uando iniciamos la andadura de Musymáticas, y de estoya hace más de tres años, advertíamos de nuestra intención deconvertir la sección un espacio abierto a la colaboración. Eltrabajo que presentaremos a continuación responde a estedeseo relacionando profesores de diferentes procedencias conun interés común por la Música y las Matemáticas.

La experiencia didáctica que presentaremos resume parte deltrabajo desarrollado en una Tesis de Maestría en elDepartamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPNde México. Una muestra del interés de la propuesta es quemuy pronto estará disponible de forma pública y gratuita en ladirección http://www.icyt.df.gob.mx/, gracias a que ha sidoseleccionada para esto en un concurso organizado por elInstituto de Ciencia y Tecnología del Distrito Federal(México).

Por mucho que en esta sección se tenga asumida la relaciónentre Música y Matemáticas, está claro que si en cualquieraula se pregunta a los estudiantes sobre su afinidad por una uotra disciplina, rara vez las matemáticas serían las más favo-recidas. Aunque no podemos negar que es complejo conocertodas las razones que contribuyen a configurar los gustos per-sonales de nuestros alumnos, una explicación de su preferen-cia puede buscarse en la concepción que se construye en laescuela acerca de cada una de ellas.

La música forma parte de las actividades lúdicas que se llevana cabo en la escuela y emerge de manera natural entre lasexpresiones emocionales de los estudiantes tanto dentro,como fuera del contexto escolar. Mientras que, a pesar de quesaben que las matemáticas ocupan un lugar de gran relevan-cia académica dentro del currículum escolar, pocas vecesviven las matemáticas como una actividad lúdica fuera de laescuela.

Desde una perspectiva pedagógica, la clase de música seasume como un espacio de intercambio de expresiones, acti-tudes y aptitudes artísticas entre los estudiantes. Por el con-trario, las matemáticas generalmente se han cargado de for-malismo y complejidad, por lo que muchos alumnos prefierenalejarse de ellas sin lograr apreciar su belleza.

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Luis A. Conde SolanoOlimpia Figueras Mourut de MontpellierFrançois C. B. PluvinageCentro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN,México. Departamento de Matemática Educativa.Vicente Liern CarriónUniversitat de València Estudi Generalmusymaticas@revistasuma.es

El sonido de las fracciones: una propuestainterdisciplinaria de enseñanza

C

Musym

ática

s

Noviembre 2011, pp.107-113

Una teoría musical debe ser establecida comoun conjunto de axiomas, definiciones y teore-

mas, cuyas demostraciones deben derivarsepor medio de una lógica apropiada.

Milton Babbitt (1916 –2011), compositor ymatemático

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Las acepciones mencionadas configuran a las matemáticas y ala música en los extremos tanto curriculares, como de acepta-ción por parte de los estudiantes, y por qué no reconocerlo,también de los docentes, sobre todo de aquellos profesoresque tienen a su cargo todas las materias escolares. Esto ha cre-ado un abismo ficticio entre las dos disciplinas, y en conse-cuencia un desaprovechamiento de la riqueza cognitiva ydidáctica que subyace en sus relaciones y que puede emplear-se para la construcción de conocimientos significativos.

En este trabajo se describe la estructura general de un acerca-miento didáctico interdisciplinario que conecta contenidosescolares de matemáticas, música y f ísica, especialmente ide-ado para la educación primaria. También se incluyen ejem-plos de cómo a través de diferentes experimentaciones quecomponen la propuesta se favorece una interacción entremaestros y/o estudiantes con dichas relaciones.

Visión integradora de contenidosEn numerosas publicaciones se pone énfasis en la necesidadde crear propuestas curriculares interdisciplinarias que propi-cien la construcción de un aprendizaje significativo de lasmatemáticas. Sin embargo, los ejemplos exhibidos resultanforzados y lejanos de la realidad de los maestros y de los estu-diantes. Sin duda, este no es el caso de las matemáticas y lamúsica, entre las que existen vínculos con significado en cadauna de ellas.

Por ejemplo, en Liern (2011) se describen relaciones entre lasfracciones y algunos elementos musicales que pueden utilizarlos maestros para la enseñanza del tema. En esta misma línease sitúa la propuesta de Conde (2009), diseñada para explorarla interdisciplinariedad entre la música, la f ísica y las mate-máticas, mediada además, por la tecnología y la informática.Para estructurar la propuesta se conjugaron los elementos delas distintas disciplinas que se mencionan a continuación:• de la f ísica se toman aspectos relacionados con el estudio del

sonido, el cuál se fundamenta en la percepción y transmi-sión de ese objeto f ísico;

• de la música se consideran elementos rítmicos como lasfiguras y silencios musicales con los cuales se establece unsistema de símbolos que determina la duración del sonido osu ausencia en intervalos de tiempo medidos por una uni-dad considerada como una unidad relativa;

• de las matemáticas se estudia la medida del tiempo, consi-derando intervalos determinados en segundos. Al realizarcomparaciones entre la unidad de medida establecida y losintervalos de tiempo que se desea medir, necesariamente sedebe hacer uso de los números fraccionarios, y

• de la informática, se aprovecha la posibilidad de usar la tecno-logía como una herramienta cognitiva que posibilita la incor-poración de actividades exploratorias en el ambiente real y en

el ambiente computacional. Además, permite una representa-ción del paso del tiempo apoyada en la visualización.

La propuesta se estructura por medio de dos componentes:un diseño curricular y un ambiente computacional. Y lasecuencia didáctica está diseñada para que, de manera guiada,los alumnos puedan construir relaciones, descubrir propieda-des y comprender y realizar operaciones con números frac-cionarios en el contexto de la música.

De la matemática escolar se toman los números fraccionarioscomo objeto de estudio, por su gran riqueza y su complejidaden los procesos de enseñanza y de aprendizaje. Respecto a lamúsica se centra la atención en lo que se ha llamado un siste-ma de signos musicales (SSM) compuesto por las figuras ysilencios musicales, porque cuenta con una estructura mate-mática asociada al sistema matemático de signos de las frac-ciones (en el sentido, por ejemplo, de Filloy y Rojano (1991)).Si fijamos el orden redonda, blanca, negra, etc. se cumple lapropiedad siguiente:

Cada figura es la mitad de la anterior y el doble de lasiguiente.

En este SSM convergen aspectos de las disciplinas menciona-das, cada una de ellas con contenidos específicos: el sonido(contenido de la f ísica), la medida del tiempo y las fracciones(contenido de las matemáticas) y las figuras y los silenciosmusicales (contenido de la música). Estas nociones se vincu-lan por medio de un sistema que determina el tiempo de dura-ción de un sonido.

Ilustración 1. Sistema de Signos Musicales (SSM) de figuras ysilencios musicales

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Una de las posibilidades que ofrece el estudio del SSM desdela perspectiva de la matemática escolar y mediante experi-mentaciones virtuales y reales, es un acercamiento simultá-neo a las nociones del tiempo f ísico y el tiempo musical.Acercamiento que, en la propuesta que se describe, apunta auna de las mayores dificultades enfrentadas por los estudian-tes en el proceso de aprendizaje de las fracciones: la identifi-cación de la unidad en la que se realiza la equipartición. Coneste SSM se puede identificar de manera natural la figuraredonda, con la unidad determinada por el tiempo de dura-ción del sonido asociado a la figura redonda. A través del valorde la redonda se pueden deducir los valores de las demás figu-ras musicales. Cabe precisar que el valor en tiempo f ísico quese le asigna a la redonda depende de varios factores que serelacionan con la estructura rítmica y la velocidad de la inter-pretación de una obra, de ahí que a la unidad se le denomineunidad relativa.

La forma de articular la propuesta es a través de siete módulosque tienen por objeto conducir a los estudiantes en la búsque-da de respuestas a las cuestiones. Los módulos están conecta-dos entre sí, pero a su vez tienen propósitos de aprendizajeindependientes, lo que permite al profesor decidir cuáles y enqué orden desea introducir a sus alumnos al estudio de lasnociones en juego, según sus intereses, la disponibilidad deltiempo, y los recursos técnicos y f ísicos con los que cuenta.

A continuación se describe brevemente cada uno de losmódulos, cada uno de ellos con imagen incluida en el ambien-te computacional del módulo que lo identifica y a través de lacual se accede a las actividades que lo conforman.

1. ¿Por qué se escucha el sonido? El primer módulo se centra en el tratamiento del sonido comotema elemental de la música. En él se presentan simulacionesde objetos en vibración y se propone el contacto con objetosreales que también vibran, tales como cajas de resonancia ydiapasones. La experimentación que se sugiere en este módu-lo aporta argumentos para la comprensión de la producción ypropagación del sonido.

2. ¿Cómo se distinguen los sonidos?Se propone la comparación entre la longitud de las cuerdassimuladas en el monocordio, de tal forma que los estudiantespuedan percibir cómo cambia el sonido de acuerdo con la lon-gitud de la cuerda. También se propone la construcción ymanipulación de un botellófono, para identificar sonidos gra-ves y agudos y establecer una relación entre el sonido produ-cido y la cantidad de agua de la botella. Subyacen en estaconstrucción nociones de proporcionalidad.

3. ¿Qué es ritmo?Sin abandonar la noción de sonido, en este módulo se incor-pora otro componente fundamental: el tiempo. Mediantemúltiples interacciones y comparaciones entre sonidos ysilencios, el estudiante puede identificar sonidos y silencioslargos y cortos determinando la duración por medio del usodel reloj o cronómetro. Al construir patrones rítmicos se pro-mueve la necesidad de crear un código para representar porescrito secuencias sonoras.

4. ¿Cómo se mide la duración de los sonidos y los silencios enmúsica?En este módulo se involucra al estudiante con el uso de unlenguaje que se construye a partir del valor relativo de la uni-

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dad de medida. Las representaciones le ayudan a estableceruna relación de orden entre las figuras mediante la fraccióndel tiempo de duración de los sonidos. Las experimentacionesproponen problemas referentes a la composición de una obracon un tiempo determinado para comparar el tiempo f ísico yel tiempo musical.

5. ¿Cómo se construyen equivalencias?Se pretende establecer relaciones de equivalencias entre lasfiguras y silencios teniendo en cuenta la fracción del tiempode duración. La argumentación se apoya en representacionesvisuales, auditivas y corporales mediante la interpretación depatrones. Los alumnos a través de experimentaciones podráninterpretar composiciones de manera simultánea usandodiferentes instrumentos musicales.

6. ¿Cómo completar unidades? Por medio de las operaciones se pueden construir cantidadesexpresadas en tiempos de duración menores, iguales, y mayo-res que la unidad. Los ejercicios propuestos tienen una estruc-tura de ecuación, en la cual el estudiante debe identificar eltérmino desconocido. La igualdad entre una fracción y unaadición de fracciones es una equivalencia que juega un papelimportante en este acercamiento.

7. ¿Qué es compás?La medida de una obra musical está determinada por una uni-dad, el estudiante por medio de las actividades de este módu-lo construye agrupaciones de tiempos o pulsaciones en gru-pos de 2, 3 ó 4, de esta forma puede llegar a tener una ideaclara sobre el compás. En esta situación se puede concebir elcompás como un producto o una suma sucesiva de tiempo deduración de figuras musicales, es decir de sonidos asociados afiguras musicales.

Experiencias matemusicalesUna de las preocupaciones expresadas por maestros en talle-res y charlas sobre este tipo de propuestas, es la de no contarcon conocimientos suficientes acerca de los contenidos de lasdisciplinas que se consideran. Sirva como ejemplo el comen-tario que una maestra hizo al respecto:

[...] A pesar del interés que los estudiantes manifestaronpor la música, debí tomar la decisión de trabajar formal-mente los contenidos de las matemáticas y no adentrarmeen otros temas, ya que al agregar más elementos al desa-rrollo de la clase se dificulta el aprendizaje por parte de losestudiantes (Conde, 2009, p. 140).

Después de esta actividad el maestro usa un símil entre laspulsaciones del corazón y los pulsos en música, para ello élinterpreta en la guitarra un ritmo de vals, variaba la velocidadde la interpretación para que los estudiantes identificaran enque situación existe un mayor número de pulsos. Con estaexperiencia se pudo deducir que a mayor velocidad de lainterpretación, mayor el número de pulsos por minuto y enconsecuencia, menor tiempo de duración de los sonidos.

En el ambiente computacional que acompaña la propuestadidáctica se proponen escenas como la que se puede ver en laIlustración 2, con las que se pretende que el estudiante esta-blezca una comparación entre el tiempo f ísico medido ensegundos y el tiempo musical medido en pulsos. Para lograr elobjetivo se hacen simulaciones con animaciones simultánea-mente con sonido.

Ilustración 2. Escena del ambiente computacional de la propuestainterdisciplinaria

Los estudiantes, apoyados en la simulación de la escena,pudieron percibir la variación de la figura redonda respecto altiempo f ísico y la conservación de la misma en el tiempomusical medida en 4 pulsos. También pudieron comprenderla adición de fracciones a través de la construcción de magni-tudes, teniendo en cuenta el tiempo medido en pulsos; la uni-dad ya no está determinada por la longitud de la barra, sinopor el tiempo de duración marcado por un metrónomo.

Sonidos y tiempo

Las escenas de la pantalla interactiva que aparece en laIlustración 3 contiene un ejercicio en el que se disponen tres‘barras de sonido’, cada una fraccionada con tiempos de dura-

ción de sonidos y silencios. A través de la comparación deestas barras de sonido, apoyada en la representación visual yauditiva, el estudiante puede construir relaciones de equiva-lencia, por ejemplo: 1/3 de la duración de la barra superior esequivalente a 2/6 de la barra inmediatamente inferior y a 3/9de la última barra.

Para la pregunta: ¿Qué tienen en común las barras de sonido?,se esperan dos respuestas:• las barras tienen el mismo tiempo de duración total, con la

visualización como apoyo a la justificación; y• tienen el mismo patrón rítmico, es decir, en todas las barras

se perciben dos sonidos seguidos de un silencio.

En relación con la pregunta: ¿Qué diferencias encuentrasentre las barras de sonido?, la respuesta esperada es: lasbarras tienen diferentes fraccionamientos de tiempo de dura-ción de sonidos, lo que se puede apreciar gráfica y auditiva-mente.

Con respecto a la pregunta ¿El tiempo de duración de sonidosson iguales en las tres barras?, se espera que los estudiantesdeterminen que tienen diferentes tiempos de duración.

Ilustración 3. Particiones de la unidad, duración de los sonidos ysilencios

Posteriormente a la exploración de las animaciones de lasbarras y frente a la pregunta: ¿Qué tienen en común las barrasde sonido?, estudiantes que participaron en la experimenta-ción opinaron:

–Estudiante 1: “Que todas están divididas en iguales partes”.–Estudiante 2: “Que todas las barras terminan hasta cierto

tiempo”.–Estudiante 3: “Cambia el ritmo”.–Estudiante 4: “Que las tres tienen silencios”.

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Los estudiantes pudieron encontrar las similitudes respecto ala duración total de las barras, empero en un inicio tuvierondificultades al identificar el patrón rítmico, algunos de ellosconsideraron que cambiaba cada barra en su estructura. Sinembargo, con la comparación de dos sonidos sucesivos y unsilencio, secuencia que se reproduce en cada barra, se logródisipar la idea inicial sobre un cambio de patrón.

Por medio de la pregunta: ¿Qué diferencias encuentras entrelas barras de sonido?, los alumnos identificaron el tiempocomo factor determinante en la duración de los sonidos encada barra. Sin embargo, surge una situación no prevista en laplaneación, los alumnos identificaron dos tipos de tiempo:• ellos reconocieron que en cada una de las barras el tiempo

de duración responde a la misma fracción entre sus sonidosy silencios y

• los estudiantes reconocieron que las tres barras tienen elmismo tiempo total de duración.

Con estos parámetros, los alumnos al realizar comparacionesentre las barras sobre los sonidos y silencios determinaronque las duraciones de los sonidos en los tres casos son dife-rentes. Se puede poner en evidencia dicha determinación conlas respuestas a la pregunta ¿el tiempo de sonido es igual enlas tres barras?:

–Estudiante 1: “El tamaño es igual” [se refiere al tiempo deduración total de las barras].

–Estudiante 2: “Es más corto” [se refiere a la longitud de lafracción de la barra que se ilumina, comparado con unafracción iluminada de otra barra].

–Estudiante 3: “Es más largo”.

Los estudiantes también hallaron la expresión en fracción deltiempo de duración de los sonidos y silencios que componecada barra y establecieron relaciones de equivalencia entreellas en términos de sus duraciones. Las relaciones queencontraron los alumnos son:

– “La duración de un sonido de la barra superior (verIlustración 3) se expresa como 1/3 de su duración totalde la barra” (unidad de referencia).

– “En la barra de la mitad la duración de un sonido es de1/6 de su duración total”.

–“En la barra inferior la duración de un sonido es 1/9 desu duración total”.

Aprovechando el momento, de acuerdo con las relacionesanteriores se planteó la pregunta: ¿Cuántos novenos serequieren para completar 1/3?, a lo que el Estudiantes 1 res-pondió 3. Esta pregunta no exigió mayor esfuerzo para losestudiantes ya que la expresión fraccionaria de las barrascomparadas se percibe de forma inmediata en la Ilustración 3.Luego se planteó la pregunta: ¿Cuántos novenos necesito paracompletar 1/6? Se obtuvieron las siguientes respuestas:

–Estudiante 1: “Uno y medio”. –Estudiante 2: “Uno y un cachito”.

En este caso se percibió confusión por parte de los estudian-tes; la equivalencia no se puede comprobar de forma inme-diata en la representación gráfica que aparece en laIlustración 3. Frente a esto, una niña (la estudiante 2) logródeducir de la gráfica la expresión correcta:

El maestro puede aprovechar, tanto las expresiones que emer-gen, por ejemplo la respuesta de la niña, para socializar contodo el grupo, como la pregunta para seguir profundizandoen el estudio de los contenidos de la actividad.

Con esta actividad se provee de experiencias a los estudiantesa través de las cuales ellos pueden comparar intervalos detiempo de duración de sonidos para establecer relaciones deorden y equivalencia expresando unos intervalos de tiempode duración en términos de otros.

Figuras fraccionarias

El propósito de este conjunto de exploraciones es dar signifi-cado matemático a las figuras y los silencios musicales, dotan-do de sonido las figuras vinculadas simultáneamente al movi-miento de una barra como representación de la fracción deduración del sonido. Por medio de la experimentación entresonido y movimiento, el estudiante realiza comparacionespara establecer relaciones entre las figuras considerando susvalores de duración representados por fracciones. El recono-cimiento del valor relativo de la unidad es importante en elmomento de deducir la duración de las demás figuras.

Durante la puesta en marcha de la propuesta didáctica que seha descrito se observaron dos aspectos fundamentales. El pri-mero es que, por medio de la exploración de una escena delinteractivo que muestra el contenido de la Ilustración 1, elestudiante puede reconocer la unidad y a partir de ella cons-truir las demás figuras. Es preciso mencionar que una de lasdificultades en el trabajo con los números fraccionarios es queel estudiante identifique la unidad de medida a tratar, situa-ción que en muchas ocasiones se pasa por alto y se da porhecho originando limitaciones y problemas para el desarrollodel proceso de aprendizaje del campo de los números fraccio-narios. El segundo aspecto es que, debido a la representacióngráfica y la percepción sonora se hace explicita la partición dela unidad al igual que la partición de las particiones. Con ellose da la posibilidad a los estudiantes de establecer una rela-ción de orden entre las figuras y expresar una fracción en tér-minos de otras. En este caso, no sólo existe una relación sim-

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