8 - Teoria y Práctica de la estimación lineal
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GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERA
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Consu ltor INTERCADE
Junio 2008
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACIONTEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin lineal.
Estimadores tradicionales.
La varianza de extensin.
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin lineal
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealLos estimadores
En la mayoria de los casos, cualquier VR z(x)se
conoce solamente en algunos puntos, z(xa),
mientras que interesa en todo el campo.
La solucin se encuentra en la estimacin: z*(x)
= f [ z(xa) ]
La cantidad a estimar puede tener soporte vno
nulo.
y tiene de que estimarse siempre con los
mismos datos: z* v(x) = fv [z(xa) ]
= vv dzvxz )(
1)(
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin lineal
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealEjemplo de estimacin puntual
Un mapa temtico se puede obtener con unaestimacin en los nodos de un grid, empezando
de los datos disponibles, normalmente internos
en la area y de soporte puntual.
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin lineal
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealMapa de isovalores
Es un mapa tematico obtenido por.
1. estimacin en los nodos de un grid.
2. interpolacin de los valores estimados para
obtener la lnea isovalor.
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealEstimadores lineales
Los datos: z(x) =1,N
La variable a estimarz(x0)
La funcin matemtica mas simple es la
combinacin lineal (o media pesada).
Loslason los pesos.
=
=n
xzxz,1
0* )()(
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin lineal
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealLa FA estimador lineal
En Geoestadstica la VR z(x)es la realizacin deuna FA Z(x).
El estimador, como es una combinacin lineal de
FAs, es el mismo una VA.
El estudio de la VA estimador lineal sirve para
decidir como elejir los pesos la
( ) ( )=
=n
xZxZ,1
0
*
8
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealLa FALa FA error deerror de estimaciestimacinn
El error de estimacin:
Es una combinacin lineal de la FA
Es una VA y se puede estudiar con las
herramientas probabilisticas.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 100
0
1
00
*
==
==
=
=
conxZ
xZxZxZxZ
n
n
99
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealEl error de estimacin
El error de estimacin, como es una VA, estadefinido por la ley de probabilidades.
0,05
0,1
0,15
,
1010
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealLaLa imparcialidadimparcialidad de lade la estimaciestimacinn
Una propiedad bsica: imparcialidad.
Lo mejor seria garantizar un error nulo, pero no
es posible:
Sin embargo podemos imponer que la media del
error sea nula:
El estimador que garantiza la media del error
nula se define imparcial.
[ ] ( ) ( ) 000* == xZxZEE
( ) ( ) 000*
== xZxZ
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealLa condiciones de imparcialidad
Si la FA es una FASt, su media es constante:E[Z(x)]=m
Entonces, imponer la imparcialidad
.implica
[ ] [ ] [ ]
( ) 01)()()()( 000
*
===
===
mmm
xZExZExZxZEE
1=
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Teoria de la estimacin linealEjemplo: la media aritmetica
La media aritmtica.
es un estimador imparcial.
( )
( )
( ) ( )
11
1
11
11
1
0
*
==
===
==
==
=
nn
nn
n
n
xZxZnn
xZ
xZ
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Teoria de la estimacin linealEjemplo: el inverso de la distancia
Los ponderadores son proporcionales al inverso de
la distancia entre un dato y el punto a estimar.
El estimador es imparcial si la constante de
proporcionalidad respeta la relacin.
==
==nn
a
xZxZ
h
kxZ11 0,
0
* )()(1
)(
=
==
===n
nn
h
kh
k
1 0,
1 0,1 1
11
1515
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Teoria de la estimacin linealEjemplo: el inverso del cuadrado de la distancia
Lo mismo vale por el inverso del cuadrado de ladistancia:
La constante tiene que valer:
==
==nn
xZxZ
h
kxZ
a 1
'
1
20
* )()(1
')(
0,
=
===== n
nn
h
khk
12
0,
12
0,1
'
11'1'
1616
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Teoria de la estimacin lineal
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Teoria de la estimacin linealAlgn comentario
Todos los tres estimadores son imparciales. Media aritmtica: el resultado es independiente de la
ubicacin de los datos, solo importa el nmero.
Inverso de la distancia: el resultado depende de ladistancia entre dato y punto a estimar, entonces de
la ubicacin relativa de los datos.
Los tres no tienen en cuenta el tipo de variabilidad
espacial, que se expresa en el variograma.
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Teoria de la estimacin linealQu se quiere estimar
Un punto: Ejemplo: los nodos de una malla.
muestras
Nodos de la malla
regular dondeestimar el valor Z0
de la variable
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Teoria de la estimacin linealQu se quiere estimar
Un bloque.
muestrasmuestras
Bloque del cual
estimar el valor
medio Zv de lavariable
Bloque del cual
estimar el valor
medio Zv de lavariable
1919
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Teoria de la estimacin linealQu se quiere estimar
Un bloque irregular (parte de un campo).
muestras
Campo poligonal delcual estimar el valor
medio de la variable ZV
2020
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Teoria de la estimacin linealQu se quiere estimar
Un yacimiento (un campo).
Campo del cualestimar el valormedio ZV de lavariable.
Campo del cualestimar el valormedio ZV de lavariable.
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Teoria de la estimacin lineal.
Estimadores tradicionales.
La varianza de extensin.
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Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionalesLos estimadores lineales clsicos
Media mvil.
Polgonos de influencia.
Inverso de la distancia.
Interpolacin de los
mnimos cuadrados.blancoblanco
muestrasmuestras
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Los estimadores tradicionales
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Los estimadores tradicionalesEl caso de estudio: campo y ubicacin de las muestras.
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Los estimadores tradicionales
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Los estimadores tradicionalesEl caso de estudio: los datos de las muestras.
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Los estimadores tradicionales
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Los estimadores tradicionalesEl caso de estudio: las clases de valores de los datos.
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Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionales
Meda mvil
Mismo peso para todas lasmuestras.
No hay diferenciacin :
en funcin de la distanciadato-blanco.
en caso de informacin
superabundante.
%20
5 5,1
5,1*
==
==
=
=
i
i
ii
i
i
Z
Z
Z
2727
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Los estimadores tradicionales
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Los estimadores tradicionalesMedia mvil: ejemplo
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Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionalesPolgonos de influencia
Toda la informacin deriva del dato mas cercano. La influencia es limitada a un solo dato.
11 22
33
44
55
2929
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Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionalesPolgonos de influencia: ejemplo
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Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionalesInverso de las distancias
Los pesos derivan solo de la
distancia dato-blanco.
No hay discriminacin en caso de
informacin superabundante.
La seleccin del grado de la funcin
es subjetiva.
( )
( )
=
=
=
== 5,15,1
5,1*
1 iii
i i
i i
i
Z
d
d
Z
Z
( ) ( ) iiii dddidddqi == :..:... 2
1
23
4
5
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
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Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionalesInverso de las distancias: ejemplo
Inverso d
Inverso d2
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACIONTEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
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Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionales
Interpolacin por mnimos cuadrados: ejemplo
Grado 2
Grado 6
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TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionales
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
Los estimadores tradicionales
Estimadores tradicionales: ejemplos EXCEL
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TEORIA Y PRACTICA DE LATEORIA Y PRACTICA DE LA
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ESTIMACION
TEORIA Y PRACTICA DE LA
ESTIMACION
Teoria de la estimacin lineal. Estimadores tradicionales.
La varianza de extensin.
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La varianza de extensin
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La varianza de extensin
Estimacin por extensin
La estimacin mas simple: el valor del dato seatribuye al volumen que esta a su alrededor; Zv(X0)
= Z(x0)
Zv(x0)?
Z(x0)
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La varianza de extensin
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
La varianza de extensin
Es una estimacin imparcial?
S, la suma delos ponderadores es 1, entonces la
media del error es cero.
La varianza del error de estimacin se llama
varianza de extensin.
==== 1)()()( 00000*
xZxZxZv
[ ] 0)()( 00* === mmxZxZEE vv
[ ] ( ) ( )[ ]2002
00
*22 )()()()()0( xZxZExZxZEEv vvvE ===
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La varianza de extensin
TEORIA Y PRACTICA DE LA ESTIMACION
La varianza de extensin
Cuanto es precisa la estimacin por extensin?
Mediamente el error es nulo, entonces puede serpositivo o negativo (media cero).
La medida de cunto varia cerca de la media,
depende de la varianza del error. Esa se puede calcular con los variogramas.
( ) [ ] ( ) ( ) ( )vvvxZxZEEv vE ,,02)()(0 20022 ===
3939
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La varianza de extensin
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La varianza de extensin
La precisin de la extensin
Depende de:
el tamao del volumen que tenemos que estimar, v
la ubicacin del punto, x0
el variograma, (h)
( ) ( ) ( )vvvvE ,,0202 =
4040
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La varianza de extensin
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La varianza de extensin
La precisin y el volumen
Si el volumen a estimar tiende a cero,Zv0
la varianza de extensin tiende a cero tambin.
( ) ( ) 00020,00,02)0(2 === vE
4141
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La varianza de extensin
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La varianza de extensin
La precisin y la variabilidad espacial
En el caso de un punto central y mismo volume, la
peor estimacin deriva de una variabilidad espacial
peptica.
( ) ( )
== vCvvvv
peppepE
11)0(,,02)0(2
4242
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La varianza de extensin
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La varianza de extensin
La varianza de extensin en general
En general se habla de extensin cundo se estima el
valor medio desconocido de un volumen V a travs delvalor conocido de un volumen ven el contenido, v V
v puede ser tambien un conjunto de elementos: v = vk Evidentemente, porv= V 2E=0
v
V( ) ( ) ( ) ( )VVvvVvVvE ,,,2
2 =
4343
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La varianza de extensin
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La varianza de extensin
Ejercicio
Calcular la precisin de estimacin de una
voladura por los tenores de los polvos de
perforacin de los barrenos, considerando
1. todos los datos.2. solo los datos centrales.