80 Oscilaciones y Mas
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7/26/2019 80 Oscilaciones y Mas
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Oscilaciones
INTRODUCCIN
La vibracin de la cuerda de unaguitarra, de un cristal de cuarzo,
de la membrana de un
altoparlante, del sonido, el
movimiento de los pistones de un
motor, el vaivn de un pndulo,
etc. Son movimientos que se
repiten una y otra vez y se
denominan movimientos
peridicos. Cuando el movimientose realiza entre dos posiciones
extremas, siguiendo una misma
trayectoria se denomina
movimiento oscilatorio
Causas de la Oscilacin
La causa del movimiento oscilatorio es la fuerza restauradora que
aparece cuando se saca el cuerpo de su posicin de equilibrioPara que un cuerpo mvil alrededor de un punto fio est en equilibrio, es
menester que la vertical que pasa por el centro de gravedad pase tambin
por el punto de suspensin. Con esta condicin, el equilibrio puede ser!
estable, inestable o indiferente.
"#$%quilibrio inestable "&$ %quilibrio estable
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%l equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posicin de
equilibrio, vuelve al puesto que antes ten'a, por efecto de la gravedad.
%n este caso el centro de gravedad est( debao del punto de
suspensin. "#$. %emplo! %l pndulo, la plomada, una campana
colgada.
%l equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posicin
de equilibrio, se alea por efecto de la gravedad. %n este caso el centro
de gravedad est( m(s arriba del punto o ee de suspensin. "#$.
%emplo! )n bastn sobre su punta.
%l equilibrio es indiferente si el cuerpo siendo movido, queda en
equilibrio en cualquier posicin. %n este caso el centro de gravedad
coincide con el punto de suspensin. %emplo! )na rueda en su ee.
*eamos en las figuras tres situaciones de equilibrio de sendas canicas
sobre superficies lisas. %n cada caso a la canica se le +a desplaza aambos lados del punto equilibrio y se la +a soltado. dem(s se grafica la
componente del peso en la direccin tangente a la pista.
Las canicas sobre pistas lisas con una posicin central de equilibrio.
la fuerza sobre la canica que -aparece- cuando es sacada de su posicin
de equilibrio estable, se le llama fuerza recuperadora. Se le llama as'
porque tiende a llevar a la canica +acia la posicin central de equilibrio.
%sta fuerza es responsable de la oscilacin de la canica.
Movimiento Peridico
%s aquel que se repite a intervalos regulares, cada cierto tiempo fio.
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Movimiento Armnico
%l movimiento de la part'cula es armnico cuando la posicin de la
part'cula se puede expresar por funciones seno o coseno
Movimiento Oscilatorio
%l movimiento de la part'cula es
alternativo en un sentido y en otro,
sobre una misma trayectoria
alrededor de un punto de
equilibrio cambiando peridicamente
el sentido de su velocidad y
aceleracin debido a una fuerza
recuperadora. %n todo movimiento
oscilante debe +aber! posicin deeuili!rioy fuerza recuperadora.
Oscilaciones Mec"nicas
Las oscilaciones mec(nicas
uegan un papel de primer
orden no slo desde el punto
de vista cient'fico sino tambin
tcnico, como resulta evidente
al mencionar la importancia
que tienen los problemasvibratorios que surgen en
muc+os casos reales. %l efecto
de las vibraciones sobre
estructuras, en condiciones de
resonancia como se observa
en la figura es vital para el
diseo.
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MO#IMI$NTO ARMONICO %IMP&$ ' MA%(
Concepto
%s un movimiento! rectil'neo, peridico y oscilante/ que ocurre debido una
fuerza recuperadora sobre la part'cula, cuyo valor es directamente
proporcional al desplazamiento, respecto de su posicin de equilibrio.
Descripcin Cinem"tica de un MA%
Sea una part'cula efectuando 0S en el ee 1, como se muestra en la
figura!
$lon)acin "*$
%s la coordenada * de la part'cula respecto a la P%. *puede ser positivao negativa/ si est( a la derec+a, o izquierda de la P%/ respectivamente.
Amplitud "$
%s el m(ximo desplazamiento desde P% que alcanza la part'cula. 2curre a
ambos lados "extremos$del trayecto, donde la velocidad de la part'cula es
v 34.
x=-A x=0 x=Ax(t)
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Ciclo u oscilacin completa
%n la figura el recorrido! "5$"2$"6$"2$"5$/ o cualquier otro
camino completo. Lo realiza en 7"897$
:ecorrido de una part'cula en cuartos de periodoPeriodo "8$
%s el tiempo en que se realiza un recorrido completo "un ciclo$.
2bserve en la misma figura, que! "5$ "2$ "6$ "2$ "5$
897 897 897 897
+recuencia de oscilaciones "$
%s el n;mero de oscilaciones completas en la unidad de tiempo.
3 "< ciclos u oscilaciones o vueltas$9t en =ertz3>=z?3>s5@?
Propiedad! 3@98
+recuencia an)ular "$
La frecuencia angular es la velocidad angular de la circunferencia asociada
al movimiento oscilatorio.%l movimiento armonico simple es la proyeccin
lineal del movimiento circular. La velocidad angular es el (ngulo que se
recorre en el movimiento circular por segundo.
%s la # veces lafrecuencia!
3#3#98 >rad9s?
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Ecuaciones cinemticas de una partcula en MAS sobre el eje X:
Posicin '*(
Se mide desde el centro "4$, que corresponde a la posicin de equilibrio
"P%$. lcanza sus m(ximos "amplitud$ en los extremos de la trayectoria.
Aonde y B es la amplitud m(xima
,'t( - A %en '.t / 01( o 1"t$ 3 Cos "t 6 D#$
Aonde!
't / (! %s el argumento de la funcin armnica "en radianes$ y
! Ease inicial, es un (ngulo que nos indica el punto "xo$ donde seempieza a medir el tiempo "to 3 4$.
#elocidad 'v(
Puede ir a la derec+a"$, o a la izquierda"$. %s cero en los extremos, y
m(xima en el centro, de la trayectoria/ respectivamente.v't( - 2A Cos '2t / 0( o 1"t$ 3 5 Sen "t 6 D$
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Aceleracin 'a(
Siempre seala +acia la P%. Su magnitud es proporcional a la posicin del
mvil.
a't( - 3 24A %en '2t / 0( o a"t$ 3 5F# Cos "Ft 6 D$
a't( - 3 24 ,
Gr(ficas! posicin, velocidad y aceleracin/ vs. el tiempo de un 0S para el caso
de fase inicial cero! 34.
O!servaciones!
Las ecuaciones deben ser aplicadas conunto, para resolver un problemade 0S. Hunca deben mezclarse ambos conuntos de ecuaciones para un
mismo problema.
Los argumentos en las ecuaciones cinem(ticas, se pueden llevar de seno a
coseno y viceversa, aplicando!
sen"t6$ 3 cos"t659#$ Cos"t6$35sen"t659#$
%emplo! Convertir Sen"@4t 6 I9#$ a funcin coseno
Cos"@4t 6 I9#5 I9#$ 3 Cos "@4t$
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/k m
DINAMICA $N $& MA%
%n relacin a las fuerzas sobre una part'cula en 0S, se cumple la
siguiente caracter'stica! JLa fuerza recuperadora sobre el mvil esproporcional a su desplazamiento respecto de la posicin de
euili!rio5
%I%T$MA MA%A R$%ORT$ 6ORI7ONTA&
Sea un resorte de longitud natural Lo y constante el(stica 8, con unextremo sueto a la pared y el otro extremo que sueta a un bloque de
masa m, todo sobre un piso +orizontal sin friccin, como se muestra en lafigura
Si aplicamos una fuerza deformadora +orizontal al resorte, alando albloque +asta que alcance una elongacin m(xima y lo soltamos, el
bloque quedar( bao la accin de la fuerza el(stica del resorte. Cuando el
resorte esta estirado ala al bloque +acia el centro. Cuando el resorte esta
comprimido empua al bloque sealando tambin +acia el centro. %s decir
esta fuerza el(stica viene a ser la fuerza recuperadora.
La fuerza el(stica actuando como fuerza recuperadora/ es adem(s la
fuerza resultante!
Euerza recuperadora! E"x$ 3 5Kx
E el(stica 3 5 K* 3 Eresultante 3 m.a 3 m "5#x$ 3 5m # *
%liminando *, resulta que! 3 3# >rad9s?
%s decir la frecuencia angular
del sistema masa5resorte
depende de la constante
el(stica y de la masa
oscilante, y no depende de laamplitud de oscilacin.
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P
y
y
A
-
0
mg
-k(+y)
-k
mg
= kwm
A
%I%T$MA MA%A R$%ORT$ #$RTICA&
%n este caso un resorte de longitud natural Lo y constante el(stica 8secoloca en forma vertical, con un extremo sueto al tec+o y el otro
extremo inicialmente libre. Luego del extremo inferior del resorte se
sostiene un bloque de masa m, el que deformar( la longitud del resorteen forma proporcional al peso suspendido, como se muestra en la figura acontinuacin!
Sistema masa5resorte vertical.
%n el equilibrio el peso del bloque se compensa con la fuerza el(stica
est(tica,.
Condicin est(tica! mg53 4 , luego ! mg 3
Cuando el bloque oscile en forma vertical, lo +ar( en forma simtrica
alrededor del nivel donde el bloque se encontraba en reposo "posicin de
equilibrio$.
Condicin din(mica! mg 5 '6y$ 3 mg 5 5 y 3 ma9, y como mg 3
entonces, 5y 3 ma9
Aespeando! a9- 3 ':;m( 9 - 3 4 9
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2 21 1
2 2= + = +m c peE E E mv kx
2 21 1( cos ) ( )2 2
= +mE m w A w t k A se m w t
2 21 1
2 2= + = +
m c peE E E mv kx
La ecuacin representa la din(mica del movimiento vertical de un bloque
de masa m sueta a un resorte vertical de constante el(stica . Seg;n lo
cual este sistema masa5resorte vertical oscila en 0S alrededor de su P%
con una frecuencia similar al sistema bloque5resorte, +orizontal.
%s decir con frecuencia angular!
3 mk/ 3# >rad9s?
$N$R
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2 2 21 1
2 2= = mE k A m A
2 2 21 1
2 2= =
mE k A m A
2 21 1
2 2== +
mE m v k x
2 21 1
2 2= + = +
m c peE E E mv kx
2 2 21 1 1
2 2 2
= +k A m v k x
2 2 2 2( )= v A x
La energ'a mec(nica
%n los valores m(ximos
La grafica en funcin de la elongacin se observa en al figura
$CUACION D$ &A #$&OCIDAD
Aespeando v
$CUACION D$ &A AC$&$RACION
$CUACION D$& P$RIODO
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$=emplo 1
)na masa de 4,@g se encuentra realizando un 0S en el ee x, de
ecuacin x"t$34,7cos"@4t$. %n una cierta posicin"a la derec+a de x34$ e
instante, es detenido mediante un proyectil de masa 4,4@g y vp35#4& i
m9s, quedando incrustado en ella. Aeterminar la energ'a del nuevosistema masa5resorte.
%olucin.5
=allemos la constante del resorte, que no cambiar( cuando se incruste el
proyectil!
# 3 9m 3 #m 3 @4#x4,@ 3 @4 H9m
%n el punto donde ocurre la colisin totalmente inel(stica corresponde a la
nueva amplitud del sistema "bloque y bala$5"resorte$ ya que la bala se
detiene instant(neamente unto con el bloque.
=allemos esta nueva amplitud aplicando la conservacin de la cantidad de
movimiento!
m@v16m#v43 4
Ae x"t$3 4,7 cos"@4t$ v@"t$ 3 57sen"@4t$
:eemplazando en la conservacin de la cantidad de movimiento!
m1 m2
v1 v2PE
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4,@x>57sen"@4t$? 3 4,4@x>5#4& ? @4t 3 9&
Ae lo cual, la nueva amplitud ser(! 3 x"@4t39&$ 3 4,7cos"9&$ 3 4,#
Por lo tanto, la nueva energ'a! %mec3 "@9#$#3 "@9#$x@4x4,##3 4,# M
$=emplo 4
Para el caso de la figura mostrada, el bloque sueto al resorte esta quieto
y el c+oque ser( totalmente inel(stico, determinar la ecuacin
caracter'stica del movimiento oscilante.
m@3@g m#3#g
%olucin
l untarse los bloques la posicin de equilibrio no cambia, por lo cual esta
velocidad 5usto despus del c+oque5es la m(xima velocidad del nuevo
sistema masa5resorte.
pliquemos la conservacin de la cantidad de movimiento lineal para
calcular esta velocidad del conunto de bloques usto despus del c+oque
totalmente inel(stico!
m@v3"m@6m#$v01 v013# m9s
=allemos la amplitud , reemplazando x34, v3#m9s y 39m 3 N449&3 @4#/ en
#3x#6"v9 $#!
8endremos! 3@4 9@4 m
Por lo cual> x3 @4 9@4 sen"#@4 t$
v=6m/s v=0 k=600N/m
= 0
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Pro!lema ?
)na part'cula que cuelga de un resorte sometido solo a la accin del peso
y la fuerza del resorte, est( en reposo, ver figura. Ae pronto se le imprime
una velocidad v3@m9s +acia arriba. Si la amplitud de la oscilacin que
realizar( es de 4,#m, +allar su posicin vertical "medida desde laposicin de equilibrio$ en t34,##7s
"sen@,@# 34,O$.
"t34.##7$34,#sen"x4,##7$
34,#xsen"@,@#$34,#x4,O3@1B m
Problema 7
)na part'cula realiza 0S con 4,@ m de amplitud y # =z de frecuencia.
Calcule!
a$ Los valores m(ximos de la aceleracin y la velocidad,
b$ La aceleracin y la velocidad cuando el desplazamiento es de 4,@4m, y
c$ %l tiempo para que la masa se desplace desde la posicin de equilibrio
"P%$ +asta un punto a 4,@#m de este.
%olucin.5
a$ x01334,@m, Como 3#=z 3#37rad9s ,
luego v01337x 4,@34,Nm9s, y a013#3#,7#m9s#.
b$ partir de la ecuacin a35#x, x"4,@$ 35@N#x 4,@35@,N#m9s#
8ambin, de la ecuacin "7$! x#6"v9$#3#, obtenemos! v3"#5x#$
v"x34,@$34,7m9s
c$ Podemos iniciar el conteo "t34$ en x34. %s decir! x3sent
x"t3Q$34,@#34,@sen7t, entonces! t34,4R7 s
Solucin:
%l nivel inicial del bloque en reposo es la posicin deequilibrio, lugar donde ocurre la m(xima rapidez! v013.:eemplazando! v 3 @m9s y 3 4,# m 3 rad9ssumimos la ecuacin de movimiento para la coordenada