6to_Seminario Geometría PRE 2013-2

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2013 – 2 6to Material de Estudio

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. En una pirámide cuadrangular regular, el lado de la base mide a. Si el área

de dicha base es los 4

9 del área total,

entonces la longitud de la altura de la pirámide es

A) a

8 B)

3a

8 C)

5a

8

D) 7a

8 E)

11a

8

02. En la figura OABCD es un sector

poligonal regular de centro O, radio OA = R y es el desarrollo de la superficie lateral de una pirámide. Calcule el área total de dicha pirámide.

A) 2R

2 B)

2R

3 C) 2R 3

D) 23R

2 E)

2R 3

4

03. En una pirámide regular ¿cuáles de

las proposiciones son correctas? A es un número total de aristas C es un número total de caras V es su número de vértices

I. A

C 12

II. C = V

III. A > V IV. A < V A) I, II, IV B) I, III, IV C) I, II, III D) II y III E) I y II

04. En una pirámide de base triangular, la longitud del radio de la circunferencia inscrita a la base es 2 cm y la longitud del radio de la circunferencia inscrita a la cara lateral mide 3 cm. Entonces, la longitud (en cm) de la apotema de la pirámide es A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) 26

05. En una pirámide regular S-ABCD los apotemas de las caras laterales SDC

y SAB son respectivamente SH y

SQ . Si m QSH y SH , entonces el área lateral de la pirámide SABCD es

A) 28 cos2

B) 24 sen

2

C) 24 tan2

D) 28 tan

2

E) 24 sec2

06. En una pirámide regular cuadrangular,

el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 3 u y 4 u respectivamente. Entonces la longitud (en u) de la altura de la pirámide es

A) 12 2 B) 12 C) 12 3

D) 9 3 E) 6 3

07. En una pirámide regular V-ABC;

AV 6 u , m AVB 40 se traza un

plano por A que intersecta solo a las caras laterales de la pirámide, determinando una sección de menor perímetro; entonces dicho perímetro (en u) mide

A

B

C

D

O 30° 30°

30°



A) 6 2 B) 6 3 C) 6 5

D) 12 E) 15

08. En la pirámide O-ABCD regular, la arista OA 8 u , si m AOB 33.75 ,

entonces el mínimo recorrido (en u) que debe realizar una hormiga que partiendo de A se desplaza sobre la superficie lateral hasta llegar al punto

medio de OA es

A) 2 5 2 3 B) 2 5 3

C) 2 5 2 D) 2 5 2 2

E) 4 5 2 2

09. En el siguiente gráfico se muestra una

región poligonal que representa el desarrollo de la superficie lateral de una pirámide regular. Calcule la razón de las áreas de la superficie lateral y de su base.

A) 4 B) 1

2 C) 2

D) 3 E) 5

2

10. En una pirámide regular de base

cuadrada, las caras laterales forman con la base diedros que miden 45. Si la diagonal de la base mide 2R, entonces el volumen de la pirámide es

A) 3R 3 B) 3R 2

3 C)

3R 3

2

D) 3R 2

8 E)

3R 5

4

11. En un triángulo isósceles ABC, AB BC 26 u , AC 20 u . M, N y P

son los puntos medios de los lados

AB , BC y AC respectivamente. Represente el desarrollo de una pirámide al plegarse por las líneas MN, MP y NP. Calcule el volumen (en u3) de la pirámide.

A) 25

1193

B) 35

1193

C) 50

1193

D) 65

1193

E) 70

1193

12. ¿A qué distancia del vértice de una

pirámide cuya altura mide H se debe trazar un plano paralelo a la base para que las dos figuras determinadas sean equivalentes?

A) 3H 2

2 B)

3H 4

2 C)

3H 6

2

D) 3H 2

4 E)

3H 4

6

13. Sea la pirámide O-ABC tal que

OA OB OC b si m ABC 90 y

AB BC a , entonces el volumen del sólido limitado por la pirámide es

A) 2

2 2a4b 2a

12 B)

2a b

6

C) 22a b

3 D)

22 2a

b a3

E) 2a b

3

14. Determine el valor de verdad:

I. En un tronco de pirámide regular las aristas laterales son congruentes, si en un tronco de pirámide las aristas laterales son congruentes el tronco de pirámide es regular.

148°



II. Si las alturas de las caras laterales de un tronco de pirámide son congruentes entre sí, entonces dichas alturas se les llama apotemas del tronco de pirámide.

III. Si las aristas laterales de un tronco de pirámide son congruentes, entonces la altura del tronco de pirámide una los centros de las bases.

A) FVF B) VVV C) FVV D) FFF E) VFV

15. En un tronco de pirámide triangular las áreas de las bases son S1 y S2. Entonces, el área de la región triangular cuyos vértices son los puntos de intersección de las diagonales de las caras laterales del tronco de pirámide triangular es

A) 1 2S S B) 2 21 2S S

C) 1 2S S

2

D)

1 2

2

1 2

S S

S S

E) 1 22 S S

16. En la figura mostrada, las áreas de las

bases de un tronco de pirámide son S1 y S2 (S1 < S2). Entonces, el área de la sección transversal que dista m de la base menor y las n de la base mayor es

A)

2

1 2n S m S

m n

B)

2

1 2m S n S

m n

C)

2

1 2nS mS

m n

D)

2

1 1m S n S

m n

E) 1 2m S n S

2 m n

17. En una pirámide regular cuadrangular

W-ABCD de volumen V, en las aristas congruentes WA, WB, WC y WD se ubican los puntos E, F, G y H de

modo que BW

AE BF4

,

WDDH CG

2 . Entonces el volumen

del sólido limitado por tronco de la pirámide AEHD-BFGC es

A) 49

V16

B) 49

V32

C) 49

V64

D) 36

V25

E) 18

V25

18. En un tronco de pirámide regular

ABCD-EFGH; AC 2a , EG 3a y

DH a . Entonces el volumen del sólido determinado por el tronco es es

A) 319a 3

12 B) 317

a 312

C) 313a 3

12 D) 323

a 312

E) 3a

32

19. Las bases de un prismoide son una

región triangular regular y una región

hexagonal regular, las áreas miden S

4

y 6S respectivamente. Si la altura

S1

Sx

S2



mide H, entonces el volumen del sólido limitado por el prismoide es

A) 206

SH24

B) 208SH

25

C) 207SH

7 D)

209SH

24

E) 209SH

11

20. En la figura mostrada ABC y EBF son

regiones triangulares equiláteras contenidas en planos

perpendiculares, AD // BE , BF // CG ,

AB // DE y BC // FG , si AC 2 u y

BE 4 u , entonces el volumen del

solido limitado por el poliedro (en u3) es

A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

21. Dado un octaedro de longitud de arista , calcule el volumen del sólido determinado por el prismoide cuyos vértices son los puntos medios de las aristas concurrentes en un vértice y los baricentros de las caras concurrentes en el vértice opuesto.

A) 3137 2

1296 B) 3143 2

1296

C) 3145 2

1296 D) 3153 2

1296

E) 3157 2

1296

22. Calcule el área de la sección equidistante a las bases y su volumen.

A) 2 311 3L , L

32 4 B) 2 317 13

L , L32 24

C) 2 313 2L , L

32 3 D) 2 315 1

L , L32 6

E) 2 317 1L , L

32 3

23. La figura muestra las vistas horizontal

y frontal de un poliedro, cuyas longitudes se expresan en dm (Las cara A y B no están en planos paralelos y A es al plano frontal).Entonces el área de la región que determina la proyección de perfil, en dm2, es

A C

D G

F E

B

BA

CD

L

L

A B

D C

G

E

H F

L H P

G

E

FH L/2

2 2

4

4

3

3

H F

A

B



A) 24 B) 48 C) 36 D) 42 E) 60

24. Se muestran las vistas principales de un poliedro. Entonces, el número de caras, es

A) 7 B) 9 C) 6 D) 8 E) 10

25. Dadas las vistas H (horizontal) y P (perfil). Halle su proyección en el plano F (frontal)

A) B) C) D) E)

26. Indique la alternativa que corresponde a la vista horizontal del sólido mostrado.

A) B) C) D) E)

27. Dado el isométrico de un sólido. Indique la vista de perfil.

A) B) C) D) E)

H

F P 30 30



28. Un sólido tiene sus tres vistas como se muestra en la figura. Calcule el volumen (en u3) del sólido.

A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32

29. La figura muestra el despliegue de la superficie de una pirámide regular de vértice O. Las áreas de las regiones OAB y ABCD son 15 dm2 y 36 dm2, respectivamente. El volumen (en dm3) del sólido que determina la pirámide es

A) 40 B) 72 C) 36 D) 60 E) 48

30. ¿Cuál de los sólidos corresponde al siguiente desarrollo?

A) B) C) D) E)

31. ¿Cuál de los hexaedros regulares no corresponde al siguiente desarrollo?

A) B) C) D) E)

O B

C

D

A

V. Horizontal

V. Frontal V. Perfil

2 u 2 u

2 u

2 u

2 u 2 u



32. ¿Cuál de los siguientes despliegues necesariamente determinan a un poliedro convexo? A) B) C) D) E)

33. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si un rectángulo gira alrededor de

uno de sus lados 360, entonces se determina un cilindro circular recto.

II. Si una recta L se mueve sobre la parábola contenida en el plano H y paralela a la recta L, perpendicular V al plano H, entonces la superficie generada es un cilindro parabólico.

III. Si una región rectangular gira alrededor de uno de sus lados 360, entonces se determina un sólido de revolución.

A) VVV B) VFF C) FVV D) FFV E) VFV

34. En la figura se muestra dos vistas de un sólido (horizontal y frontal), Si las unidades están en metros, entonces el volumen (en m3) del sólido es

A) 32 B) 34 C) 35

D) 37 E) 38

35. Los vértices de un tetraedro regular están contenidos en un cilindro circular recto. La generatriz del cilindro es una arista del tetraedro regular. Si la arista del tetraedro regular mide , entonces la longitud del radio de la circunferencia de la base del cilindro circular recto es

A) 3 2

8 B)

3 2

4

C) 3 3

8 D)

3 3

4

E) 3 2

5

36. Se inscribe un cilindro de revolución

en un hexaedro regular de arista L de modo que el eje del cilindro este contenido en una diagonal del hexaedro. Si su altura y su radio están en la relación de 5 a 1, entonces volumen del sólido que limita el cilindro es

2

2 2

5



A) 315 L 3 B) 315 L 2

C) 315 L 5 2 2 D)

3

3

15 L 3

5 4 2

E)

3

2

15 L 3

5 2 2

37. En la base de un cilindro recto de

revolución, se inscribe una región rectangular de área S. Entonces, el menor volumen del sólido limitado por el cilindro recto, cuya generatriz es igual al doble del diámetro de la base es

A) S 2S B) 3

S S2

C) 4 S S D) S 3S

E) S

S2

38. En un cilindro oblicuo de altura H, el

semieje mayor de la base es a unidades, si la generatriz forma con la base un ángulo de grados, entonces el área lateral es

A) 2 aH B) 2

aH3 C)

3aH

2

D) 4

aH3 E)

3aH

4

39. Dos planos paralelos separados 40

unidades y secantes a un cilindro de revolución determina un cilindro oblicuo de bases elípticas, cuyos diámetros máximos y mínimos miden 20 u y 16 u. Calcule el área lateral (en u2) de la superficie cilíndrica oblicua. A) 600 B) 650 C) 700 D) 750 E) 800

40. En un cilindro oblicuo, su sección

recta es un círculo de área 4 cm2 y determina con la base del cilindro un ángulo diedro que mide 45, la

distancia del pie de la altura hacia la generatriz de cuyo extremo superior

se traza dicha altura es 2 3 cm .

Entonces, el volumen (en cm3) del sólido limitado por el cilindro oblicuo es

A) 16 2 B) 16 3 C) 8 3

D) 12 2 E) 8 2

41. En un tronco de cilindro recto de base

circular, AD y BC son las generatrices mínima y máxima respectivamente (A y B en la base del tronco). Tal que AD 3 u y BC 5 u

si P es un punto de la circunferencia

de la base, 2 2 2PC PD 50 u ,

entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por dicho tronco es

A) 12 B) 15 C) 16

D) 18 E) 21

42. La cara superior de un tronco de

cilindro recto determina con la base un ángulo diedro que vale 60. Si las generatrices es máxima y mínima miden 12 u y 8 u, entonces la relación entre el área lateral y el área de la cara superior es

A) 3 B) 2 3 C) 3 3

D) 5 3 E) 6 3

43. Las rectas que contienen a los ejes mayores de las regiones elípticas que son las bases de un tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular, determinan con la generatriz máxima un triángulo equilátero. Si las dos generatrices extremas miden 4 u y 2 u, entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por el tronco de cilindro es

A) 2 B) 17

4 C)

9

4

D) 5 E) 11

4



44. En un tronco de cilindro oblicuo los ejes mayores de las bases miden 13 cm y 15 cm respectivamente. Si las generatrices máxima y mínima miden 18 cm y 4 cm respectivamente, entonces el volumen (en cm3) del sólido limitado por el tronco es

A) 350 B)396 C) 400

D) 420 E) 425

45. Indique V o F en

I. El postulado de Cavalieri se aplica para determinar áreas de superficies.

II. En el postulado de Cavalieri las secciones planas paralelas deben ser congruentes.

III. En el postulado de Cavalieri la equivalencia de volúmenes se obtiene comparando 2 ó 3 sólidos.

A) FFV B) FVF C) VVF

D) FVV E) FFV

46. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. El postulado de Cavalieri tiene demostración matemática.

II. El postulado de Cavalieri se aplica para calcular volúmenes.

III. El postulado de Cavalieri establece que dos sólidos que poseen la misma altura y las áreas de las bases son iguales y al trazar un plano paralelo a las bases, se determinan polígonos congruentes entonces los sólidos tienen el mismo volumen.

IV. Una de las condiciones del postulado de Cavalieri es que los sólidos tengan una misma altura.

A) VVFV B) VFVF C) FVFV

D) VVVV E) VVFF

47. Dos pirámides son equivalentes, sus respectivas bases son regiones equivalentes y coplanares. Calcule la razón entre las áreas de sus respectivas secciones transversales determinados por un plano paralelo a las bases y secante a dichas pirámides.

A) 2

3 B)

3

4 C)

1

2

D) 1 E) 2

48. El área lateral de un cono de revolución es S y la distancia del centro de la base a una de las generatrices es d. Calcule el volumen del sólido determinado por el cono de revolución.

A) 2

Sd3

B) Sd

3 C)

4Sd

3

D) 2Sd

5 E)

1Sd

2

49. Se tiene un embudo de generatriz g y

radio de base r, cuya capacidad es máxima. Calcule la relación r/g.

A) 1

2 B)

2

3 C)

2

2

D) 2

3 E)

3

2

50. En un cono de revolución AB , es una cuerda de la base y la distancia del

vértice del cono a AB es 10 2 u . Si

AB 8u y el área lateral es 248 6 u . Entonces el volumen (en

u3) del sólido determinado por el cono es

A) 32

383 B)

6438

3

C) 128

383

D) 32 38

E) 64 38



51. Un semicírculo cuyo radio mide 12 unidades representa el desarrollo de una superficie lateral de un cono de revolución. Entonces el volumen (en u3) del sólido que determina el cono es

A) 36 3 B) 72 3

C) 108 3 D) 54 3

E) 48 3

52. En un cono de revolución cuyo vértice

es V, el diámetro de su base es AB y su centro es O; la suma de distancia

de un punto M de AO hacia AV y

VB es a y el área de su respectiva superficie lateral es b Calcule el volumen del sólido limitado por el cono de revolución.

A) ab B) ab

2 C)

ab

3

D) ab

4 E)

ab

6

53. En la figura se muestra un cono de

revolución cuya sección axial AOC es una región equilátera de lado . P es un plano que contiene al punto A y es perpendicular a la generatriz OC. Si P determina con el cono un cono parcial entonces el volumen del solido limitado por el cono parcial es

A) 36L

108

B) 33

L12

C)

3L

9

D) 36L

96

E)

3L

36

54. En un tronco de cono de revolución,

los radios de las bases miden 4 m y 9 m, una sección plana paralela a las bases determina dos troncos parciales semejantes. Entonces la razón de las áreas de los troncos de conos parciales es

A) 2

3 B)

6

9 C)

4

9

D) 5

8 E)

4

7

55. Dado un tronco de cono circular de

bases paralelas; AB y CD son dos generatrices diametralmente opuestos, un plano paralelo a las

bases intersecta a AB y CD en los puntos P y Q respectivamente tal que

AQ // PD . Si las áreas de las bases del tronco de cono son S1 y S2, entonces el área de la sección plana determinada por el tronco de cono es

A) 1 2S S

2

B) 1 2S S

C) 2 21 2S S D) 1 2

1 2

S S

S S

E) 2 1S S

56. En un tronco de cono de revolución

cuya altura mide 2 u se inscribe un cono recto con su base congruente con la base menor del tronco y su vértice en el centro de la base mayor

del tronco. La generatriz mide 13 u

y el volumen de la región comprendida entre las superficies del

tronco de cono y el cono es 336 u ,

entonces el volumen del sólido limitado por el tronco (en u3) es A) 54 B) 36 C) 40

D) 42 E) 45

O

M

C A



57. En un cono oblicuo la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos limitados por los troncos de conos determinados.

A) 3

22 B)

5

17 C)

6

19

D) 7

19 E)

6

23

58. En la figura la región ABCD es el

desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono recto en revolución.

Si m AOD 90 y R

AO OB2

entonces el volumen del sólido limitado por el tronco de cono es

A) 36R

12

B) 315

R24

C) 37 15R

1536

D) 32 3

R15

E) 36R

18

59. Una semi corona circular cuyos radios

miden 5 u y 15 u, representa el desarrollo lateral de un tronco de cono de revolución. Entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por el tronco de cono es

A) 1625

312

B) 625

312

C) 125

312

D) 1525

312

E) 1825

312

60. El desarrollo de la superficie lateral de

un tronco de cono de revolución es un trapecio circular con un ángulo central de medida 60. Si las arcos tienen

longitudes 2 u y 2

u3

, entonces el

área lateral (en u2) del tronco es

A) 5 B) 16

3

C)

17

3

D) 6 E) 7

61. El gráfico representa el desarrollo de

la superficie lateral de un tronco de cono circular recto. Calcule la capacidad del tronco de cono.

A) 3 3a b32

B) 3 3a b

129

C) 3 313a b

32

D) 3 3a b

64

E) 3 315a b

192

62. Una poligonal regular ABCD y una

recta denominado eje son coplanares y no se intersectan el centro de la poligonal regular está en el eje. Si ap en la longitud de la apotema de la poligonal regular y h es la longitud de la proyección ortogonal de la poligonal sobre el eje. Demuestre que el área de la superficie generada por la poligonal regular ABCD al rotar una vuelta alrededor del eje es 2 .ap.h .

B C R R

O

A D

a

b



63. Tres superficies esféricas con centro común están dispuestas en el espacio de modo que una de ellas cuyo radio mide R1 contiene a los vértices A, B, C y D de un paralelepípedo rectoedro ABCD-EFGH, donde AB = BC. La segunda superficie esférica contiene a los vértices E, F, G y H y es tangente al plano ABCD. Una tercera superficie esférica de radio R2 es tangente a la cara EFGH. Calcule el área de la superficie plana ABCD.

A) 2 21 2R R B) 2 2

1 22 R R

C) 2 21 24 R R D) 1 2R R

E) 1 22 R R

64. En una esfera de radio R, se tiene

una zona esférica de una base, tal que la superficie de esta zona aumentada la superficie de la base

sea igual a los 7

16 de la superficie de

la esfera. Entonces, la altura de la zona esférica es

A) R

2 B)

R

3 C)

R

4

D) R

5 E)

R

6

65. El gráfico muestra la sección

longitudinal de una copa de vino hecha de acrílico. Calcule el área total de la copa.

A) 29R

2 B) 22 R C) 23 R

D) 25R

2 E) 27

R2

66. En una superficie esférica de radio R

se traza un plano secante determinando dos casquetes esféricos separados por la sección de

radio R

2. Calcule la relación de áreas

de los casquetes.

A) 7 4 3 B) 7 3

C) 6 2 3 D) 6 3 3

E) 4 3

67. Si un semicírculo del círculo máximo

determina una superficie total de 2135 u . Cuando gira alrededor de su

diámetro un ángulo que mide 60, entonces de longitud del radio de la esfera (en u) que contiene a la cuña esférica es A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

68. Se tiene el triángulo esférica ABC, cuyo radio mide R y sus ángulos A, B

y C miden 3

,

2

y

2

. Calcule el área

de la superficie del triángulo esférico ABC.

A) 2R3

B) 2R

4

C) 2R

3

D) 2R6

E) 2R

12

69. En un triángulo AOB recto en O, la

hipotenusa AB mide unidades. Si se rota la región triangular alrededor

del lado AB , determinado un sólido de volumen V, entonces el mayor volumen del sólido es

R

R

1R

2

3R

2



A) 3

6

B)

3

12

C)

3

4

D) 3

9

E)

3

8

70. El radio de la circunferencia

circunscrita al octógono regular mide d unidades. Calcule el volumen del sólido generado al girar la región limitada por el octógono regular ABCDEFGH, alrededor de la recta CD una vuelta completa.

A) 33 d 4 2 2

B) 33 d 2 4 2

C) 32 d 4 2 2

D) 32 d 2 4 2

E) 3d 4 2 2

71. Un plano P contiene al centro E de

una esfera. Se inscribe un cilindro

cuyo eje es EF y cuya base está contenido en P. La esfera determina en el plano P una circunferencia cuya

cuerda BD es tangente a la circunferencia de la base del cilindro de centro E. Si BD= 6 u y la longitud del radio de la base del cilindro es 2 u, entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por una de las semiesferas y el plano P es

A) 26 13

3

B)

26 5

3

C) 26

135

D)

26 7

8

E) 26

118

72. En la tierra, O es centro de la esfera.

Si PM = 1 u, (PB)(PQ) = 7 u2, entonces el volumen (en u3) de la esfera sólida determinada es

A) 64

3

B)

128

3

C) 256

3

D)

16

3

E) 200

3

73. Un sector esférico, tiene como

superficie un casquete de área S1 y una superficie cónica de área S2. Si la longitud de la circunferencia máxima que se determina en el sector esférico, es , entonces su volumen es

A) 1 2S S B) 1 2S S

2

C) 1 2S S

3 D) 1 22S S

3

E) 1 22S S

74. En la figura, O y O1 son centros de las

circunferencias, P y Q son puntos de

tangencia. Si OA R y 1AO r

entonces la razón de volúmenes de los sólidos generados por los sectores circulares sombreados, al girar una vuelta alrededor de la recta L es

A B O

P M Q

O A O1

P Q

L



A) R

r B)

2R . r

R r

C) 2

2

R

r D)

2

2

2R

r

E) 2

2

3R

r

75. D-ACB es un tronco de cilindro recto

de base semicircular, A-CE-B es una cuña esférica que se ha extraído. Si AO R , entonces su volumen es

A) 3R tg

B) 3R

18090

C) 3R

tg180

D) 3R

tg270

E) 3R

180 tg270

76. El volumen del sólido generado al

girar el sector circular (AOB) una vuelta alrededor de L1 es cuatro veces el volumen del sólido generado por el segmento circular (EF) al girar una vuelta alrededor de L2. El valor de

es

A) 37 B) 30 C) 45 D) 60 E) 53

77. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2 cm, con centros en A, B y D, cuyos radios son los lados del cuadrado se trazan interiormente los arcos BD, AC y AC que se intersecan en P y Q respectivamente. Calcule el volumen (en cm3) del sólido generado por el segmento circular PQ al girar

una vuelta alrededor del eje AD .

A) 3 3 52

B) 3 3 5

4

C) 23 3 5

3

D) 3 3 5

6

E) 3 3 56

78. En una superficie esférica cuyo radio

mide R, se traza un plano secante determinándose dos casquetes esféricos cuyas áreas están en la relación de 3 a 2. ¿En qué relación están los volúmenes de los segmentos esféricos determinados?

A) 1

3 B)

1

2 C)

37

69

D) 41

95 E)

44

81

A

O

B

C

D

E

A

B

O R

L1 L2

F

E

1

R



79. Una esfera se intersecta en un plano secante trazado a una distancia del centro igual a la mitad de la longitud del radio, en el menor segmento esférico se inscribe una esfera de volumen máximo. Calcule en qué relación se encuentran los volúmenes de la esfera inscrita y el segmento que intersecta.

A) 1

5 B)

1

6 C)

1

8

D) 1

10 E)

1

12

80. En un rectángulo una diagonal mide

10m y forma con uno de los lados del rectángulo un ángulo agudo cuya medida es 30. El rectángulo gira 360, alrededor de una recta paralela a la diagonal mencionada; la recta paralela pasa por el vértice del rectángulo. Entonces, el volumen (en m3) del sólido limitado por la superficie generada es A) 375 B) 365 C) 385

D) 275 E) 295

81. En un trapecio ABCD; BC // AD , AD b y BC a . Si la altura del

trapecio mide h, entonces el centroide de la región ABCD está ubicada

respecto a AD a una distancia de

A) h 2a 3b

3 a b

B)

h 3a b

3 a b

C) h b 2a

3 a b

D)

h a 2b

3 a b

E) h 2a 5b

3 a b

82. El lado de un hexágono regular

ABCDEF mide “L”. Si la región hexagonal gira una vuelta alrededor

del lado CD , entonces el volumen del sólido generado es

A) 32L

3 B) 35

L8

C) 32 L D) 36 L

E) 39L

2

83. En una circunferencia cuyo radio mide

3 cm, gira una vuelta completa alrededor de una recta tangente a la circunferencia. Entonces, el área (en cm2) de la superficie generada por la circunferencia es

A) 232 B) 236

C) 240 D) 242

E) 250

84. Si una región triangular ABC, de

altura BH 3 u y lado AC 4 u gira

una vuelta alrededor de AC , entonces el volumen del sólido generado (en u3) es A) 10 B) 12 C) 15

D) 16 E) 20

85. ¿Cuántos cubos son necesarios

adicionar al grupo, para formar un gran cubo de la menor longitud de arista posible?

A) 9 B) 12 C) 16 D) 18 E) 27



86. La figura está formada por pequeños cubos congruentes. El número total de cubos, que se determinan es

A) 64 B) 66 C) 60 D) 62 E) Más de 66

87. En la figura, ¿cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo sólido compacto? A) 10 B) 20 C) 22 D) 27 E) 57

88. Si los desplazamientos solo pueden ser hacia la derecha o hacia abajo, ¿cuál es el número de rutas posibles para ir de A hacia B?

A) 19 B) 23 C) 22 D) 20 E) 21

89. ¿Cuál es el número posible de trayectorias, para ir de A hacia D, sin pasar dos veces por el mismo arco?

A) 14 B) 12 C) 10 D) 16 E) 8

90. Halle el recorrido mínimo que haría la punta del lápiz al efectuar la siguiente figura.

A) 27 B) 37 C) 47 D) 57 E) 67

A

B

A D

2 cm

2 cm

2 cm

3 cm 3 cm 3 cm

2 cm

2 cm

2 cm

3 cm 3 cm 3 cm

6to_Seminario Geometría PRE 2013-2

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