GUIA DE TALLER CALCULO III. FUNCIONES VECTORIALES DEVARIABLE REAL

1. Describir y representar graficamente el rango de f .

f(t) = (t, t, 2t2), t ∈ [−3, 3].

f(t) = (cos t, 1 + sin t, t), t ∈ [0, 4π].

f(t) = (2 + cos t, 1 + sin t), t ∈ [0, 2π].

f(t) =

(cos t, sin t,

1

2sin 2t

), t ∈ [0, 2π].

f(t) = (tan 2t, tan t), t ∈(−π

4, π4

).

f(t) = (a cos t+ b sin t, a sin t− b cos t), t ∈ [0, 2π].

2. Sea g(t) = f(u(t)), donde

f(t) =(

ln(2− t),√t+ 3, et

)y u(t) =

sen(t)

tsi t 6= 0

1 si t = 0

Demostrar que g es continua en t = 0.

3. Calcular los lımites pedidos

limt→ +∞

((et + 1

) 1t , t2 −

√t4 − t2 + 2,

t+ cos t

t+ 1

),

lim

t→ π

4

(sent− cos t

1− tan t,1− sen(2t)

π4− t

)

limt→ 0

(ln t, et,

arcsent

t

),

limt→ 0

((et + 2t

) 1t , t2sen

(1

t

),t− arctan t

t− sent

),

4. Dada la funcion

f(t) =

(t,

sent

t

)si t 6= 0

(0, 1) si t = 0

1

a) Determinar donde es continua.

b) Determinar si es derivable en t = 0.

5. Dada la funcion

f(t) =

{(e2t, t2sen

(1t

))si t 6= 0

(1, 0) si t = 0

encontrar f ′(0) si existe.

6. Sean f(t) = (t, t2, 13t3), g(t) = (cos t, sent, t), y ϕ(t) = e−t donde t ∈

[0,+∞[. Calcular:

a) f ′(t), g′(t), f ′′(t), g′′(t), (ϕf)(t), (ϕf)′(t), (f × g)(t), (f · g)(t).

b) (f · g)′(t), (g ◦ ϕ)′(t), (f × g)′(t).

c)1∫0

f(t)dt,t∫0

f(w)dw,2π∫0

g(t)dt,2π∫0

‖g(v)‖dv, ‖2π∫0

g(t)dt‖.

7. Para las siguientes funciones hallar f ′(t).

a) f(t) =

{(e2t, t2sen

(1t

))si t 6= 0

(1, 0) si t = 0

b) f(t) =(t√2, (cos t)tan t, 3t

3−2t+5)

c) f(t) =

(e−t

2

,t

1 + t2

)d) f(t) =

(arcsen

(t− 1

t+ 1

), arccot

(2

t

)+ arctan

(t

2

))

8. En los ejercicios que siguen evaluar las integrales si existen.

a)

π4∫0

(cos4

(t2

), tan7 t, sec3(2t)

)dt.

b)

1∫0

(t3

t4 + t2 + 1,

1

1 + t4,

14√

1 + t4

)dt.

c)

+∞∫0

(t2

(t2 + 1)2,

1

(t+ 2)√

1 + t2,

1

t4 + 8t3 + 28t2 + 48t+ 32

)dt.

2

9. Sea f(t) =

(2t

1 + t2,1− t2

1 + t2, 1

). Probar que el angulo entre f(t) y f ′(t)

es constante.

10. Sean A yB dos vectores no nulo de Rn y f(t) = e2tA+e−2tB. comprobarque f ′′(t) tiene la misma direccion que f(t).

11. Dados n2 funciones reales fij, cada una de ellas diferenciable sobre ]a, b[,definimos

f(t) = det

f11(t) f12(t) · · · f1n(t)...

......

fn1(t) fn2(t) · · · fnn(t)

usando induccion demostrar que f ′(t) =

n∑i=1

det(Ai(t)), donde Ai(t) es

la matriz obtenida derivando las funciones de la fila i- esima de

f(t) = det

f11(t) f12(t) · · · f1n(t)f21(t) f22(t) · · · f2n(t)

......

...fi1(t) fi2(t) · · · fin(t)

......

...fn1(t) fn2(t) · · · fnn(t)

12. Encontrar f ′(t), si

f(t) = det

t ln t t ln t1 t t2

1 t−1 1 + ln t

13. Demuestre que la funcion vectorial

r(t) = (2i+ 2j+k) + cos t

(1√2i− 1√

2j

)+ sent

(1√3i +

1√3j +

1√3k

)describe el movimiento de una partıcula que se mueve en el cırculo deradio 1 y centro en (2, 2, 1) que se encuentra en el plano x+y−2z = 2.

14. Escribir la ecuacion del plano que pasa por el punto (1, 1, 1) y que esnormal a la cubica helicoidal x = t, y = t, z = t3 en ese punto.

3

15. Determinar una ecuacion del plano normal a la trayectoria dada en elpunto indicado

a) σ(t) = (t, t2, t3)en el punto (2, 4, 8).

b) σ(t) = (t2, t3, t4)en el punto (1, 1, 1).

c) σ(t) =(et, e−t,

√2t)en el punto σ (0).

d) σ(t) = (cos πt, sin πt, t2 − 1) cuando t = 2.

16. En los siguientes ejercicios hallar la longitud de la porcion indicada dela curva.

a) r(t) = (6sen2t)i + (6 cos 2t)j + 5tk, 0 ≤ t ≤ π.

b) r(t) = 6t3i− 2t3j− 3t3k, 1 ≤ t ≤ 2.

17. Encuentre el punto sobre la curvar(t) = (5sent)i + (5 cos t)j + 12tk. Que estaa una distancia de 26π unidades a lo largo de la curva desde el origenen la direccion de la longitud de arco creciente.

18. Describir en forma parametrica la interseccion de las superficies dadasy encontrar una ecuacion del plano normal de la trayectoria hallada enel punto indicado.

a) x2 + y2 = 2y; 2z + y = 4 en el punto (0, 2, 1)

b) x2 + y2 = z: x2 = y en el punto (1, 1, 2)

c) x+ ln z = 0; x2 = y en el punto (2, 4, 1e2

).

d) 19y2 − 1

4x2 = 1, con y ≥ 3; 2z − y + 1 = 0 en el punto (3, 0, 1).

19. En los ejercicios siguientes encontrar la representacion de la trayectoriadada, que tenga la longitud de arco S como parametro.

a) r(t) = (cos t+ tsent)i + (sent− t cos t)j, π2≤ t ≤ π.

b) r(t) = (1 + 2t)i + (1 + 3t)j + (6− 6t)k, −1 ≤ t ≤ 0.

c) σ(t) = a(cos3 t, sin3 t); t ∈[0, π

2

]y a > 0.

d) σ(t) = (a(t− sent), a(1− cos t)); t ∈ [0, 2π] y a > 0.

e) σ(t) = ti + cosh tj + k, 0 ≤ t ≤ 1

f ) σ(t) =(23t3 − 1

)i + (t2 + 1) j + tk, 0 ≤ t ≤ 1

4

20. Encontrar la longitud de la trayectoria en el primer octante descritapor la interseccion de las dos superficies x2 + 2y2 = 1, y, x2 + 2z2 = 1.

21. Encontrar la longitud total del lazo de la trayectoria dada por la ecua-cion cartesiana 9ay2 = x(x− 3a)2, a > 0 entre x = 0 y x = 3a. Ilustrargraficamente su trazo.

22. Dada la trayectoria σ(t) = (t,√|t|), t ∈ [−1, 1] representar graficamen-

te su trazo y hallar la longitud de arco.

23. Encontrar la representacion de la trayectoria dada que tenga la longitudde arco s como parametro.

a) σ(t) = t (cos t, sent, t), t ∈ [0, 2π].

b) σ(t) = t (3 cos t, 3sent, 4), t ∈ [0, π].

c) σ(t) = (t2, 2t, ln t), t ∈ [1, 3].

d) σ(t) =

(t,

4

3t32 ,

1

2t2)

, t ∈ [0, 2].

e) σ(t) = (t2 + 1, t2 − 1, 8t), t ∈ [1, 3].

f ) σ(t) = t (cos3 t, sen3t), t ∈[0, π

2

]y a > 0.

24. Encuentre el area bajo un arco de una cicloide σ(t) = a(t − sent, 1 −cos t), t ∈ [0, 2π] y a > 0.Encuentre tambien la longitud L de este arco.

25. Evalue∫ 3

1ydx y

∫ 3

1xy2dx si x = 2t− 1 y y = t2 + 2.

26. Encontrar los vectores T (t), N(t), B(t) y el plano osculador a la tra-yectoria dada en el punto σ(t).

a) σ(t) =(cos t, sent, 1

2t).

b) σ(t) = e2t (cos t, sent, 1).

c) σ(t) = et (cos 2t, sen2t, 1).

d) σ(t) = (sen2t, 2sen2t, 2 cos t).

27. Si σ(t) = (sent, cos t, t) representa el movimiento de una partıcula,calcular la velocidad y la aceleracion en terminos de T , N y B.

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28. Determinar la curvatura, torsion, recta tangente, recta normal prin-cipal de cada trayectoria en el punto dado. Dibujar el trazo de cadatrayectoria.

a) y = 2− x3 en (1, 1).

b) σ(t) = (t2, t3) en σ(12).

c) σ(t) = (3t2, 3t− t3) en σ(1).

d) σ(t) = (2t, t2, ln t) en (4, 4, ln 2).

29. Determinar: la curvatura, torsion, ecuacion del plano normal, ecuaciondel plano osculador, vector velocidad, vector aceleracion, rapidez decada trayectoria en el punto dado.

a) σ(t) = et (cos t, sent, 1) en σ(0).

b) σ(t) = (cos t, sent, e−t) en σ(0).

c) σ(t) = (et + 2, 1− e−t, cosh t) en σ(0).

30. Determinar la torsion de la trayectoria dada, en un punto σ(t)

a) σ(t) = (t, t2, t3)

b) σ(t) = (2t, t2,−t2)c) σ(t) = et(cos t, sent, 1)

d) σ(t) = (cos t, sent, senht)

31. Una partıcula se mueve sobre la curva σ(t) = (3t2,−sent,−et) se sueltaen el tiempo t = 1

2y sale por la tangente. ¿Cuales son sus coordenadas

en el tiempo t=1?

32. Hallar la trayectoria σ tal que σ (0) = (0,−5, 1) y σ′ (t) = (t, et, t2).

33. Determinar la torsion de la trayectoria σ(t) = (t− sent, 1− cos t, t) enlos puntos correspondientes a t = π

2y t = π.

34. Determinar la torsion de la trayectoria con ecuaciones parametricasx = 2t, y = ln t, z = t2 en el punto (2, 0, 1).

35. Dada la trayectoria σ(t) =

(2t+ 1

t− 1,t2

t− 1, t+ 2

). Hallar la torsion τ(t)

de la trayectoria, verificar que el trazo de σ esta en un plano y hallarla ecuacion cartesiana de este plano.

36. Encuentre la curvatura de y = x2 − x en el punto (1, 0). ¿Cual es latorsion y porque?.

6

37. Sea f : R2 → R la funcion f(x, y) = x2+y2 haga el grafico de la imagenbajo f de los puntos (x, y):

a) que estan sobre la circunferencia x2 + y2 = 1

b) que estan sobre la recta y = x

c) que estan sobre la recta x+ y = 1

38. La funcion f : U ⊆ R2 → R es tal que f(x−y, yx

) = y2−x2. Determine

f(x, y). ¿Cual es el dominio U de esta funcion?.

39. Describa el dominio de la funcion z = f(x, y) dada y haga un dibujoen el que se represente este dominio en el plano XY .

a) f(x, y) =1√x+ y

b) f(x, y) =1√

ln(1 + 2x2 + 4y2

c) f(x, y) = arctan1 + x2

1 + y2

d) f(x, y) =√y cosx

e) f(x, y) =√

1− x2 − 5y4

f ) f(x, y) =√

senh(2x+ y).

40. haga explicito el dominio de la funcion dada

a) f(x, y, z) =√

1 + x+ y + z +√x+√y +√z

b) f(x, y, z) =√

1− x2 − y2 − z2

c) f(x, y, z) = ln x4 ln2(y2 ln z)

41. Determine las funciones f + g, fg, fg, ası como sus dominios si

a) f(x, y) =√

1 + x+ y, g(x, y) = x− yb) f(x, y, z) = sen(x+ y + z), g(x, y, z) = 2 cos(x+ y + z)

42. Considere la funcion f : U ⊆ R2 → R.

a) Sea g(x, y) = f(x, y) + k, en donde k es un numero real dado.¿Donde se define la funcion g?. ¿Como es la grafica de la funciong respecto de la grafica de la funcion f?.

b) Sea g(x, y) = f(x − x0, y − yo) donde (x0, y0)es un punto de R2

dado.¿Donde se define la funcion g?. ¿Como es la grafica de lafuncion g respecto de la grafica de la funcion f?.

c) Sea g(x, y) = f(−x,−y) ¿Donde se define la funcion g?. ¿Como es

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la grafica de la funcion g respecto de la grafica de la funcion f?.

d) Sea g(x, y) = −f(x, y) ¿Donde se define la funcion g?. ¿Como esla grafica de la funcion g respecto de la grafica de la funcion f?.

43. Describa las curvas de nivel de las funciones indicadas, Haga una graficamostrando algunas de estas curvas.

a) f(x, y) = |x| − yb) f(x, y) = x− |y|c) f(x, y) = |x− y|d) f(x, y) =

√xy

e) f(x, y) = arcsen(x+ y)

44. Describa las superficies de nivel de las funciones indicadas, Haga unagrafica mostrando algunas de estas superficies.

a) f(x, y, z) =x2 + y2

z

b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4x− 6y + 15z

c) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2

45. Ilustrar geometricamente el conjunto S y hallar el conjunto de puntosinteriores, la frontera y el conjunto derivado del conjunto S e ilustrarlosgraficamente.

a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − 4x− 6y + 15z < 0}b) S = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| < 1} ∪ {(2, 0)}c) S =

{(x, y) ∈ R2 : 1

4< x2 + y2 ≤ 1, y2 6= x

}∪ {(2, 0)}

d) S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x2 + y2 + z2 ≤ 1, 0 < z < 1}∪{(0, 0, 0), (0, 0,−1)}46. Para cada una de las funciones z = f(x, y) dadas

a) Diga donde estan definidas.

b) Demuestre que los limites lımx→0

(lımy→0

f(x, y)) y lımy→0

(lımx→0

f(x, y)) (lla-

mados lımites iterados) existen y valen 0. ¿Como estamos haciendotender el punto (x, y) al origen al hacer el calculo de estos lımites?.¿Puede concluir de aquı que el lımite lım

(x,y)→(0,0)f(x, y) existe y vale

0?.

c) Demuestre que lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 si el punto (x, y) se acerca a

(0, 0) por rectas del tipo y = kx. ¿Puede concluir de aquı que tallımite existe y vale 0?.

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d) Demuestre que lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 si el punto (x, y) se acerca a

(0, 0) por parabolas de tipo y = kx2. ¿Puede concluir de aquı quetal lımite existe y vale 0?.

e) Use la definicion de lımite para demostrar que el lımite de f(x, y)cuando (x, y) tiende a (0, 0) efectivamente existe y vale cero.

f ) Use coordenadas polares para concluir nuevamente que el lımitede f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) existe y vale cero.

f(x, y) =y3

x2 + y2

f(x, y) =3x3y2

x2 + y2

f(x, y) =7x2y2

2x2 + 2y2

f(x, y) =x3y4

x4 + y4

47. Para cada una de las funciones z = f(x, y), demuestre que el lımitelım

(x,y)−→(0,0)f(x, y) no existe.

a) f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

b) f(x, y) =x2y

x3 + y3

c) f(x, y) =xy2

x4 + y2

d) f(x, y) =2x4y

x5 + 6y5

e) f(x, y) =8x3y2

x9 + y3

48. Para cada una de las funciones w = f(x, y, z), demuestre que el lımitelım

(x,y,z)→(0,0,0)f(x, y) no existe.

a) f(x, y, z) =x+ y + z

x+ y − z

b) f(x, y, z) =2x2 + y2 − z2

x2 − y2

9

c) f(x, y, z) =xyz

x3 + y3 + z3

d) f(x, y, z) =x2yz3

x6 + z6

49. Se da una funcion z = f(x, y) que no esta definida en (0, 0). ¿Es posibledefinir el valor f(0, 0) de tal modo que f sea continua en ese punto?.Explique.

a) f(x, y) =3x2y

x4 + y4

b) f(x, y) =3x2y3

x4 + y4

c) f(x, y) =5x2y2

x3 + y6

d) f(x, y) =3x2y8

x8 + y8

e) f(x, y) =x− yx+ y

50. Obtenga todas las derivadas parciales de primer orden de las funcionesindicadas

a) f(x, y) =x+ y

x− yb) f(x, y) = (4x2y4 − 3x2 + 8y3)3

c) f(x, y) = arcseny

x+ arc cos

x

y

d) f(x, y) = xyx

+ yxy+(xy)x(yx)y

e) f(x, y) =1

ln2(1 + x2 + y2)

f ) f(x, y) = arctan(2x+ 3senx)y

g) f(x, y, z) = xy + xz + yx + yz + zx + zy

h) f(x, y, z) = x2 arctan√

1 + y + z + ln(1 + y + z)

i) f(x, y, z) = x2y3z4sen2s cos3 y tan4 z

j ) f(x, y, z) = ln(x

y+x

z+y

x

y

z+z

x+z

y)

51. Sea f(x, y) = x2y4 − 12x6 + 2xy5. Verifique que x∂f∂x

+ y ∂f∂y

= 6f(x, y)

52. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccion dela superficie z = x3y + 5y2 con el plano x = 2, en el punto en el que

10

y = 1.

53. Calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y) = 3x+ 2y + 7z endirecion del vector U = (3, 2,−5).

54. Dada z = u(x, y)eax+by y∂2u

∂x∂y= 0.Hallar valores de las constantes a

y b tales que∂2z

∂x∂y− ∂z

∂x− ∂z

∂y+ z = 0.

55. Calcular las derivadas direccionales de los siguientes campos escalaresen los puntos y direcciones que se indican:

a) f(x, y, z) = x2 + 22 + 3z2 en (1, 1, 0) en la direccion de i− j + 2k.

b) f(x, y, z) = (x

y)z en (1, 1, 1) en la direccion de 2i + j− k.

c) f(x, y, z) = x2 − y2 en un punto cualquiera de la superficie x2 +y2 + z2 = 4 en la direccion de la normal exterior en dicho punto.

d) f(x, y, z) = 3x − 5y + 2z en (2, 2, 1) en la direccion de la normalexterior a la esfera x2 + y2 + z2 = 9.

e) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 en (3, 4, 5)a lo largo de la curva de inter-seccion de las dos superficies 2x2 + 2y2 − z2 = 25 y x2 + y2 = z2.

56. Hallar los valores de las constantes a, b, c tales que la derivada direc-cional de f(x, y, z) = axy2 + byz+ cz2x3 en el punto (1, 2,−1) tenga elvalor maximo 64 en direccion paralela al eje z.

57. Dado un campo escalar diferenciable en un punto A ∈ R2. Supongamosque f ′(A;Y ) = 1 y f ′(A;Z) = 2, siendo Y = 2i+ 3j y Z = i+ j. Hacerun grafico mostrando el conjunto de todos los puntos (x, y) para losque f ′(A;xi + yj) = 6. Calcular tambien el gradiente ∇f(A).

58. calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y) = xseny en el punto(3, 0), en direccion del vector tangente a la parabola y = x2 en el punto(1, 1).

59. Demuestre que la derivada direccional de la funcion f(x, y) =x2 + y2

xen los puntos de la curva x2 + y2 − 2y = 0, en direccion de la normal aesta curva, es igual a 0.

60. a) Hallar un vector V (x, y, z)normal a la superficie z =√x2 + y2 +

(x2 + y2)32 en un punto cualquiera (x, y, z) de la superficie

(x, y, z) 6= (0, 0, 0).

b) Hallar el coseno de angulo θformado por el vector V (x, y, z) y eleje z y determinar el lımite de cos θ cuando (x, y, z)→ (0, 0, 0).

11

61. Las dos ecuaciones eu cos v = x y eusenv = y definen u y v comofunciones de x e y, sean estas u = U(x, y) y v = V (x, y). Hallar fomulasexplıcitas para U(x, y) y V (x, y)validas para x > 0, y demostrar quelos vectores ∇U(x, y) y ∇V (x, y) son perpendiculares en cada punto(x, y).

62. Hallar una constante c tal que en todo punto de la interseccion de lasdos esferas (x − c)2 + y2 + z2 = 3 y x2 + (y − 12) + z2 = 1 losplanos tangentes correspondientes sea perpendiculares el uno al otro.

63. hallar un par de ecuaciones cartesianas para la recta que es tangente alas dos superficies x2 + y2 + 2z2 = 4 y z = ex−y en el punto (1, 1, 1).

64. (x0, y0, z0) es un punto de la superficie z = xy, las dos rectas z = y0x,y = y0 y z = x0y, x = x0 se cortan en (x0, y0, z0) y estan situadas enla superficie. Comprobar que el plano tangente a esta superficie en elpunto (x0, y0, z0) contiene a esas dos rectas.

65. Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2 + y3 en(3, 1, 10).

66. Calcular la matriz de derivadas parciales de las funciones siguientes:

a) f(x, y) = (xey + cos y, x, x+ ey)

b) f(x, y, z) = (x+ ez + y, yx2)

c) f(x, y) = (xyexy, xseny, 5xy2)

d) f(x, y) = (ex, senxy)

e) f(x, y, z) = (x+ z, y − 5z, x− y)

67. Sea f(x, y) = exy. Mostrar que x∂f∂x

= y ∂f∂y

68. calcular ∇h(1, 1, 1) si h(x, y, z) = (x+ y)ex−y

69. evaluar el gradiente de f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2) en (1, 0, 1).

70. Dada g(x, y) = (x2+1, y2) y f(u, v) = (u+v, u, v2), calcular la derivadade f ◦ g en (1, 1).

71. Suponer que un pato esta nadando en cırculo x = cos t, y = sent yque la temperatura del agua esta dada por la formula T = x2ey − xy3.Hallar dT

dt, la tasa de cambio en temperatura que puede sentir el pato:

(a)mediante la regla de la cadena; (b)expresando T en terminos de t ydiferenciando.

72. Sea f(x, y) = (ex+y, ex−y). Sea c(t) una curva con c(0) = (0, 0) y c′(0) =(1, 1). ¿Cual es el vector tangente a la imagen de c(t) bajo fen t = 0?

73. ¿En que direccion desde (0, 1), crece mas rapido f(x, y) = x2 − y2?

12

74. Las dos ecuaciones x + y = uv, y, xy = u − v definen a x e y comofunciones implıcitas de u y v, sean estas x = X(u, v) e y = Y (u, v).Demostrar que ∂X/∂u = (xv − 1)/(x − y) si x 6= y, y hallar formulasparecidas para ∂X/∂v, ∂Y/∂u, ∂Y/∂v.

75. Las dos ecuaciones x + y = uv y xy = u − v definen a x y a v enfuncion de u e y, sean estas x = X(u, y) y v = V (u, y). Demostrar que∂X/∂u = (u+v)/(1+yu) si 1+yu 6= 0, y hallar las formulas de ∂X/∂y,∂V/∂u, ∂V/∂y.

76. Las dos ecuaciones F (x, y, u, v) = 0 y G(x, y, u, v) = 0 determinanx e y como funciones implıcitas de u y v. sean estas x = X(u, v) e

y = Y (u, v). Demostrar que ∂X/∂u =∂(F,G)/∂(y, u)

∂(F,G)/∂(x, y)en los puntos

en los que el jacobiano ∂(F,G)/∂(x, y) 6= 0, y hallar las formulas paralas derivadas parciales ∂X/∂v, ∂Y/∂u, ∂Y/∂v.

77. La interseccion de dos superficies dadas por las ecuaciones cartesianas2x2 + 3y2 − z2 = 25 y x2 + y2 = z2 contiene una curva C que pasa porel punto P = (

√7, 3, 4).

Hallar un vector unitario T tangente a la curva C en el punto P sinutilizar el conocimiento explıcito de la representacion parametrica.

Confrontar el resultado con el apartado anterior, mediante la re-presentacion parametrica de la curva C con z como parametro.

78. Las tres ecuaciones F (u, v) = 0, u = xy y v =√x2 + z2 definen una

superficie en el espacio xyz. Hallar un vector normal a esa superficieen el punto x = 1, y = 1, z =

√3 si se sabe que D1F (1, 2) = 1 y

D2F (1, 2) = 2.

79. La ecuacion f(y/x, z/x) = 0 define z implıcitamente como funcion dex e y, sea esa funcion z = g(x, y). Demostrar que x ∂g

∂x+ y ∂g

∂y= g(x, y)

en los puntos en los que D2f(y/x, g(x, y)/x) 6= 0.

80. La ecuacion x + z + (y + z)2 = 6 define a z como funcion implıcita dex e y, sea z = f(x, y). Calcular ∂f/∂x, ∂f/∂y, y ∂2f/∂x∂y en funcionde x, y, y z.

81. La ecuacion F (x + y + z, x2 + y2 + z2) = 0 define a z como funcionimplıcita de x e y, sea z = f(x, y). Determinar las derivadas parciales∂f/∂x, ∂f/∂y

82. Sean f y g dos funciones de una variable real y, y definamos F (x, y) =f [x+ g(y)]. Hallar las formulas correspondientes a todas las derivadasparciales de F de primero y segundo orden, expresadas en funcion de

13

las derivadas de f y g. Comprobar la relacion∂F

∂x

∂2F

∂x∂y=∂F

∂y

∂2F

∂x2.

83. Determinar la naturaleza de los puntos crıticos de:

a) z = x2y + y2x

b) f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1)

c) z = x5y + xy5

d) f(x, y) = x2 + y2 − xye) f(x, y) = 3x2 − 3xy + 5x− 2y + 6y2 + 8

f ) f(x, y) = ex cos y

g) f(x, y) = xy +1

x+

1

y

h) f(x, y) = (x+ y)(xy + 1)

i) f(x, y) = x2 + y2 − 2xy

j ) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy

k) f(x, y) = (1− x2 − y2)xy.

l) f(x, y, z) = xy + xz + yz − 3

m) f(x, y, z) = xyz2 + xy + xz2 + x− 2yz2 − 2y − 2z2 − 2

n) f(x, y, z) = 15x3 + 6x2 − x+ 2y2 + y + 5z2 + 10z − 2

84. Hallar el punto en el plano 2x− y + 2z = 20 mas cercano al origen

85. Mostrar que la caja rectangular de volumen dado tiene superficie mıni-ma cuando la caja es un cubo.

86. Escribir el numero 120 como suma de tres numeros, de modo que lasuma de los productos tomados de dos en dos, sea maxima.

87. Hallar los valores maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) =(x2 + y2)4 definida en el disco x2 + y2 ≤ 1.

88. Una curva C en el espacio esta definida por la interseccion de las su-perficies de ecuacion x2 + y2 = 1 y x2 − xy + y2 − z2 = 1. Hallar elpunto o puntos en C mas cercanos al origen.

89. Hallar los valores maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) =senx+ cos y en el rectangulo R = [0, 2π]× [0, 2π].

90. Determine los extremos de la funcion f(x, y) = x2y2, si (x, y) se en-cuentra en la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1.

91. Halle los extremos de la funcion f(x, y, z) = 2x − 3y + z, si (x, y, z)

14

esta en el elipsoide 4x2 + y2 + z2 = 704.

92. Determine el valor maximo que puede tomar el producto de dos nume-ros positivos si la suma de estos debe ser 20.

93. Determine los puntos mas cercanos y mas alejados del origen de lacurva cerrada x2 + y2 + xy = 4.

94. Hallar el valor maximo y mınimo del producto de tres numeros realesx, y, z, si la suma de estos debe ser cero y la suma de sus cuadradosdebe ser 1.

95. Hallar el paralelepıpedo de mayor volumen que se puede inscribir enun esfera de radio a.

96. Hallar los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = 3x2 + 5y2, en laregion K = {(x, y)/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

97. Hallar los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = x2 + x + y2 + y,en la region K = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}.

98. Sea σ(t) = (cos t, sent, t) con t ∈ [0, 2π], y sea f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.Evaluar

∫σf(x, y, z)ds.

99. Evaluar las siguientes integrales de trayectoria∫σfds

a) f(x, y, z) = e√z, y σ : t→ (1, 2, t2), t ∈ [0, 1].

b) f(x, y, z) = yz, y σ : t→ (t, 2t, 3t), t ∈ [1, 3].

c) f(x, y, z) =x+ y

y + z, y σ : t→ (t,

2

3t32 , t), t ∈ [1, 2].

100. Sea f(x, y, z) = 1y3

. Evaluar∫σfds donde σ : [1, e]→ R3esta dada por

σ(t) = (ln t, t, 2).

101. Sea ρ(θ) = (0, asenθ, a cos θ); a > 0, un semicırculo, suponer que estahecho de alambre con densidad uniforme de 2 gramos por unidad delongitud

a) ¿Cual es la masa total del alambre?

b) ¿Donde esta el centro de masa de esta configuracion del alambre?

c) ¿Cual es el momento de inercia respecto al diametro que pasa porlos extremos del alambre?.

102. Evaluar las integrales∫σfds, donde:

f(x, y, z) = x cos z, σ : t→ (t, t2); t ∈ [0, 1].

f(x, y, z) = cos z, σ : t→ (sin t, cos t, t), t ∈ [0, 2π].

f(x, y, z) = z, y σ(t) = (t cos t, t sin t, t), para 0 ≤ t ≤ t0.

15

f(x, y) = x+y donde σ describe un triangulo de vertices (0, 0), (1, 0)y (0, 1) en sentido antihorario.

103. Consideremos un alambre semicircular uniforme de radio a. Hallar elcentroide y el momento de inercia respecto al diametro que pasa porlos extremos del alambre.

104. Un alambre uniforme tiene la forma de la porcion de curva de intersec-cion de las dos superficies x2 + y2 = z2 e y2 = x que une los puntos(0, 0, 0) y (1, 1,

√2). Hallar la coordenada z del centroide.

105. Hallar la masa de un alambre cuya forma es la curva de interseccion dela esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano x + y + z = 0 si la densidad delalambre en (x, y, z) es x2.

106. evaluar cada una de las integrales dobles si Q = [0, 1]× [0, 1]

a)∫ ∫

Q(xy)2 cosx3dA, dAes diferencial de area

b)∫ ∫

Qln [(x+ 1)(y + 1)] dxdy

c)∫ ∫

Qsen(x+ y)dA

d)∫ ∫

Q(x2 + 2xy + y

√x)dxdy

107. Calcular∫ ∫

Q(x− y + 1)−2dxdy donde Q = [1, 2]× [0, 1]

108. Cambiar el orden de integracion y evaluar

∫ 2

0

∫ 1

y2

(x+ y)2dxdy.

109. Cambiar el orden de integracion y evaluar

∫ 2

0

∫ √2y12

(x2 + y3x)dxdy.

110. Evaluar∫ 1

0

∫ e2xex

x ln ydydx.

111. Si Q = [−1, 1]× [0, 2], calcular la integral doble∫ ∫

Q

√|y − x2|dxdy.

112. Dibujar la region de integracion y calcular la integral doble:∫ ∫Sx cos(x+y)dxdy, siendo S el triangulo de vertices (0, 0), (π, 0)

y (π, π).∫ ∫S(1 + x) sin ydxdy, siendo S el trapezoide de vertices (0, 0),

(1, 0), (1, 2) y (0, 1).∫ ∫Sex+ydxdy, siendo S = {(x, y)/ |x|+ |y| ≤ 1}.

113. Una lamina delgada esta limitada por el arco de parabola y = 2x− x2y el intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Determinar su masa si la densidad en cada

punto (x, y) es1− y1 + x

.

16

114. Determinar el centro de gravedad de una lamina delgada rectangularABCD si la densidad en todos sus puntos es el producto de sus dis-tancias a los lados AB y AD.

115. calcular el volumen de solido acotado por el plano xz, el plano yz, elplano xy, los planos x = 1 y y = 1,y la superficie z = x2 + y4.

116. Sea f continua en Q = [a, b]× [c, d], para a < x < b, c < y < d, definir

g(x, y) =∫ xa

∫ ycf(u, v)dvdu Mostrar que

∂2g

∂x∂y=

∂2g

∂y∂x= f(x, y).

Usar este ejemplo para estudiar la relacion entre el teorema de Fubiniy la igualdad de las derivadas parciales mixtas.

117. Hallar el promedio de f(x, y) = ysenxy sobre D = [0, π]× [0, π].

118. Hallar el promedio de f(x, y) = ex+y sobre el triangulo con vertices(0, 0), (0, 1) y (1, 0).

119. Hallar el centro de masa de la region entre y = 0 y y = x2, donde0 ≤ x ≤ 1

2.

120. Una placa de oro grabada D esta definida por 0 ≤ x ≤ 2π y 0 ≤ y ≤π (centımetros) y tiene una densidad de masa ρ(x, y) = y2sen24x +2(gramos por centımetro cuadrado). Si el oro cuesta 7 dls por gramo,¿cuanto vale el oro en la placa?.

121. En el ejercicio anterior ¿cual es la densidad de masa promedio en gramospor centımetro cuadrado?.

122. Evaluar∫ ∫ ∫

Wx2dV , donde W = [1, 2]× [0, 1]× [0, 1].

123. Hallar el volumen del solido acotado por el paraboloide z = 2x2 + y2 yel cilindro z = 4− y2.

124. Evaluar

∫ π

0

∫ π4

0

∫ secϕ

0

sen2ϕdρdϕdθ.

125. Cambiar el orden de integracion en∫ 1

0

∫ x0

∫ y0f(x, y, z)dzdydx para

obtener otras cinco formas de la respuesta. Esbozar la region de inte-gracion.

126. Evaluar∫ ∫ ∫

S(xyz)dxdydz, donde S es la region determinada por las

condiciones x ≥ 0, y ≥ 0 y x2 + y2 + z2 ≤ 1.

127. Evaluar∫ 1

0

∫ 2x

0

∫ x+yx2+y2

dzdydxy esbozar la region de integracion.

128. La temperatura en los puntos del cubo W = [−1, 1]× [−1, 1]× [−1, 1]es proporcional al cuadrado de la distancia al origen.

¿Cual es la temperatura promedio?

17

¿En que puntos del cubo la temperatura es igual a la temperaturapromedio?

129. Evaluar las integrales:∫ 1

0

∫ 2

1

∫ 3

2cos [π(x+ y + z)] dxdydz.∫ 1

0

∫ x0

∫ y0

(y + xz)dzdydx.∫ 1

0

∫ y

0

∫ x√3

0

x

x2 + z2dzdxdy

130. SeaG : R3 → R3 definida porG(ρ, θ, ϕ)= (x, y, z) donde x = ρ sinϕ cos θ;y = ρ sinϕ sin θ; z = ρ cosϕ. Hallar D = G(D∗).Si D∗ = {(ρ, θ, ϕ) : ϕ ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π] , ρ ∈ [0, 1]}.

131. Sea G(u, v) = (u − v, 2u − v) hallar D∗ = {(u, v) : u, v ∈ R} tal queG(D∗) = D donde D es el paralelogramo acotado por y = 2x, y =2x− 2, y = x, y, y = x+ 1.

132. Sea D la region del primer cuadrante que esta entre los arcos de cir-cunferencia x2 + y2 = a2, x2 + y2 = b2 con 0 < a < b, hallar D∗ tal queD = G(D∗) donde G es el cambio de coordenadas (a polares).

133. Sean T (u, v) = (u2−v2, 2uv) yD∗ = {(u, v) : u2 + v2 ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0}.Hallar T (D∗) = D.

134. Sean T (u, v) = (4u, 2u+ 3v) y D∗ = [0, 1]× [1, 2]. Hallar T (D∗) = D.

135. Sea R la region acotada por x + y = 1, x + y = 4, x − y = −1, yx− y = 1, sea u = x+ y, v = x− y. Hallar la region D en el plano UVque corresponde a R bajo este cambio de coordenadas.

136. Sean T (x, y) = (x+ y

2,x− y

2) y D∗ = [−1, 1]× [−1, 1] un cuadrado de

lado 2 y con centro en el origen. Determine la imagen D obtenida alaplicar T a D∗.

137. en cada uno de los ejercicios anteriores (del 114 al 120) hallar la matrizjacobiana de los campos vectoriales dados.

138. Calcular el rotacional de los siguientes campos vectoriales:

F (x, y, z) = (yz, xz, xy).

F (x, y, z) = xi+ yj + zk.

F (x, y, z) = (x2 + y2 + z2)(3i+ 4j + 5k).

F (x, y, z) = 3x2 + yi+ (x3 + y3)j.

139. Mostrar que F (x, y, z) = y(cosx)i+x(seny)j no es un campo vectorialgradiente.

18

140. calcular la divergencia de los siguientes campos vectoriales en los puntosindicados

F (x, y, z) = xi+ 3xyj + zk; en (0, 1, 0).

F (x, y, z) = (x+ y)3i+ (senxy)j + (cosxyz)k; en (2, 0, 1).

F (x, y, z) = xi+ yj + zk; en (1, 1, 1).

141. Probar las siguientes identidades:

∇(F.G) = (F.∇)G+ (G.∇)F + F × rotG+G× rotF .

div(F +G) = divF + divG. y rot(F +G) = rotF + rotG.

div(fF ) = fdivF + F.∇f. y div(F ×G) = G.rotF − F.rotG.

rot(fF ) = frotF +∇f ×F. y rot(F ×G) = FdivG−GdivF +(G.∇)F − (F.∇)G.

rot(rotF ) = ∇(divF )−∇2F .

∇(F.F ) = 2(F.∇)F + 2F × (rotF ).

div(∇f ×∇g) = 0. y ∇.(f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f .

H.(F ×G) = G.(H × F ) = F.(G×H).

F × (G×H) = (F : H)G−H(F : G).

H.(F ×∇)×G) = ((H.∇)G).F − (H.F )(∇.G).

Nota: f, g son campos escalares y F,G,H campos vectoriales en R3.(F.∇)G = (F.∇g1, F.∇g2, F.∇g3) donde G = (g1, g2, g3), y, (F×∇)×Gsignifica que ∇ actua solo sobre G, ası F ×∇ = (f2

∂

∂z− f3

∂

∂y, f3

∂

∂x−

f1∂

∂z, f1

∂

∂y− f2

∂

∂x).

142. Halle la matriz jacobiana de F (s, t) = (st, ts, est, set, tes) en el punto(1, 2).

143. si z = x2 + 3y2, donde x = et, y = cos t, aplicando la regla de la cadena

hallar∂z

∂t.

144. Sea z = x2ey3

, donde x = uv, y = u2 − v3, hallar∂z

∂uy∂z

∂v.

145. Sea z = f(x

y) aplicando la regla de la cadena hallar

∂z

∂xy∂z

∂y.

146. Obtenga las derivadas de segundo orden de la funcion compuesta z =

19

f(u2 + v2,u

v).

147. Dada la funcion z = f(r cos θ, rsenθ) hallar el laplaciano de f , (∇2f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2).

148. Halle el rotacional y la divergencia de F (x, y, z) = x2yi + zj + xyzk.

149. Considerar la aplicacion definida por las ecuaciones x = u + v, y =v − u2.a) Calcular el J(u, v).

b) Un triangulo T en el plano UV , tiene vertices (0, 0), (2, 0), (0, 2).Representar, mediante un dibujo, la imagen S en el plano XY .

c) Calcular el area se S mediante una integral doble extendida a Sy tambien mediante otra integral doble extendida a T .

d) Calcular∫ ∫

S(x− y + 1)−2dxdy.

150. Calcular cada una de las integrales triples. Representar en cada caso laregion de integracion:∫ ∫ ∫

Sxy2z3dxdy, siendo S el solido limitado por la superficie z =

xy y los planos y = x, x = 1 y z = 0.∫ ∫ ∫S(1 + x+ y+ z)−3dxdydz, siendo S el solido limitado por los

tres planos coordenados y el plano x+ y + z = 1.∫ ∫ ∫S

√x2 + y2dxdydz, siendo S el solido formado por la hoja

superior del cono z2 = x2 + y2 y el plano z = 1.

151. Pasando a coordenadas cilındricas calcular:∫ ∫ ∫S(x2 + y2)dxdydz, siedo S el solido limitado por la superficie

x2 + y2 = 2z y el plano z = 2.∫ ∫ ∫Sdxdydz, siedo S el solido limitado por los tres planos coor-

denados, la superficie x2 + y2 = z y el plano x+ y = 1.

152. Pasando a coordenadas esfericas calcular:∫ ∫ ∫Sdxdydz, siendo S una esfera de centro en el origen y radio

a.∫ ∫ ∫Sdxdydz, siendo S el solido limitado entre dos esferas concentri-

cas de radios a y b (a menor que b) y con centro en el origen.

Calcular el volumen de un solido limitado por encima por la esferax2 + y2 + z2 = 5 y por debajo por el paraboloide x2 + y2 = 4z.

153. Considerar la aplicacion definida por las dos ecuaciones x = u2 − v2 y

20

y = 2uv.

a) Calcular el J(u, v).

b) Sea T el rectangulo en el plano UV de vertices (1, 1), (2, 1), (2, 3),(1, 3). Representar, mediante un dibujo, la imagen S en el planoXY .

c) Calcular la integral doble∫ ∫

Cxydxdy haciendo el cambio de va-

riable x = u2 − v2 y y = 2uv, donde C = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}.154. Establecer la igualdad

∫ ∫Sf(xy)dxdy = ln 2

∫ 2

1f(u)du, siendo S la

region del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 2,y = x, y = 4x, mediante la introduccion de un conveniente cambio devariable.

155. Transformar la integral∫ 1

0

[∫ x20f(x, y)dy

]dx en una o mas integrales

reiteradas en polares.

156. Un cono de revolucion tiene altura h, radio de la base es a, densidadconstante y masa M . Encontrar su momento de inercia respecto a uneje paralelo a la base y que pasa por el vertice.

157. Calcular la masa del solido limitado por dos esferas concentricas deradio a y b, (0 < a < b), si la densidad en cada punto es igual alcuadrado de su distancia al centro.

158. Calcular la integral de lınea del campo vectorial F a lo largo de latrayectorıa que se indica.

F (x, y) = (2a− y)i+xj, a lo largo del camino descrito por α(t) =a(t− sin t)i + a(1− cos t)j; 0 ≤ t ≤ 1.

F (x, y) = (x2−2xy)i+(y2−2xy)j, a lo largo de la parabola y = x2

desde (−1, 1) a (1, 1).

F (x, y) = (x2+y2)i+(x2−y2j, a lo largo de la curva y = 1−|1− x|desde (0, 0) a (2, 0).

F (x, y, z) = xi+ yj+ (xz− y)k, a lo largo del camino descrito porα(t) = t2i + 2tj + 4t3k; 0 ≤ t ≤ 1.

159. Calcular el valor de la integral de lınea dada:∫C

(x2−2xy)dx+ (y2−2xy)dy Siendo C el arco e parabola y = x2

que une los puntos (−2, 4) y (1, 1).∫C

(x+ y)dx− (x− y)dy

x2 + y2donde C es la circunferencia x2 + y2 =

a2, recorrida en sentido antihorario.

21

∫C

dx+ dy

|x|+ |y|donde C es el contorno del cuadrado de vertices (1, 0),

(0, 1),(−1, 0) y (0,−1).∫Cydx + zdy + xdz donde C es la curva de interseccion de las

dos superficies y + x = 2 y x2 + y2 + z2 = 2(x + y). La curva esrecorrida de tal modo que mirando desde el origen el sentido es elde las agujas del reloj.∫C

2xyzdx+x2zdy+x2ydz, donde C es una curva orientada simpleque conecta (1, 1, 1) con (1, 2, 4).∫ (3,2)

(1,0)

2xydx+ x2dy.∫ (3,−2,5)

(0,0,0)

3xdx+ y3dy − z2dz.

160. Suponer que ∇ϕ(x, y, z) = 2xyzex2i + zex

2j + yex

2k. Si ϕ(0, 0, 0) = 5,

hallar ϕ(1, 1, 2).

161. Considera la fuerza F (x, y, z) = xi + yj + zk. Calcular el trabajo rea-lizado al mover una partıcula a lo largo de la parabola y = x2, z = 0,de x = 1 a x = 2.

162. Calcular la integral de lınea del campo F : R3 → R3 dado por

F (x, y, z) = exz(xyz2 + yz)i + xzexzj + exz(x2yz + xy)k

a lo largo del camino λ : [0, 1] → R3 λ(t) =sinh 5t4

sinh 5i + (t4 + 5t3 −

3t2 − 2t)j +1

ln 7ln(1 + 6t8)k

y a lo largo del camino µ : [0, 1]→ R3

µ(t) = ln(t2 − t+ 1)i + sen(t3 + 3t2 − 4t)j +cosh(t5 − t− 1)

(t2 − t+ 1)47

k

(Sugerencia: se supone que este ejercicio es facil).

163. Demuestre que el campo F : R4 → R4, dado por

F (x, y, z, u) = (4xuy+3yz)i+(2ux2+3xz)j+(3xy+3u2z2)k+(2x2y+2uz3)u

es conservativo. Calcule la integral de lınea de ese campo a lo largode alguna curva que una el punto (0, 1, 0, 1) con el punto (1, 0, 1, 0).Determine una funcion potencial de este campo.

164. Aplique el teorema de Green para calcular el area de la figura limitadapor la curva dada:

22

la elipse λ : [0, 2π]→ R2, λ(t) = (a cos t, bsent).

la astroide (hipocicloide)λ : [0, 2π]→ R2, λ(t) = (a cos3 t, asen3t).

La circunferencia de radio a.

165. Evaluar∮Cydx − xdy donde C es la frontera del cuadrado [−1, 1] ×

[−1, 1] orientado en direccion contraria a la que giran las manecillasdel reloj.

166. Determine si el campo vectorial es conservativo o no, si lo es halle lafuncion potencial ϕ

F (x, y) = (2xey + y)i + (x2ey + x− 2y)j

F (x, y) = (sen(xy) + xy cos(xy))i + (x2 cos(xy))j

F (x, y, z) = 2xy3i + x2z3j + 3x2yz2k

F (x, y, z) = (y2 cosx+ z3)i− (4− 2ysenx)j + (3xz2 + 2)k

167. Si P (x, y) = xe−y2

y Q(x, y) = −x2ye−y2 +1

x2 + y2calcular la integral∮

Pdx+Qdy siguiendo el contorno del cuadrado de lado 2a determinadopor las desigualdades |x| ≤ a y |y| ≤ a.

168. Dados dos campos escalares u y v derivables con continuidad en un con-junto abierto que contiene el disco R cuya frontera es la circunferenciax2 + y2 = 1. Definimos dos campos vectoriales F y G como sigue:

F (x, y) = v(x, y)i + u(x, y)j, G(x, y) = (∂u

∂x− ∂u

∂y)i + (

∂v

∂x− ∂v

∂y)j

Encontrar el valor de la integral doble∫ ∫

RF.Gdxdy si se sabe que

sobre la frontera de R se tiene u(x, y) = 1 y v(x, y) = y.

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