A Ejercicio 1 Metodo Simplex
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Departamento de ingeniería Química Industrial
Academia de Economía Industrial
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Ejercicio: MÉTODO SIMPLEX
Alumno: Plascencia Hernández Oscar Fernando Boleta:2008320348
Profesor: Ignacio Vargas Bravo
EJERCICIO 1
En la simulación de un ejemplo de OPTIMIZACIÓN, para resolver problemas de naturaleza lineal, se dispone de la siguiente función objetivo:
Z = 13X1 + 12X2 + 7X3
Restricciones
12x1+11x2+9x3 ≤ 195 x1,x2,x3 ≥0
3x1-6x2+12x3 ≥ 66
4x1+8x2-2x3 = 40
Usando los criterios de optimización (maximización y minimización), obtener las soluciones para cada caso.
SOLUCION: 1ª ETAPA CONVERSION DE DESIGUALDADES EN IGUALDADES Y NUEVA FUNCIÓN OBJETIVO.
Transformar las restricciones en igualdades agregando variables auxiliares (de holgura, artificiales y superfluas)
12 x1+ 11 x 2+ 9 x3 + H 1 = 195 x1, x2, x3 ≥0
3 x1 - 6 x2 + 12 x3 - S1 + A1 = 66
4 x1 + 8 x2 - 2 x3 + A2 = 40
MINIMIZACIÓN Implica la siguiente
Nueva función objetivo: ZMIN = 13 X1 + 12 X2 + 7 X3 + 0 H1 - 0 S1+ MA1 + MA2
TABLA INICIAL
Zj13 12 7 0 0 M MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi
0 H1 12 11 9 1 0 0 0 195M A1 3 -6 12 0 -1 1 0 66M A2 4 8 -2 0 0 0 1 40
Solucion inicial que corresponde a la TABLA INICIAL BÁSICA
V producidas V no producidas
H1=195 x1 = x2 = x3 = s1 = 0
A1=66 Z0=13*(0)+12*(0)+7*(0)+0*(195)-0*(0)+M*(66)+M*(40)=106M
A2=40
Para cada variable (en Cada columna “j”) se evalúa el CRITERIO de Optimalidad : ZJ-CJ
para responder a la pregunta ¿Se debe introducir una nueva variable en la solución?
13-[(12*0)+(3*M)+(4*M)] = 13 - 7 M
12-[(11*0)+(-6*M)+(8*M)] = 12 - 2 M
7-[(9*0)+(12*M)+(-2*M)] = 7 - 10 M
0-[(1*0)+(0*M)+(0*M)] = 0
0-[(0*0)+(-1*M)+(0*M)] = M
M-[(0*0)+(1*M)+(0*M)] = 0
M-[(0*0)+(0*M)+(1*M)] = 0
Se eligirá a la variable que presente el criterio de optimalidad + NEGATIVO (PARA MINIMIZAR)
Ahora respondemos ¿Que variable limita en mayor grado la producción de la nueva variable? CRITERIO Bi/XTRABAJO?
195/9=21.67 66/12=5.5 40/-2=-20 DESCARTADA por ser la que limita más la producción de la nueva variable..
TABLA INICIAL BÁSICA, ( CON EL CRITERIO DE OPTIMALIDAD PARA INICIAR EL PROCESO ITERATIVO)
Zj13 12 7 0 0 M MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi Bi/xtrab
0 H1 12 11 9 1 0 0 0 195 21.67M A1 3 -6 12 0 -1 1 0 66 5.5M A2 4 8 -2 0 0 0 1 40 -20
Zj-Cj 13-7M 12-2M 7-10M 0 0 0 0 106M
TRANSFORMACIONES
Dividir la fila del pivote entre el pivote (Para obtener la nueva fila “pivote”)
3/12=1/4 -6/12 = - 1/2 12/12 = 1 0/12 = 0 -1/12 = - 1/12 1/12 = 1/12 0/12 = 0 ¿Bi ?
Modificar toda la fila del pivote
Primera fila
12-9*(1/4)=9.75 1-9*(0)=1 0-9*(0)=0
11-9*(-1/2)=15.5 0-9*(-1/2)=0.75 195-9*(5.5)=144.5
9-9*(1)=0 0-9*(1/2)=-0.75
Tercera fila
4-(-2)*(1/4)=4.5 0-(-2)*(0)=0 1-(-2)*(0)=1
8-(-2)*(-1/2)=7 0-(-2)*(-1/2)=-1/6 40-(-2)*(5.5)=51
-2-(-2)*(1)=0 0-(-2)*(1/2)=1/6
NUEVA TABLA , RESULTADO DE LA PRIMERA ITERACIÓN.
Zj13 12 7 0 0 M MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi
0 H1 9.75 15.5 0 1 0.75 -0.75 0 144.57 X3 1/4 -1/2 1 0 -1/12 1/12 0 5.5M A2 4.5 7 0 0 -1/6 1/6 1 51
Z1=13*(0)+12*(0)+7*(5.5)+0*(144.5)-0*(0)+M*(51)=38.5+51M
¿Es necesario volver a iterar? Aplicamos el criterio de optimalidad CRITERIO ZJ - CJ = ¿?
13-[(9.75*0)+(7*1/4)+(4.5*M)]=11.25-4.5M
12-[(15.5*0)+(7*1/2)+(7*M)]=15.5-7M
7-[(0*0)+(1*7)+(0*M)]=0
0-[(1*0)+(0*7)+(0*M)]=0
0-[(0.75*0)+(-1/2*7)+(-1/6*M)]=3.5+1/6M
M-[(0*-0.75)+(1/2*7)+(1/6*M)]=5/6M+3.5
M-[(0*0)+(0*7)+(1*M)]=0
CRITERIO Bi/XTRABAJO
144.5/15.5=9.323 5.5/-1/2=-11 DESCARTADA 51/7=7.286
TABLA CON LOS CRITERIOS PARA INICIAR EL METODO
Zj13 12 7 0 0 M MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi Bi/xtrab
0 H1 9.75 15.5 0 1 0.75 -0.75 0 144.5 9.3237 X3 1/4 -1/2 1 0 -1/12 1/12 0 5.5 -11M A2 4.5 7 0 0 -1/6 1/6 1 51 7.286
Zj-Cj 11.25-4.5M 15.5-7M 0 0 3.5+1/6M 3.5+5/9M 0 38.5+51M
TRANSFORMACIONES
Dividir la fila del pivote entre el pivote
4.5/7=9/14 7/7=1 0/7=0 0/7=0 -1/6/7=-1/42 1/6/7=1/42 1/7=1/7 51/7=7.286
Modificar toda la columna del pivote
Primera fila
9.75-15.5*(9/14)=-0.214 1-15.5*(0)=1 0-15.5*(1/7)=-31/14
15.5-15.5*(1)=0 0.75-15.5*(-1/42)=47/42 144.5-15.5*(7.286)=31.567
0-15.5*(0)=0 -0.75-15.5*(1/42)=-47/42
Segunda fila
1/4-(-1/2)*(9/14)=4/7 0-(-1/2)*(0)=0 0-(-1/2)*(1/7)=1/14
-1/2-(-1/2)*(1)=0 -1/12-(-1/2)*(-1/42)=-2/21 5.5-(1/2)*(7.286)=9.143
1-(-1/2)*(0)=1 1/12-(-1/2)*(1/42)=2/21
NUEVA TABLA
Zj13 12 7 0 0 M MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi
0 H1 -0.214 0 0 1 47/42 -47/42 -31/14 31.5677 X3 4/7 0 1 0 -2/21 2/21 1/14 9.143
12 X2 9/14 1 0 0 -1/42 1/42 1/7 7.286
Z2=13*(0)+12*(7.29)+7*(9.143)+0*(31.567)-0*(0)=151.481
CRITERIO ZJ-CJ
13-[(-0.214*0)+(7*4/7)+(12*9/14)]=9/7
12-[(0*0)+(7*0)+(1*12)]=0
7-[(0*0)+(1*7)+(0*12)]=0
0-[(1*0)+(0*7)+(0*12)]=0
0-[(47/42*0)+(-2/21*7)+(-1/42*12)]=20/21
M-[(0*-47/42)+(7*2/21)+(1/42*12)]=M-20/21
M-[(0*-31/14)+(1/14*7)+(1/7*12)]=M-31/14
CRITERIO Bi/XTRABAJO
144.5/15.5=9.323 5.5/-1/2=-11 DESCARTADA 51/7=7.286
MAXIMIZACIÓN
Nueva función objetivo: ZMAX=13X1+12X2+7X3+0H1 -0S1-MA1-MA2
TABLA INICIAL
Cj13 12 7 0 0 -M -MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi
0 H1 12 11 9 1 0 0 0 195-M A1 3 -6 12 0 -1 1 0 66-M A2 4 8 -2 0 0 0 1 40
Solucion inicial
V producidas V no producidas
H1=195 x1=x2=x3=s1=0
A1=66 Z0=13*(0)+12*(0)+7*(0)+0*(195)-0*(0)-M*(66)-M*(40)=-106M
A2=40
CRITERIO ZJ-CJ
13-[(12*0)+(3*-M)+(4*-M)]=13+7M
12-[(11*0)+(-6*-M)+(8*-M)]=12+2M
7-[(9*0)+(12*M)+(-2*M)]=7+10M
0-[(1*0)+(0*M)+(0*M)]=0
0-[(0*0)+(-1*M)+(0*M)]=-M
M-[(0*0)+(1*M)+(0*M)]=0
M-[(0*0)+(0*M)+(1*M)]=0
CRITERIO Bi/XTRABAJO
195/9=21.67 66/12=5.5 40/-2=-20 DESCARTADA
TABLA CON LOS CRITERIOS PARA INICIAR EL METODO
Cj13 12 7 0 0 -M -MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi Bi/xtrab
0 H1 12 11 9 1 0 0 0 195 21.67M A1 3 -6 12 0 -1 1 0 66 5.5M A2 4 8 -2 0 0 0 1 40 -20
Cj-Zj 13+7M 12+2M 7+10M 0 0 0 0 -106M
TRANSFORMACIONES
Dividir la fila del pivote entre el pivote
3/12=1/4 -6/12=-1/2 12/12=1 0/12=0 -1/12=-1/12 1/12=1/12 0/12=0 66/12=5.5
Modificar toda la columna del pivote
Primera fila
12-9*(1/4)=9.75 1-9*(0)=1 0-9*(0)=0
11-9*(-1/2)=15.5 0-9*(-1/2)=0.75 195-9*(5.5)=144.5
9-9*(1)=0 0-9*(1/2)=-0.75
Tercera fila
4-(-2)*(1/4)=4.5 0-(-2)*(0)=0 1-(-2)*(0)=1
8-(-2)*(-1/2)=7 0-(-2)*(-1/2)=-1/6 40-(-2)*(5.5)=51
-2-(-2)*(1)=0 0-(-2)*(1/2)=1/6
NUEVA TABLA
Cj13 12 7 0 0 -M -MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi
0 H1 9.75 15.5 0 1 0.75 -0.75 0 144.57 X3 1/4 -1/2 1 0 -1/12 1/12 0 5.5M A2 4.5 7 0 0 -1/6 1/6 1 51
Z1=13*(0)+12*(0)+7*(5.5)+0*(144.5)-0*(0)+M*(51)=38.5-51M
CRITERIO CJ-ZJ
13-[(9.75*0)+(7*1/4)+(4.5*M)]=11.25-4.5M
12-[(15.5*0)+(7*1/2)+(7*M)]=15.5-7M
7-[(0*0)+(1*7)+(0*M)]=0
0-[(1*0)+(0*7)+(0*M)]=0
0-[(0.75*0)+(-1/2*7)+(-1/6*M)]=0.5833-1/6M
-M-[(0*-0.75)+(1/2*7)+(1/6*M)]=-7/6M-0.5833
-M-[(0*0)+(0*7)+(1*M)]=0
CRITERIO Bi/XTRABAJO
144.5/9.75=14.82 5.5/1/4=22 51/4.5=11.33
TABLA CON LOS CRITERIOS PARA INICIAR EL METODO
Cj13 12 7 0 0 -M -MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi Bi/xtrab
0 H1 9.75 15.5 0 1 0.75 -0.75 0 144.5 9.3237 X3 1/4 -1/2 1 0 -1/12 1/12 0 5.5 -11M A2 4.5 7 0 0 -1/6 1/6 1 51 7.286
Cj-Zj 11.25-4.5M 15.5-7M 0 0 7/12-1/6M -7/12-7/6M 0 38.5-4.5M
TRANSFORMACIONES
Dividir la fila del pivote entre el pivote
4.5/4.5=1 7/4.5=1.56 0/4.5=0 0/4.5=0 -1/6/4.5=-0.037 1/6/4.5=0.037 1/4.5=0.222 51/4.5=11.33
Modificar toda la columna del pivote
Primera fila
9.75-9.75*(1)=0 1-9.75*(0)=1 0-9.75*(0.222)=-2.16
15.5-9.75*(1.56)=0.29 0.75-9.75*(-0.037)=1.1108 144.5-9.75*(11.33)=34.325
0-9.75*(0)=0 -0.75-9.75*(0.037)=-1.1108
Segunda fila
1/4-(1/4)*(1)=0 0-(1/4)*(0)=0 0-(1/4)*(0.222)=-0.055
-1/2-(1/4)*(1.56)=-0.89 -1/12-(1/4)*(-0.037)=-0.074 5.5-(1/4)*(11.33)=2.6675
1-(1/4)*(0)=1 1/12-(1/4)*(0.037)=0.074
NUEVA TABLA
Zj13 12 7 0 0 M MX1 X2 X3 H1 S1 A1 A2 Bi
0 H1 0 0.29 0 1 1.1108 -1.1108 -2.16 34.3257 X3 0 -0.89 1 0 -0.074 0.074 -0.035 2.6675
13 X1 1 1.56 0 0 -0.037 0.037 0.222 11.33
Z2=13*(11.33)+12*(0)+7*(2.6675)+0*(34.325)-0*(0)=165.9625
CRITERIO CJ-ZJ
13-[(0*0)+(7*0)+(13*1)]=0
12-[(0*0.29)+(7*-0.89)+(13*1.56)]=-2.05
7-[(0*0)+(1*7)+(0*13)]=0
0-[(1*0)+(0*7)+(0*13)]=0
0-[(1.1108*0)+(-0.074*7)+(13*-0.037)]=0.999
-M-[(0*-1.1108)+(0.074*7)+(13*0.037)]=-M-0.999
-M-[(0*-2.16)+(-0.035*7)+(13*0.222)]=-M-2.641
CRITERIO Bi/XTRABAJO
34.325/0.29=118.36 2.6675/-0.89=-2.997 DESCARTADA 11.33/1.56=7.263
REGRESA A LA X3