8. Solido zurrunaren higidura

1.Sarrera Solido zurruna: GORPUTZ ZABAL DEFORMAEZINA.

Partikulen arteko distantzia kteaEz puntualaPartikula-sistema

Idealizazio oso erabilgarria!! (Idealizazioa da, edozein gorputz era batean edo bestean deformatu baitaiteke)

Adib: Barrak, hagatxoak, poleak, bolak, diskoak, zilindroak, … Simetria handikoak

Solido zurrunean bi higidura mota berezitu:

A. TRANSLAZIOA: Partikula guztiek ibilbide paraleloak deskribatu.

B. ERROTAZIOA: Partikula guztiek ibilbide zirkularrak errotazio ardatzaren inguruan.

TRANSLAZIOA

ERROTAZIOA

SOLIDOAREN HIGIDURA

Higidura definitzeko 6 koordenatu3 posizioari dagozkionak

3 orientazioari dagozkionakMomentu linealaren teorema: Translazio higidura ebazteko.

Momentu angeluarraren teorema: Errotazio higidura ebazteko.

2. Solido zurrunaren estatika

Solido zurruna orekan Pausagunean (oreka estatikoa)

Abiadura ktean (oreka dinamikoa)

Demagun F1, F2, … FN indarren eraginpean dagoen solido bat:

i

i 0FF

0FrMMi

iii

OiO

OREKA !!

3. Ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren dinamika. Inertzia-momentua.

Demagun solido zurrun bat biratzen, zeinen errotazio ardatza solidoaren bi puntu finkoetatik pasatzen baita.

• dm-ren abiadura zirkunferentziarekiko tangentea:

dm

O

Y

X

r

Z

oLd

dm masako elementu infinitesimal arbitrarioar dm-ren posizio bektoreaρ = r sinφ erradioko zirkunferentzia deskribatu dm-k

non ω solidoaren abiadura angeluarra den.

ω berdina da solidoaren puntu guztietan, baina ez v (ardatzaren distantziaren menpekoa da).

• dm-ren momentu angeluarra: dmv rLd O

dmvrdLo r eta v perpendikularrak

z ardatzaren norabidean: sindmvrdLoz dmdL 2Oz

ρ = r sinφdirenez:

3. Ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren dinamika. Inertzia-momentua

Solidoaren puntu guztientzat integratuz…2 2

Oz Oz

M M M

L dL dm dm masa guztiarentzat integrala

Loz osagaiak ez du jatorriarekiko menpekotasunik, beraz: Loz = Lz hau da;

zz IL M

2z dmI non

Solidoaren inertzia momentua errotazio ardatzarekiko

Indarren momentua:

dt

LdM O

O

dt

dLM z

z

Solidoaren azelerazio angeluarraerrotazio

ardatzarekiko

0 0 ktez

z z

d IM I

dt

Orokorrean Lx eta Ly ez dira zertan nuluak izan behar:

kLjLiLL zyx

L

yzL

Ardatzaren norabidea finko mantentzeko, solidoari nulua ez den indar-momentu bat egin behar zaio.

4. Inertzia ardatz nagusiak. Steiner-en teorema.

-k biraketa-ardatzaren norabidearekin bat datorrenean INERTZIA-ARDATZ NAGUSIA

Hau da, // biraketa ardatza

Solidoa simetria zilindrikoa badauka:• ARDATZ NAGUSIA = SIMETRIA-ARDATZA• 3 ardatz nagusi cartesiar:

Y

X

Z

Y

X

Y

X

Z Z

Steiner-en teorema:Masa zentrotik pasatzen den ardatz batekiko inertzia-momentua ezaguna bada, kalkula daiteke horrekiko paraleloa den beste edozein ardatzen inertzia-momentua.

MZ

P

dm

22 2 2' 2 P

M M M M M

I dm d dm dm d dm d dm

d

'

M

IMZ

Ip = IMZ + Md2

4. Inertzia ardatz nagusiak. Steiner-en teorema.

Solido simetriko batzuen inertzia momentuak ardatz nagusiarekiko:

Eraztuna

Zilindro ( L 0) edo Diskoa ( L 0)

(a)

(b)

Hagatxo mehea

Esfera

Paralelepipedoa

R

2I MR

21

2I MR

2 21 1

4 12I MR ML

21

12I ML

22

5I MR

2 21

12I M a b

R

(a)

(b) L

L 2

L 2

a

b

5. Solido zurrunaren ardatz finko baten inguruko biraketako energia zinetikoa. Energiaren teorema.

Demagun berriz ere

Solido zurrunarentzat (barne indarren lana nulua denez)

energiaren teorema:

Ez t-rekiko deribatuz:

dm

O

Y

X

r

Z

oLd

2 2 21 1

2 2zdE v dm dm

2 2 2 21 1

2 2z z

M M M

E dE dm dm ktea solidoaren puntu guztientzat

Iz

21

2z zE I

kanzW E

2z

1

2z

z z

dE dI I M

dt dt

Kanpo indarrek egindako potentzia: zP M

5. Solido zurrunaren ardatz finko baten inguruko biraketa energia zinetikoa. Energiaren teorema

Energia potentzial grabitatorioa:

non

MZ

y

dm

X

Y

Z

z

MZz

MZ

MM

p gMzzdmggzdmE

M

MZ zdmM

1z

Solido zurrun baten Ep-a MZ-ren altuerarekiko menpekoa baino ez da:

Ep=MghMZ

Indar momentua:

O MZM R mg

5. Solido zurrunaren ardatz finko baten inguruko biraketa energia zinetikoa. Energiaren teorema

Translazio eta biraketa magnitudeen baliokidetasunak:

a

v

x

mI

Puntu materialaren higidura Simetria-ardatz finko baten inguruko solido zurrunaren higidura

Momentu lineala, Ardatzarekiko momentu angeluarra,

Energia zinetikoa, Biraketako energia zinetikoa,

Lana, Lana,

Newton-en bigarren legea, edo .

Biraketa-higiduraren oinarrizko ekuazioa, edo .

vmp

L I

21

2zE mv 21

2zE I

dxFdW dMdW

amF

dt

pdF

M I dL

Mdt

6. Solido zurrunaren higidura laua• Solidoaren partikula guztiak plano batekiko paraleloki higitzen direnean.

• Hiru askatasun gradu2 translazio higidura deskribatzeko

1 planoarekiko perpendikularra den ardatzarekiko biraketa deskrib.

Adib: zilindroa, gurpila, kotxe baten motorraren parte asko, …

- MZ-aren higidura

- MZ-aren inguruko barne higidura

1

2aztertuko ditugu

Erraztasunerako: OXY planoa = MZ-ren higidura planoaOZ ardatza = errotazio-ardatza

1 MZ-ren higidura ekuazioak:

2

2

dt

RdMAM F

2

2

xx dt

XdMM AF

2

2

yy dt

YdMM AF

MZ-ren azelerazioaMZ-ren posizioa

2 MZ-ren inguruko higidura:

MZz IM

Energia zinetikoa:

6. Solidu zurrunaren higidura laua

2z z

1

2E M V E'

MZ-ren energia

zinetikoa

MZ-rekiko higidurari dagokion Ez

2 21 1

2 2z MZE M V I ω

2

2

1'' MZMZz IEE

C

C

P

P’

r

P

7. Errodadura-higiduraZilindro edo esfera batek gainazal lau batean errodatzen dutenean: lotura bat egongo da.

Biraketarekin lotutakoa

Translazioa deskribatzeko: (1)

Bi askatasun gradu baino ez!

Translazio zuzenarekin

lotutakoa

Errotazioa deskribatzeko: (2)

RMdt

PdF

MZMZ

MZzz I

dt

dI

dt

Id

dt

dLM

Suposa dezagun objektua plano inklinatu batean errodatzen duela:

RF

N

gM

r

s= r

gorputzak errodatu labaindu gabe

Bi egoera posibleSolidoak labaindu gabe errodatzen du

Solidoak labainketarekin errodatzen du

1

2

7. Errodadura-higidura

(1) eta (2) berridatziz:

Solidoak labaindu gabe errodatzen du1

s = r φ

dsV r

dt

dVR A r

dt

Mg sin - FR = MA

r

AIIrF MZMZR

2

sin

1R

MZ

MgF

Mr

I

2

sin

1MZ

gA

IMr

Labainketarik gabe errodatzeko vzorua ukitzen duen solidoko puntuaren abiadura = 0

marruskadura estatikoa: cosR s sF N Mg

2

sincos

1R s

MZ

MgF Mg

MrI

2

tan 1sMZ

Mr

I

7. Errodadura-higidura

Plano inklinatuak malda handia baduedo

s <<

2

Labainketarik gabeko errodaduraren kasuan ez da energiarik disipatzen:

Kontserbatzen da!

EZ+Ep= ktea

2 21 1 sin kte

2 2 MZMV I Mgs

Objektuak labaindu

2

tan 1sMZ

Mr

I

Ekuazioak:

Mg sin - mdN = MA

d MZN r I

Labainketa dagoenean marruskadura indarrak lan negatiboa egin Em galtzen da EZ DA KONTSERBATZEN!!