) ⟨1; 6⟩ – {2}

D) ⟨2; 6⟩ E) ⟨1; 2⟩

8. Halle el rango de la función logarítmica

f ( x)=log3( x+2) – log3( x – 1)

si x ∈

83

80

5

2;

A) ⟨1; 4⟩ B) ⟨2; 4⟩ C) ⟨1; 3⟩

D) ⟨2; 3⟩ E)1

22;

9. El rango de la función

f

x

x

( ) =−

26 1 3

es 4 323 ; , indique su dominio.

A) ⟨2; 5⟩ B) ⟨1; 5⟩ C) ⟨– 5; 0⟩

D) ⟨– 5; – 1⟩ E) − −

14

31;

4



ÁlgebraFunciones logarítmicas

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12

Academia ADUNI Material Didáctico N.o8

10. Resuelva

log2(3 x –1)+log1/2 x≤ 1

A) ⟨–∞; 1] B) ⟨0; 1] C)1

31;

D) [0; 1] E)

1

3 1;

11. Determine la suma de las soluciones enteras

de la siguiente inecuación.

log log

2 1 2 1 13 6

19

2−( ) +( )−−( ) >

+

x

x

A) 18

B) 14

C) 10

D) 15E) 12

12. Sea la función logarítmica

f ( x)= klog3( h – x)

cuya gráfica es

Y

X

4

8

Halle f (–18).

A) 3

B) 6

C) – 2

D) – 1

E) 12

NIVEL AVANZADO

13. Halle el dominio de la función

f ( x)=log5(2+log1/3( x – 7))

A) ⟨1; 16⟩ B) ⟨5; 25⟩ C) ⟨7; 16⟩

D) ⟨3; 5⟩ E) ⟨1; 15⟩

14. El intervalo ⟨a; b] ∪ [c; +∞⟩ es el conjunto

solución de la inecuación

log3/4( x2 – 2 x – 11)≤ log0,75(2 x+10)

Halle a+b+c.

A) 5 B) – 3 C) 1

D) – 1 E) 4

15. Sean las funciones

f ( x)=2 x – a

g( x)=log1/3 x+7

cuyas gráficas son

Y

X n3

m

32

Halle m n+7 .

A) 7 B) 2/3 C) 4

D) 6 E) 1

Álgebra

5



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17


NIVEL BÁSICO

1. Sean dos rectas definidas como

L1: 3 y – 2 x=6

L2: 2 x – y=2 Si ( x0; y0) es el punto de corte de ambas rectas,

halle x0+ y0.

A) 6

B) 5

C) 7

D) 3

E) 12

2. Determine el área de la región solución del si-guiente sistema de inecuaciones.

x y

y x

y

+ ≤

− ≤

≥

2 8

1

0

A) 8 B) 13,5 C) 15

D) 10 E) 6

3.

Sea el siguiente sistema de inecuaciones

3 3

3

2

y x

x y

x

− ≤

− ≤

≥

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F)

respecto a las siguientes proposiciones.

I. (3; 1) es una solución del sistema.

II. (6; 3) es un vértice de la región factible.

III. (5; 1) no es solución del sistema.

A) VVV

B) VVF

C) VFF

D) FVV

E) FFV

4. Maximice la expresión f si

f ( x; y)= y – 3 x+5

considerando a la siguiente región factible.

Y

X

5

2

1

1 2 4 7

A) 10

B) 4

C) – 2

D) – 15

E) – 1

5. Mín f ( x; y)= x – 3 y+4

sujeto a

2 6

3 1

0 0

x y

y x

x y

+ ≤

− ≤

≥ ≥;

A) 1 B) 7 C) 4

D) – 7 E) – 3

6. Yosef Uriel desea invertir S/.2100 en la crianza

de pollos y pavos, para ello cuenta con un am-

biente de 40 m2. Cuando investigaba en internet

encontró la siguiente tabla

InversiónS/.

Espacio queocupa

Valor de venta S/.

Pollo 10 0,25 m2 20

Pavo 30 0,50 m2 50

¿Cuál será el máximo ingreso por ventas que

puede obtener?

A) 3400

B) 3500

C) 3600

D) 3700

E) 3800

6



ÁlgebraProgramación lineal

7/24/2019 ab1_2015_x_08.pdf


18


NIVEL INTERMEDIO

7. El sistema de inecuaciones

x y

y x

y x

+ ≤

≥− ≤

3 15

2

1

genera una región factible triangular cuyos vér-

tices son ( x1; y1);( x2; y2) y ( x3; y3).

Halle ( x1+ x2+ x3)( y1+ y2+ y3).

A) 42 B) 36 C) 52

D) 48 E) 38

8. Maximice f ( x; y)=500 x+300 y sujeto a

2 100

3 2 180

0 0

x y

x y

x y

+ ≤

+ <

≥ ≥;

A) 32 000

B) 14 000

C) 23 000

D) 28 000

E) 14 600

9. Maximice la función

f ( x; y)= x+2 y

sujeta a

x y

x y

x y

+ ≤

+ ≤

≥ ≥

3 9

2 8

0 0;

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

10. Minimice la función

f ( x)=3 y – 2 x+5

sujeta a

3 4 12

2 3 8

9

0 0

x y

x y

x y

x y

+ ≥

− ≤

+ ≤

≥ ≥;

Respecto a lo anterior, indique el valor de ver-

dad (V) o falsedad (F) de las siguientes propo-

siciones.

I. No podemos optimizar la función.

II. Existe solo una solución óptima.

III. Tiene infinitos valores óptimos.

A) VVV

B) VVF

C) VFV

D) FVV

E) FFF

11. Minimice la función

f ( x; y)=2 x+8 y

sujeta a

x y

x y

x y

+ ≥

− ≥

− + ≥

2 4

2 5 0

5 0

e indique la solución óptima del problema.

A)20

7

4

7;

B) (5; 2)

C) 209

89

;

D) (2; 7)

E) (7; 3)

12. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y

120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2

de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mu-

jer requiere 2 m2 de cada una de las dos te-

las. Calcule el número de trajes y vestidos que

debe confeccionar el sastre para maximizar

los beneficios si un traje y un vestido se venden

al mismo precio.

A) 30 trajes y 20 vestidos

B) 20 trajes y 30 vestidos

C) 25 trajes y 25 vestidos

D) 24 trajes y 28 vestidos

E) 18 trajes y 32 vestidos

Álgebra

7



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19

Anual San Marcos Álgebra

NIVEL AVANZADO

13. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La uni-

dad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de

plata, y se vende a $ 25. La de tipo B se vendea $ 30, y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo

se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas

joyas debe fabricar de cada tipo para obtener

el máximo beneficio?

A) 500 de oro y 100 de plata

B) 100 de oro y 500 de plata

C) 400 de oro y 200 de plata

D) 200 de oro y 400 de plata

E) 300 de oro y 300 de plata

14. Determine el máximo valor de

f ( x; y)=45 x+56 y

sujeta a

3 4 4000

4 5 5200

1200

0 0

x y

x y

x y

x y

+ ≤

+ ≤

+ ≤

≥ ≥;

e indique la solución óptima.

A) (0; 0)

B) (1200; 0)

C) (800; 400)

D) (0; 1000)

E) (600; 600)

15. El municipio de Los Olivos tiene un presupues-

to de $ 2 160 000 para comprar equipos nuevos.

Se ha estimado que la generación de residuos

del municipio está cerca de las 42 toneladas

métricas. En el mercado existen dos tipos de

camiones para este trabajo (el rectangular y

el cilíndrico), cuyos costos son de $ 180 000 y

$ 360 000, respectivamente. El primero reco-

lecta 5000 kg y el segundo, 7000 kg. Los costos

diarios de operación de cada vehículo son de

$ 200 y $ 300, respectivamente; mientras quelos costos de la mano de obra son $ 600 y $ 300,

y no desean superar los $ 4500. Determine la

adquisición correcta para minimizar los costos

de operación.

A) 4 rectangulares 3 cilíndricos

B) 7 rectangulares 1 cilíndrico

C) 6 rectangulares 1 cilíndrico

D) 6 rectangulares 3 cilíndricos

E) 3 rectangulares 4 cilíndricos

Álgebra

8



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20


37

SEMANA

Problemas resueltos

1. Sean las funciones f ( x)= x

2+3 x – 7

g( x)=4 x+13 Si sabemos que ambas funciones se cortan en2 puntos, determine la ecuación de la rectaque pasa por el punto de corte de mayor orde-nada y el punto (3; 7).

Resolución

Determinemos los puntos de corte de las fun-ciones

f ( x)= g( x)

x2+3 x – 7=4 x+13

x

2

– x – 20=0 ( x – 5)( x+4)=0 x=5 ∨ x= – 4

Los puntos de corte son • (5; g(5))=(5; 33) • (– 4; g(– 4))=(– 4; – 3)

El punto de corte de mayor ordenada es (5; 33).Nos piden la ecuación de la recta que pase poreste punto y (3, 7); esta ecuación es de la forma y=mx+n

Evaluemos en (5, 33) 33=5 m+n (I)

Evaluemos en (3, 7) 7=3 m+n (II)

De (I) – (II) 26=2 m m=13

Reemplazando en (II) 7=3(13)+ n n=– 32

Por lo tanto, la ecuación es y=13 x – 32

2. Determine el cardinal del conjunto solución dela siguiente ecuación

x x+ − + =1 8 2

Aplicaciones de las funciones

Resolución

La ecuación es equivalente a

x x+ = + +1 8 2

Resolvamos por el método grafico, para ello

consideramos f ( x)=| x+1|

g x x( ) = + +8 2

Grafiquemos ambas funciones.

Y

2

– 8

f

g

X

Observamos dos cortes entre ambas gráficas Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones.

3. Grafique la función

f x x x x x( ) = − + + − +

2 28 16 12 36

Resolución Operemos la regla de correspondencia.

f x x

x( ) = −( ) + −( )4 62 2

f ( x)=| x – 4|+| x – 6|

A partir de la definición del valor absoluto y un

estudio por zonas se tiene

f

x x

x

x x

x( )

;

;

;

=

− >

≤ ≤

− + <

2 10 6

2 4 6

2 10 4

Al graficar cada subregla se tendrá

Y

X

10

2

4 6

Álgebra

9



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21


NIVEL BÁSICO

1. Si se sabe que f ( x+2)=ax+b, f (2)=4 y f (– 1)= – 5,

halle el valor de 2a – b.

A) 2 B) 4 C) 0

D) 6 E) – 2

2. Si f es una función cuadrática que satisface las

condiciones f (0)=5, f (1)=4 y f (–1)=10, halle f (2).

A) 19 B) 10 C) 13

D) 7 E) 15

3. Halle el dominio de la función f , definida por

f x x( ) ln( )= − −1 6

A) ⟨∞; e+6⟩ B) ⟨∞; e+6] C) ⟨6; e+6⟩

D) ⟨6; e+6] E) [6; e+6]

4. Halle el rango de la función f ( x)= – x2+6 x+3 si

se sabe que su dominio es el conjunto de los

números reales.

A) [12; +∞⟩ B) ⟨–∞; 12] C) [– 6; +∞⟩

D) ⟨– ∞; – 6] E) ⟨–∞; 0]

5. Halle el mínimo valor de la función

f ( x)=16 x2 – x+1

A) 2 B) 4 C) 8

D) 16 E) 32

6. Halle el conjunto solución de la siguiente

inecuación.

( x2+2) x2 ≤ ( x2+2)2( x+4)

A) ⟨– 2; 4⟩

B) ⟨– 4; 2⟩

C) [– 2; 4]

D) [– 4; 2]

E) [0; 4]

NIVEL INTERMEDIO

7. Sean f y g dos funciones definidas por

f g x

x

x

x

( ) ( )

= =

− −

2 1

2

2 22

y

∀ x ∈ [– 2; 2]

La suma del valor mínimo de f con el valor

máximo de g es igual a

A) 5/4 B) 17/4 C) 9/4

D) 33/4 E) 13/4

8. Sea f una función cuya gráfica es una recta. Si

f (2)=2 y f (4)= – 2, determine f (– 2).

A) 2 B) – 2 C) 10

D) 12 E) 8

9. La tabla adjunta muestra parte del dominio y

rango de una función lineal f.

x 2 3 5 b

f ( x) 11 a 17 27

Halle la suma de a y b.

A) 23 B) 15 C) 27

D) 74 E) 35

10. Si los puntos (0; – 3) y (–1; 3) pertenecen a la

gráfica de la función cuadrática

f ( x)= m( x – 1)2 – p, halle m+p.

A) 5 B) 2 C) 6

D) 7 E) 9

11. Sea la función real

f

x

x x( ) =

+

−

5

5

Si g es la función inversa de f , halle g(6).

A) 4

B) 9

C) 7

D) 1

E) 6

Álgebra

10



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22


12. Halle el producto del máximo y mínimo valor

que la expresión f toma si:

f x x x x( ) ; ;= + + − ∈ −[ ]2 2 2 2

A) 4 B) 8 C) 4 2

D) 12 E) 8 2

NIVEL AVANZADO

13. Sea f una función definida por

f

x

x x x a a( ) log log=

+−

+ +

5

6 2

3

1

donde a>1,cuyo dominio es un intervalo de la

forma ⟨– p; q⟩. Halle p+q.

A) 6 B) 5 C) 4

D) 3 E) 7

14. La gráfica de la función real

f ( x)= x3+5 x2+(a – 7) x+1 –a

corta el eje x en el único punto ( b; 0).

Halle a+b si a es el menor entero posible.

A) 12 B) 13 C) 10D) 11 E) 9

15. Halle el área de la región determinada por el

gráfico de la relación

R x y x y

x= ( ) ∈ ≤ ≤ +{ }; R

2

23

A) 6

B) 9

C) 12D) 24

E) 18

Álgebra

11



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Anual San Marcos

FUNCIONES EXPONENCIALES

PROGRAMACIÓN LINEAL

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES

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