8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

1/9

1/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

Residuo de la Ecuación de Taylor

Se describió anteriormente que la ecuación de Taylor se escribe como:

f(x i+1)=f(xi) + f’(xi)h + f’’(xi)h2/2! + f’’’(xi) h

3/3! +…+f n(xi)hn/n!

donde podemos además decir

f(x i+1)≈f(xi)

Ro= f’(xi)h + f’’(xi)h2/2! + f’’’(xi) h

3/3! +…+f 

n(xi)h

n/n!

Sin embargo no resulta conveniente el manejar el residuo en formato infinito, por lo que

aproximaremos el residuo Ro como un aproximado de la primera derivad por el intervalo,

o sea:

Ro ≈ f’(xi)h

f(x i+1)≈f(xi) + Ro

En esta expresión obviamos las derivadas de orden superior. La expresión anterior se

puede graficar como:

Es claro que la pendiente de la línea de predicción exacta no es otra cosa que la división

de Ro entre el intervalo h.

El teorema de valor medio para derivadas nos dice que si una función y su primera

derivada son continuas en el intervalo x(i) y x(i+1) , entonces existe por lo menos un punto

f(xi)

Ro

Predicción de orden cero

X i+1 

f(x)

xi 

h

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

2/9

2/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

medio en la función y tiene una pendiente que se denota f’(₤) que es paralela a la línea

que une f(xi) y f (xi+1), así que nuestro gráfico anterior puede ahora representar lo

siguiente:

Por lo que tenemos que f’(₤)= Ro/h o también podemos expresar Ro= f’(₤)*h, ahora bien,

si recordamos el valor de Ro dado como

Ro=f (n+1)

(₤) *h(n+1)

 /(n+1)!

Y lo comparamos con la derivación que hemos realizado, Ro= f’(₤)*h,  vemos que se

encontró la versión de orden cero (n=0). Por lo tanto las versiones de órdenes superiores

se pueden definir por extensión lógica del razonamiento utilizado.

Ro= f’(₤)*h (orden cero) 

R1= f’’(₤)*h2/2! (primer orden )

R2= f’’’(₤)*h3/3! (segundo orden)

En cada caso ₤ será el valor de x que corresponde a la derivada de orden n+1 que hace

más exacta la ecuación.

Si examinamos la ecuación del residuo para el primer orden

R1= f’’(₤)*h2/2! Y recordamos que h= (xi+1  – xi)

X i+1 

f(x)

xi 

h

Pendiente

f(xi)

Ro

f’(₤i)

₤ 

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

3/9

3/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

Podemos re escribir esta misma ecuación como:

R1= f’’(₤)*(xi+1  – xi)2/2!

R1= f’’(₤)*(xi+1  – xi) (xi+1  – xi)/2!

R1/(xi+1  – xi)= f’’(₤)*(xi+1  – xi)/2!, donde O= f’’(₤)/2! 

R1/(xi+1  – xi)= O(xi+1  – xi), o

R1/(xi+1  – xi)= O h

R1/h= O h

Al término oh, se le conoce como el error de truncamiento, ahora si observamos la

función de serie de Taylor de primer orden, tenemos

f(x i+1)=f(xi) + f’(xi)h + R1 

Despejando f’(xi), se tiene, 

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi)]/h – R1/h

el término [f(xi+1)  –  f(xi)]/h se le conoce como la aproximación de primer orden y al

término R1/h lo hemos definido como (Oh) o error de truncamiento

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

4/9

4/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

Diferenciación Numérica

Hemos visto que de las series de Taylor y el residuo Ro, se obtiene una aproximación de la

primera derivada que expresamos como

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi)]/(xi+1  – xi) – O*(xi+1  – xi)

A esta expresión se le conoce como diferencias finitas divididas que se puede expresar

también como:

f´(xi)= Δf i/h – O*(h)

Donde  Δf i  se denomina como la primera diferencia hacia adelante  y h es el tamaño del

paso o incremento; lo que representa la longitud del intervalo sobre la cual se realiza la

aproximación. Se le llama diferencia hacia adelante porque los datos i y i+1 son utilizados

para estimar la derivada y el término completo  Δf i  /h se le conoce como primera diferencia

 finita dividida.

La diferencia dividida hacia adelante es sólo una de las tantas que se pueden desarrollar a

partir de las series de Taylor para aproximas los valores de las derivadas numéricas.

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás

La series de Taylor se expanden hacia atrás para calcular un valor anterior (xi-1) sobre base

al valor actual (xi)

f(x i-1)=f(xi) - f’(xi)h + f’’(xi)h

2

/2! - f’’’(xi) h

3

/3! +…+f 

n

(xi)h

n

/n!

f(x i-1)=f(xi) - f’(xi)h + R

podemos re escribir la ecuación para determinar f’(x) como: 

f ’(xi)h= f(xi)- f(x i-1) + R

f’(xi)= [f(xi)- f(x i-1)]/h + R/h

f’(xi)= Δf/h + O(h) 

El término  Δ f/h se le conoce como la primera diferencia dividida hacia atrás y O(h) es el

error.

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

5/9

5/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

Aproximación a la primera derivada con diferencia centrada

Una tercera forma de aproximar la primera derivada consiste en restar la serie de Taylor

expandida hacia atrás de la serie de Taylor expandida hacia adelante.

f(x i-1)=f(xi) - f’(xi)h + f’’(xi)h

2

/2! – f 

3

(xi) h

3

/3! +…+f 

n

(xi)h

n

/n!

f(x i+1)=f(xi) + f’(xi)h + f’’(xi)h2/2! + f 

3(xi) h

3/3! +…+f 

n(xi)h

n/n!

f(x i+1) - f(x i-1)= f(xi) + f’(xi)h + f’’(xi)h2/2! + f 

3(xi) h

3/3! +…+f 

n(xi)h

n/n!  –[ f(xi) - f’(xi)h +

f’’(xi)h2/2! – f 

3(xi) h

3/3! +…+f 

n(xi)h

n/n!]

f(x i+1) - f(x i-1)= 2 f’(xi)h + 2f 3(xi) h

3/3!

Despejamos f´(xi) y obtenemos:

2f’(xi)h = [f(x i+1) - f(x i-1)] - 2f 

3

(xi) h

3

/3!

f’(xi) = [f(x i+1) - f(x i-1)]/(2h) – f 3(xi) h

2/6

f’(xi) = [f(x i+1) - f(x i-1)]/(2h) – (O)h2, donde O=  f 

3(xi)/6

f ’(x)= Δf(x)/(2h) – (O)h2 

Observe que el error de truncamiento es (O)H2, donde h es del orden cuadrático a

diferencia de las aproximaciones adelante y atrás que fueron del orden uno (1). La

expresión  Δ f/2h se le conoce como la primera diferencia dividida central.  De esta forma

podemos ver que las series de Taylor ofrecen información práctica de que las diferenciascentradas ofrecen una representación más exacta de la derivada.

Gráfica de la aproximación con diferencia finita dividida de la primera derivada hacia

adelante

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi)]/h – O*h

h= (xi+1  – xi)

xi  xi+1 xi-1 

f(x)

x

h

f ’( x)

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

6/9

6/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

Gráfica de la aproximación con diferencia finita dividida de la primera derivada hacia atrás

Gráfica de la aproximación con diferencia finita dividida de la primera derivada centrada

xi  xi+1 xi-1 

f(x)

x

f´(xi)= [f(xi) – f(xi-1)]/h – O*h

h= (xi  – xi-1)

h

f ’( x)

f ’( x)

xi  xi+1 xi-1 

f(x)

x

2h

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi-1)]/2h – O*h2 

h= (xi  – xi-1)

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

7/9

7/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

Ejemplo:

Utilice las aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia

atrás, adelante y centrada para estimar la primera derivada de la función f(x) en x=0.5,

h=0.5, repita el cálculo para h=0.25. Observe las diferencias de estimación calculando |εt|

f(x)= 25x3  – 6x

2 + 7x – 88

Solución:

Lo primero es determinar cuál es el primera derivada de la función, obtener f´(x),

f ’(x)= 75x2  – 12x + 7

Luego identificamos los puntos sobre la función, estos con x i, xi-1  y xi+1, los cuales podemos

determinar con la información dada,

Siendo xi=0.5 y el intervalo h= 0.5, entonces xi+1= 0.5 + 0.5 = 1.0 y xi-1 = 0.5- 0.5= 0

xi-1 = 0 xi = 0.5 xi+1 = 1

El valor de la función en cada uno de estos puntos simplemente se obtiene de evaluar la función

en cada uno de ellos,

f(xi)= 25(0.5)3  – 6(0.5)

2 + 7(0.5) – 88

f(xi)=-82.875

f(xi-1)= 25(0)3  – 6(0)

2 + 7(0) – 88

f(xi-1)= -88

f(xi+1)= 25(1)3  – 6(1)

2 + 7(1) – 88

f(xi+1)= -62 

Podemos evaluar el valor verdadero de f ’(x), sólo reemplazando xi en la derivada,

f ’(0.5)= 75(0.5)2  – 12(0.5) + 7

f ’(0.5)= 19.75

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

8/9

8/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

El valor de f´(x) con diferencias finitas hacia adelante se obtiene como

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi)]/h

f´(x)=[-62 – (-82.875)]/0.5

f ’(x)= 41.75

εT=[19.75 – 41.75]/19.75*100%

|εT|=111.39%

El valor de f´(x) con diferencias finitas hacia atrás se obtiene como

f´(xi)= [f(xi) – f(xi-1)]/h

f´(xi)= [-82.875 – (-88)]/0.5

f ’(x)= 10.25

εT=[19.75 – 10.5]/19.75*100%

|εT|=48.1%

El valor de f´(x) con diferencias finitas central se obtiene como

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi-1)]/2h

f´(xi)= [-62 – (-88)]/2(0.5)

f ’(x)= 26

εT=[19.75 – 26]/19.75*100%

|εT|=31.6%

Siendo xi=0.5 y el intervalo h= 0.25, entonces xi+1= 0.5 + 0.25 = 0.75 y xi-1 = 0.5- 0.25= 0.25

xi-1 = 0.25 xi = 0.5 xi+1 = 0.75

El valor de la función en cada uno de estos puntos simplemente se obtiene de evaluar la función

en cada uno de ellos,

f(xi)= 25(0.5)3  – 6(0.5)

2 + 7(0.5) – 88

f(xi)=-82.875

8/19/2019 7. Residuo de La Ecuacion de Taylor

9/9

9/9

Métodos Numéricos Residuo de Series de Taylor

f(xi-1)= 25(0.25)3  – 6(0.25)

2 + 7(0.25) – 88

f(xi-1)= -86.234375

f(xi+1)= 25(0.75)3  – 6(0.75)

2 + 7(0.75) – 88

f(xi+1)= -75.578 

El valor de f´(x) con diferencias finitas hacia adelante se obtiene como

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi)]/h

f´(x)=[-75.578 – (-82.875)]/0.25

f ’(x)= 29.188

εT=[19.75 – 29.188]/19.75*100%

|εT|=47.49%

El valor de f´(x) con diferencias finitas hacia atrás se obtiene como

f´(xi)= [f(xi) – f(xi-1)]/h

f´(xi)= [-82.875 – (-86.234375)]/0.25

f ’(x)= 13.4375

εT=[19.75 – 13.4375]/19.75*100%

|εT|=31.96%

El valor de f´(x) con diferencias finitas central se obtiene como

f´(xi)= [f(xi+1) – f(xi-1)]/2h

f´(xi)= [-75.578 – (-86.234375)]/2(0.5)

f ’(x)= 21.313

εT=[19.75 – 21.313]/19.75*100%

|εT|=7.9%

La diferencia central ofrece una mejor aproximación como era de esperarse y cuando el

incremento disminuye, los valores de las aproximaciones mejoran notablemente.