HIDRODINÁMICA MÉDICA I

INTRODUCCIÓN Creo sin temor a equivocarme, que estamos preparados para acometer

el entendimiento de los principios de hidrodinámica que nos permitirán

comprender la hidrodinámica del aparato circulatorio que se denomina

fisiológicamente HEMODINÁMICA, para el próximo seminario.

CONCEPTOS IMPORTANTES • Líquido ideal.- Es aquel que no tiene rozamiento (viscosidad), es

decir no ejerce resistencia al desplazamiento o tránsito del mismo.

• Líquido real.- Es aquel que tiene rozamiento (viscosidad)

• Trayectoria.- Es el recorrido que genera una partícula de un líquido

en movimiento. La velocidad de la misma puede ser constante o no si

es constante se dice que el régimen del fluido es estacionario.

• Flujo o caudal.- Este término siempre nos ocasiona algún problema

en medicina, a diferencia de la ingeniería nosotros manejamos el

término flujo para los fenómenos de transporte a través de los

líquidos. Pero como el español es muy rico, los médicos y fisiológicos

hemos adoptado el término caudal para nombrar este concepto.

Obviamente los dos términos son válidos pero vale la aclaración.

Algo más, en inglés no existe esta dicotomía y solamente se utiliza el

término flujo (flow) para ambas circunstancias. Ahora si flujo o

caudal.

• Flujo o caudal.- Es la relación que existe entre el volumen de líquido

que atraviesa una determinada área de sección transversal en un

tiempo dado.

F o C = tV∆∆

• Velocidad del caudal o velocidad de flujo.- Es el desplazamiento

que realiza una partícula del líquido en un tiempo determinado.

Si la partícula presenta una velocidad promedio de “v” y recorre una

distancia “X” en un tiempo dado; la expresión sería:

∆X = velocidad x ∆t

Durante ese tiempo (∆t) habrá atravesado un determinado volumen

del líquido que puede expresarse como área de la base por la altura.

∆V = Abase x h

Pero la altura será el desplazamiento realizado por la partícula,

entonces:

∆V = Abase x ∆X

Reemplazando ∆X = v x ∆t tenemos:

∆V = Abase x velocidad x ∆t

Pasando ∆t al primer miembro de la ecuación, para obtener flujo:

tV∆∆ = Abase x velocidad

Tenemos:

Flujo o Caudal = Abase x velocidad

F o C = Abase x velocidad

La conclusión que podemos obtener de esta ecuación es la siguiente:

Velocidad = Flujo o caudal , por lo tanto Área de la base

Si el flujo es constante (como en la circulación sanguínea), a mayor

área (sección transversal) le corresponde menor velocidad.

Y esto como sabemos ocurre en los capilares.

EL PRINCIPIO DE BERNOULLI En un seminario anterior, correspondiente a la hidrostática, tocamos

de manera referencial este tema y les manifesté que era un principio

de hidrodinámica.

Antes una información complementaria. Daniel Bernoulli fue un

científico suizo que nació en el año de 1700. Descubrió que el aire

que se mueve a mayor velocidad ejerce menos presión que el aire que

se mueve a menos velocidad. Este es el principio que logra que los

aviones y helicópteros vuelen. La forma de las alas y hélices esta

hecha de tal manera que el aire que viaja por la parte superior del

ala viaja más rápido que el aire de la parte inferior de la misma. La

razón es que al ser curva en la parte superior, las moléculas de aire

tienen que recorrer mayor distancia en el mismo tiempo y por lo

tanto lo hacen a mayor velocidad.

El principio de Bernoull indica “que la presión ejercida por un fluido

disminuye a medida que la velocidad del fluido se incrementa”.

Ahora estoy seguro que podrán realizar las explicaciones

correspondientes a las cuestiones pendientes de aquel seminario.

Por si acaso he aquí la solución:

Figura 1

Atendiendo al diagrama N° 1 explique lo que ocurre con respecto a

las presiones y la velocidad del aire (coloque el término en el número

conveniente).

1. Presión baja

2. Presión alta

3. Rápido

4. Lento

Este conocimiento básico del principio de Bernoulli, nos permite

ahora hacer la siguiente extensión para los líquidos:

Si consideramos un volumen constante de un líquido que se mueve a

una velocidad también constante tendremos un flujo o caudal

constante.

Esto lo debemos entender de la siguiente manera, si tengo un tubo y

por un extremo coloco un “cilindro” de líquido por el otro se

desalojará un “cilindro” equivalente del mismo líquido.

Para que esto suceda es necesario aplicar una presión (P) por un

extremo, lo que origina el desplazamiento del volumen, es decir se

produce un trabajo.

Además el sistema que estamos diseñando, adquiere una

determinada velocidad y por lo tanto (como en los ejercicios de

seminarios anteriores) aparece una energía cinética y si nuestro

sistema se encuentra a mayor altura que nuestro nivel referencial

tendremos también energía potencial.

Resumiendo:

La energía que recibe el sistema será:

El trabajo que ocasiona su desplazamiento (W)

La energía cinética que le da la velocidad del desplazamiento (Ec)

La energía potencial de la altura con respecto al nivel de referencia

(Ep).

El sistema = W + Ec +Ep

Pero como dijimos al inicio, el caudal es constante, por lo tanto la

energía debe mantenerse constante en los dos extremos del tubo.

Si los llamamos extremo 1 y 2 respectivamente tendremos:

E1 = W1 + Ec1 + Ep1

E2 = W2 + Ec2 + Ep2

Y como E1 = E2, tendremos:

W1 + Ec1 + Ep1 = W2 + Ec2 + Ep2

Ahora coloquemos las determinantes de cada uno de los

componentes de esta igualdad:

Del W será la Presión (P)

De la Ec será 21

M v2

De la Ep será D h

Todo esto, por lo ya estudiado anteriormente.

Entonces la ecuación formada puede expresarse de la siguiente

manera:

P1 + 21 M v12 + D h1 = P2 +

21 M v22 + D h2

Ahora si realizan un análisis dimensional se darán cuenta que, cada

uno de los sumandos tiene las dimensiones correspondientes a la

presión.

Asumiendo que nuestro sistema se encuentra al mismo nivel,

tendremos que D h1 = D h2 y por lo tanto se pueden cancelar.

Quedando nuestra ecuación de la siguiente manera:

P1 + 21 M v12 + D h1 = P2 +

21 M v22

Además sabemos que como la D = VM Podemos expresar M = D x V y

como el volumen es constante D = M.

Por lo tanto, la ecuación también será igual a:

P1 + 21 D v12 = P2 +

21 D v2 2

De esta relación podemos sacar tres conclusiones:

PRIMERA:

Si aceptamos que:

P1 + 21 D v12 = P2 +

21 D v22 = constante (K)

Entonces:

P1 + 21 D v12 = K

Claramente observemos que los componentes del primer miembro de

la ecuación, son dos sumandos.

Por lo que al aumento de uno le corresponde la disminución del otro

o viceversa.

Demos valores y hagamos una tabla para aclarar la situación:

P1 + 21 D v12

= K

10 10 20

8 12 20

6 12 20

15 5 20

18 2 20

De la tabla podemos concluir que al aumentar la velocidad, la

presión disminuye y al disminuir la velocidad la presión aumenta.

Es decir hemos realizado la deducción el principio de Bernoulli.

NOTA.- No tomamos en cuenta la densidad porque es constante ya

que se trata de un mismo líquido.

SEGUNDA:

Atendiendo al segundo sumando del primer miembro de la ecuación

(1/2 D v2), tenemos que hemos deducido una fórmula de presión de

líquido en función a la velocidad, a ella la llamaremos presión

cinemática.

Presión cinemática = 21 D v12

TERCERA:

Finalmente concluimos que la Presión Hidrodinámica, será la

presión resultante de la presión hidrostática más la presión

cinemática de un fluido.

P. hidrodinámica = P. hidrostática + P. cinemática

A la luz de estos nuevos conocimientos analicemos este esquema ya

presentado en un seminario anterior:

Figura 2

Fenómeno de Venturi

Como se muestra en la figura, en la parte de mayor constricción (B)

la velocidad aumenta y por lo tanto se incrementa la incrementa

cinética.

Como la energía debe mantenerse constante la presión hidrostática

en ese punto disminuye.

En B: P2 < P1

A esto se le conoce como el Fenómeno de Venturi.

Ahora observamos este otro esquema:

Figura 3

Tubo de Pitot

En el diagrama anterior observamos que en el caso A, el tubo

“enfrenta” al líquido (las flechas indican el sentido en el que se

desplaza), mientras que en el caso B el tubo se coloca perpendicular

al desplazamiento del mismo.

La presión en el tubo A, es mayor, por la sencilla razón de que

estamos midiendo la presión hidrodinámica, es decir la hidrostática

más la correspondiente a la velocidad del líquido, es decir la presión

cinemática. Mientras que en la B solamente estamos midiendo la

presión hidrostática.

Los sistemas señalados y explicados como en el caso A, se

denominan tubos de Pitot y su desarrollo se conoce con el nombre de

Fenómeno de Pitot.

LA VISCOSIDAD Se define como la resistencia al desplazamiento o también como la

oposición de los líquidos reales a la deformación.

FUJO O CAUDAL LAMINAR Si el líquido es ideal siempre tendrá un caudal o flujo sin rozamiento,

en el caso de los líquidos reales no ocurre esto y por lo tanto se

producen dos tipos de situaciones que dependen de como fluya o se

desplace el líquido, estos son el flujo laminar y el turbulento.

El flujo o caudal laminar se origina cuando el desplazamiento se

realiza de manera parecida a como se desplazan las cartas de un

mazo completo sobre la mesa de juego (superpuestas que se deslizan

unas sobre otras). Como seguramente entienden la carta “pegada” a

la mesa casi no se desplaza mientras que las superiores si;

finalmente la más superficial alcanza la máxima velocidad y se

desplaza mucho más.

Figura 4

Flujo laminar

Figura 5

Velocidades en el flujo laminar

Coeficiente de viscosidad (η). Como la viscosidad es análoga a la

fricción, el coeficiente de viscosidad es análogo al coeficiente de

rozamiento. Debemos recordar siempre que la energía utilizada para

superar a la viscosidad se degrada en calor y que cuanto mayor es el

coeficiente de viscosidad mayor es la fuerza necesaria para hacer

fluir el líquido.

Un coeficiente de viscosidad unitario, sería aquel que nos permitiese

ejercer una fuerza unitaria que logre el desplazamiento de una

superficie líquida (lámina) de 1cm2, situada a 1cm de distancia del

plano inferior fijo, con una velocidad de un cm/s.

Figura 6

Coeficiente de viscosidad unitario (η)

Si la fuerza que permite este desplazamiento del líquido descrito en

el esquema anterior es de una DINA (1 dina) entonces estaríamos

frente a la unidad de rozamiento que es el Poise (en honor a

Poiseville).

1 Poise (P) = 1 2

1cm

sdina − o 1 Poise (P) =

sg1 x cm-1

El agua, líquido de comparación por excelencia presenta una

viscosidad a 20°C de 0.01 Poise (0.01 P) o 1 centipoises (1cP).

Debido a que el Poise (P) generalmente es una unidad muy grande

para los líquidos corporales, es frecuente encontrar en centipoises

(cP) los coeficientes de viscosidad de los ejemplos biológicos.

Ejemplos de viscosidades:

Agua 1.005 cP

Alcohol etílico 1.2 cP

Glicerina 1.5 cP

Mercurio 1.55 cP

Aceite de Oliva 84 cP

Sangre 2 a 4 cP

Plasma 2 cP

Suero 1.7 cP

Líquido cefalorraquídeo 1.024 cP

Orina 1.00 a 1.14 cP

RESISTENCIA Es la oposición al flujo hidrodinámico producida por los recipientes o

superficies contenedoras.

La resistencia al flujo en un tubo esta determinada primariamente

por el radio del mismo, como suponen a menor radio más resistencia

y viceversa. La otra determinante será la gradiente de presión, así la

resistencia puede expresarse mediante la relación entre la gradiente

de presión (P1 – P2) y el flujo o caudal.

R = FoC

2P1P −

LEY DE POISEUILLE Este importante físico francés del siglo antepasado (XIX), estudió los

fluidos líquidos y su tránsito por pequeños tubos dándose cuenta de

manera experimental que el flujo o caudal para una determinada

gradiente de presión, es proporcional a la cuarta potencia!!! del radio

del tubo e inversamente proporcional a la viscosidad del líquido.

Cuando un líquido fluye de manera laminar en un tubo, la

distribución de las velocidades es diferente por la sencilla razón de

que no existe superficie libre. Así que las capas que se moverán con

mayor velocidad serán aquellas que se encuentran más cerca del eje

del tubo.

De la siguiente manera:

La ecuación de Poiseuille es así:

F o C = L8

r)P( 4

η∆−π

Donde:

F o C = Flujo o caudal

-∆ P = (P1 – P2) Gradiente de presión

r4 = radio del tubo elevado a la cuarta potencia!!!

η = viscosidad

L = longitud del tubo

De esto podemos concluir que el flujo o caudal a través de un tubo

cilíndrico es directamente proporcional a la gradiente de presión y a

la cuarta potencia!!! del valor del radio del tubo e inversamente

proporcional a la longitud del tubo y la viscosidad del fluido.

Pero de todo esto lo que deben reconocer sin lugar a dudas es la

enorme importancia que presenta el radio del tubo, las variaciones

de sus dimensiones por pequeñas que sean, tendrán inmensos

efectos, así por ejemplo si el radio se duplica, el flujo o caudal se

multiplica dieciséis veces!!!.

FLUJO O CAUDAL TURBULENTO Podríamos decir que el régimen laminar que hemos estudiado hasta

ahora es el ideal o el de más fácil comprensión, pero lo cierto es que

éste ocurre dentro de ciertos limites de velocidad. Cuando se

superan esos límites, el líquido ya no se desplaza de manera laminar

y si se quiere “ordenada”, más bien se mezclan formando “remolinos”

o turbulencias.

Así cuando ustedes abren el caño de sus casas, la salida del agua no

debe causar mayor ruido, lo que usualmente se siente es el golpe del

agua sobre los platos o el aguadero. Pero en ocasiones algo pasa y el

agua sale “haciendo burbujas” y su salida deja de ser silente para

convertirse en ruidosa y característica. El flujo o caudal de salida

cambió de un sistema laminar a un sistema turbulento y ruidoso.

Velocidad crítica.- Se denomina así a la velocidad que debe superar

un líquido para cambiar de flujo laminar a turbulento. La velocidad

crítica depende de la viscosidad del líquido, de la densidad del

mismo y de las características del conducto.

Vc = Nr r.D

n

Donde:

Vc = velocidad crítica

Nr = número de Reynolds

η = viscosidad

D = densidad

r = radio del tubo

Como se darán cuenta, es fácil lograr una velocidad crítica

modificando un poco la superficie del tubo.

Eso es precisamente lo que hacemos cuando usamos el manguito del

tensiómetro. Provocamos un flujo turbulento para interpretarlo como

ruidos de Korotkov y así poder determinar la presión sistólica;

cuando liberamos de la deformación provocada por el manguito a la

arteria braquial, el flujo laminar se restituye y de esa manera ya no

hay ruidos y de paso determinamos la presión diastólica. Pero como

comprenderán, la circulación sanguínea se realiza por impulsos

provocados por cada sístole ventricular y por lo tanto existirán

personas que con solo esta variación normal de presión pulsátil

generen flujos turbulentos momentáneos. Por eso existen algunas

que se les escucha “ruídos de Korotkov” sin necesidad de presionar

sus arterias con el manguito.

El número de Reynolds (Nr). Es un valor matemático que oscila

alrededor de 1200 y nos sirve para presumir si el flujo es turbulento

o laminar. No se vayan a preocupar mucho acerca del valor exacto ya

que hasta la fecha es una situación sin solución, así que acordemos

ahora que para nosotros el valor del número de Reynolds será de

1200.

Aquí les traigo algunos otros que se encuentran en diversos textos de

física:

Cromer Nr < 1000 Flujo laminar

1000 < Nr < 1500 Flujo inestable

Nr > 1500 Flujo turbulento

Sears Nr < 2000 Flujo laminar

2000 < Nr < 3000 Flujo inestable

Nr > 3000 Flujo turbulento

Pero recuerden para nosotros:

Nr < 1200 Flujo laminar

Nr > 1200 Flujo turbulento