7/23/2019 6.3 metodo de runge

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6.3 MTODO DE RUNGE-KUTTAUno de los mtodos numricos ms utilizado y preciso para obtener

soluciones aproximadas de las ecuaciones diferenciales es el mtodo

de Runge-Kutta de cuarto orden. Este mtodo consiste en determinar

apropiadamente constantes de manera que una frmula como

yi!"#yi! ak"! bk$! ck%! dk&

'oincida con un desarrollo de (aylor )asta h&* es decir )asta el quinto

termino. +as kison constantes m,ltiplos defx*y e/aluadas en ciertos

puntos. +a deduccin del mtodo es bastante tediosa* por lo que slo

se darn los resultados.

yi!" #yi! "01k" ! $k$! $k%! k&

k" # h fti*yi

k$ # h fti! "0$h*yi! "0$k"

k%# h fti! "0$h*yi! "0$k$

k h fti! h*yi! k%

2bser/e que k$depende de k"3 k%depende de k$y as4 sucesi/amente.

5dems k$y k%implican aproximaciones a la pendiente en el punto

medio del inter/alo entretiyti!"#ti!h

E6emplo .

5proximar la solucin dey'# $ty*y"#"* " t ".7* con h# 8." usando

el mtodo de Runge-Kutta.

9olucin

ft*y#$ty* h#8."* i#8*"*$*

%*&

y8#"* t8#".8* t"#"."* t$#".$* t%#".%* t

".&

y"#y8! "01k"!$k$!$k%!k&

k"#h fti*yi # 8." $ " " # 8.$

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k$#h ft8! "0$h*y8! "0$k"

k$#8." $ "!"0$8." "!"0$8.$ #

8.$%"

k%#h ft8!"0$h*y8!"0$k$

k%#8."$"!"0$8.""!"0$8.$%" #8.$%&$77

kh ft8! h*y8! k%# 8.$:"7%1"

+uegoy"#" ! "01 8.$ ! $8.$%" ! $ 8.$%&$77 ! 8.$:"7%1"

y"#".$%%1:&%7

+a siguiente tabla muestra los resultados del mtodo de Runge-Kutta

con h#8." redondeados a & decimales

ti yi Valor Real

" " "

"." ".$%%: ".$%%:

".$ ".77$: ".77$:

".% ".;;%: ".;;%:

".& $.1""1 $.1"":

".7 %.&;8$ %.&;8&

En la tabla de aba6o se comparan los resultados obtenidos a partir de

los mtodos de Euler* (aylor de orden $* Euler me6orado y Runge-

Kutta aplicadas al problemay'# $ty*y"#"* " t ".7 con h# 8."

ti EulerTaylor deorden 2

Eulermejorado

Runge-Kua

ValorReal

" ".888 ".8888 ".8888 " "

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8

".

"

".$88

8".$%88 ".$%$8 ".$%%: ".$%%:

".

$

".&1&

8".7&$: ".7&:; ".77$: ".77$:

".

%

".

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5s4* el siguiente /alor yn!" es determinado por elpresente /alor yn ms el producto del tama@o delinter/alo h por una pendiente estimada. +a pendientees un promedio ponderado de pendientes* donde es la

pendiente al principio del inter/alo* es la pendiente en elpunto medio del inter/alo* usando para determinar el /alor

de yen el punto usando el mtodo de Euler. es otra

/ez la pendiente del punto medio* pero a)ora usando para

determinar el /alor dey3 es la pendiente al final del

inter/alo* con el /alor de ydeterminado por . Aromediando

las cuatro pendientes* se le asigna mayor peso a las

pendientes en el punto medio

Esta forma del mtodo de Runge-Kutta* es un mtodo de

cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del

orden de * mientras que el error total acumulado

tiene el orden . Aor lo tanto* la con/ergencia del

mtodo es del orden de * razn por la cual es usado

en los mtodos computacionales.

Ejemplo :

Usar el mtodo de Runge-Kutta para aproximar

Dada la siguiente ecuacin diferencial:

Primero, identicamos el mismo ejemplo de los

dos mtodos anteriores! "egundo, se procede con

los mismos datos:

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler

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Para poder calcular el #alor de , de$emos

calcular primeros los #alores de

"e tiene entonces %ue:

con el n de un ma&or entendimiento de las

frmulas, #ea la siguiente iteracin:

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El proceso de$e repetirse 'asta o$tener:

en la siguiente ta$la, se resumen los resultados

de las iteraciones:

"e conclu&e %ue el #alor o$tenido con el mtodo

de Runge-Kutta es:

(inalmente se calcula el error relati#o #erdadero:

)on lo cual se #e %ue efecti#amente se 'areducido muc'o el error relati#o! De 'ec'o se

o$ser#a %ue tenemos * cifras signicati#as en la

aproximacin+

Ejemplo: Usar el mtodo de Runge-Kutta para

aproximar dada la ecuacin diferencial:

gual %ue siempre, si se toma: se llega a la

aproximacin en dos pasos!

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)on esta aclaracin, se tienen los siguientes

datos:

Primera teracin:

"egunda iteracin:

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Entonces %ue el #alor $uscado es: