6.Postulados de Probabilidade e Bayes_rev

7/28/2019 6.Postulados de Probabilidade e Bayes_rev

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BARBETTA, REIS e BORNIA Estatstica para Cursos de Engenharia e Informtica. Atlas, 2004

Estatstica para Cursos deEstatstica para Cursos deEngenharia e InformticaEngenharia e Informtica

Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia

So Paulo: Atlas, 2004

Cap. 4Cap. 4 -- ProbabilidadeProbabilidade

APOIO:Fundao de Apoio Pesquisa Cientfica e Tecnolgica do Estado de Santa Catarina(FAPESC)Departamento de Informtica e Estatstica UFSC (INE/CTC/UFSC)


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Modelos probabilsticosModelos probabilsticos

Construo demodelos deprobabilidade paraentender melhor os

fenmenosaleatrios


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Modelos probabilsticosModelos probabilsticos

Definio do

experimento

Definio dosresultados possveis do

experimento

Definio de uma regra queobtenha a probabilidade de

cada resultado ocorrer.


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Espao amostralEspao amostral

O conjunto de todos os possveis resultados doexperimento chamado de espao amostral e denotado pela letra grega .

Um espao amostral dito discreto quando ele forfinito ou infinito enumervel; dito contnuoquando for infinito, formado por intervalos de

nmeros reais.


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EventosEventos

Chamamos de evento a qualquer subconjunto doespao amostral:

A um evento A


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Operaes entre eventosOperaes entre eventos

A

B

A A

B

(c) complementar:(b) interseo:A B

(a) Unio:A B


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Operaes entre eventosOperaes entre eventos

ocorre quando no

ocorrer o eventoA (noA)

formado pelos

elementos que noesto emA

c) Complementar

ocorre quando ocorrerambos os eventos (A eB)

formado somentepelos elementos queesto emA e B

b) InterseoA B

ocorre quando ocorrerpelo menos um deles (A,B ou ambos)

rene os elementosde ambos osconjuntos

a) UnioA B

EventoConjuntoOperao

A


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Eventos mutuamente exclusivosEventos mutuamente exclusivos

Eventos so ditos mutuamente exclusivos se e

s se eles no puderem ocorrer simultaneamente.

A e B so mutuamente exclusivos A B =

A

B


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Probabilidade de eventosProbabilidade de eventos

Espaos amostrais discretos equiprovveis

n

nAP

A=)(

sendo: n resultados igualmente provveis,

nA destes resultados pertencem a um certo eventoA


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Probabilidade de eventosProbabilidade de eventos

Espaos amostrais discretos

SeA = {1, 2, 3, ... }, ento:

=Ai

i

i

PAP

:

)()(


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PropriedadesPropriedades P() = 0

P() = 1

Probabilidade do evento complementar

)(1)( APAP =A

A


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PropriedadesPropriedades

Regra da soma das probabilidades

)()()()( BAPBPAPBAP +=

A

B

A B

)()()( BPAPBAP +=

Se A e B mutuamente exclusivos,ento:


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Probabilidade condicional.Probabilidade condicional. Ex. de motivaoEx. de motivao

685015504770530Total

3505027030fora das especificaes (F)

650015004500500dentro das especificaes (D)TotalUHT (U)C (C)B (B)Condio do peso

Tipo do leite

051,06850

350)( ==FP 032,0

1550

50)|( ==UFP

Notar que:)(

)(

68501550

685050

1550

50)|(

UP

UFPUFP

===


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Probabilidade condicionalProbabilidade condicional

SejamA e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0.Definimos aprobabilidade condicional de A dado Bpor

)()()|(

BPBAPBAP =


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Probabilidade condicional. ExemploProbabilidade condicional. Exemplo

Seja o lanamento de 2 dados no viciados e aobservao das faces voltadas para cima. Calcule aprobabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a

soma menor ou igual a 5.

=

)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(

)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5()6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(

)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(

)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(

)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(

E1 = faces iguais = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

e

E2 = soma das faces menor ou igual a 5=

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3,2), (4, 1)}.


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Probabilidade condicional. ExemploProbabilidade condicional. Exemplo

2,010

2

361036

2

)(

)()|(

2

2121 ===

= EP

EEP

EEP


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Regra do produtoRegra do produto

)(

)()|(

BP

BAPBAP

=

)|()()( BAPBPBAP =

)(

)()|(

AP

BAPABP

=

)|()()( ABPAPBAP =

ou


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Eventos independentesEventos independentes Dois ou mais eventos so independentes quando

a ocorrncia de um dos eventos no influencia a

probabilidade da ocorrncia dos outros. Nessecaso:

)()|( APBAP =

A e B so independentes

)().()( BPAPBAP =

)()|( BPABP =e


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Teorema da probabilidade totalTeorema da probabilidade total Ilustrao da formao de um lote de peas

provindas de 4 fornecedores

Fornecedor:

(1) (2) (3) (4)

Grupo de peasextradas para a

formao do lotePeas no conformes


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Teorema da probabilidade totalTeorema da probabilidade total

E2

E1

E3 E7

E4 E5 E6

F

FE5FE7

FE3 FE4

)(...)()( 21 kEFEFEFF =

)(...)()(

)](...)()[()(

21

21

k

k

EFPEFPEFP

EFEFEFPFP

+++=

==

=

=k

i

iiEFPEPFP

1

)|()()(


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Teorema deTeorema de

BayesBayes

E2

E1

E3 E7

E4 E5 E6

F

FE5FE7

FE3 FE4

)(

)()|(

FP

FEPFEP

i

i

=

)( )|()()|( FP

EFPEP

FEP iii

=

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