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RESTRICCIONES AL DOMINIO DE UNA FUNCION

¿Qué es el dominio de definición de una función y cómo se calcula?

El dominio de una función es el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida. Esto

significa, los valores de x para los cuales se puede hacer la cuenta que expresa la función. Por lo tanto,

para calcular el dominio de una función es necesario prestar atención a la cuenta que debemos hacer

con la x para obtener el correspondiente valor de y. Esto es así porque en el conjunto de los números

reales no todas las operaciones tienen solución. Así como dentro del conjunto de los números

naturales no es posible restar 5 de 7 (el resultado de esta operación no es un número natural, sino un

número entero, -2), dentro del conjunto de los números reales no hay resultado posible para

determinadas operaciones. Estas situaciones se enumeran a continuación:

No es posible dividir por cero: el cero no es divisor de ningún número. En una fracción decimos que el denominador (que es el divisor) no puede ser igual a cero (pruebe hacer con la calculadora divisiones por cero). Esto significa que si tenemos una expresión cualquiera

del tipo 𝑦 =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), los valores de 𝑥 que anulen (hagan cero) el denominador (𝑔(𝑥))

conducirán a una división por cero, por lo que la expresión 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) carecerá de sentido y no

tendrá resultado posible. Para esos valores de 𝑥 decimos que la función y no está definida.

Por lo tanto, el procedimiento analítico para obtener los valores de x que no pertenecen al

dominio de la función consistirá en igualar el denominador a cero y despejar el valor de x correspondiente:

𝑔(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = ?

Ejemplo: Si 𝑦 =5

𝑥−8 , entonces darle a 𝑥 el valor 8 conduce a una cuenta que no tiene solución.

Por lo tanto decimos que la función 𝑦 no está definida para 𝑥 = 8. Luego, el dominio de

definición de 𝑦 es: 𝐷𝑜𝑚 𝑦 = ℜ − {8}(todos los números excepto el 8). El valor 8, que aquí

sale por simple observación de la función, puede ser más difícil de hallar, pero el

procedimiento analítico para obtenerlo es siempre el mismo: “igualar el denominador a cero y

despejar x” (𝑔(𝑥) = 0)

No es posible calcular la raíz de índice par de números negativos: El radicando no puede ser

negativo. Trataremos mayoritariamente el caso de la raíz cuadrada (índice 2). La raíz cuadrada

de un número a es el valor que elevado al cuadrado da por resultado a. Ahora bien, como

cualquier número elevado al cuadrado arroja siempre un resultado positivo, es obvio que el

radicando no puede tomar valores negativos. Lo que decimos es que si tenemos una función

𝑦 = √𝑓(𝑥) , entonces, los valores de 𝑥 que hagan que 𝑓(𝑥) sea negativa, provocarán una

cuenta que no tiene solución dentro del conjunto de los números reales.

Ejemplo: 𝑦 = √𝑥 − 3. En este caso, el radicando 𝑥 − 3 no puede tomar valores negativos.

Probemos con algunos números:

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Si 𝑥 = 5; 𝑥 − 3 = 2; y la raíz tiene solución.

Si 𝑥 = 4; 𝑥 − 3 = 1 y la raíz tiene solución.

Si 𝑥 = 3; 𝑥 − 3 = 0 y la raíz tiene solución.

Pero si, por ejemplo 𝑥 = 1, entonces, 𝑥– 3 = −2, y √−2 no tiene solución en ℜ , pues no hay

ningún número que elevado al cuadrado de por resultado -2 (si no está convencido de esto,

simplemente haga la cuenta con la calculadora). Analíticamente, para estar seguros de tomar

todos los valores que pertenecen al dominio de la función, simplemente se resuelve la

inecuación 𝑥 − 3 ≥ 0, la que da por resultado 𝑥 ≥ 3. Por lo tanto, la función está definida

únicamente para todos los valores de 𝑥 mayores o iguales que 3

No es posible calcular el logaritmo de números negativos:

Recordemos la definición de logaritmo:

log𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

b: base (si la base es 10, el logaritmo se llama “decimal” y la base no se escribe. Si la base es el

número 𝑒, el logaritmo se llama “natural” o “neperiano”. El símbolo 𝑙𝑜𝑔 cambia por 𝑙𝑛 y la base tampoco se escribe)

a: argumento.

c: resultado.

Ejemplo: según la definición dada, log2 8 = 3 porque 23 = 8

Observe que el logaritmo es una operación que se define únicamente para bases positivas. Por

lo tanto, es evidente que, por cómo está definida esta operación, el argumento debe ser

positivo (no puede ser negativo, ni cero), puesto que una potencia de base positiva (𝑎𝑐) arroja

siempre un resultado positivo. Para convencerse de esto, intente encontrar el log3(−9), esto

es, busque a que valor debe elevar 3 para obtener por resultado -9 (3? = −9)

Luego, si tenemos una expresión como 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑓(𝑥), la función sólo estará definida para los

valores de 𝑥 que hagan a 𝑓(𝑥) > 0 (positiva)

Por lo tanto, para buscar los valores de x que componen el dominio de la función, deberemos

resolver la inecuación resultante de plantear a 𝑓(𝑥) > 0.

Ejemplo: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥2), Como vimos, el argumento debe ser positivo (no puede ser negativo,

ni cero), por lo tanto planteamos:

𝑓(𝑥) > 0 ⇒ 𝑥2 > 0 ⇒ | 𝑥| > 0 ⇒ 𝑥 > 0 ∨ 𝑥 < 0

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(∨:disyunción lógica ”o”; significa uno o el otro)

Luego, 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = ℜ − {0} = {𝑥 ∈ ℜ/ 𝑥 ≠ 0}

Ejemplos: Calcular el dominio de las siguientes funciones:

1) 𝑦 =𝑥2+1

𝑥2−1

No hay restricciones en el numerador. Para todo valor de 𝑥 es posible resolver la cuenta 𝑥2 + 1. Por

otro lado, analizamos el denominador: sabemos que no se puede dividir por cero, por lo tanto los

valores de 𝑥 que anulen el denominador conducirán a una cuenta sin solución. Para buscar dichos

valores procedemos así:

𝑥2 − 1 = 0 ⇒ 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = ±1. Esto significa que si 𝑥 = 1 o 𝑥 = −1, entonces 𝑥2 − 1 = 0

y la cuenta 𝑥2+1

𝑥2−1 no se puede resolver (quedaría

2

0). Por lo tanto, ambos valores no pertenecen al

dominio de la función. Luego,

𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = ℜ − {1, −1} = {𝑥 ∈ ℜ/ 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1}

2) 𝑦 =1

𝑥+ √𝑥 + 1

Tenemos aquí cocientes y radicales. Sabemos que ambos pueden presentar problemas.

No se puede dividir por cero, por lo que inmediatamente se deduce que debe ser 𝑥 ≠ 0 (por el primer

término e independientemente del resto de la función). Sin embargo la restricción se queda corta, pues

falta considerar la √𝑥 + 1. El radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo, por lo que

deberá ser 𝑥 + 1 ≥ 0 y, por lo tanto 𝑥 ≥ −1para que la raíz se pueda resolver. Pero recuerde que,

por el primer término no podía ser 𝑥 = 0 . En consecuencia, representando ambas restricciones,

tenemos:

Representación de x ≠ 0

Representación de x ≥ -1

Representación del dominio de 𝑓(𝑥)

0

−1

−1 0

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𝑥 ≥ −1 y además 𝑥 ≠ 0

Por lo tanto: 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = {𝑥 ∈ ℜ/ 𝑥 ≥ −1 ∧ 𝑥 ≠ 0}

3) 𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑥 +1

√2𝑥+1

Para este caso podríamos dividir mentalmente la función en dos partes: la primera, la función

polinómica 3𝑥2 − 5𝑥 y la segunda la función irracional 1

√2𝑥+1

La función polinómica 3𝑥2 − 5𝑥 no presenta restricciones al dominio, es decir, está definida para todo

valor de 𝑥. Pero la función irracional 1

√2𝑥+1 tiene las restricciones de la raíz y de la división por cero.

Debe ser:

2𝑥 + 1 ≥ 0 para que la raíz se pueda resolver

2𝑥 + 1 ≠ 0 para que la división se pueda resolver

Ambas situaciones se pueden resumir en que debe ser: 2𝑥 + 1 > 0 para que toda la cuenta 1

√2𝑥+1 tenga

solución. Luego:

2𝑥 + 1 > 0 ⇒ 2𝑥 > −1 ⇒ 𝑥 > −

Por lo tanto: 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = {𝑥 ∈ ℜ/ 𝑥 ≥ −1

2} = (−

1

2; +∞)

4) 𝑦 =2𝑥

1−2𝑥

Nuevamente, por ser un cociente deberemos prestar especial atención tanto al numerador como al

denominador. El primero no presenta restricciones; siendo una función polinómica, está definida para

todo valor de 𝑥 (si no está convencido de esta situación, busque un valor de 𝑥 que no pueda ser

multiplicado por 2). Para el denominador, sabemos que no puede valer cero pues la división por cero

es una operación sin sentido matemático. Busquemos entonces los valores de 𝑥 que presentan

problemas:

1 − 2𝑥 = 0

2𝑥 = 1

𝑥 = 0

Atención: Debe recordar que todo número (con excepción del cero) elevado a la cero es igual a 1

Note que el valor hallado es único: la resolución de la ecuación asegura que el único valor para el cual

1 - 2x = 0 es x = 0, razón por la cual es el único valor que está fuera del dominio de la función

Tenemos, entonces, que para x = 0 la cuenta no se puede resolver, por lo tanto 0∉Domf (x).

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Entonces, el dominio de la función es el siguiente: 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = {𝑥 ∈ ℜ/ 𝑥 ≠ 0} = ℜ − {0}

Aclaración: el hecho que para 𝑥 = 0 el numerador de la función (2𝑥) se anule no es problema alguno.

No se confunda, el problema radica en la imposibilidad de dividir por cero, pero cero puede ser dividido

por todo número (excepto, por supuesto, por sí mismo)

5) 𝑦 =√𝑥3

log 𝑥

Tenemos aquí restricciones para la raíz, para el logaritmo y la clásica restricción de la división por cero.

√𝑥3: el radicando de la raíz de índice par no puede ser negativo, debe ser mayor o igual a cero. O

sea 𝑥3 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ √03

⇒ 𝑥 ≥ 0. Puede obtener este resultado, directamente, recordando que

la potencia de exponente impar conserva el signo, con lo cual para toda x negativa el resultado de 𝑥3 es

negativo y √𝑥3 no se puede resolver; por lo tanto debe ser 𝑥 positiva o cero

log 𝑥: El argumento del logaritmo debe ser positivo. En este caso, como el argumento es simplemente

𝑥, no hace falta despejar ningún valor, directamente debe ser 𝑥 > 0. Además, el logaritmo nunca arroja

por resultado cero (si no comprende esto, revea la definición dada de logaritmo) ya que no hay manera

de elevar la base (10 en este caso) a una potencia tal que el resultado sea cero. Por lo tanto, el

denominador nunca se anula.

Tenemos, entonces, que debe ser:

𝑥 ≥ 0 para la raíz que figura en el numerador se pueda resolver.

𝑥 > 0 para que el logaritmo que figura en el denominador se pueda resolver.

Por lo tanto, ambas condiciones se resumen en 𝑥 > 0. Luego,

𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = ℜ+ = (0; +∞) = {𝑥 ∈ ℜ/ 𝑥 > 0}