¿A qué llamamos números enteros? ¿Para qué se utilizan? ¿Cómo se ... · TÉRMINO ALGEBRAICO...
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1 Material compilado por DEMETRIO ANTONIO LU
Números enteros positivos y negativos En la vida se nos presentan muchas veces situaciones que no pueden expresarse mediante los números naturales. En este caso se necesitan otro tipo de números, que son los números enteros.
¿A qué llamamos números enteros? ¿Para qué se utilizan? ¿Cómo se representan?
Como podemos apreciar en la gráfica, en la recta real se encuentran cantidades positivas y negativas, siendo eso así al momento de resolver operaciones, se nos pueden presentar las situaciones.
Primera: Relacionar cantidades del mismo lado de la recta numérica; cantidades de signo igual.
Segunda: combinar cantidades de signos diferentes
Este esquema representa un edificio de apartamentos con cuatro niveles superiores, la planta baja y tres niveles de estacionamiento.
Un vecino decide acudir de visita a otros residentes del mismo edificio y hace el siguiente recorrido.
Operaciones con números enteros positivos, negativos.
En la recta numérica, de los enteros, se encuentran cantidades positivas y negativas, siendo eso así al momento de resolver operaciones, se nos pueden presentar tres tipos de operaciones; que nos soliciten combinar dos positivas, dos negativas o que combinemos negativa con positiva.
Para realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros
(Z) debes las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).
a. Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y
conservar el signo.
b. Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y
conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto
(recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo
cual significa que se debe considerar el número sin su signo).
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110901_numeros_enteros.elp/index.html
https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/158/Numeros-enteros-positivos-y-negativos
https://primergradosecundariamatematicas.wordpress.com/numeros-positivos-y-negativos/
Punto de inicio Punto de parada
De la planta +1 y sube 2 plantas
De la planta -2 sube 9 plantas
De la planta -1 baja 1 planta
De la plata +9 baja 4 plantas
De la planta -9 sube 5 plantas
De la planta -2 sube 6 plantas
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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
RESUELVA APLICANDO LA REGLA (NO OLVIDE COLOCAR EL SIGNO A SU RESPUESTA)
- 5 + (– 14) = 5 + (-9) = -9 + (+2) =
− 6 − 4 – 5 = 7 + 6 + 9 + 4 = 9 + 4 + 9 =
24 + (-6) -2 + (+9) = −14 + (6) + (+9) = 9 + (+8) + (-9) =
(9 + 4 + 6) + 1 + 2 = - 5 + (– 14) - (−9) + (-8) = + 12 + 9 + 87 =
(+2) + (+9) = 15 + (-9) = ((-2) + (-9)) + (6) + (+9) =
– 9 +(– 8) = 8 + (– 9) = (2 + 9) + (− 5) =
(+6) + (+9) = -12 + (+9) = (−9) + (4 + 6) =
12 + 25 = 5 + (– 51) = (2 + 9 + 8) + (4 + 6) =
12 + (+9) = 5 + (-9) = -9 + (+2) + (9) + (-6) =
(-2) + (-9) = -9 + (+2) = 14 + (-6) + (−9) + (−5) =
SUSTRACCION DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Como se indicó al inicio, en la recta real se encuentran cantidades positivas y negativas, por ello se hace necesario
prestar especial cuidado al momento de resolver operaciones en este conjunto numérico, ya podríamos equivocarnos al
momento combinar las cantidades.
Para restar enteros, cambia el signo en el entero que se va a restar.
Ejemplo: 14 - (-6) = 14 + 6 = 20
Ejemplo: -14 - (+6) = -14 - 6 = -20
Ejemplo: 14 - (+6) = 14 - 6 = 8
Ejemplo: -14 - (-6) = -14 + 6 = -8.
RESUELVA APLICANDO LA REGLA (NO OLVIDE COLOCAR EL SIGNO A SU RESPUESTA)
(−3) – (8) = 8 – (+5) = 15 – (-3) =
-12 – (+3) = − 4 – (- 5) = 3 – (− 5) =
1 – (+2) = 3 – (-4) = + 3 – (– 8) =
- 5 – (– 14) = 5 – (-3) = -3 – (+2) =
14 – (-6) = −14 – (6) = − 3 – (+8) =
+ 9 – (– 8) = - 5 – (– 14) = 5 – (-9) =
1 – (+2) = 9 – (-4) = -9 – (+2) =
14 – (-6) = −18 – (6) = − 9 – (+8) =
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APLICANDO LA REGLA, CALCULA Y COMPLETA CON SIGNO Y NÚMERO
5 – (– 51) = 15 – (-3) = (+2) – (+3) =
-12 – (+3) = 5 – (-3) = 12 – (+3) =
(-2) – (-3) = -3 – (+2) = 12 – 25 =
8 – (– 3) = (+6) – (+3) = 3 – (− 5) =
14 – (-6) = (−3) – (−5) = (+21) – (+13) =
TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es
un término algebraico. En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos:
Signo términos positivos + términos negativos – Coeficiente el número que se le coloca delante. El coeficiente indica el número
de veces que dicha cantidad ha sido considerada. Parte literal las letras que haya en el término. Grado es el exponente de las letras que componen la parte literal.
I- Coloca cada elemento del términos donde le corresponda
TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL
GRADO
relativo absoluto
-23a3b2
26n4
- abc6
60x4y3
VISITE: http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Expresiones_algebraicas
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EXPRESIÓN ALGEBRAICA es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos; Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
ENCIERRE EN UNA ELIPSE. Seleccione el tipo de expresión algebraica de acuerdo a la cantidad de términos.
18n9 + xy + 2x2
n - 5y9+29n5yz9 – 9n + 26n4
9a9b4 - 19n2+
9a2b5 + 7y2 - abc6 + 6x2 + 98y
De cada expresión coloca el primer término de cada elemento de los términos donde le corresponda
TERMINO SIGNO COEFCIENTE PARTE LITERAL
ELIMINACIÓN O SUPRESIÓN DE SIGNOS AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad. Se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero.
Suprima los signos de agrupación y reduzca (sume o reste, según sea el caso) cada uno, aplique la regla de los signos
(-5) + (-4) + (-90) + (+70) = (+50) - (-8) - (+1) - (-9) =
(-9) + (-20) + (+6) + (-8) = (-2) + (-18) + (-5) + (+7) =
(-1) + (+8) + (-5) + (+7) = (-5) + (+7) + (+12) + (-8) =
Una expresión algebraica es un conjunto de números y de letras separados por
los signos de las operaciones aritméticas
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MULTIPLICACION DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego
multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:
MULTIPLIQUE LOS NÚMEROS Y LUEGO MULTIPLIQUE LOS SIGNOS
(+2)(+3) = (-1) (5) (-3) = (-2) (-3) (6) (+3) =
(12)(+3) = (5) (-6) (-3) = (-3) (+2) (-3) (-6) =
(-6)(-2)(-3) = (-3) (-6) (+2) = (-4) (-6) (−3) (−5) =
(−3)(−5) = (14) (-6) = (– 4) (– 8) (−3) (−5) =
APLIQUE LA REGLA PARA ENCONTRAR LOS SIGUIENTES PRODUCTOS
(+21)(+13) = (3) (− 5) = (-7) (-6) (−3) (5) =
(– 3)(– 8) = (8) (– 3) (-6) = (2) (+ 3) (− 5) =
(+6)(– 3)(+3) = (-12) (+3) = (−3) (4) (6) =
(12)(2)(5) = (5) (– 1) = (2 + 3) (4 + 6) =
(+6)(– 9)(+9) = (-12) (+9) = (−9) (4) (6) =
DIVISIÓN DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
¿CÓMO SE HACE?
REGLA PARA LA DIVISION DE
ENTEROS POSITIVOS Y
NEGATIVOS
Si dividimos (dos) signos iguales,
el resultado es positivo, por el
contrario al dividir (dos) signos
diferentes el cociente es negativo
Para hallar el cociente de dos enteros se divide sus valores absolutos, si ambos factores tiene el
mismo signo el cociente será positivo, en caso de ser diferentes el cociente será negativo
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DESCARGUE Y RESUELVA EN https://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/division_enteros.pdf
DIVIDA
+2 entre +3 = -1 entre 5 = -3 entre 6 =
12 entre +3 = -6 entre -3 = +2 entre -3 =
-6 entre -2 = -6 entre +2 = -4 entre -6 =
−3 entre −5 = 24 entre -6 = – 4 entre – 8 =
+24 entre +3 = -63 entre 7 = -14 entre -2 =
54 entre -6 = -3 entre -5 = +5 entre -40 =
HTTPS://EKUATIO.COM/APUNTES-DE-MATEMATICAS/NUMEROS-ARITMETICA/INDICE-LOS-NUMEROS-ENTEROS/COMO-MULTIPLICAR-Y-DIVIDIR-NUMEROS-ENTEROS/
ORDENAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de una letra determinada van
aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre
de letra ordenatriz.
I. Ordene los siguientes polinomios de manera DESCENDENTE.
Por ordenar ORDENADO
4x2 + 2x + 9x9 - 9x4 - 9x4+ 9x9 +4x2 + 2x
20x9 - 5x + 9x2 - 27
2a – 12a2 + 10
-3m² + m⁵ + 10m³ + 16 + 2m⁴ - m
9n9 – 4m4n + 4m5 + 9m9n2 II. Ordene los siguientes polinomios de manera ASCENDENTE.
Por ordenar ORDENADO
4x2 + 2x + 3x3 - 9x4 2x + 4x2 + 3x3 - 9x4+
2x4+ 10 - 12x2y2
3x + x3 + x2
4x2 - 32x + 60 + 2x3
III. Ordene los polinomios de la segunda parte esta vez de manera DESCENDENTE
OBSERVE QUE LOS SIGNOS DE LOS RESULTADOS VARIAN SEGÚN LA OPERACIÓN
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https://educacion.elpensante.com/como-ordenar-un-polinomio/ http://matematicasdeacentavo.blogspot.com/2009/05/como-ordenar-polinomios.html https://algebra2016.wordpress.com/tag/ordenar-un-polinomio/ REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a los que tienen exactamente la misma parte literal, es decirlas mismas letras y cada una con los mismos exponentes.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman los coeficientes numéricos, si tiene el mismo signo, o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.
Procedimiento:
1. Se agrupan los términos semejantes
2. Se suman o restan los coeficientes (parte numérica)
3. Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.
Importante: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar
81 + 7y + 102 + 65y 17mx³ - 19mx³
x + 2x - 9x - 4x + 4x 5a – 8b + a – 6b + 21b
25x + 12x - 91x - 8x +5x 2n -9n -5m
12mn -29mn -5mn 5y + 6y – 81 + 7y + 102 + 65y
49mx³ + 7mx³ - 17mx³ - 19mx³ 2x2 - 4x2 + 2x2
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
2x + 18x 2y + y
3a + a - 3x - 2x – 9x
5b + 2b – 8b 6x + 7x – 3x
3x - 5x 7x + 3x - 5x + x
5x + 2x - 4x + 8x 8b – 3b + 4b + b
81 + 7y + 102 + 65y 17mx³ - 13mx³
x + 2x - 9x - 4x + 4x 5a – 8b + a – 6b + 21b
25x + 12x - 31x - 8x +5x 2n -3n -5m
12mn -23mn -5mn 5y + 6y – 81 + 7y + 102 + 65y
43mx³ + 7mx³ - 17mx³ - 13mx³ 2x2 - 4x2 + 2x2
-mn +14mn -31mn -mn +20mn - x2y - 8x2y - 9x2y - 20x2y
ax + 3ax +8ax 7y + 102 + 65y
2n + n2 + 3 - 3n +n2 + 2 6x3y - 6xy + 35x2y +8x2y - 9x3y - 20xy
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VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRÁICA
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir la letra por un número y hacer los cálculos
Con la oleada de aparatos y servicios prepago escuchamos por todos lados, términos que sugieren la compra de estos servicios, y en sus anuncios es costumbre escuchar, esta o tal empresa duplica, triplica, cuadriplica y en raras ocasiones quintuplica. Esta práctica tiene un uso similar en el álgebra.
Así tendremos: la expresión algebraica 2x, 3x, 4x.dependiendo de la oferta en la fecha de ingreso. Es decir: dos veces el valor de la tarjeta en lenguajes algebraico seria 2 (por) el monto de la tarjeta.
Veamos con tu tarjeta de B/2.00, triplica ¿cuánto recibes de tiempo aire? Y si fuese cuadriplica ¿cuánto recibes de tiempo aire? O sea tus dos balboas, por x (equis).
Si tu tarjeta es de B/5.00 si duplica ¿cuánto recibes de tiempo aire? Y si fuese cuadriplica ¿cuánto recibes de tiempo aire?
Valor de la tarjeta
Oferta Expresión
algebraicas
Recibes en tiempo aire
2.00 duplica 2x 2.00 por 2 = 4.00
3.00 triplica 3x 3.00 por 3 = 9.00
5.00 cuadriplica 5x 5.00 por 4 = 20.00
Valor numérico de una expresión algebraica. Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.
Jerarquía de las operaciones 1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de fracción.
2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a
derecha.
3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
EJEMPLOS 1. 3m; cuando m = 3;
3 por 3 = 9
2. 2x; cuando x = 3;
2 por 3 = 6
3. 5a; cuando a = 3;
5 por 3 = 15
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ACTIVIDAD FORMATIVA
Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de a = 1, b = 3, c = 4, x = 2 e y = 5
4x – 5y 20a + 12b – c +5e 12x3 + 3x2 − 2x − 6
Calcula el valor numérico si: m = 3; n = 2; r = 1; s = 3; t =4
5m + 7n - 4s = 3n +6s - 4t = - 5r + 2t - 5s = - 7r + 3t - 2s =
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de a = 1, b = 3, c = 4, x = 2 e y = 5
5 x = 4x – 5y
2 x3 = y3 + 3y2 – 2y + 56 =
y3 = 3a + 4c - 2e =
2e = 4 a3+ 8 b – 4 =
4 x3+ 8 x - 4 = 3b2 – 2e − 6 =
Calcula el valor numérico si: m=3 n=2 s=3 t=4
- 5n + 4t - 5s =
4m + 3n + 3s - 2t =
2m + 2n - t + 2s =
- 2m + 4n + 5s - 3t =
Calcula el valor numérico para los valore de t=3 r=2 s=4
-2t + 3r - 2s
5t - 2r + 4s
3r + 3s - 2t =
2n - t + 2s =
Reducir los términos semejantes y hallar el valor numérico del resultado para los siguientes valores
a = 2; b = 3, c= 10; x= 5; y = 4; m = 2/3; n = 1/5
4x – 5y- 3y + 6y – 8y – x + y
3m - 5n + 6 - 6m + 8 - 20n + 12m – 12
nx + cn – ab – 8nx + ab – 2 cn
x4 – y4 -5x2y – 8 + 2x4 – 7x3y + 10xy3
a3 + b3 – 3a2b + 8ab2 – b3 – 5a3 – 6ab2
HAZLO TÚ
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HAZLO TÚ Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de a = 1, b = 3, c = 4, x = 2 e y = 5
5x = 2xy =
2x3 = 2x + y =
3a + 4c = 3ace =
3a + b = y3 =
2e + y = 4a3+ – 4 =
4x3+ 8 x - 4 = 3b2 – 2e − 6 =
x3 + 3x2 − 2x − 6 = y3 + 3y2 – 2y + 56 =
2x − 6 = 3b2 + 2e + 6 =
8b – 4 – 2e − 6 =
3a + 4c - 2e = 8b
NOTA
Regresando a las promociones de las tarjetas de servicios prepagos. Si una de las empresas que brinda servicios de telefonía móvil
decidiera considera la expresión algebraica 3x +1; para las promociones en tiempo aire (saldo). Lo que se puede traducir como tres
veces el valor de la tarjeta más la constante 1.
FORMULAS-VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRÁICA
Existen expresiones algebraicas de mucha utilidad (suele usarse mucho) en otras ramas del saber, estas expresiones
(formulas) se utilizan para determinar valores que se son de mucha utilidad para la solución de problemas que se nos
pueden presentar. Lo único que hay que hacer es sustituir los valores que tenemos en la expresión algebraica,
FORMULAS DE LA FISICA (algunas) EJEMPLOS
Formula de FUERZA http://leyesdnewton1727.wordpress.com/ejerci
cios-resueltos-2/
Una fuerza le proporciona a la masa de 2,5 Kg. una aceleración de 1,2 m/s2. Calcular la magnitud de dicha fuerza en Newton y dinas HALLAR LA FUERZA para a = 1,2 m/s2 y m = 2,5kg.
¿Qué aceleración adquirirá un cuerpo de 0,5 Kg. cuando sobre él actúa una fuerza de 200000 dinas?
F=(a)(m) M=F/a A= F/M
F= fuerza M= MASA a= ACELERACION
ÁREA= b x h
siendo b el valor de la base y h la altura
El área de un triángulo es
El valor de su área es:
Área = b x (h)altura Área = largo x ancho
Encuentra el área del rectángulo cuya base mide 5 y la altura mide 12.
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Suponiendo que tenemos un triángulo cuya longitud de la base es de 2cm y su altura es de 3cm.
Encuentra el área del triángulo cuya base mide 5 y la altura mide 12.
Formula de VELOCIDAD Intensidad de corriente
Velocidad Distancia:
Tiempo Donde (I) intensidad de corriente Q (Carga eléctrica) (T) tiempo
V= D/T D= V.T T: D/V I= Q/T Q= T.I T= Q/I
Aceleración
a= Aceleración Vf=Velocidad final (Km/hrs2)
Vi =Velocidad inicial g= Gravedad T= Tiempo
a= Vf-vi/T
Vf= vi+a.t vi=vf-a.t
http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Fuerza_concepto.html
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por ejemplo, para combinar
términos semejantes en tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún
signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las
cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un
todo, o sea, como una sola cantidad. Se usan para cambiar el
orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de
ellos deben realizarse primero.
Estos signos se usan para mayor claridad en los casos en que una expresión que ya tiene uno o más signos agrupación. Por
lo general, y aunque se pueden colocar en cualquier orden, es usual observarlos de la siguiente forma:
Podemos suprimir signos de agrupación que incluyan operaciones diversas, tenemos en cuenta las siguientes reglas.
1. Si un signo de agrupación está precedido del signo más (+), al quitar dicho signo, los términos incluidos en él, salen
con el mismo signo.
2. Si un signo de agrupación está precedido del signo menos (-), los términos que están incluidos en él, salen con
signos cambiados, (sólo se aplica para suma y resta)
3. Se eliminan o suprimen los signos de agrupación de adentro hacia afuera
4. Se resuelven las operaciones de suma y resta que resulten, según lo estudiado.
EJEMPLOS
Eliminar los signos de agrupación y luego reducir.
2x-(-4x+5x)
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Notemos que el paréntesis está precedido del signo (-), entonces tenemos
= 2x+4x-5x
= x
RESUELVA. Elimine los paréntesis y reduzca los términos semejantes
(52p2 – 3p + 57)+ (4p2 + 2p −11)=
(6mn3 +1− 4m3n + 8a – 2n2) + (5m + 2n2 – 3mn3 + 9 − m3n) + (11m3n – 7mn3 + 2) =
(5y2 – 3y + 7)+ (4y2 + 2y −11) =
(5w2 – 3w + 7) - (4w2 + 2w −11) =
En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión, utilizamos diferentes
símbolos de agrupación.
De este modo, por lo general no escribimos , sino .
Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.
2a-{(-4a+5a)}=
RESUELVA. Elimine los paréntesis y reduzca los términos semejantes
{(52m2 – 3m + 57)+ (4m2 + 2m −11)}=
(6ab3 +1− 4a3b + 8a - 2b2) + {(5a + 2b2 − 3ab3 + 9 − a3b) + (11a3b − 7ab3 + 2)} =
-{-(5x2 − 3x + 7)+ (4x2 + 2x −11)} =
http://dealgebra.blogspot.com/2012/11/signos-de-agrupacion.html
OPERACIONES CON MONOMIOS
Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
Sumar:
1. m, 2m 2. 5xy, —3xy
3. a , -2a, 9ª 4. -x3, 4 x3, -2 x3
5. – 2m2 , – 7m2 6. - 3a2b, 4 a2b, - 6 a2b
7. 6x2y2 , – 12 x2y2 8. 3b, - 2b, – 5b, 9a
9. a2 , b2 , – 2 b2
Importante: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar
Recuerda siempre tomar en cuenta la REGLA DE LOS SIGNOS, también conocida como la ley de los signos.
Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará la operación un ejemplo es, las operaciones que están entre paréntesis son las que se realizarán primero.
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Resta de monomios Para restar monomios se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Hay que tener en cuenta que solamente
se pueden restar los monomios que son semejantes.
Restar de
1. 2x2y3z de 3x2y3z 2. 2x3 restar − 5x3
3. 3x4 de + 7x4 4. 3a2bc3 restar − 2a2bc3
5. 2a2bc3 de −5 a2bc3 6. 2x4 restar -3x4
7. 2x3 de -5x3 8. - 2b restar – 5b
9. de -3xy 10. 5xy restar -3xy
Producto-Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte
literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.
(2x3) · (5x3) = (−2x3) · (−5x) · (−3x2) =
(12a3) · (4a) = (−2x3) · (12x3) · (−3x2) =
(5x2y3z) · (2y2z2) = (x2y3z) · (4x) =
(18x3z5) · (6x3yz2) = (a2 )· ( b2 ) · (– 2 b2) =
(36y7z4) · (12x2y2) = (− 2a2bc3) · (2y2z2) =
(12x3) (4x) = (18x6y2z5) · (6x3yz2) =
(3a2bc3) · (− 2a2bc3 ) = (4x2y3z) · (3y4z2) =
(5xy) · (a2bc3) = (2a2bc3) · (−5 a2bc3) =
División-Cociente de monomios.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.
Sólo se pueden dividir monomios cuando:
Tienen la misma parte literal
El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor
(48x4) : (-12x) = (32a2bc3) : (− 2a2bc3 )=
(12x3) : (4x) = (− 24x2yz3 ) : (6x3yz2) =
(18x6y2z5) : (6x3yz2) = (− 22a2bc3y2z2) · (2y2z2) =
(36x3y7z4) : (12x2y2) = (8x3y4z2 ) : ( 2x2y2z2 ) =
(10x6) : (5x3) = (-6x3y7z4) : (-2x2y2) =
Se llama producto al resultado de
una multiplicación.
También sabemos que
los valores que se multiplican
se llaman factores
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OPERACIONES CON POLIMONOMIOS
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO
Un Polinomio, es una expresión algebraica formada por sumas y restas entre monomios. Los monomios que conforman un polinomio se denominan términos del polinomio. Un polinomio recibe un nombre según la cuantidad de términos que tiene y se clasifica en:
Binomios: expresiones algebraicas que constan de dos términos únicamente. Por ejemplo 2a+3
Trinomios: expresiones algebraicas que constan de tres términos únicamente. Por ejemplo: 3x+3y-5z.
Polinomios: expresiones algebraicas que tienen más de tres términos. Por ejemplo: -2x-3y+7z-12p.
Polinomio Ordenado: un polinomio se puede ordenar de acuerdo con una de sus variables. El orden se puede establecer en forma ascendente o descendente.
*Orden Descendente: un polinomio se ordena de forma descendente con respecto a una variable cuando los exponentes de la variable aparecen de mayor a menor.
*Orden Ascendente: un polinomio se ordena en forma ascendente con respecto a una variable, si los exponentes de la variable aparecen de menor a mayor en los términos del polinomio.
Visite http://www.algebra.jcbmat.com/id1082.htm El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus términos.
Ejemplos.
5 + 2x − 6x2 + 8x3; el grado es 3. O sea el exponente mayor de los términos.
2x4 +2x3 +10x 2 − 8x −1 el grado es 4
14 + 7x3m4 +12m + 8x2m − 7x5m3 + 5xm2 el grado con respecto a x es 5
Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de
manera descendente (posicionándola de mayor a menor grado) o de forma
ascendente (ubicándola de menor a mayor grado).
El polinomio 2x2 − 9 + 6x4 − 5x3 +10x ordenado de forma descendente es: 6x4− 5x3 + 2x2 +10x – 9 El polinomio 8x2 y2 +12 − 7x3 y + 5xy3 ordenado de forma descendente con respecto a x es: − 7x3 y + 8x2 y2 + 5xy3 + 12
Completar un polinomio es añadir los términos intermedios que falten poniendo de coeficiente 0.
Suma de polinomios
Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (+), dejando el mismo signo de cada
uno de los términos que se hallan dentro de él y se REDUCEN los términos que sean semejantes.
Ejemplo resuelto
(5x2 − 3x + 7)+ (4x2 + 2x −11)= 5x2 − 3x + 7+ 4x2 + 2x −11 = 9x2 − x – 4
(52a2 − 3a + 57)+ (4a2 + 2a −11)= 52a2 − 31a + 57+ 4a2 + 2a −11 = 56a2 − 29a + 46
RECORDEMOS QUE
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HAZLO TÚ
(6k + 3k2 − 7k4 − 8)+ (5k2 +12k3 + 2k5 − 4k) =
(6ab3 +1− 4a3b + 8a - 2b2)+ (5a + 2b2 − 3ab3 + 9 − a3b) + (11a3b − 7ab3 + 2) =
Resta de polinomios
Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (-), cambiando el signo de cada uno de
los términos del sustraendo y se simplifican los términos que sean semejantes.
(9x3 + 4x 2 + 5x − 2)− (7x3 − 2x 2 − 6x + 5) = 9x3 + 4x 2 + 5x − 2 − 7x3 + 2x 2 + 6x – 5 = 2x3 + 6x 2 + 11x – 7
(5a + 2a 4 − 9a5 − 4a3 +14)− (3a 2 − 7 + 5a3 − 4a 6 − 9a 4 + 3a)
Producto de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los términos del polinomio por el
monomio, es decir, es una suma de producto de monomios.
2x2(5X4 − 3x3 + 7x2 + 2x −8)= 2x2(5x4) − 2x2(3x3)+ 2x2(7x2)+ 2x2(2x) − 2x2(8)
(− 5a3b2)(9ab4 +10a3b5 − 2a2b + 6 + 3a − 7b2)=
Multiplicación de dos polinomios
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, esto es, se multiplican
todos los términos del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero y se
reducen los términos semejantes. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición.
(3x2 − 5x + 6)(4x2 − 7x + 2)=
(4a2 −12ab + 9b2)(16a2 − 4b2)
(2yz2 − 5yz3 −1)(3yz4 + 5y3z − 6z2 − y)=
División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del dividendo por el divisor, es decir, es
una suma de cociente de monomios.
El polinomio minuendo se ordena
Al polinomio sustraendo se le cambian los signos
La solución será otro polinomio, donde se redujeron los términos semejantes
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http://laescuelaencasa.com/matematicas-2/polinomios/clase-1-expresiones-algebraicas/#lenguaje-aritmetico-y-
lenguaje-algebraico
Multiplicación de polinomio por monomios
Para efectuar el producto de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cado uno de los términos del polinomio por ejemplo el siguiente producto:
En general se toma en cuenta los siguientes pasos: 1. Se ordena el polinomio de forma decreciente o creciente.
2. Se aplica la propiedad distributiva del producto; si así lo prefiere.
3. Se efectúa la operación de producto entre el monomio y polinomio.
Por ejemplo: (-2X³). (3X-X⁶+X²+8);
Primero se ordena el polinomio en este caso de manera descendente (-X⁶+X²+3X+8) (-2X³);
Se coloca el polinomio como multiplicando y el monomio como multiplicador y seguidamente multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.
(-X⁶+X²+3X+8) (-2X³) = -2x9 + 2x5 + 6x4 – 16x3. La importancia de ordenar se aprecia en el resultado.
Otra manera de resolver un producto de un monomio por un polinomio es escribiendo el monomio debajo del polinomio y se efectúa la operación de producto.
HAZLO TÚ
3m2 + 7n5por- 6m2n= -8y3 + 9y3 por - 6y3 = +3m7-2m6-2m5+4m4por mn =
a2+2ab por -b2= x2+2xy por -x2 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4por ab =
(2p5+3p4-2p3-p2)(-2p) (7x5+3x3+4x2) (-2x) (4x5y3- 2x2y)(16xy) =
(4c8-2c5+4c4)(ab) = (-2a3 + 5a3) (- 6x3) = (5x2 + 4y5) (- 6x2y)=
Web grafía
En estas páginas web
http://www.mivideo.org/index.php?option=com_content&view=category&layout=blog&id=56&Itemid=154
http://www.vadenumeros.es/tercero/operaciones-con-polinomios.htm
UNA VEZ MÁS Le recordamos solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar
Debes tener en cuenta:
1.- La ley de los signos.
2.- Producto de potencias de la misma base se suman los exponentes
Ahora se debe ordenar. De acuerdo a los criterios preestablecidos.
-12a5b3c6+ 14a4b4c5+ 8a3b4c8+2a3b6c4.
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http://milibroelectronico.com/flash/Suma%20y%20resta%20de%20terminos%20semejantes.swf
Hay publicado material que puede ser de mucha ayuda
Lo invitamos a visitar principalmente http://www.algebra.jcbmat.com/ donde está
publicando el procedimiento y solución, paso a paso de ejercicios y problemas
enunciados en el libro de álgebra del profesor Aurelio Baldor! Si necesita la solución de
un ejercicio en particular, puede solicitarlo mediante el Chat.