7.4 E xponentes con números enteros y notación...

328 CAPÍTULO 7 Polinomios

159. ¿Se puede multiplicar un polinomio grado 2 por un polinomio grado 2 y que el

producto sea un polinomio de grado 3? De ser así, menciona un ejemplo. De lo con-

trario, explica por qué no.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPOSimplifica.

160. 1x 1 12 1x 2 12 161. 1x 1 12 12x2

1 x 2 12 162. 1x 1 12 1x3

2 x21 x 2 12

163. 1x 1 12 12x41 x3

2 x21 x 2 12

Utiliza el patrón de las respuestas de los ejercicios 160 a 163 para anotar el producto.

164. 1x 1 12 1x52 x4

1 x32 x2

1 x 2 12 165. 1x 1 12 12x6

1 x52 x4

1 x32 x2

1 x 2 12

166. Explica por qué el diagrama de la derecha representa 1a 1 b2 25 a2

1 2ab 1 b2.

Dibuja diagramas que representen:

a. 1x 1 22 25 x2

1 4x 1 4

b. 1y 1 32 25 y2

1 6y 1 9

c. 1z 1 42 25 z2

1 8z 1 16

a

b

a b

ab

b2

a2

ab

7.4 Exponentes con números enteros y notación científica

OBJETIVO 1 Exponentes con números enteros

El cociente de dos expresiones con exponentes con la

misma base se puede simplificar al escribir cada expre-

sión con sus factores, dividir entre los factores comunes

y escribir el resultado con un exponente.

Observa que la resta de los exponentes da como resultado

el mismo cociente.

Para dividir dos monomios con la misma base, resta los

exponentes de bases semejantes.

x5

x25

x1# x

1# x # x # x

x1

# x1

5 x3

x5

x25 x522

5 x3

SECCIÓN 7.4 Exponentes con números enteros y notación científica 329

en dividir las expresiones con exponentes

Simplifica. A. a7

a3 B.

r8s6

r7s

A. Las bases son iguales. Resta el exponente a7

a35 a723

5 a4

en el denominador del exponente en

el numerador.

B. Resta los exponentes de las r8s6

r7s5 r827s621

5 rs5

bases semejantes.

Recuerda que para cualquier número a, a 2 0, aa 5 1. Esta propiedad es verdadera

también para las expresiones con exponentes. Por ejemplo, para x 2 0, x 4

x 4 5 1.

Esta expresión también se puede simplificar mediante el uso de la

regla para dividir expresiones con exponentes y la misma base.

Como x 4

x 4 5 1 y x 4

x 4 5 x 0, la siguiente definición de se utiliza para un exponente cero.

EL CERO COMO EXPONENTE

Si x 2 0, entonces x0 5 1. La expresión 00 no está definida.

EJEMPLOS

1. Simplifica: 112a32 0, a 2 0

Cualquier expresión diferente de cero a la potencia cero es 1. 112a32 05 1

2. Simplifica: 2 1y42 0, y 2 0

Cualquier expresión diferente de cero a la potencia cero es 1.

Como el signo negativo se calcula fuera del 2 1y42 05 21

paréntesis, la respuesta es –1.

El significado de un exponente negativo se puede desarrollar mediante el análisis del

cociente x 4

x 6 .

La expresión se puede simplificar si anotamos con sus

factores el numerador y el denominador, dividiéndolos

entre los factores comunes, y luego anotando el resultado

con un exponente.

Ahora simplifica la misma expresión restando los expo-

nentes de las bases semejantes.

Como x 4

x 6 51x 2 y

x 4

x 6 5 x 22, las expresiones 1x 2 y x22 deben ser iguales. Esto da lugar a la

definición siguiente de un exponente negativo.

Concéntrate

x4

x45 x424

5 x0

x4

x65

x1# x

1# x

1# x

1

x1

# x1

# x1

# x1

# x # x5

1

x2

x4

x65 x426

5 x22

Toma nota

En el ejemplo 1 del lado derecho,

indicamos que a 2 0. Si

tratamos de evaluar 112a32 0

cuando a 5 0, obtenemos 312 102 3 405 312 102 40

5 00. Sin

embargo, 00 no está definido.

Por tanto, debemos suponer que

a 2 0. Para evitar establecer esta

restricción para todos los ejemplos

o ejercicios, supondremos que las

variables no adoptan valores que

resultan en la expresión 00.

Punto de interés

En el siglo XV, la expresión 122m se

utilizaba para expresar 12x22. El

uso de m reflejaba una influencia

italiana. En Italia, m se utilizaba

para menos y p para más. Se

entendía que 2m se refería a una

variable sin nombre. En el siglo

XVII, Isaac Newton introdujo el

uso de un exponente negativo,

la notación que utilizamos en la

actualidad.


DEFINICIÓN DE EXPONENTES NEGATIVOS

Si n es un número entero positivo y x u 0, entonces x2n

51

xn y

1

x2n 5 x

n.

EJEMPLOS

En cada uno de los ejemplos siguientes, simplifica la expresión escribiéndola con

un exponente positivo.

1. x2105

1

x10 2.

1

a255 a5

3. 2235

1

235

1

8

en evaluar una expresión numérica con un exponente negativo

Evalúa 224.

Escribe la expresión con un exponente positivo.

Luego, simplifica.

Una vez definidos los exponentes negativos, es posible establecer la regla de la división

de expresiones con exponentes.

REGLA DE LA DIVISIÓN DE EXPRESIONES CON EXPONENTES

Si m y n son números enteros y x u 0, entonces xm

xn 5 x

m2n.

EJEMPLOS

Simplifica cada expresión con el uso de la regla de la división de expresiones con

exponentes.

1. x3

x55 x325

5 x225

1

x2 2.

y6

y225 y621222

5 y8

3. b25

b215 b2521212

5 b245

1

b4 4.

a24

a275 a2421272

5 a3

Escribe 323

32 con un exponente positivo. Luego evalúa.

Solución 323

325 32322 • 323 y 32 tienen la misma base. Resta los exponentes.

5 325

51

35

• Utiliza la definición de exponentes negativos para

escribir las expresiones con un exponente positivo.

51

243 • Evalúa.

Problema 1 Escribe 222

23 con un exponente positivo. Luego evalúa.

Solución Revisa la página S16.

Intenta resolver el ejercicio 33, página 335.

Concéntrate

2245

1

245

1

16

EJEMPLO 1

†

Toma nota

Observa en el ejemplo de la

derecha que 22 4 es un número

positivo. Un exponente negativo no

indica un número negativo.


Las reglas para simplificar las expresiones con exponentes y sus potencias se cumplen para

todos los números enteros. Aquí volvemos a presentar estas reglas.

REGLAS PARA LOS EXPONENTES

Si m, n y p son números enteros, entonces

xm?x

n5 x

m1n 1xm2n 5 xmn 1xmyn2 p 5 x

mpynp

xm

xn5 x

m2n, x u 0 x

2n5

1

xn, x u 0 x

05 1, x u 0

Una expresión con exponentes está en su forma más simple cuando está escrita sólo con

exponentes positivos.

Simplifica: A. a27b3 B. x24y6

xy2 C. 6d24, d 2 0

Solución A. a27b35

b3

a7 • Reescribe a27 con un exponente positivo.

B. x24y6

xy25 x2421y622 • Divide las variables con la misma base

restando los exponentes.

5 x25y4

5y4

x5 • Escribe la expresión sólo con exponentes

positivos.

C. 6d245 6 #

1

d 45

6

d 4 • Utiliza la definición de exponentes negativos

para reescribir la expresión con un exponente

positivo.

Problema 2 Simplifica: A. x5y27 B. b8

a25b6 C. 4c23


Intenta resolver la página 75, página 335.

Simplifica: A. 235a6b22

25a22b5 B. 122x2 13x222 23

Solución A. 235a6b22

25a22b55 2

35a6b22

25a22b5

5 251# 7a621222

b2225

51

# 5

5 27a8b27

5

5 27a8

5b7

B. 122x2 13x222 235 122x2 1323x62

522x # x6

33

5 22x7

27

EJEMPLO 2

†

EJEMPLO 3

Toma nota

En el ejemplo 2C, el exponente en

d es 24 (4 negativo). d24 está es-

crita en el denominador como d4.

El exponente de 6 es 1 (1 positivo).

El 6 permanece en el numerador.

Observa que indicamos d 2 0.

Esto es necesario porque la di-

visión entre cero no está definida.

En este libro supondremos que los

valores de las variables se eligen

de modo que no ocurre la división

entre cero.• Se coloca un signo negativo en

medio de la fracción.

• Calcula los coeficientes. Divide

entre los factores comunes.

Divide las variables con la

misma base restando los

exponentes.

• Escribe la expresión sólo con


• Utiliza la regla para simplificar

potencias de productos.

• Escribe la expresión con


• Utiliza la regla de multiplicación

de expresiones con exponentes

y simplifica la expresión

numérica.


Problema 3 Simplifica: A. 12x28y4

216xy23 B. 123ab2 12a3b222 23



OBJETIVO 2 Notación científica

En los campos de la ciencia y la ingeniería encontramos números muy grandes y muy

pequeños. Por ejemplo, la carga de un electrón es 0.000000000000000000160 culombios.

Es posible escribir con mayor facilidad estos números en notación científica. En notación

científica, un número se expresa como un producto de dos factores, uno es un número

entre 1 y 10 y el otro es una potencia de 10.

Para cambiar a notación científica un número escrito en notación decimal, escríbelo en la

forma a 3 10n, donde a es un número entre 1 y 10 y n es un número entero.

Para números mayores que 10, recorre el punto

decimal hacia la izquierda del primer dígito. El

exponente n es positivo e igual al número de

posiciones que se recorrió el punto decimal.

Para números menores que 1, recorre el punto

decimal a la derecha hasta el primer dígito dife-

rente de cero. El exponente n es negativo. El

valor absoluto del exponente es igual al número

de posiciones que se recorrió el punto decimal.

Observa el último ejemplo: 0.0000832 5 8.32 3 1025. Mediante la definición de expo-

nentes negativos,

10255

1

1055

1

100,0005 0.00001

Como 10255 0.00001, podemos escribir

8.32 3 10255 8.32 3 0.00001 5 0.0000832

que es el número con el que comenzamos. No modificamos el valor del número, sólo lo

escribimos de otra manera.

Escribe en notación científica el número.

A. 824,300,000,000 B. 0.000000961

Solución A. 824,300,000,000 5 8.243 3 1011 • Recorre el punto decimal 11

posiciones hacia la izquierda.

El exponente sobre 10 es 11.

B. 0.000000961 5 9.61 3 1027 • Recorre el punto decimal 7

posiciones hacia la derecha.

El exponente sobre 10 es 27.

Problema 4 Escribe en notación científica el número.

A. 57,000,000,000 B. 0.000000017



†

240,000 5 2.4 3 105

93,000,000 5 9.3 3 107

0.00030 5 3.0 3 1024

0.0000832 5 8.32 3 1025

Q

Q

QQ

EJEMPLO 4

†

Toma nota

Hay dos pasos para escribir un

número en notación científica:

1) determinar el número entre 1 y

10 y 2) determinar el exponente

sobre 10.


Para cambiar a notación decimal un número escrito en notación científica también es

necesario recorrer el punto decimal.

Cuando el exponente sobre 10 es positivo, recorre el

punto decimal hacia la derecha el mismo número de

posiciones que el valor del exponente.

Cuando el exponente sobre 10 es negativo, recorre el

punto decimal hacia la izquierda el mismo número de

posiciones que el valor absoluto del exponente.

Escribe en notación decimal el número.

A. 7.329 3 106 B. 6.8 3 10210

Solución A. 7.329 3 1065 7,329,000 • El exponente sobre 10 es posi-

tivo. Recorre el punto decimal

6 posiciones hacia la derecha.

B. 6.8 3 102105 0.00000000068 • El exponente sobre 10 es

negativo. Recorre el punto

decimal 10 posiciones hacia la

izquierda.

Problema 5 Escribe en notación decimal el número.

A. 5 3 1012 B. 4.0162 3 1029



Las reglas de multiplicación y división con números en notación científica son iguales a

aquellas para calcular con expresiones algebraicas. La potencia de 10 corresponde a la

variable, y el número entre 1 y 10 corresponde al coeficiente de la variable.

Expresión algebraica Notación científica

Multiplicación 14x232 12x52 5 8x2 14 3 10232 12 3 1052 5 8 3 102

División6x5

3x225 2x52 1222

5 2x76 3 105

3 3 10225 2 3 1052 1222

5 2 3 107

Multiplica o divide.

A. 13.0 3 1052 11.1 3 10282 B. 7.2 3 1013

2.4 3 1023

Solución A. 13.0 3 1052 11.1 3 10282 5 3.3 3 1023 • Multiplica 3.0 y 1.1.

Suma los exponentes

sobre 10.

B. 7.2 3 1013

2.4 3 10235 3 3 1016 • Divide 7.2 entre 2.4.

Resta los exponentes

sobre 10. Problema 6 Multiplica o divide.

A. 12.4 3 10292 11.6 3 1032 B. 5.4 3 1022

1.8 3 1024



3.45 3 1095 3,450,000,000

2.3 3 1085 230,000,000

8.1 3 10235 0.0081

6.34 3 10265 0.00000634

Q

Q

Q

Q

EJEMPLO 5

†

EJEMPLO 6

†


REVISIÓN DE CONCEPTOSIndica si la expresión es verdadera o falsa.

1. La expresión x 5

y 3 se puede simplificar al restar los exponentes.

2. Las reglas de los exponentes se pueden aplicar a las expresiones que contienen un

exponente cero o exponentes negativos.

3. La expresión 322 representa el recíproco de 32.

4. 5x05 0

5. La expresión 423 representa un número negativo.

6. Para estar en su forma más simple, una expresión con exponentes no puede contener ningún exponente negativo.

Exponentes con números enteros (Revisa las páginas 328–332).

7. Explica cómo reescribir una variable con un exponente negativo como una expre-

sión con un exponente positivo.

PREPÁRATE

8. Mientras x no sea cero, x0 se define como igual a ? . Con esta definición,

305 ? , 17x32 0

5 ? y 22x05 ? .

9. Simplifica: 8x10

2x3

8x10

2x35 ( ? ) x____? 2 ____? • Divide los coeficientes entre el factor común 2.

Divide las partes de la variable restando los exponentes.

5 ? • Simplifica.

10. Simplifica: a3b7

a5b

a3b7

a5b5 a____? 2 ____? b____? 2 ____? • Divide las variables con la misma base restando los expo-

nentes.

5 a____? b____? • Simplifica.

5b6

? • Escribe la expresión sólo con exponentes positivos.

Simplifica.

11. y7

y3

15. p5

p

19. 22k5

11k4

23. 6r4

4r2

27. x22

12. z9

z2

16. w9

w

20. 14m11

7m10

24. 8x9

12x6

28. y210

13. a8

a5

17. 4x8

2x5

21. m9n7

m4n5

25. 216a7

24a6

29. 1

a26

14. c12

c5

18. 12z7

4z3

22. y5z6

yz3

26. 218b5

27b4

30. 1

b24

1

Ejercicios7.4


Escribe con un exponente positivo o cero. Luego evalúa.

31. 522

35. 322

3

32. 323

36. 523

5

33. 1

822

37. 23

23

34. 1

1221

38. 322

322

†

Simplifica.

39. 4x27

43. 1

3x22

47. y3

y8

51. 4x2

12x5

55. x6y5

x8y

59. pq3

p4q4

40. 26y21

44. 2

5c26

48. z4

z6

52. 6y8

8y9

56. a3b2

a2b3

60. a4b5

a5b6

41. 5

b28

45. 1ab52 0

49. a5

a11

53. 212x

218x6

57. 2m6n2

5m9n10

61. 3x4y5

6x4y8

42. 23

v23

46. 132x3y42 0

50. m

m7

54. 224c2

236c11

58. 5r3t7

6r5t7

62. 14a3b6

21a5b6

63. 14x4y6z2

16x3y9z

66. 123x21y22 2

69. 12x212 1x232 72. 12a232 1a7b212 3

75. a23b24

a2b2

78. 3x22y

xy

81. 12a2b3

227a2b2

64. 24a2b7c9

36a7b5c

67. 13x21y222 2

70. 122x252x7

73. 122ab222 14a22b2 22

76. 3x22y2

6xy2

79. 2x21y4

x2y3

82. 216xy4

96x4y4

65. 122xy222 3

68. 15xy232 22

71. 125a22 1a252 2

74. 13ab222 12a21b2 23

77. 2x22y

8xy

80. 2x21y24

4xy2

83. 28x2y4

44y2z5

†

†

84. ¿Verdadero o falso?

a. a4n

an5 a4 b.

1

am2n5 an2m

85. ¿Verdadero o falso?

a. a2nan5 1 b.

an

bm5 aa

bbn2m

Notación científica (Revisa las páginas 332–333).

86. ¿Por qué un número se escribe en notación científica en lugar de notación decimal?

PREPÁRATE

87. Un número se escribe en notación científica si se expresa como el producto de

un número entre ? y ? y una potencia de número entero de ? .

2


Indica si el número está escrito en notación científica. De lo contrario, explica por qué.

88. 39.4 3 103 89. 0.8 3 1026

90. 7.1 3 102.4 91. 5.8 3 102132

PREPÁRATE

92. Para escribir en notación científica el número 354,000,000, recorre hacia la ? el punto decimal ? posiciones. El exponente sobre 10 es ? .

93. Para escribir en notación científica el número 0.0000000086, recorre hacia la ? el punto decimal ? posiciones. El exponente sobre 10 es ? .

Escribe en notación científica el número.

94. 2,370,000

98. 309,000

95. 75,000

99. 819,000,000

96. 0.00045

100. 0.000000601

97. 0.000076

101. 0.00000000096

†

Escribe en notación decimal el número.

102. 7.1 3 105

106. 6.71 3 108

103. 2.3 3 107

107. 5.75 3 109

104. 4.3 3 1025

108. 7.13 3 1026

105. 9.21 3 1027

109. 3.54 3 1028

†

110. Tecnología Lee los recortes de noticias

de la derecha. Expresa en notación científica

el grosor en metros del memristor.

111. Astronomía Los astrofísicos calculan que el radio de la Vía Láctea es

1,000,000,000,000,000,000,000 metros. Escribe en notación científica este número.

112. Geología La masa de la Tierra es 5,980,000,000,000,000,000,000,000 kilo-

gramos. Escribe en notación científica este número.

113. Física Los nanotubos de carbono son cilindros de átomos de carbono altamente

resistentes con propiedades sobresalientes. Se han creado algunos nanotubos con un

diámetro de 0.0000000004 metros. Escribe en notación científica este número.

114. Biología El peso de una sola bacteria E. coli es 0.00000000000065 gramos. Es-

cribe en notación científica este número.

115. Arqueología Se calcula que el peso de la Gran pirámide de Keops es de

12,000,000,000 libras. Escribe en notación científica este número.

116. Nutrición La frecuencia (en oscilaciones por segundo) de una microonda gene-

rada por un horno de microondas es aproximadamente 2,450,000,000 hertz. (Un hertz

es una oscilación por segundo.) Escribe en notación científica este número.

117. Astronomía Un año luz es la distancia recorrida por la luz en un año. Un año luz

es 5,880,000,000,000 millas. Escribe en notación científica este número.

AP Photo/Paul Sakuma

Investigadores de HP ven una

imagen del memristor.

La Gran pirámide de Keops

Will & Deni McIntyre/Getty Images

En las noticias

HP introduce el Memristor

Hewlett Packard anunció el

diseño del memristor, una

nueva tecnología de memoria

con el potencial de ser mucho

más pequeña que los chips

de memoria utilizados en

las computadoras actuales.

HP creó un memristor con

un grosor de 0.000000015

metros (15 nanómetros).

Fuente: The New York Times


118. Biofisíca Biólogos y físicos trabajan juntos para medir la masa de un virus. En

la actualidad se puede medir un virus con una masa de 0.00000000000000000039

gramos. Escribe en notación científica este número.

119. Astronomía Lee el recorte de noticias de la derecha. WASP-12b orbita alrededor

de una estrella que se encuentra a 5.1156 3 1015 millas de la Tierra. (Fuente: news.

yahoo.com) Escribe en notación decimal este número.

Multiplica o divide.

120. 11.9 3 10122 13.5 3 1072 122. 12.3 3 10282 11.4 3 10262 124.

6.12 3 1014

1.7 3 109

126. 5.58 3 1027

3.1 3 1011

121. 14.2 3 1072 11.8 3 10252 123. 13 3 102202 12.4 3 1092 125.

6 3 1028

2.5 3 1022

127. 9.03 3 106

4.3 3 1025

†

128. a 3 10n y a 3 102m son números escritos en notación científica, donde n y m son

números enteros positivos, de modo que n , m. ¿ 1a 3 10n2 1a 3 102m2 es mayor o

menor que 1?

129. a 3 102n y a 3 102m son números escritos en notación científica, donde

n y m son números enteros positivos, de modo que n . m. ¿a 3 102m

a 3 102n es mayor o

menor que 1?

APLICACIÓN DE CONCEPTOSEvalúa.

130. 8221 225

132. Evalúa 2x y 22 x cuando x 5 22, 21, 0, 1 y 2.

131. 9221 323

133. Evalúa 3x y 32 x cuando x 5 22, 21, 0, 1 y 2.

Escribe en notación decimal.

134. 224 135. 2522

Completa.

136. Si m 5 n y a 2 0, entonces am

an5 . 137. Si m 5 n 1 1 y a 2 0, entonces

am

an5 .

Resuelve.

138. 124.82 x 5 1 139. 26.3x5 21

En las noticias

El planeta más candente descubierto hasta la fecha

Un planeta llamado WASP-

12b es el planeta descubierto

más caliente, con una

temperatura aproximada de

4000 °F. Orbita alrededor de

su estrella a mayor velocidad

que cualquier otro planeta

conocido, completando una

vuelta al día.

Fuente: news.yahoo.com


Indica si cada una de las igualdades es cierta o falsa. Si la igualdad es falsa, cambia el lado

derecho de ésta para convertirla en una igualdad cierta.

140. 12a2 235

2

a3

142. 12 1 32 215 221

1 321

141. 1 1a212 212 215

1

a

143. Si x 2 13, entonces 13x 2 12 0

5 11 2 3x2 0.

144. ¿Por qué en el ejercicio 143 se presenta la condición x 2 13?

145. Si x es un número real diferente de cero, ¿x22 es siempre positivo, siempre nega-

tivo o positivo o negativo dependiendo de si x es positiva o negativa? Explica tu

respuesta.

146. Si x es un número real diferente de cero, ¿x23 es siempre positivo, siempre nega-

tivo o positivo o negativo dependiendo de si x es positiva o negativa? Explica tu

respuesta.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO

147. Población y distribución de la tierra En este proyecto se te pide que determines

la distribución hipotética de la tierra entre la población mundial actual. Utiliza la cifra

7 3 109 para la población mundial actual y la cifra 3.1 3 108 para la población ac-

tual en Estados Unidos. (Fuente: www.infoplease.com.) Una milla cuadrada equivale

aproximadamente a 2.8 × 107 pies cuadrados.

a. Si todas las personas en el mundo se mudaran a Texas y a cada persona se le diera

una parcela de tierra igual, ¿cuántos pies cuadrados de tierra tendría cada persona?

El área de Texas es 2.619 × 105 millas cuadradas.

b. Si todas las personas en Estados Unidos se mudaran a Rhode Island y a cada una

se le diera una parcela de tierra igual, ¿cuántos pies cuadrados de tierra tendría

cada persona? El área de Rhode Island es 1.0 × 103 millas cuadradas. Redondea

al número natural más próximo.

c. Supongamos que a cada persona en el mundo se le da una parcela de tierra

del tamaño de una cochera (22 × 22 pies).

i. ¿Cuántas personas cabrían en una milla cuadrada? Redondea a la

centena más cercana.

ii. ¿Cuántas millas cuadradas se necesitarían para que cupiera toda la po-

blación del mundo? Redondea a la centena más cercana.

d. Si el área total de tierra en nuestro planeta se dividiera en forma equitativa,

¿cuántos acres de tierra le tocarían a cada persona? Utiliza una cifra de

5.7 × 107 millas cuadradas para el área de tierra en el planeta. Un acre

equivale a 43,560 pies cuadrados. Redondea a la décima más cercana.

e. Si a cada persona en el mundo se le diera una parcela de tierra del tamaño

de una cochera para dos automóviles, ¿cuál sería la capacidad de la Tierra?

Redondea a la centena de millar de millón más próxima.

Texas

Rhode Island

7.4 E xponentes con números enteros y notación...

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